七年级--线段的动点问题(难点强化)含答案

七年级—线段的动点问题（含答案）
一．解答题（共40小题）
1．已知数轴上有A，B，C，D，E，F六个点，点C在原点位置，点B表示的数为﹣4，下表中A﹣B，B﹣C，D﹣C，E﹣D，F﹣E的含义为前一个点所表示的数与后一个点所表示的数的差，比如B﹣C为﹣4﹣0＝﹣4．
A﹣B B﹣C D﹣C E﹣D F﹣E
10﹣4﹣1x2
（1）在数轴上表示出A，D两点；
（2）当点A与点F的距离为3时，求x的值；
（3）当点M以每秒1个单位长度的速度从点B出发向左运动时，同时点N从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向点C运动，到达点C后立即以同样的速度反方向运动，那么出发秒钟时，点D 到点M，点N的距离相等（直接写出答案）．
2．如图，在数轴上点A表示的数是﹣3，点B在点A的右侧，且到点A的距离是18；点C在点A与点B 之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍．
（1）点B表示的数是；点C表示的数是；
（2）若点P从点A出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，在运动过程中，当t为何值时，点P与点Q之间的距离为6？
（3）在（2）的条件下，若点P与点C之间的距离表示为PC，点Q与点B之间的距离表示为QB，在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC+QB＝4？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由．
3．定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点C在线段AB上，且AC：CB＝1：2，则点C是线段AB的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个．
（1）已知：如图2，DE＝15cm，点P是DE的三等分点，求DP的长．
（2）已知，线段AB＝15cm，如图3，点P从点A出发以每秒1cm的速度在射线AB上向点B方向运动；
点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒2cm，设运动时间为t秒．
①若点P点Q同时出发，且当点P与点Q重合时，求t的值．
②若点P点Q同时出发，且当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值．
4．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．
（1）求线段MN的长度；
（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC＝a，其他条件不变，求MN的长度；
（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s 的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？
5．【新知理解】
如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．
（1）线段的中点这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）．
（2）若AB＝12cm，点C是线段AB的巧点，则AC＝cm；
【解决问题】（3）如图②，已知AB＝12cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s）．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由
6．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
【综合运用】（1）填空：①A、B两点间的距离AB＝，线段AB的中点表示的数为；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为；点Q表示的数为．
（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
（3）求当t为何值时，PQ＝AB；
（4）若点M为P A的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
7．如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点．
（1）若AC＝9cm，CB＝6cm，求线段MN的长；
（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB＝acm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？请直接写出你的答案．
（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝b cm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN 的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
8．如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B运动时间为t秒（0≤t≤10）．
（1）当t＝2时，①AB＝cm．②求线段CD的长度．
（2）①点B沿点A→D运动时，AB＝cm；
②点B沿点D→A运动时，AB＝cm．（用含t的代数式表示AB的长）
（3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长是否变化，若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由．
9．如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点．
（1）若AC＝9cm，CB＝6cm，求线段MN的长；
（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB＝acm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由．你能用一句简洁的话描述你发现的结论吗？
（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN 的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
10．已知线段AB＝a，MN＝b（a，b为常数，且a＞2b），线段MN在直线AB上运动（点B、M在点A的右侧．点N在点M的右侧）．点P是线段AB的中点，点Q是线段MN的中点．
（1）如图1，当点N与点B重合时，求线段PQ的长度（用含a，b的代数式表示）；
（2）如图2，当线段MN运动到点B、M重合时，求线段AN、PQ之间的数量关系式；
（3）当线段MN运动至点Q在点B的右侧时，请你画图探究线段AN、BM、PQ三者之间的数量关系式．
11．如图，数轴上点A，B表示的有理数分别为﹣6，3，点P是射线AB上一个动点（不与点A，B重合）．M 是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．
（1）若点P表示的有理数是0，那么MN的长为；若点P表示的有理数是6，那么MN的长为．
（2）点P在射线AB上运动（不与点A，B重合）的过程中，MN的长是否发生改变？若不改变，请写出求MN的长的过程；若改变，请说明理由．
12．已知点C在线段AB上，且AC＝6，BC＝4，M，N分别是AC，BC的中点．
（1）求线段MN的长度；
（2）如果AC＝a，BC＝b，其他条件不变，你能猜出MN的长度吗？
（3）如果我们这样叙述它：“已知点C与线段AB在同一直线上，线段AC＝6，BC＝4，M，N分别是AC，BC的中点，求MN的长度．”结果会有变化吗？如果有，求出结果．
13．如图，C是线段AB上一点，AB＝20cm，BC＝8cm，点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A．已知P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运功．设点P运动时间为xs．
（1）AC＝cm；
（2）当x＝s时，P、Q重合；
（3）是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．
14．有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，A、B两点之间的距离是90米．甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发到终点C，乙机器人始终以50米/分的速度行走，乙行走9分钟到达C点．设两机器人出发时间为t（分钟），当t＝3分钟时，甲追上乙．前4分钟甲机器人的速度保持不变，在4≤t≤6分钟时，甲的速度变为另一数值，且甲、乙两机器人之间的距离保持不变．
请解答下面问题：
（1）B、C两点之间的距离是米．在4≤t≤6分钟时，甲机器人的速度为米/分．
（2）求甲机器人前3分钟的速度为多少米/分？
（3）求两机器人前6分钟内出发多长时间相距28米？
（4）若6分钟后，甲机器人的速度又恢复为原来出发时的速度，直接写出当t＞6时，甲、乙两机器人之间的距离S．（用含t的代数式表示）
15．如图，点C在线段AB上，AC＝8cm，CB＝6cm，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）求线段MN的长；
（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB＝a cm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由；
（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝b cm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN 的长度吗？并说明理由；
16．（1）观察思考：如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；
（2）模型构建：如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；
（3）拓展应用：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握多少次手？
请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．
17．如图，点B、C是线段AD上的两点，点M和点N分别在线段AB和线段CD上．（1）当AD＝8，MN＝6，AM＝BM，CN＝DN时，BC＝；
（2）若AD＝a，MN＝b
①当AM＝2BM，DN＝2CN时，求BC的长度（用含a和b的代数式表示）
②当AM＝nBM，DN＝nCN（n是正整数）时，直接写出BC＝．（用含a、b、n的代数式表示）
18．如图所示．
（1）若线段AB＝4cm，点C在线段AB上（如图①），点M、N分别是线段AC、BC的中点，求线段MN长．
（2）若线段AB＝acm，点C在线段AB的延长线上（如图②），点M、N分别是线段AC、BC的中点，你能猜想出MN的长度吗？请写出你的结论，并说明理由．
19．如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是﹣2，已知点A，B是数轴上的点，请参照如图回答下列问题：
（1）如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度到达点B，那么终点B表示的数是，A、B两点间的距离是．
（2）如果点A表示数3，将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度到达点B，那么终点B表示的数是；A、B两点间的距离为．
（3）一般地，如果A点表示的数为a，将A点向右移动x个单位长度，再向左移动y个单位长度到达点B，请你求出终点B表示什么数？A、B两点间的距离为多少？
20．已知多项式﹣2x2y﹣a+3xy2﹣4y+5次数是4，项数是b，数轴上A、B两点所对应的数分别是a和b．（1）填空：a＝，b＝，并在数轴上标出A、B两点的位置．
（2）数轴上是否存在点C，C点在A点的右侧，且点C到A点的距离是点C到B点的距离的2倍？若存在，请求出点C表示的数；若不存在，请说明理由．
（3）点D以每秒2个单位的速度从A点出发向左运动，同时点E以3个单位每秒的速度从B点出发向右运动，点F以每秒4个单位的速度从O点出发向左运动．若P为DE的中点，DE＝16，求PF的长．
21．如图，M是定长线段AB上一个定点，点C在线段AM上，点D在线段BM上．点C、点D分别从点M、点B出发，分别以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA左运动，运动方向如箭头所示．
（1）若AB＝20cm，当点C、D运动了2s时，求AC+MD的长度；
（2）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，若AM＝ncm，求AB的长；
（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且MN+BN＝AN，求的值．
22．如图，C是线段AB上一点，AB＝16cm，BC＝6cm．
（1）AC＝cm；
（2）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B；点Q以1cm/s 的速度沿BA向左运动，终点为A．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．求运动多少秒时，C、P、Q三点，有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？
23．如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为﹣10和20，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，点Q同时从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，设运动时间为t秒．
（1）分别求当t＝2及t＝12时，对应的线段PQ的长度；
（2）当PQ＝5时，求所有符合条件的t的值，并求出此时点Q所对应的数；
（3）若点P一直沿数轴的正方向运动，点Q运动到点B时，立即改变运动方向，沿数轴的负方向运动，到达点A时，随即停止运动，在点Q的整个运动过程中，是否存在合适的t值，使得PQ＝8？若存在，求出所有符合条件的t值，若不存在，请说明理由．
24．已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数﹣24，﹣10，8，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：P A＝，PC＝；
（2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能否为2个单位？
如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由
25．如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是﹣2，已知点A，B是数轴上的点，请参照下图并思考，完成下列各题．
（1）如果点A表示数3，将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是，A，B两点间的距离为
（2）如果点A表示数﹣4，将A点向右移动68个单位长度，再向左移动156个单位长度，那么终点B 表示的数是，A，B两点间的距离是．
（3）一般地，如果A点表示数为m，将A点向右移动n个单位长度，再向左移动P个单位长度，那么，请你猜想终点B表示什么数？A，B两点间的距离为多少？
26．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB＝22，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数是；点P表示的数是（用含t的代数式表示）
（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？
（3）若M为AP的中点，N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．
27．在数轴上点A表示的数是8，B是数轴上一点，且AB＝12，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）①写出数轴上点B表示的数，②写出点P表示的数（用含t的代数式表示）
（2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速前进，若点P，Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？
（3）在（2）的情况下，若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请画出图形，并求出线段MN的长．．
28．如图，点A、B和线段CD都在数轴上，点A、C、D、B起始位置所表示的数分别为﹣2、0、3、12；
线段CD沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为t秒．
（1）当t＝0秒时，AC的长为，当t＝2秒时，AC的长为．
（2）用含有t的代数式表示AC的长为．
（3）当t＝秒时AC﹣BD＝5，当t＝秒时AC+BD＝15．
（4）若点A与线段CD同时出发沿数轴的正方向移动，点A的速度为每秒2个单位，在移动过程中，是否存在某一时刻使得AC＝2BD，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
29．如图，数轴上的点O和A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点，沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（0≤t≤10）．
（1）线段BA的长度为；
（2）当t＝3时，点P所表示的数是；
（3）求动点P所表示的数（用含t的代数式表示）；
（4）在运动过程中，若OP中点为Q，则QB的长度是否发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请直接用含t的代数式QB的长度．
30．（1）观察思考
如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；
（2）模型构建
如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；
（3）拓展应用
8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），那么一共要进行多少场比赛？
请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．
31．在射线OM上有三点A，B，C，满足OA＝15cm，AB＝30cm，BC＝10cm，点P从点O出发，沿OM 方向以1cm/s的速度匀速运动；点Q从点C出发，沿线段CO匀速向点O运动（点Q运动到点O时停止运动）．如果两点同时出发，请你回答下列问题：
（1）已知点P和点Q重合时P A＝AB，求OP的长度；
（2）在（1）题的条件下，求点Q的运动速度．
32．如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣2和8．
（1）求线段AB的长；
（2）已知点P为数轴上点A左侧的一点，且M为P A的中点，N为PB的中点．
请你画出图形，观察MN的长度是否发生改变？若不变，求出线段MN的长；若改变，请说明理由．
33．如图，已知数轴上的点A对应的数为6，B是数轴上的一点，且AB＝10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）数轴上点B对应的数是，点P对应的数是（用t的式子表示）；
（2）动点Q从点B与点P同时出发，以每秒4个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，试问：运动多少时间点P可以追上点Q？
（3）M是AP的中点，N是PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若有变化，说明理由；若没有变化，请你画出图形，并求出MN的长．
34．如图，射线OM上有三点A、B、C，满足OA＝20 cm，AB＝60 cm，BC＝10 cm，点P从点O出发，沿OM方向以1 cm/秒的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O 时停止运动），两点同时出发．
（1）当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F，＝．
（2）若点Q运动速度为3 cm/秒，经过秒P、Q两点相距70 cm．
35．如图，先在数轴上画出表示点A的相反数的点B，再把点A向右移动10个单位，得到点
C．
（1）点B表示的数为；点C表示的数为；B、C两点之间的距离为个单位长度；
（2）动点P从点B出发，以2个单位/秒的速度向右运动，动点Q从C点出发，以3个单位/秒的速度向左运动，若点P、Q相遇在点D，求点D对应的数．
（3）动点P从点B出发，以2个单位/秒的速度向左运动，动点Q从C点出发，以3个单位/秒的速度向左运动，若点Q在点E处追上点P，则求点E对应的数．
36．阅读下列材料：点A、点B在数轴上分别表示两个有理数，A、B两点之间的距离表示为AB．（1）当点A在原点时，若点B表示的数为5时，则AB＝|5﹣0|＝5；若点B表示的数为﹣5时，则AB ＝|﹣5﹣0|＝|﹣5|＝5；若点B表示的数为a时，则AB＝|a﹣0|＝|a|，当a＞0，AB＝a，当a＝0，AB＝0，当a＜0，AB＝﹣a
（2）当A、B都不在原点时，A表示的数为a，B表示的数为b，则AB＝|a﹣b|，当a﹣b＞0时，AB＝|a ﹣b|＝a﹣b；当a﹣b＝0时，AB＝|a﹣b|＝0；当a﹣b＜0时，AB＝|a﹣b|＝﹣（a﹣b）．
根据上述材料，回答下列问题：
有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示：
（1）化简|a|＝|c|＝
|a+b|＝|a﹣b|＝
（2）若点C表示的数为x，当|x+1|+|x﹣2|取得的值最小时，x的取值范围？
37．大家知道|5|＝|5﹣0|，它在数轴上的意义是表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6﹣3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：|AB|＝|a﹣b|．根据以上信息，回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是；数轴上表示﹣3和15的两点之间的距离是；
（2）点A、B在数轴上分别表示数x和﹣1．
①用代数式表示A、B两点之间的距离；
②如果|AB|＝2，求x值．
38．如图，有两段线段AB＝2（单位长度），CD＝1（单位长度）在数轴上运动．点A在数轴上表示的数是﹣12，点D在数轴上表示的数是15
（1）点B在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是，线段BC＝
（2）若线段AB以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，若BC＝6（单位长度），求t的值
（3）若线段AB以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度也向左运动．设运动时间为t秒，当0＜t＜24时，设M为AC中点，N为BD中点，则线段MN的长为．
39．如图，点C在线段AB上，AC＝12厘米，CB＝8厘米，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）求线段MN的长；
（2）若C为线段AB上任一点，满足AB＝a厘米，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？用一句简洁的语言表述你发现的规律；
（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AB＝b厘米，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
40．如图，A，B两点在数轴上，点A表示的数为﹣10，OB＝4OA，点M以每秒2个单位长度的速度从点A 开始向左运动，点N以每秒3个单位长度的速度从点B开始向左运动（点M和点N同时出发）（1）数轴上点B对应的数是线段AB的中点C对应的数是
（2）经过几秒，点M，点N到原点的距离相等
（3）当M运动到什么位置时，点M与点N相距20个单位长度？
七年级—线段的动点问题参考答案与试题解析
一．解答题（共40小题）
1．已知数轴上有A，B，C，D，E，F六个点，点C在原点位置，点B表示的数为﹣4，下表中A﹣B，B﹣C，D﹣C，E﹣D，F﹣E的含义为前一个点所表示的数与后一个点所表示的数的差，比如B﹣C为﹣4﹣0＝﹣4．
A﹣B B﹣C D﹣C E﹣D F﹣E
10﹣4﹣1x2
（1）在数轴上表示出A，D两点；
（2）当点A与点F的距离为3时，求x的值；
（3）当点M以每秒1个单位长度的速度从点B出发向左运动时，同时点N从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向点C运动，到达点C后立即以同样的速度反方向运动，那么出发1或4秒钟时，点D到点M，点N的距离相等（直接写出答案）．
【解】（1）如图所示，∵点B表示的数为﹣4，点C在原点位置∴A：6，D：﹣1；
（2）①当点F在点A左侧时，则点F表示的数为6﹣3＝3，点E表示的数为3﹣2＝1，
∴x＝1﹣（﹣1）＝2；
②当点F在点A右侧时，则点F表示的数为6+3＝9，点E表示的数为9﹣2＝7，
∴x＝7﹣（﹣1）＝8；
（3）设出发x秒后，点D到点M，点N的距离相等，由题意得：﹣1﹣（﹣4﹣x）＝6﹣3x﹣（﹣1）或﹣1﹣（﹣4﹣x）＝3x﹣6﹣（﹣1）解得：x＝1或x＝4故答案为：1或4．
2．如图，在数轴上点A表示的数是﹣3，点B在点A的右侧，且到点A的距离是18；点C在点A与点B 之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍．
（1）点B表示的数是15；点C表示的数是3；
（2）若点P从点A出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，
沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，在运动过程中，当t为何值时，点P与点Q之间的距离为6？
（3）在（2）的条件下，若点P与点C之间的距离表示为PC，点Q与点B之间的距离表示为QB，在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC+QB＝4？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由．
【解】（1）点B表示的数是﹣3+18＝15；点C表示的数是﹣3+18×＝3．故答案为：15，3；
（2）点P与点Q相遇前，4t+2t＝18﹣6，解得t＝2；点P与点Q相遇后，4t+2t＝18+6，解得t＝4；
（3）假设存在，当点P在点C左侧时，PC＝6﹣4t，QB＝2t，
∵PC+QB＝4，∴6﹣4t+2t＝4，解得t＝1．此时点P表示的数是1；当点P在点C右侧时，PC＝4t﹣6，QB＝2t，∵PC+QB＝4，∴4t﹣6+2t＝4，解得t＝．此时点P表示的数是．
综上所述，在运动过程中存在PC+QB＝4，此时点P表示的数为1或．
3．定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点C在线段AB上，且AC：CB＝1：2，则点C是线段AB的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个．（1）已知：如图2，DE＝15cm，点P是DE的三等分点，求DP的长．
（2）已知，线段AB＝15cm，如图3，点P从点A出发以每秒1cm的速度在射线AB上向点B方向运动；
点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒2cm，设运动时间为t秒．
①若点P点Q同时出发，且当点P与点Q重合时，求t的值．
②若点P点Q同时出发，且当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值．
【解】（1）当DP＝2PE时，DP＝DE＝10cm；当2DP＝PE时，DP＝DE＝5cm．综上所述：DP的长为5cm或10cm．
（2）①根据题意得：（1+2）t＝15，解得：t＝5．答：当t＝5秒时，点P与点Q重合．
②（I）点P、Q重合前：当2AP＝PQ时，有t+2t+2t＝15，解得：t＝3；
当AP＝2PQ时，有t+t+2t＝15，解得：t＝；
（II）点P、Q重合后，当AP＝2PQ时，有t＝2（t﹣5），解得：t＝10；
当2AP＝PQ时，有2t＝（t﹣5），解得：t＝﹣5（不合题意，舍去）．
综上所述：当t＝3秒、秒或10秒时，点P是线段AQ的三等分点．
4．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．
（1）求线段MN的长度；
（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC＝a，其他条件不变，求MN的长度；
（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s 的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？
【解】（1）∵线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM＝AC＝5厘米，CN＝BC＝3厘米，∴MN＝CM+CN＝8厘米；
（2）∵点M，N分别是AC，BC的中点，∴CM＝AC，CN＝BC，∴MN＝CM+CN＝AC+BC＝a；
（3）①当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点，得10﹣2t＝6﹣t，解得t＝4；
②当5＜t≤时，P为线段CQ的中点，2t﹣10＝16﹣3t，解得t＝；
③当＜t≤6时，Q为线段PC的中点，6﹣t＝3t﹣16，解得t＝；
④当6＜t≤8时，C为线段PQ的中点，2t﹣10＝t﹣6，解得t＝4（舍），综上所述：t＝4或或．5．【新知理解】
如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．
（1）线段的中点是这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）．
（2）若AB＝12cm，点C是线段AB的巧点，则AC＝4或6或8cm；
【解决问题】
（3）如图②，已知AB＝12cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点
B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s）．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？
说明理由
【解】（1）如图，当C是线段AB的中点，则AB＝2AC，
∴线段的中点是这条线段的“巧点”．故答案为：是；
（2）∵AB＝12cm，点C是线段AB的巧点，∴AC＝12×＝4cm或AC＝12×＝6cm或AC＝12×＝8cm；故答案为：4或6或8；
（3）t秒后，AP＝2t，AQ＝12﹣t（0≤t≤6①由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除．
②当P为A、Q的巧点时，Ⅰ．AP＝AQ，即，解得s；
Ⅱ．AP＝AQ，即，解得s；Ⅲ．AP＝AQ，即，解得t＝3s；
③当Q为A、P的巧点时，Ⅰ．AQ＝AP，即，解得s（舍去）；
Ⅱ．AQ＝AP，即，解得t＝6s；Ⅲ．AQ＝AP，即，解得s．6．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
【综合运用】（1）填空：
①A、B两点间的距离AB＝10，线段AB的中点表示的数为3；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为﹣2+3t；点Q表示的数为8﹣2t．
（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
（3）求当t为何值时，PQ＝AB；。