积分第一中值定理中值点渐近性

2
π π ］上连续， g（ x） 在 ［ 0 ， ］上不变号且 D1 / 2 f（ 0 ） = 1 ≠ 0 ， g（ 0 ） = 0 ， g' （ 0 ） = 0 ， g″（ 0 ） = 2 4 4 ≠ 0， 据定理 3 ， 有 lim
b→0
2
36 ξ = ． b 49
下面对这个例子的结果进行验证 ． 首先， 对下面的积分应用分部积分法可得 ：
3 1 5 1 3 2 b sin 槡 b + （ 40 b 2 － 240 b 2 － 2 b 2 ） cos 槡 b， ξ = （ 10 b － 120 b + 240 ） sin 槡 3
则可求得： sin 槡 3［ （ 10 b2 － 120 b + 240 ） sin 槡 b + （ 40 b 2 － 240 b 2 － 2 b 2 ） cos 槡 b］ ξ = ， 7 2 b b 槡 那么根据洛必达法则可得： sin 槡 6 ξ ξ lim 槡 = = b→0 7 b b 槡 槡 故 lim
＊
本文从积分第一中值定理出发， 在实分析中介绍积分第一中值定理在不同条件下中值点的渐近性问
Asymptotics of Mean Point in the First Mean Value Theorem for Integrals
Huang Jinli
（ Quanzhou College of Technology ，Quanzhou， 362200 ，China） Abstract Key words The thesis focuses on the asymptotics of mean point in the first mean value theorem for integrals through The first mean value theorem for integrals Mean point Asymptotics Real function
b
xdx ∫x sin 槡
2 0
= （ 10 b2 － 120 b + 240 ） sin 槡 b + （ 40 b 2 － 240 b 2 － 2 b 2 ） cos 槡 b，
3
1
5
又根据积分第一中值定理可得：
b
xdx ∫x sin 槡
2 0
=
1 3 b sin 槡 ξ， 3
比较以上两个等式可得：
第 32 卷 第 2 期 2012 年 6 月
数学理论与应用 MATHEMATICAL THEORY AND APPLICATIONS
Vol． 32 No． 2 Jun． 2012
积分第一中值定理中值点渐近性
黄进利 （ 泉州轻工职业学院， 362200 ） 泉州，
摘 题． 关键词 积分第一中值定理 中值点 渐近性 实函数 要
∫
∫
(
)
n + α －1
f n －1 （ ξ） － f n －1 （ a） g m （ b） － g m （ a） lim lim ξ － a α b→a b→a b→a b － a （ ξ － a） （ b － a） β = ［ （ n + α － 1 ） （ n + α － 2 ） ·（ 1 + α） ］ ［ （ m + β + 1 ） （ m + β） （ m + β － 1 ） ·（ 1 + β） ］ lim
下面再对积分应用分部积分法可得 ：
x
∫xcosxdx
0
= xsinx + cosx － 1 ，
比较以上两个等式可得： ξ x sinx = xsinx + cosx － 1 ， 从上可以得出 ξx ξx xsinx + cosx － 1 cosx － 1 1 1 = ， = 1 + lim = 1 － = 所以 lim x→0 x x→0 x xsinx xsinx 2 2
the real analysis，starting from the first mean value theorem for integrals．
中值定理是数学分析乃至整个高等数学的重要定理 ， 中间值从诞生到现在的近 300 年间， 对它的研究时有出现． 自 1982 年，B． Jacobson 与 A． G． Azpeitia 分别给出了第一积分中值定 “中间值” 理 的渐近性问题， 引起了不少数学工作者的关注． 数学工作者已经在实函数中研究 然后从 了中间值的渐近性问题而且有了许多很好的结果 ． 本文首先介绍了积分第一中值定理 ， 该定理出发， 在实分析中介绍了积分第一中值定理在不同条件下中值点的渐近性问题 ．
1
积分第一中值定理
为了得到实函数中积分第一中值定理中值点的渐近性的一些结论 ， 下面首先给出实函数 中积分第一中值定理． 定理 1 得
收稿日期： 2012 年 4 月 23 日
a， b］上连续， g（ t） 在 ［ a， b］上可积且不变号， a， b］使 设 f（ t） 在 ［ 则存在 ξ ∈ ［
a， b］连续且不变号， g（ a） ≠ 0 ， 在［ 那么对（ 1 ） 式或（ 2 ） 式中的 ξ 有： lim
b→a
ξ－a = b －a
(
1 1 +q
)
1 q
证明： 构造辅助函数
b b
h（ b） = 由 L． Hospital 法则得到极限： limh（ b） =
b→a
∫f（ x） g（ x）
a
n +m + α + β － 1
g（ b）
=
1 f（ b） － f（ a） g（ b） － g（ a） lim lim （ n + m + α + β ） b→a （ b － a ） n + α － 1 b→a （ b － a ） m + β lim
f n －1 （ b） － f n －1 （ a） g m （ b） － g m （ a） lim b→a b→a （ b － a） α （ b － a） β = ［ （ n + α － 1 ） （ n + α － 2 ） …（ 1 + α） ］ ［ （ n + m + α + β） （ m + β） （ m + β － 1 ） …（ 1 + β） ］ = D α f （ n － 1 ） （ a ） D β g （ m） （ a ） ， ， ［ （ n + α － 1 ） （ n + α － 2 ） …（ 1 + α） ］ ［ （ n + m + α + β） （ m + β） （ m + β － 1 ） …（ 1 + β） ］
dx － f（ a） g（ x） dx
a
∫
（ b － a）
1 +q
，
1 f（ b） － f（ a） 1 1 lim g（ b） = A limg（ b） = Ag（ a） ， q + 1 b→a （ b － a ） q q + 1 b→a q +1
a， b］上可积且不变号， 由于 g（ x） 在 ［ 可以先利用积分第一中值定理， 然后利用 L． Hospital 法 则， 可得： limh（ b） = lim
x x
∫f（ t） g（ t）
a x
dt = f（ ξ x ） g（ t） dt ， 则有：
a
∫
lim
x→a
ξx － a 1 ． = x －a 2
例1
g（ x） = cos x， 在 x cos xdx 0 ＜ x ≤ π 中， 取 f（ x） = x， 显然 f（ x） 和 g（ x） 在 2 0
n + α －1 D α f （ n －1） （ a） D β g （ m） （ a） lim ξ － a b→a b － a ， = ［ （ n + α － 1 ） （ n + α － 2 ） …（ 1 + α） ］ ［ （ m + β + 1 ） （ m + β） （ m + β － 1 ） …（ 1 + β） ］
另一方面， 由积分第一中值定理及洛必达法则得 ：
b
g（ x） dx b f（ ξ） － f（ a） f（ ξ） － f（ a） a ξ － a I = lim n +m + α + β g （ x ） dx = lim n + α －1 m + β +1 b→a （ b － a ） b→a （ ξ － a ） b － a （ b － a ） a
b→a b→a
f（ ξ） － f（ a） g（ b） lim ξ － a b→a b － a （ ξ － a） q
(
)
q
= lim ξ － a b→a b － a
(
)
q
f（ ξ） － f（ a） g（ a） （ ξ － a） q
（* ）
－ a q Ag（ a） 由于 b → a 时， ξ → a， 故（ * ） = lim ξ b→a b － a 比较以上两个极限式， 可得：
(
)
n + α －1
(
)
比较以上两个极限式可得： ξ－a lim = b→a x － a
(
m +β +1 n +m +α+β
)
1 n + α －1
．
证毕．
122
b
数学理论与应用
例2
2
2 xdx（ 0 ＜ b ≤ 在 x sin 槡 0
∫
π ） 中， x， g （ x ） = x2 ， g（ x） 在 ［ 0， 令 f（ x） = sin 槡 显然 f（ x） ， 4
为了得到下面积分第一中值定理中值点的渐近性 ， 下面首先给出一个定义． （ f（ x） － f（ a） ） / （ x － a） 定义： 设 f（ x） 在 x = a 的右邻域内有定义， 如果 lim +
x→a α
存在 （ α 为
［ 0， 1］内的某实数） ， 则称这一极限为 f（ x） 在 x = a 处的 α 导数记作 D α f（ a） ． （ 注： 如果 α = 0 ， 记 D α f（ a） = f（ a） ）
32jun2012积分第一中值定理中值点渐近性关键词积分第一中值定理中值点渐近性实函数asymptoticsmeanpointfirstmeanvaluetheoremintegralshuangjinliquanzhoucollegetechnologyquanzhou362200chinaabstractthesisfocusesmeanpointfirstmeanvaluetheoremintegralsthroughrealanalysisstartingfromfirstmeanvaluetheoremintegralskeywordsfirstmeanvaluetheoremintegralsmeanpointasymptoticsrealfunction中值定理是数学分析乃至整个高等数学的重要定理中间值从诞生到现在的近300年间对它的研究时有出现
(
)
120
数学理论与应用
lim
b→a
ξ－a = b －a
(
1 1 +q
)
1 q
证毕．
对于定理 2 只要令 q = 1 ， 我们就可以得到以下推论． 推论 1 g（ x） 在上连续， g（ x） 不变号， g（ a） 不为 0 ， f' （ a） 存在且不为零， 设 f（ x） ， 对 x
b） ， a， x］ ， ∈ （ a， 取 ξx ∈ ［ 使得
积分第一中值定理中值点渐近性
121
定理 3
a， b］连续， f（ x） 在 ［ a， b］存在直到 n － 1 阶的导数， g（ x） 如果 f（ x） 和 g（ x） 在 ［
a， b］上不变号， f （+i） （ a） = 0 （ i = 1 ， 2 …n － 1 ） ， D α f （ n －1） （ a） 存在 在［ 且存在直到 m 阶的导数， g （+i） （ a） = 0 （ i = 0 ， 1 …m） ， D β g （ m） （ a） 存在且不等于零，那么对（ 1 ） 式中的 ξ 有： 且不等于零， ξ－a lim = b→a x － a 下面对这个定理进行证明． 证明： 考虑极限
b b
(
m +β +1 n +m +α+β
)
1 n + α －1
．
∫f（ x） g（ x）
I = lim
b→a a
dx － f（ a） g（ x） dx
a n +m + α + β
∫
（ b － a）
，
一方面， 由 L． Hospi b） － f（ a） （ n + m + α + β） （ b － a）
∫
(
)
π 上不变号， g（ 0 ） 上连续且 g（ x） 在 [ 0 ， [ 0，π 2] 2] 得： lim
x→0
= 1 ≠ 0， f' （ 0 ） = 1 ≠ 0 ， 所以根据推论 1 可
ξx 1 = 2 x
下面对这个结果进行验证． 首先， 根据积分第一中值定理可得：
x
∫x cos xdx
0
= ξ x sin x ．
＊
积分第一中值定理中值点渐近性
b b
119
∫
a
f（ t） g（ t） dt = f（ ξ） g（ t） dt
a
∫
（ 1）
（ 1 ） 式就变成为 特别当 g（ t） ≡ 1 时，
b
∫f（ t） dt
a x
= f（ ξ） （ b － a）
（ 2）
b ） 时， a， x］ ， a， x］作为 x 的函数， 当 x ∈ （ a， 将此定理用于 ［ 则可以找到 ξ x ∈ ［ 使得
∫f（ t） dt
a
= f（ ξ x ） （ x － a）
（ 3）
2
积分第一中值定理中值点的渐近性定理及推论
在积分第一中值定理的基础之上， 下面给出在不同条件下， 积分第一中值定理中值点渐近 性问题． 定理 2 a， b］上连续， lim 如果 f（ x） 在 ［
b→a
f（ b） － f（ a） = A ≠ 0 （ 这里 0 ＜ q ≤ 1 ） ， g（ x） （ b － a） q