高三年级第二次调研考试(5月)数学(理)

高三年级第二次调研考试
数学（理科）
本试卷分选择题和非选择题（含选做题）两部分：共6页：满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：
1． 答卷前：考生首先检查答题卡是否整洁无缺损：监考教师分发的重重信息条形码是
否正确：之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号：同时：将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区：请保持条形码整洁、不污损。

2． 选择题每小题选出答案后：用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改
动：用橡皮擦干净后：再选涂其它答案：答案不能答在试卷上。

不按要求填涂的：答案无效。

3． 百选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答：答案必须写在答题卡各题目指定
区域内相应位置上：请注意每题答题空间：预先合理安排：如需改动先划掉原来的答案：然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4． 考生必须保持答题卡的整洁：考试结束后：答题卡与试卷一并交回。

参考公式：
如果说事件A 、B 互斥：那么)()()(B P A P B A P +=+;
如果C 为椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的半焦距,则该椭圆的准线方程为c a x 2
±=.
第一部分 选择题（共40分）
一、选择题：本大题共8小题：每小题5分：共4分．在每小题给出的四个选项
中：有且只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合的个数是的集合则满足N N M M }1,0,1{},0,1{-=-= A 2 B 3 C 4 D 8 2．已知的值为则且为虚数单位y
x i i y i x i R y x +++-=--∈)
1(,1)2(,,,
A 4
B —4
C i 44+
D i 2
A c b a <<
B a c b <<
C c a b <<
D c b c << 4．在△ABC 中：a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边：且2
2
2
3a bc c b =++：则∠A 等于
A 60°
B 30°
C 120°
D 150°
5．已知命题p ："0],2,1["2
≥-∈∀a x x ：命题q ： "022,"2=-++∈∃a ax x R x 。

若命
题""q p 且是真命题：则实数a 的取值范围为
A 12=-≤a a 或
B 212≤≤-≤a a 或
C 1≥a
D 12≤≤-a
6．已知}10,10|),{(≤≤≤≤=Ωy x y x ：A 是由直线3
0,1x y y x ===和曲线围成的曲
边三角形的平面区域：若向区域Ω上随机投一点P ：则P 落在区域A 内的概率为 A
32 了 B 31 C 43 D 4
1 7．在教材中：我们学过“经过点),,(),,,(000C B A e z y x P =法向量为的平面的方程是：
0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A ”。

现在我们给出平面α的方程是
1=+-z y x ：平面β的方程是
16
36=--z
y x ：则由这两平面所成的锐二面角的余弦值是 A
32 B 33 C 93 D 3
2
2
8．已知函数)(x f 的定义域为[—2：)∞+：部分对应值
如下表。

)('x f 为)(x f 的导函数：函数)('
x f y =的图象如
下图所
示。

若两正数3
3
,1)2(,++<+a b b a f b a 则
满足的取值范围是 A )34,76( B )37,53( C )56,32( D )3,3
1(-
第二部分 非选择题（共100分）
x —2
0 4 )(x f
1
—1
1
二、填空题：本大题共7小题：分必做题和选做题：每小题5分：共
30分：必做题：第9、10、11、12题为必做题。

9．已知数列{n a }是公差不为0的等差数列：n S 为数列{n a }的前n 项和：
==+3
2
531,S S a a a 则
______________. 10．设二项式n
x
x )3(+
展开式各项的系数和为P ：二项式系数之和为S ：P+S=72：则正整数=n ：展开式中常数项的值为 。

11．阅读下面的程序框图：输出的结果为
12．已知抛物线x y 42
=与直线42-=x y 交于A 、B 两点：如果在该抛物线上存在点C ：
使得==+λλ则实数为坐标原点),(O OC OB OA 。

▲ 选做题：从第13、14、15三道题中选做两题：三题都答的只计算前两题的得分。

13．如图：⊙M 和⊙O 交于A 、B 两点：点M 在⊙O 上：⊙O 的弦MC 分别与弦AB 、⊙M 交于D 、E 两点：若,3,1==DC MD 则⊙M 的半径为。

14．若直线)22,(sin cos π
θπθθ
θ≤≤-⎩⎨
⎧==+=且为参数与曲线y x b x y 有两个不同的交点：则
实数b 的取值范围是 。

15．关于x 的不等式,2|||2|上恒成立在R a x x ≥-+-则实数a 的最大值是 。

三、解答题：本大题6个小题：共80分：解答应写出文字说明：证明过程或演
算步骤。

16．（本小题满分12分）
已知)cos 2,sin (cos ),sin ,sin (cos x x x b x x x a -=+=：设b a x f ⋅=)(。

（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期： （Ⅱ）当]4
,4[π
π-
∈x 时：求函数)(x f 的最大值及最小值。

17．（本小题满分12分）
有编号为n n 的,,3,2,1 个学生：入坐编号为n n 的,,3,2,1 个座位。

每个学生规定坐一个座位：设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ：已知2=ξ时：共有6种坐法。

（Ⅰ）求n 的值：
（Ⅱ）求随机变量ξ的概率分布列和数学期望。

如图：正方形ACDE 所在的平面与平面ABC 垂直：M 是AD CE 和的交点：BC AC ⊥：且BC AC =。

（Ⅰ）求证：EBC AM 平面⊥：
（Ⅱ）求直线AB 与平面EBC 所成角的大小： （Ⅲ）求二面角C EB A --的大小不。

19．（本小题满分14分）
设)(x f 是定义在[—1：1]上的奇函数：且当01<≤-x 时：2
352)(ax x x f +=
b x a ++24
（Ⅰ）若函数)(x f 的解析式：
（Ⅱ）当31≤<a 时：求函数)(x f 在（0：1]上的最大值)(a g ：
（Ⅲ）如果对满足31≤<a 的一切实数a ：函数)(x f 在（0：1]上恒有0)(≤x f ：求实数b 的取值范围。

已知椭圆C 的中心为原点：点F （1：0）是它的一个焦点：直线l 过点F 与椭圆C 交于点A 、B 两点：且当直线l 垂直于x 轴时： 6
5
=
⋅OB OA 。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程：
（Ⅱ）是否存在直线l ：使得在椭圆C 的右准线上可以找到一点P ：满足ABP ∆为正三角形。

如果存在：求出直线l 的方程：如果不存在：请说明理由。

21．（本小题满分14分）
已知数列}{n a 满足),2(2
)1(,41
111N n n a a a a n n n n ∈≥--==
--。

（Ⅰ）试判断数列⎭⎬⎫
-+⎩⎨
⎧n n
a )1(1是否为等比数列：并说明理由： （Ⅱ）设21
n
n a b =
：求数列}{n b 的前n S n 项和为： （Ⅲ）设2
)12(sin
π
-=n a c n n ：数列}{n c 的前n T n 项和为。

求证：对任意的,*N n ∈7
4<
n T 。

高三年级第二次调研考试
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考：如果考生的解法与本解答不同：可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时：如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度：可视影响的程度决定给分：但不得超过该部分正确解答应得分数的一半：如果后续部分的解答有较严重的错误：就不再给分．
三、解答右端所注分数：表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数：选择题和填空题不给中间分数． 一、选择题：本大题每小题5分：满分40分．
算前两题的得分．每小题5分(第10题前空2分：后空3分)：满分30分． 9．
95． 10．3：9． 11．6． 12．5
1． 13．2． 14．]1,2(--． 15．
3
2
． 三．解答题：本大题6小题：共80分．解答应写出文字说明：证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知)cos 2,sin (cos ),sin ,sin (cos x x x b x x x a -=+=：设
b a x f ⋅=)(．
（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期： （Ⅱ）当4
[π
-
∈x ：
]4
π
时：求函数)(x f 的最大值及最小值．
解：（Ⅰ） b a x f ⋅=)( = x x x x x x cos 2sin )sin (cos )sin (cos ⋅+-⋅+ ……2分
= x x x x cos sin 2sin cos 2
2
+-= x x 2sin 2cos + …………………3分
=
)2sin 222cos 22(
2x x +=)4
2sin(2π
+x ． ………………5分 ∴)(x f 的最小正周期π=T ． ………………………………6分 （Ⅱ）∵ ≤
≤-
x 4π
4π
： ∴43424πππ≤+≤-x ．
2ππ=+x x π
)(x f 2
当4
4
2π
π
-
=+
x ：即x =4
π
-
时：)(x f 有最小值1- ． ……………12分 17．（本小题满分12分）有编号为n ,,3,2,1 的n 个学生：入坐编号为n ,,3,2,1 的n 个座位．每个学生规定坐一个座位：设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ：已知2=ξ时：共有6种坐法． （Ⅰ）求n 的值;
（Ⅱ）求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．
解：（Ⅰ） 当2=ξ时：有2
n C 种坐法： ……………………………2分
62
=∴n C ：即
62
)
1(=-n n ： 0122=--n n ：4=n 或3-=n （舍去）．
4=∴n ． ………………………………4分
（Ⅱ）ξ 的可能取值是4,3,2,0：
又 ()241
1044===A P ξ： ()41246124
4
2
4==⨯==A C P ξ： ()31248234
4
34==⨯==A C P ξ：()83
2494===ξP ： ………………………………8分 ξ∴的概率分布列为：
…
…………………10分
则38
3
43134122410=⨯+⨯+⨯+⨯
=ξE ． ……………………12分 18．（本小题满分14分）
如图：正方形ACDE 所在的平面与平面ABC 垂直： M CE AD BC AC ⊥BC AC =
E
D
(Ⅱ)求直线AB 与平面EBC 所成的角的大小： (Ⅲ)求二面角C EB A --的大小．
解法一：(Ⅰ)∵四边形ACDE 是正方形：
EC AM AC EA ⊥⊥∴,． ………………………1分
∵平面⊥ACDE 平面ABC ：
又∵AC BC ⊥：
⊥∴BC 平面EAC ．……………………3分
⊂AM 平面EAC ：
⊥∴BC AM ． …………………………4分 ⊥∴AM 平面EBC ． ………………5分
(Ⅱ)连结BM ：
⊥AM 平面EBC ： ABM ∠∴是直线AB 与平面EBC 所成的角． ……………………………5分 设a BC AC EA 2===：则
a AM 2=：a AB 22=： ……………………………………………6分
2
1
sin ==
∠∴AB AM ABM ： ︒=∠∴30ABM ．
即直线AB 与平面EBC 所成的角为︒30． ……………………………………………8分 (Ⅲ)过A 作EB AH ⊥于H ：连结HM ． ……………………………………………9分 ⊥AM 平面EBC ： EB AM ⊥∴．
⊥∴EB 平面AHM ．
AHM ∠∴是二面角C EB A --的平面角． ……10分
∵平面⊥ACDE 平面ABC ：⊥∴EA 平面ABC ． ⊥∴EA AB ．
在EAB Rt ∆中： EB AH ⊥：有AH EB AB AE ⋅=⋅．
由(Ⅱ)所设a BC AC EA 2===可得
a AB 22=：a EB 32=：
3
22a
EB AB AE AH =
⋅=∴． ……………………………………………12分 2
3
sin ==
∠∴AH AM AHM ． ︒=∠∴60AHM ．
B
M
E D C A
H B
M
E D C
A
解法二: ∵四边形ACDE 是正方形 ：
EC AM AC EA ⊥⊥∴,：
∵平面⊥ACDE 平面ABC ：
⊥∴EA 平面ABC ： ……………………………………………2分 ∴可以以点A 为原点：以过A 点平行于BC 的直线为x 轴：分别以直线AC 和AE 为y 轴和
z 轴：建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -．
设2===BC AC EA ：则
),0,2,2(),0,0,0(B A )2,0,0(),0,2,0(E C ：
M 是正方形ACDE 的对角线的交点：
)1,1,0(M ∴．…………………………………4分
(Ⅰ)=AM )1,1,0(：)2,2,0()2,0,0()0,2,0(-=-=EC ：)0,0,2()0,2,0()0,2,2(=-=CB ：
0,0=⋅=⋅∴CB AM EC AM ： ………………………………………6分
CB AM EC AM ⊥⊥∴,
⊥∴AM 平面EBC ． ……………………………………………7分 (Ⅱ) ⊥AM 平面EBC ：
AM ∴为平面EBC 的一个法向量： ……………………………………………8分 )0,2,2(),1,1,0(==AB AM ：
2
1
==
∴AM
AB ． ……………………………………………9分
︒=60．
∴直线AB 与平面EBC 所成的角为︒30． ………………………………………10分 (Ⅲ) 设平面EAB 的法向量为),,(z y x n =：则AE n ⊥且AB n ⊥：
0=⋅∴AE n 且0=⋅AB n ．
⎩⎨
⎧=⋅=⋅∴.0),,()0,2,2(,0),,()2,0,0(z y x z y x 即⎩⎨⎧=+=.
0,
0y x z
又∵AM 为平面EBC 的一个法向量：且)1,1,0(=AM ：
21-==
∴AM
n ：
设二面角C EB A --的平面角为θ
：则2
1
cos cos =
=θ： ︒=∴60θ．
∴二面角C EB A --等于︒60． ……………………………………………14分
19．（本小题满分14分）
设
)(x f 是定义在
[]
1,1-上的奇函数：且当01<≤-x 时：
2352)(ax x x f +=b x a ++24．
(Ⅰ)求函数)(x f 的解析式：
(Ⅱ) 当31≤<a 时：求函数)(x f 在(]1,0上的最大值)(a g ：
(Ⅲ)如果对满足31≤<a 的一切实数a ：函数)(x f 在(]1,0上恒有0)(≤x f ：求实数b 的取值范围．
解: (Ⅰ)当10≤<x 时： 01<-≤-x ：则
=--=)()(x f x f b x a ax x -+-223452． ……………………………2分
当0=x 时： )0()0(--=f f 0)0(=∴f ． ……………………………3分
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤<-+-=<≤-+++=∴).10(,452),0( ,0),01(,452)(223223x b x a ax x x x b x a ax x x f …………………………4分
(Ⅱ)当10≤<x 时
224106)(a ax x x f +-='))(23(2a x a x --=))(3
2(6a x a
x --=． ………5分
(1)当13232<<a ：即2
3
1<<a 时 当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈32,
0a x 时：0)(>'x f ： 当⎥⎦
⎤
⎝⎛∈1,32a x 时：0)(<'x f ： )(x f ∴在⎪⎭
⎫ ⎝⎛32,0a 单调递增：在⎥⎦⎤
⎝⎛1,32a 上单调递减：
b a a f a g -==∴3
2728)32(
)(． ……………………………7分 (2)当2321≤≤a ：即32
3
≤≤a 时：0)(≥'x f ：
)(x f ∴在(]1,0单调递增．
b a a f a g -+-==∴254)1()(2： ……………………………9分
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤≤-+-<<-=∴).323(,254),2
31(,2728)(23a b a a a b a a g ……………………………10分
(Ⅲ) 要使函数)(x f 在(]1,0上恒有0)(≤x f ：必须使)(x f 在(]1,0上的最大值0)(≤a g ． 也即是对满足31≤<a 的实数a ：)(a g 的最大值要小于或等于0． ………………11分 （1）当23
1<
<a 时：0928)(2>='a a g ：此时)(a g 在)2
3,1(上是增函数： 则)(a g b -⎪⎭
⎫
⎝⎛<3
232728b -=27．
027≤-∴b ：解得27
≥b ． ………① ………………………………12分 （2）当32
3
≤≤a 时：058)(>-='a a g
此时：)(a g 在⎥⎦
⎤⎢⎣⎡3,2
3上是增函数： )(a g 的最大值是b g -=23)3(．
023≤-∴b ：解得23≥b ．………② ……………………………13分
由①、②得实数b 的取值范围是23≥b ． ……………………………14分
20．（本小题满分14分）
已知椭圆C 的中心为原点：点F )0,1(是它的一个焦点：直线l 过点F 与椭圆C 交于
B A ,两点：且当直线l 垂直于x 轴时：6
5
=
⋅OB OA ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程：
（Ⅱ）是否存在直线l ：使得在椭圆C 的右准线上可以找到一点P ：满足ABP ∆为正三角形．如果存在：求出直线l 的方程：如果不存在：请说明理由．
解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为：)0(12222>>=+b a b y a x ：则12
2=-b a ．……①……1分
当l 垂直于x 轴时：B A ,两点坐标分别是),1(2a b 和),1(2
a
b -：
24221),1(),1(a b a b a b OB OA -=-⋅=⋅∴：则65
124=-a
b ：即426b a =．………② …3分
由①：②消去a ：得0162
4
=--b b ．
212=
∴b 或312
-=b （舍去）． 当212=b 时：2
32
=a ．
因此：椭圆C 的方程为123
222
=+y x ． ……………………………5分 （Ⅱ）设存在满足条件的直线l ．
(1)当直线l 垂直于x 轴时：由（Ⅰ）的解答可知36
22==a b AB ：焦点F 到右准线的距离为2
1
2=-=
c c a
d ：此时不满足AB d 23=． 因此：当直线l 垂直于x 轴时不满足条件． ……………………………7分 （2）当直线l 不垂直于x 轴时：设直线l 的斜率为k ：则直线l 的方程为)1(-=x k y ．
由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=123
2),
1(2
2y x x k y ⇒03612)26(2
222=-+-+k x k x k ： 设B A ,两点的坐标分别为),(11y x 和),(22y x ：则
1362221+=+k k x x ：2
63
62
221+-=k k x x ． ]
4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=
)]2
63
6(4)136)[(1(222222
+--++=k k k k k 13)1(622++=
k k ． ……………………9分
又设AB 的中点为M ：则=+=221x x x M
1
332
2
+k k ． 当ABP ∆为正三角形时：直线MP 的斜率为k
k MP 1
-
=． 2
3=
P x ： )
13(2)
1(31)13323(11112
2222222++⋅+=+-⋅+=-+=∴k k k k k k k x x k MP M P ． …………………………11分
当ABP ∆为正三角形时：AB MP 23=：即)
13(2)1(312222++⋅+k k k k ＝13)1(62322++⋅k k ： 解得12
=k ：1±=k ． …………………………13分 因此：满足条件的直线l 存在：且直线l 的方程为01=--y x 或01=-+y x ．……14分
21．（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足41
1=
a ：()),2(2
111N n n a a a n n n n ∈≥--=--． （Ⅰ）试判断数列()⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧-+n n a 11是否为等比数列：并说明理由： （Ⅱ）设21
n
n a b =
：求数列{}n b 的前n 项和n S ： （Ⅲ）设2)12(sin π-=n a c n n ：数列{}n c 的前n 项和为n T ．求证：对任意的*
∈N n ：7
4<n T ． 解：（Ⅰ）12)1(1---=n n n a a
：])1(1)[2()1(111
---+-=-+∴n n n n a a ：……………3分 又3)1(11
=-+a ：∴数列()⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-+n n a 11是首项为3：公比为2-的等比数列．……5分 （Ⅱ）依（Ⅰ）的结论有1
)2(3)1(1--=-+n n n a ：即123)1(11+⋅-=--n n n a .………………6分 12649)123(1121+⋅+⋅=+⋅=---n n n n b ．
926432
1)
21(1641)41(19-+⋅+⋅=+--⋅⋅+--⋅⋅=n n S n n n n n ． ………………9分
（Ⅲ）1)1(2
)12(sin
--=-n n π
： 1
231
)1()2(3)1(1
11+⋅=----=∴---n n n n n c ． ……………………10分 当3≥n 时：则1
231
1231123113112+⋅+
++⋅++⋅++=
-n n T <2
12
2
112
1
1
321])(1[28112
312312317141--+=⋅+⋅+⋅++--n n 7
484488447612811])21(1[6128112=<=+<-+=
-n ． 321T T T << ： ∴对任意的*∈N n ：7
4
<n T ． ………………………14分。