广东省揭阳市汕尾普宁华美实验学校高二数学下学期期中试题 理

广东省揭阳市汕尾普宁华美实验学校2017-2018学年高二数学下学期期中
试题 理
考试时间：120分钟；满分：150分；
注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案．．．．．．填涂．．在答题．．．卷．上．）． 1．设为虚数单位，则复数
（ ） A. 0 B. 2 C. D.
2．命题“若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ”的否命题是( )
A. 若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c
B. 若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤b
C. 若a ＋c ＞b ＋c ，则a ＞b
D. 若a ＞b ，则a ＋c ≤b ＋c 3．方程4
214
14-=x x
C C 的解集为( )
A. {4}
B. {14}
C. {14,2}
D. {4,6} 4．在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为
,若
,则△ABC 的面积为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
5．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的 选派方法共有（ ） A. 60种 B. 48种 C. 30种 D. 10种
6．ABC ∆中，角,,A B C 成等差数列，则222sin sin sin sin sin A C B A C
+-=（ ）
A.
12
7．已知函数(
)1,10 1
x x f x x +-≤≤=<≤，则⎰-1
1)(dx x f 的值为（ ）
A. 12π+
B. 124π+
C. 14π+
D. 122
π
+ 8．已知圆1C ： ()2
251x y ++=， 2C ： ()2
25225x y -+=，动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切，若M 为1C 上的动点，且10CM C M ⋅=，则CM 的最小值为（ ）
A.
4
D. 9．某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》《茶馆》《天籁》《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演，《茶馆》不能在周一和周三上演，《天籁》不能在周三和周四上演，《马蹄声碎》不能在周一和周四上演，那么下列说法正确的是（ ） A. 《雷雨》只能在周二上演 B. 《茶馆》可能在周二或周四上演 C. 周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 D. 四部话剧都有可能在周二上演 10．用数学归纳法证明()1112f n n n =
+++ 125
3124n +⋅⋅⋅+>+ ()n N +∈过程中：假设()n k k N +
=∈时，不等式()2524f k >成立，则需证当1n k =+时， ()25
124
f k +>也成立，则()()1f k f k +-=（ ）
A.
134k + B. 11341k k -++ C. 112323433k k k +-+++ D.
111
323334
k k k +++++
11．己知曲线()32
11332
f x x x ax =
-++上存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零， 则实数a 的取值范围为 （ ）
A. 133,4⎛⎫
⎪⎝⎭
B. 133]4（，
C. 13]4-∞（，
D. 134-∞（，）
12．已知表面积为100的球内接一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为 A. B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）． 13．已知O 为坐标原点， ()()3,2,4,0,5,1A B --，若2
3
OC AB =
，则C 的坐标是__________． 14．设,x y 满足10
{2320 20
x y x y y -+≥-+≤-≤，则34z x y =-+的最大值是_____.
15．如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活
动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为_______________.
16．设函数()()2221,x e x e x
f x
g x x e +==，对任意的()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121
g x f x k k ≤
+恒成立，则正数k 的取值范围是__________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明或演算步骤.） 17．（10分）在平面直角坐标系
中，曲线的参数方程为
（为参数），以为极点，
轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为 ．
（1）求曲线的极坐标方程； （2）设直线与曲线相交于两点，求
的值．
18．（12分）已知是数列{
}的前项和，
.
（Ⅰ）求数列{}的通项公式；
（Ⅱ）已知
=
，求数列{
}的前项和
.
19．（12分）已知函数()2
14ln 52
f x x x x =+
-． ()1求()f x 的极值；()2若()f x 在区间()21m m +，上单调递减，求实数m 的取值范围．
20．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中， PA ⊥底面ABCD ， AD AB ⊥，
DC ∥AB ， 1PA =， 2,AB PD BC ===
（1）求证：平面PAD ⊥平面PCD ; （2）若棱PB 上存在一点E ，使得二
面角E AC P --的余弦值为
3
， 求AE 与平面ABCD 所成角的正弦值．
21．（12分）已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）是否存在过点()2,1P 的直线l 与C 相交于不同的两点,A B ，满足2PA PB PM ⋅=？
若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
22．已知函数()()1
ln f x a x a R x
=+∈. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若(]
()0,,0x e f x ∈≥恒成立，求实数a 的取值范围.
参考答案
1．C 2．A 3．D 4．A5．C 6．B7．B8．A9．C10．C11．A 12．B
8. 【解析
】
∵圆1C ：
()
2
251x y ++=，圆2C ：
()
2
25225x y -+=，
动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切，设圆C 的半径为r ，
由题意得1211516CC CC r r +=++-=（）（）， ∴则C 的轨迹是以（()()505,0-，， 为焦点，长轴
长为16的椭圆，
∴其方程为22
1,6439
x y += 因为10CM C M ⋅=，
即CM 为圆1C 的切线，要CM 的最小，只要1CC 最
小
，
设
()
00,M x y ，则
2
2
1CM CC =
-==
088,x =-≤≤
min
CM
∴==
=
，
选A.
12【解析】设球的半径为，内接圆锥的底面半径为，高为，由题意知，，解得=5，则
球心到圆锥底面的距离为
，所以
，所以该圆锥的体积为
，设，则
=()，所以= =，当时，＞0，
当时，＜0，所以当时，=，故选B ．
13．14102,
,33⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
14．5 15．18 16．1k ≥
【解析】当0x >时， ()222112e x f x e x e
x x +==+≥=， ()10,x ∴∈+∞时，函数
()1f x 有最小值()()()
()222212,,'x x x x x
e e xe e x e x e g x g x e e e ⋅--=∴==，当1x <时， ()'0g x >，则函数()g x 在()0,1上单调递增；当1x >时， ()'0g x <，则函数()g x 在()1,+∞上单调递减，
1x ∴=时，函数()g x 有最大值()1g e =，则有()12,0,x x ∈+∞，
()()12min max 2f x e g x e =>=，
()()121
g x f x k
k ≤
+恒成立且0k >， 2,11
e e
k k k ∴
≤≥+，故答案为1k ≥. 17．（1）
（2）
【解析】（1）将方程消去参数得
，
∴曲线的普通方程为，
将
代入上式可得
，
∴曲线的极坐标方程为：
．
（2）设两点的极坐标方程分别为,
由消去得，
根据题意可得是方程
的两根，
∴，∴．
18．（Ⅰ）
；（Ⅱ）
.
（Ⅰ）∵，
当时，，解得=1，……2分
当时，
，
∴
，………………4分
∴数列{}是首项为1，公比为3的等比数列， ∴
.………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，…………7分
∴=，①
=，②………………9分
②得，
=
==…………………………11分
∴.……………………12分
19．（1） 极大值为92-
，极小值为8ln212-；（2）112⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
，
. ()()()()144
1'5x x f x x x x
--=
+-=， 1和4别是()'0f x =的两根， 根据单调性可知极大值为()9
f 12
=-
，极小值为()f 48ln212=-. ()2由上得()(
)()
144'5(0)x x f x x x x
x
--=+-=>，
由()'014f x x <⇒<<．
故()f x 的单调递减区间为()1
4，，21
{2 1 14
m m m m ≥∴<++≤，
解得：m 的取值范围： 112⎡⎫⎪⎢⎣⎭
，
．
20．（1）见解析（2）
5
【解析】（1）证明：
,AD AB CD ⊥∥AB
DC AD ∴⊥
PA ⊥平面ABCD , DC ⊂平面ABCD
DC PA ∴⊥
AD PA A ⋂=
DC ∴⊥平面PAD
DC ⊂平面PCD
∴平面PAD ⊥平面PCD
（2）解: 以A 为坐标原点，以AD ， AB ， AP 所在射线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系
A xyz -
如图所示，则1AD ==,由点C 向AB 作垂线CH, 则1BH ==,
∴1DC AH AB BH ==-=
∴()()()()0,0,0,0,0,1,0,2,0,1,1,0A P B C 设(),,E x y z . ∵E 在棱PB 上，
∴PE PB λ=（01λ<<） ∴()0,2,1E λλ-
设平面PAC 的法向量()111,,u x y z =,
∴·0{
·0
u AP u AC ==, ()(
)()()111111111
,,?0,0,100{
,{ ,,?1,1,000x y z z x y z x y ===+=，取11x =，则11y =-，则()1,1,0u =-.
设平面EAC 的法向量()222,,v x y z =, ∴·0{
·0
v AE v AC ==， ()(
)()(
)()2222222222,,?0,2,10210{
,{
,,?1,1,000x y z y z x y z x y λλλλ-=+-==+=，取21,x =则
22221,(0)11y z λλ
λλ
=-=
>--. ∴21,1,
1v λλ⎛⎫
=- ⎪-⎝
⎭
∴cos 3u v u v
θ⋅==，
(
)21,1,0?1,1,
3λ⎛⎫
-- ⎪=
，解得12
λ=. ∴10,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 10,1,2AE ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭
易知平面ABCD 的法向量()0,0,1m =，所以AE 与平面ABCD 所成角的正弦值
5
sin 5
m AE m AE
α⋅=
=
. 21．(1) 22
143
x y +=;(2) 20x y -=.
【解析】（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>
由1
2
c e a =
=得2a c =，则22223b a c c =-= 所以C 的方程为22
22143x y c c
+=且经过点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
则
2213
144c c
+=，解得21c = 故椭圆C 的方程为22143
x y +=
（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l ，
由题意直线l 存在斜率，设直线l 的方程为()21y k x =-+，
由()22
1,
{ 43
2 1.
x y y k x +==-+，消去y 得()()()2222438282210k x k k x k k +--+--= 由()
()()
2
22264232432210k k
k k k ∆=--+-->得630k +>，解得1
2
k >-
设()11,A x y ， ()22,B x y ，则(
)212
28243
k k x x k -+=+， (
)212
28221
43
k k x x
k --=
+
由2PA PB PM ⋅=得()()()()12225
22114
x x y y --+--= 则()()()
2
1252214
x x k --+=
即()()
2
12125
2414
x x x x k ⎡⎤-+++=
⎣⎦ 所以()()
()
222
22822116254143434k k k k k k k ⎡⎤---⎢⎥-++=++⎢⎥⎣⎦
整理得
(
)2241543
4
k k +=+，解得12
k =±
又12k >-
，所以12
k = 故存在直线l 满足条件，其方程为1
2
y x =，即20x y -= 22．(1)答案见解析；(2) 1,e e
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
.
【解析】（1）由题得， ()f x 的定义域为()()22110,,a ax f x x x x
-+∞=-='， 当0a ≤时， ()0f x '<恒成立，
故()f x 在区间()0,+∞上单调递减，无递增区间； 当0a >，由()0f x '<，得1
0x a
<<， 由()0f x '>，得1x a
>
. 所以()f x 的单调递减区间为10,
a ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，单调递增区间为1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
.
（2）若(]
()0,,0x e f x ∈≥恒成立，
即()f x 在区间(]0,e 上的最小值大于等于0，
由（1）可知，当0a ≤时， ()0f x '<恒成立，
即()f x 在区间(]0,e 上单调递减，
故()f x 在区间(]0,e 上的最小值为()11ln f e a e a e e =
+=+， 由10a e +≥，得1a e ≥-，故10a e
-≤≤， 当0a >时， 若1e a ≤，即10a e <≤时， ()0f x '≤对(]0,x e ∈恒成立， 所以()f x 在区间(]0,e 上单调递减，
则()f x 在区间(]0,e 上的最小值为()11ln 0f e a e a e e =+=+>， 显然()f x 的区间(]0,e 上的最小值大于等于0成立. ②若10e <<，即1a >时，则有
所以()f x 在区间(]0,e 上的最小值为11ln f a a a a ⎛⎫=+
⎪⎝⎭， 由1ln 0a a a
+≥，得1ln 0a -≥， 解得a e ≤，即1a e e <≤.综上所述，实数a 的取值范围是1,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
.。