高一数学第一学期期末学科竞赛

高一数学第一学期期末学科竞赛
高一数学第一学期期末学科竞赛
试题
(本试卷满分150分,用时120分钟)
一.选择题(本题共6个小题,每小题5分满分30分)
1.若关于_的方程有负数根,则实数a的取值范围为
( )
A. B.
C. D.
2.已知的小数部分为a,则的小数部分为
( )
A.的小数部分
B.的小数部分
C.的小数部分
D.以上都不正确
3.过空间一定点P的直线中,与长方体ABCD一A1B1C1D1的12条棱所在直线成等角的直
线共有
( )
A.0条
B.1条
C.4条
D.无数多条
4.已知集合是集合的子集,且对任意,都有,则集合中的元素最多有
( )
A.67个
B.68个
C.69个
D.70个
5.已知P 为直线y = _ + 1 上的一点,M.N 分别为圆C1: ( _ -
4) 2 + ( y - 1) 2 = 4 与圆C2 : _2
+ ( y - 2) 2 = 1 上的点. 则 PM - PN 的最大值为
( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
6.在边长为12的正三角形中有n个点,用一个半径为的圆形硬币总可以盖住其中的2
个点,则n的最小值是
( )
A.17
B.16
C.11
D.10
二.填空题(本题共8个小题,每小题5分,满分40分)
7.已知函数,设,,,其中0_lt;c_lt;b_lt;a_lt;1,那
么_.y.z的大小顺序为_________.
8.已知实数_.y满足,则_____．
9.用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架,铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为,能包容此框架的最小球的半径为,则等于
10.若关于_的方程有正数解,则实数a的取值范围为__________.
11.已知集合A={(_,y) _2+y2-2_cosa+2(1+sina)(1-y)=0,a∈R},B={(_,y)
y=k_+3,k∈R}．若A∩B为单元素集,则k=______.
12.对于实数_,当且仅当n≤_＜n＋1(n∈N＋)时,规定[_]＝n,则不等式
的解集为.
13.在△ABC中,AB＝,AC＝,BC＝,有一个点D使得AD平分BC并且
∠ADB是直角,比值能写成的形式,这里m,n是互质的正整数,则m＋n＝.
14.对任意实数_.y．定义运算__y 为:__y=a_+by+c_y 其中a.b.c 为常数,等式右端运算是通常的实数的加法和乘法．现已知1_2=3,2_3=4,并且有一个非零实数d,使得对于任意实数_,都有__d=_,则d=____________．
三.解答题(本题共4小题,每小题20分,满分8 0分,解答应写出文字说明,演算步
骤
或证明过程)
15.设a＞0,函数 f : (0,＋∞) → R满足f(a)＝1．如果对任意正实数_,y 有, ①
求证: f(_)为常数．
16.如图,四边形内接于圆,是的中点,,,,是线段和的交点,求证:.
17.已知.是关于的二次方程的两个根,且,若函数．
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)对任意的正数.,求证:．
18.8个人参加一次聚会.
(1)如果其中任何5个人中都有3个人两两认识. 求证:可以从中找出4个人两两认识;
(2)试问, 如果其中任何6个人中都有3个人两两认识, 那么是否一定可以找出4个人两两认识?
参考答案:
一.选择题(本题共6个小题,每小题6分满分36分)
1.若关于_的方程有负数根,则实数a的取值范围为( D )
A. B. C. D.
2.已知的小数部分为a,则的小数部分为
A.的小数部分
B.的小数部分
C.的小数部分
D.以上都不正确
3.过空间一定点P的直线中,与长方体ABCD一A1B1C1D1的12条棱所在直线成等角的直
线共有(C )
(A)0条(B)1条(C)4条(D)无数多条
4.已知集合是集合的子集,且对任意,都有,则集合中的元素最多有( )
(A)67个(B)68个(C)69个(D)70个
5.已知P 为直线y = _ + 1 上的一点,M.N 分别为圆C1: ( _ -
4) 2 + ( y - 1) 2 = 4 与圆C2 : _2
+ ( y - 2) 2 = 1 上的点. 则 PM - PN 的最大值为
( C )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
5.设O是正三棱锥P-ABC底面是三角形ABC的中心,过O的动平面与PC交于S,与PA.PB的延长线分别交于Q.R,则和式( )
A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值
C．既有最大值又有最小值,两者不等D．是一个与面QPS无关的常数
5.设正三棱锥P-ABC中,各侧棱两两夹角为α,PC与面PAB所成角为β,则
vS-PQR=S△PQR·h=PQ·PRsinα)·PS·sinβ.另一方面,记O到各面的距离为d,则
vS-PQR=vO-PQR+vO-PRS+vO-PQS,S△PQR·d=△PRS·d+S△PRS·d+△PQS·d=PQ·PRsinα+PS·PRsinα+PQ·PS·sinα,故
有:PQ·PR·PS·sinβ=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS),即=常数.故选D.
6.在边长为12的正三角形中有n个点,用一个半径为的圆形硬币总可以盖住其中的2个点,则n的最小值是[ ]
A.17
B.16
C.11
D.10
解:如图(1),作一个分割,在每个交叉点上置一个点,这时任意两点间距离不小于4,4_gt;2(硬币直径),故这时硬币不能盖住其中的两个点,说明n=10是不够的.
如图(2),另作一个分割,得到16个全个等的边长为3的正三角形,其中〝向上〞的三角形共有10个,它们的外接圆的半径正好是.
借助图(3)可以证明:只要图(2)中的10个〝向上〞的三角形都用硬币覆盖,则三角形ABC完全被覆盖,这时若在三角形ABC内置11个点,则必有一个硬币可以至少盖住其中的2个点.
故n的最小值是11,所以选(C).
二.填空题(本题共6个小题,每小题5分,满分30分)
7.已知函数,设,,,其中0_lt;c_lt;b_lt;a_lt;1,那
么_.y.z的大小顺序为____ __gt;y_gt;z _____.
8.已知实数_.y满足,则_____．
9.用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架,铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为,能包容此框架的最小球的半径为,则等于
10.若关于_的方程有正数解,则实数a的取值范围为__(－2,0]__.
11.已知集合A={(_,y) _2+y2-2_cosa+2(1+sina)(1-y)=0,a∈R},B={(_,y)
y=k_+3,k∈R}．若A∩B为单元素集,则k=______.
12.对于实数_,当且仅当n≤_＜n＋1(n∈N＋)时,规定[_]＝n,则不等式
的解集为
12.解得,故所以
13.在△ABC中,AB＝,AC＝,BC＝,有一个点D使得AD平分BC并且∠ADB是直角,比值能写成的形式,这里m,n是互质的正整数,则
m＋n＝
13.设BC中点为E,AD＝,由中线公式得AE＝
故,
＝所以m＋n＝27＋38＝65
14.对任意实数_.y．定义运算__y 为:__y=a_+by+c_y 其中a.b.c 为常数,等式右端运算是通常的实数的加法和乘法．现已知1_2=3,2_3=4,并且有一个非零实数d,使得对于任意实数_,都有__d=_,则d=____________．
【题说】1985 年全国联赛一试题 2(4)．原题为填空题．
【解】由所设条件,有
1_2=a+2b+2c=3(1)
2_3=2a+3b+6c=4(2)
__d=a_+bd+c_d=(a+cd)_+bd=_(3)
由(3)得
a+cd=1(4)
bd=0(5)
因d≠0,故由(5)式得b=0．再解方程(1)及(2),得a=5,c=-1,最
后由(4)式得d=4．
三.解答题(本题共4小题,每小题20分,满分8 0分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)
15.设a＞0,函数 f : (0,＋∞) → R满足f(a)＝1．如果对任意正实数_,y 有
, ①
求证: f(_)为常数．
(朱华伟提供)
证:
在①中令_＝y＝1,得
f2(1)＋f2(a)＝2 f(1),
(f(1)－1)2＝0, ∴f(1)＝1.
在①中令y＝1,得
f(_)f(1)＋f()f(a)＝2 f(_),
f(_)＝f(),_＞0.
②
在①中取y＝,得
f(_)f()＋f()f(_)＝2 f(a),
f(_)f()＝1. ③
由②,③得:f2(_)＝1,_＞0.
在①中取_＝y＝,得
f2()＋f2()＝2 f(t),
∴
f(t)＞0.
故f(_)＝1,_＞0.
14.(20分)如图,四边形内接于圆,是的中点,,,,是线段和的交点,求证:.
证:作⊥,⊥(为垂足)
则.设PG∩＝k,因共圆,.
故∥⊥是的中点.(因△为等腰三角形),为平行四边形,(因P.E.K.F为四边形各边中点)..(对角线互相平分).
17.已知.是关于的二次方程的两个根,且,若函数．
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)对任意的正数.,求证:．
(13)【解】(Ⅰ)由书籍,根据韦达容不得有,
,
,
∴………………………………………5分
(Ⅱ)已知函数,∴
而且对,,于是,
∴函数在上是增函数……………………………………………10分注意到对于任意的正数.
,
即,同理．………………………15分
∴,,
．
于是,
∴．
而,
∴．……………………………………20分
16.8个人参加一次聚会.
(1)如果其中任何5个人中都有3个人两两认识. 求证:可以从中找出4个人两两认识;
(2)试问, 如果其中任何6个人中都有3个人两两认识, 那么是否一定可以找出4个人两两认识?
(苏淳提供)
解法1:
(1)
用8个点表示8个人,相识二人之间连一线段.按图论语言,这些点称为图的顶点,线段称为图的边.
按照题意,该图的每个5点子图中均有一个三角形,而每个三角形属于＝＝10个不同的5点子图.我们知道,这些三角形共有
3＝3_56＝168
条边,其中每条边至多被重复计算了10次.这样一来,即知:每个顶点至少连出
条边.所以存在一个顶点A,由它至少连出5条边.
假设由顶点A有边连向B,C,D,E,F这5个顶点,而由题意在这5个点中又存在一个三角形,不妨设为△BCD.于是A,B,C,D这4个点中的任何二点之间均有连线,所以它们所代表的4个人两两认识.
(2)
如果其中任何6个人中都有3个人两两彼此认识, 则不一定可以找出4人两两彼此认识, 例子为:
在正八边形中连出8条最短的对角线. 每个顶点代表一个人, 有线段相连的顶点表示相应二人相互认识. 不难验证: 其中任何6个人中都有3个人两两彼此认识, 但是却找不出4人两两彼此认识.
解法2:
(1)分情形讨论.
情形(i)如果存在3个人两两互不认识. 那么其余5个人必然两两都认识. 因若不然,
假如他们之中有二人互不认识, 则在他们与原来的3个人一起构成的5人组中就找不出3个人两两认识, 导致矛盾.
所以此时题中结论成立.
情形(ii)在剩下的情形中, 任何3人中,
都有某两个人相互认识.
(a)如果8个人中有1个人A至多认识3个人, 那么他至少不认识4个人. 显然这4个人中的任何二人都彼此认识. 因若不然,
这两个人与A一起构成的3人组中就没有二人互相认识, 导致矛盾.
所以此时题中结论成立.
(b)如果存在1个人A至少认识5个人.
那么这5个人中有3个人两两彼此认识, 他们又都认识A, 所以他们与A一起即为所求之4人.
情形(iii)只需再考虑每个人都恰好有4个熟人,
并且任何3人中都有两人相互认识的情形.
任取其中一人A. 假如A的4个熟人两两认识, 那么他们即为所求. 否则,
其中就有B,C二人互不认识. 易知, 此时A有3个不认识的人F,G.,H, 而这3个人中的任何两人都与A构成3人组,
所以F,G.,H中的任何两人都相互认识. 如果B,C之一与F,G.,H中的每个人都彼此认识,那么此人与F,G.,H一起构成所求的4人组.
否则, B,C二人分别不认识F,G.,H中的一个人.
易知, B和C不可能不认识他们中的同一个人, 否则该人与B,C所成的3人组中任何二人均互不认识, 导致矛盾. 这就表明,
B和C分别不认识F,G.,H中的两个不同的人, 不妨设B不认识F, 而C不认识G. 现在把B,F,A,G,C依次排在一个圆周上, 于是任何两个相邻放置的人都互不认识. 然而他们中的任何三个人中都一定有在圆周上相邻的两个人, 从而在他们之中找不到3个人两两认识, 导致矛盾,
所以这种情况不可能存在.
综合上述, 在一切可能的情况下, 都能找出4个人两两都彼此认识.
(2)
如果其中任何6个人中都有3个人两两彼此认识, 则不一定可以找出4人两两彼此认识, 例子为:
在正八边形中连出8条最短的对角线. 每个顶点代表一个人, 有线段相连的顶点表示相应二人相互认识. 不难验证: 其中任何6个人中都有3个人两两彼此认识, 但是却找不出4人两两彼此认识.。