2020届山东省德州市高三上学期期末数学试题(解析版)

2020届山东省德州市高三上学期期末数学试题
一、单选题
1．已知全集U =R ，{}2
|9A x x =<，{}|24B x x =-<<，则()
R A B I ð等于（ ）
A ．{}|32x x -<<-
B ．{}|34x x <<
C ．{}|23x x -<<
D ．{}|32x x -<≤-
【答案】D
【解析】解出集合A ，然后利用补集和交集的定义可求出集合()
R A B I ð. 【详解】
{}
{}2933A x x x x =<=-<<Q ，{}24B x x =-<<，则{2U B x x =≤-ð或
}4x ≥，
因此，(){}
32R A B x x ⋂=-<≤-ð. 故选：D. 【点睛】
本题考查交集与补集的混合运算，同时也考查了二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.
2．已知复数z 满足1z =-（其中i 为虚数单位），则
z
z
=（ ）
A ．12-
+ B ．12-
- C ．
12+ D ．
12 【答案】B
【解析】求出z ，结合共轭复数的概念可求出z
z
的值. 【详解】
1z =-+Q ，2z ∴=
=，因此，12z z ==-. 故选：B. 【点睛】
本题考查复数模的计算，同时也考查了共轭复数，考查计算能力，属于基础题.
3．“[]1,2x ∀∈，210ax +≤”为真命题的充分必要条件是（ ） A ．1a ≤- B ．14
a -
≤ C ．2a ≤- D ．0a ≤
【答案】A
【解析】利用参变量分离法得出21a x ≤-
，求出函数2
1
y x
=-在区间[]1,2上的最小值，即可得出实数a 的取值范围，即可得出答案. 【详解】
Q “[]1,2x ∀∈，210ax +≤”为真命题，2
1
a x ∴≤-
对任意的[]1,2x ∈恒成立， 由于函数21
y x
=-在区间[]1,2上单调递增，则min 1y =-，1a ∴≤-. 故选：A. 【点睛】
本题考查利用全称命题的真假求参数的取值范围，灵活利用参变量分离法求解是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.
4．已知向量a r ，b r 满足1a =r ，2b =r ，()()
313a b a b -⋅+=-r r r r ，则a r 与b r
的夹角为
（ ） A ．
6
π
B ．
3
π C ．
23
π D ．
56
π 【答案】C
【解析】设a r 与b r
的夹角为θ，将等式()()
313a b a b -⋅+=-r r r r 展开后可求出cos θ的值，
即可求出a r 与b r
的夹角. 【详解】
()()
2232313a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=-r r r r r r r r Q ，即21113a b ⋅-=-r r ，得1a b ⋅=-r r
，
则1cos 2a b a b θ⋅==-⋅r r r r ，0θπ≤≤Q ，23
πθ∴=
. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用平面向量的数量积计算平面向量的夹角，解题时要熟悉平面向量数量积的定义和运算律，考查计算能力，属于中等题. 5．已知1
232a
b -=⋅，()212
log 23c b x x -=++，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c b a >>
D ．a c b >>
【答案】A
【解析】由1232a b -=⋅结合指数运算律可得出a b >，由对数函数的单调性可得出c b <，由此可得出三个实数的大小关系. 【详解】
1232a b -=⋅Q ，1232a b -+∴=>，11a b ∴-+>，则a b >.
()2
223122x x x ++=++≥Q ，()
2112
2
log 23log 21c b x x ∴-=++≤=-，b c ∴>.
因此，a b c >>. 故选：A. 【点睛】
本题考查数的大小比较，涉及了指数的运算以及对数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.
6．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的概率是（ ） A ．
1
66
B ．
155
C ．
566
D ．
511
【答案】C
【解析】对甲分甲选牛或羊作礼物、甲选马作礼物，利用分步计数原理和分类计数原理计算出事件“三位同学都选取了满意的礼物”所包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】
若甲选牛或羊作礼物，则乙有3种选择，丙同学有10种选择，此时共有231060⨯⨯=种；
若甲选马作礼物，则乙有4种选择，丙同学有10种选择，此时共有141040⨯⨯=种.
因此，让三位同学选取的礼物都满意的概率为3
1260401005
132066
A +==. 故选：C. 【点睛】
本题考查古典概型概率的计算，同时也涉及了分类计数和分步计数原理的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
7．双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的右焦点为()
122,0F ，点A 的坐标为()0,1，
点P 为双曲线左支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3
C ．2
D ．22
【答案】D
【解析】作出图形，取该双曲线的左焦点F ，利用双曲线的定义得出12PF PF a =+，从而可得出1APF ∆的周长为1112AP AF PF AF AP PF a ++=+++，
利用A 、P 、F 三点共线时，1APF ∆的周长取得最小值，可求出a 的值，进而求出该双曲线的离心
率. 【详解】 如下图所示：
设该双曲线的左焦点为点F ，由双曲线的定义可得12PF PF a =+， 所以，1APF ∆的周长为
11123262AP AF PF AF AP PF a AF a a ++=+++≥++=+，
当且仅当A 、P 、F 三点共线时，1APF ∆的周长取得最小值，即628a +=，解得1a =. 因此，该双曲线的离心率为22
2e a
==故选：D. 【点睛】
本题考查双曲线离心率的计算，同时也涉及了与焦点相关的三角形周长最值的计算，利
用双曲线的定义转化是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 8．对于数列{}n a ，规定{}n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列，其中
()*1n n n a a a n +∆=-∈N ，对自然数()2k k ≥，规定{}k
n a ∆为数列{}n a 的k 阶差分数列，其中11
1k k k n n n a a a --+∆=∆-∆.若11a =，且()
2*12n n n n a a a n +∆-∆+=-∈N ，则
数列{}n a 的通项公式为（ ）
A ．21
2n n a n -=⨯
B ．1
2n n a n -=⨯
C ．()2
12n n a n -=+⨯
D ．()1
212
n n a n -=-⨯
【答案】B
【解析】根据题中定义结合等式()2*
12
n
n n n a a a n +∆-∆+=-∈N 可得出
122n n n a a +=+，等式两边同时除以12n +，可得出
111222n n n n a a ++=+，可知数列2n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是以12为首项，以12为公差的等差数列，求出数列2n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的通项公式，即可得出n a . 【详解】
根据题中定义可得()()2
*
1112
n n
n n n n n n a a a a a a n a +++∆-∆+=∆-∆-∆+=-∈N ，
即()1122n
n n n n n n n a a a a a a a ++-∆=--=-=-，即122n
n n a a +=+，
等式两边同时除以12n +，得111222n n n n a a ++=+，11
1222n n n n a a ++∴-=且11
22
a =， 所以，数列2n n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是以12为首项，以12为公差的等差数列，()1112222n n
a n n ∴=+-=， 因此，1
2n n a n -=⋅.
故选：B. 【点睛】
本题考查利用构造法求数列的通项公式，涉及数列的新定义以及等差数列的定义，考查运算求解能力，属于中等题.
9．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，有
()()1f x f x +=-，且当[)
0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，下列命题正确的是（ ） A ．()()201920200f f +-=
B ．函数()f x 在定义域上是周期为2的
函数
C ．直线y x =与函数()f x 的图象有2个交点
D ．函数()f x 的值域为[]1,1-
【答案】A
【解析】推导出当0x ≥时，()()2f x f x +=，结合题中等式得出()()100f f ==，可判断出A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；作出函数()y f x =在区间()1,1-上的图象，利用数形结合思想可判断C 选项的正误；求出函数()y f x =在
[)0,+∞上的值域，利用奇函数的性质可得出函数()y f x =的值域，可判断出D 选项
的正误. 【详解】
Q 函数()y f x =是R 上的奇函数，()00f ∴=，由题意可得()()100f f =-=，
当0x ≥时，
()()()21f x f x f x +=-+=，
()()()()()()2019202020192020100f f f f f f ∴+-=-=-=，A 选项正确；
当0x ≥时，
()()1f x f x +=-，则2616
log 555f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
2449log 555f f ⎛⎫⎛⎫
-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，4462555f
f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
∴-≠-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 则函数()y f x =不是R 上周期为2的函数，B 选项错误； 若x 为奇数时，()()10f x f ==，
若x 为偶数，则()()00f x f ==，即当x ∈Z 时，()0f x =，
当0x ≥时，()()2f x f x +=，若n N ∈，且当()2,21x n n ∈+时，()20,1x n -∈，
()()()20,1f x f x n =-∈，
当()1,2x ∈时，则()10,1x -∈，()()()11,0f x f x ∴=--∈-，
当()21,22x n n ∈++时，()21,2x n -∈，则()()()21,0f x f x n =-∈-， 所以，函数()y f x =在[)0,+∞上的值域为()1,1-，
由奇函数的性质可知，函数()y f x =在(),0-∞上的值域为()1,1-， 由此可知，函数()y f x =在R 上的值域为()1,1-，D 选项错误；
如下图所示：
由图象可知，当11x -<<时，函数y x =与函数()y f x =的图象只有一个交点， 当1x ≤-或1x ≥时，()()1,1f x ∈-，此时，函数y x =与函数()y f x =没有交点， 则函数y x =与函数()y f x =有且只有一个交点，C 选项错误. 故选：A.
二、多选题
10．已知点A 是直线:20l x y +=上一定点，点P 、Q 是圆221x y +=上的动点，若PAQ ∠的最大值为90o ，则点A 的坐标可以是（ ） A ．(2 B ．()
21
C ．
)
2,0
D ．
(
)
21,1-
【答案】AC
【解析】设点A 的坐标为()
2t t ，可得知当AP 、AQ 均为圆22
1x y +=的切线时，
PAQ ∠取得最大值90o ，可得出四边形APOQ 为正方形，可得出2OA =，进而可
求出点A 的坐标. 【详解】 如下图所示：
原点到直线l 的距离为22
2111d =
=+，则直线l 与圆221x y +=相切，
由图可知，当AP 、AQ 均为圆2
2
1x y +=的切线时，PAQ ∠取得最大值， 连接OP 、OQ ，由于PAQ ∠的最大值为90o ，且90APO AQO ∠=∠=o
，
1OP OQ ==，
则四边形APOQ 为正方形，所以22OA ==
由两点间的距离公式得(
)
2
222OA t t
=+
-=
整理得22220t t -=，解得0t =2，因此，点A 的坐标为(
2或)
2,0.
故选：AC. 【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系的综合问题，考查利用角的最值来求点的坐标，解题时要找出直线与圆相切这一临界位置来进行分析，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 11．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的4
5
，女生喜欢抖音的人数占女生人数
3
5
，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（ ）人 附表：
()20P K k ≥
0.050 0.010 k
3.841
6.635
附：()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++ A ．25 B ．45 C ．60 D ．75
【答案】BC
【解析】设男生的人数为(
)5n n N
*
∈，列出22⨯列联表，计算出2K 的观测值，结合
题中条件可得出关于n 的不等式，解出n 的取值范围，即可得出男生人数的可能值. 【详解】
设男生的人数为(
)5n n N *
∈，根据题意列出22⨯列联表如下表所示：
则()2
21042310557321
n n n n n n K n n n n ⨯⨯-⨯==
⨯⨯⨯，
由于有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则23.841 6.632K ≤<， 即103.841 6.63221
n
≤
<，得8.066113.9272n ≤<， n N *∈Q ，则n 的可能取值有9、10、11、12，
因此，调查人数中男生人数的可能值为45或60. 故选：BC. 【点睛】
本题考查利用独立性检验求出人数的可能取值，解题时要列举出22⨯列联表，并结合临界值表列不等式求解，考查计算能力，属于中等题.
12．已知抛物线2
:2C y px =()0p >的焦点为F 且经过点F ，直
线l 与抛物线C 交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若
8AF =，则以下结论正确的是（ ）
A ．4p =
B ．DF FA =u u u r u u u r
C ．2B
D BF = D ．4BF =
【答案】ABC
【解析】作出图形，利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误. 【详解】 如下图所示：
分别过点A 、B 作抛物线C 的准线m 的垂线，垂足分别为点E 、M .
抛物线C 的准线m 交x 轴于点P ，则PF p =，由于直线l 360o ，
//AE x Q 轴，60EAF ∴∠=o ，由抛物线的定义可知，AE AF =，则AEF ∆为等边
三角形，
60EFP AEF ∴∠=∠=o ，则30PEF ∠=o ，228AF EF PF p ∴====，得4p =，
A 选项正确；
2AE EF PF ==Q ，又//PF AE ，F ∴为AD 的中点，则DF FA =u u u r u u u r
，B 选项正确；
60DAE ∴∠=o ，30ADE ∴∠=o ，22BD BM BF ∴==（抛物线定义），C 选项正确；
2BD BF =Q ，118
333
BF DF AF ∴=
==，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】
本题考查与抛物线相关的命题真假的判断，涉及抛物线的定义，考查数形结合思想的应
用，属于中等题.
三、填空题
13．随机变量X 的取值为0、1、2，()00.2P X ==，0.4DX =，则EX =______. 【答案】1
【解析】设()2P X x ==，可得出()10.8P X x ==-，可求出EX 的表达式，利用方差公式可求出x 的值，即可求出EX 的值. 【详解】
设()2P X x ==，其中00.8x ≤≤，可得出()10.8P X x ==-，
()00.210.820.8EX x x x ∴=⨯+⨯-+=+，
()()()()2
2
2
0.80.20.20.8 1.20.4DX x x x x x =+⨯+-⨯-+-⨯=，解得0.2x =，
因此，0.20.81EX =+=. 故答案为：1. 【点睛】
本题考查利用随机变量方差求数学期望，解题的关键就是列出方程求解，考查运算求解能力，属于中等题.
14．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ0,0,||2A πωϕ⎛
⎫>>< ⎪⎝
⎭两个零点之间的距离为
2π，且()f x 的图象关于直线3x π=-对称，则当,66x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥
⎣⎦
时，函数()f x 的最小值为______.
【答案】
【解析】根据题中信息求得()26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，然后由,66x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦，求出26
x π
+
的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求出()y f x =的最小值.
【详解】
由题意可得()max A f x ==()y f x =的最小正周期为T ，则
22
T π
=，得
22T
π
ω∴=
=，此时，(
)()2f x x ϕ=+. 因为函数()y f x =的图象关于直线3
x π
=-对称，则
()232k k Z ππϕπ⎛⎫
⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭
，
()76k k Z πϕπ∴=
+∈，2πϕ<Q ，1k ∴=-，6π=ϕ，则(
)26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
,66x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
Q ，2662x πππ∴-≤+≤，
因此，函数()y f x =在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
6π⎛⎫-= ⎪⎝⎭
故答案为：. 【点睛】
本题考查利用三角函数的基本性质求解析式，同时也考查了正弦型函数在区间上的最值，解题的关键就是求出三角函数的解析式，考查计算能力，属于中等题.
15．6
212x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中，常数项为______；系数最大的项是______. 【答案】60 6240x
【解析】求出二项展开式的通项，令指数为零，求出参数的值，代入可得出展开式中的常数项；求出项的系数，利用作商法可求出系数最大的项. 【详解】
6212x x ⎛⎫+ ⎪
⎝
⎭的展开式的通项为()62612366122k
k k k
k k C x C x x ---⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令1230k -=，得4k =，所以，展开式中的常数项为42
6260C ⋅=；
令()66
2,6k k
k a C k N k -=⋅∈≤，令1
1n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩，即61766615662222
n n n n n n n n C C C C ----+-⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，
解得
47
33
n ≤≤，n N ∈Q ，2n ∴=，因此，展开式中系数最大的项为246662240C x x ⋅⋅=.
故答案为：60；6240x .
本题考查二项展开式中常数项的求解，同时也考查了系数最大项的求解，涉及展开式通项的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
16．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面
ABCE ，四边形ABCD 为正方形，5AD =，3ED =，若鳖臑P ADE -的外接
球的体积为92π，则阳马P ABCD -的外接球的表面积等于______.
【答案】20π
【解析】求出鳖臑P ADE -的外接球的半径1R ，可求出PA ，然后求出正方形ABCD
的外接圆半径2r ，利用公式2
2222PA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
P ABCD -的外接球半径
2R ，然后利用球体的表面积公式可得出答案.
【详解】
Q 四边形ABCD 是正方形，AD CD ∴⊥，即AD CE ⊥，且5AD =3ED =，
所以，ADE ∆的外接圆半径为22
122
AE AD ED r +==
=
设鳖臑P ADE -的外接球的半径1R ，则3
14923
R ππ=，解得132
2
R =
. PA ⊥Q 平面ADE ，2
2
112PA R r ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭
22111022PA R r =-=，10PA ∴=正方形ABCD 的外接圆直径为22210r AC AD ==210
r ∴=
PA ⊥Q 平面ABCD ，所以，阳马P ABCD -的外接球半径2
2
5PA R r ⎛⎫=+=
因此，阳马P ABCD -的外接球的表面积为2
2420R ππ=.
故答案为：20π. 【点睛】
本题考查球体表面积和体积的计算，同时也涉及了多面体外接球问题，解题时要分析几何体的结构特征，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
四、解答题
17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，2
42n n n S a a =+.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若11
n
n n S S b S S -=
⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】（1）2n a n =；（2）11
112
n T n n =-
-+. 【解析】（1）令1n =，求出1a 的值，令2n ≥，由2
42n n n S a a =+得出
211142n n n S a a ---=+，两式相减，利用等差数列的定义可得出数列{}n a 为等差数列，确
定该等差数列的首项和公差，利用等差数列的通项公式可求出n a ； （2）求出n S ，可得出11112
n b n n =--+，然后利用分组求和法与裂项求和法可求出n T . 【详解】
（1）当1n =时，211142a a a =+，整理得2
112a a =，10a >Q ，解得12a =； 当2n ≥时，242n n n S a a =+①，可得2
11142n n n S a a ---=+②，
①－②得22
11422n n n n n a a a a a --=-+-，即(
)
()22
1120n n n n a a a a ----+=，
化简得()()1120n n n n a a a a --+--=，
因为0n a >，10n n a a -∴+>，所以12n n a a --=，
从而{}n a 是以2为首项，公差为2的等差数列，所以()2212n a n n =+-=； （2）由（1）知()()
()122122
n n n a a n n S n n ++=
==+， 因为()1111111111
1212
n n n n S S b S S S S n n n n -=
=-=-=--⋅++，
121111111
1112223212n n T b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+=--+--+⋅⋅⋅+-- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11111
1111112231212n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+--=-- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 【点睛】
本题考查由n a 与n S 的关系求数列通项，同时也考查了分组求和法与裂项求和法，涉及等差数列定义的应用，考查计算能力，属于中等题.
18．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆同时满足下列四
个条件中的三个：①
b a
c -=
2cos 22cos 12A A +=；③a =
④b =
（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？
（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC ∆的面积. （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）
【答案】（1）①，③，④或②，③，④；（2.
【解析】（1）由①可求得cos B 的值，由②可求出角A 的值，结合题意得出A B π+>，推出矛盾，可得出①②不能同时成为ABC ∆的条件，由此可得出结论；
（2）在符合条件的两组三角形中利用余弦定理和正弦定理求出对应的边和角，然后利用三角形的面积公式可求出ABC ∆的面积. 【详解】
（1）由①
b a
c -=()222
3a c b +-=-，
所以222cos 2a c b B ac +-==， 由②2
cos 22cos 12
A
A +=得，22cos cos 10A A +-=， 解得1cos 2A =
或cos 1A =-（舍），所以3
A π=，
因为1
cos 32
B =-
<-
，且()0,B π∈，所以23B π>，所以A B π+>，矛盾. 所以ABC ∆不能同时满足①，②.
（2）若ABC ∆满足①，③，④，
因为2222cos b a c ac B =+-，所以26
86263
c c =++⨯⨯⨯，即2420c c +-=. 解得62c =
-.
所以ABC ∆的面积1
sin 322
S ac B =
=-. 若ABC ∆满足②，③，④由正弦定理sin sin a b A B
=，即622
sin 3B =，解得sin 1B =， 所以2c =，所以ABC ∆的面积1
sin 32
S bc A ==.
【点睛】
本题考查三角形能否成立的判断，同时也考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角形面积的计算，要结合三角形已知元素类型合理选择正弦定理或余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.
19．如图（1），边长为2的正方形ABEF 中，D ，C 分别为EF 、AF 上的点，且
ED CF =，现沿DC 把CDF ∆剪切、拼接成如图（2）的图形，再将BEC ∆，CDF ∆，
ABD ∆沿BC ，CD ，BD 折起，使E 、F 、A 三点重合于点A '，如图（3）.
（1）求证：'⊥BA CD ；
（2）求二面角'--B CD A 最小时的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）
1
3
. 【解析】（1）利用图形翻折的几何关系可得出''⊥BA A C ，''⊥BA A D ，然后由直线
与平面垂直的判定定理可得出'⊥BA 平面ACD '
，由此可证明出'⊥BA CD ；
（2）以A '为原点，A C '、A D '、A B '分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，令
'=A C a ，'=A D b ，可得出2a b +=，求出平面BCD 和平面ACD
'
的法向量，然后利用空间向量法结合基本不等式可求出二面角'--B CD A 最小时的余弦值.
（1）折叠前BE EC ⊥，BA AD ⊥，折叠后''⊥BA A C ，''⊥BA A D ，
又'''⋂=A C A D A ，所以'⊥BA 平面ACD '
，因此'⊥BA CD ；
（2）由（1）及题意知A C A D ''⊥，因此以A '为原点，A C '、A D '、A B '分别 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系如图：
令'=A C a ，'=A D b ，2a b +=，所以(),0,0C a ，()0,,0D b ，()0,0,2B
设平面BCD 法向量为(),,m x y z =u r
则00
m BC m BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 所以2020ax z bx z -=⎧⎨-=⎩，令1z =，则22,,1m a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭u r
又平面ACD '
法向量为()0,0,1m =u r
，
设二面角'--B CD A 的大小为θ，所以22cos 14
11
m n
m n
a b
θ⋅==
⨯++u r r u r r 又2
2
224412119b a b a b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭≥⎝， 当且仅当1a b ==取等号，所以1
cos 3θ≤. 所以二面角'--B CD A 最小时的余弦值为1
3
.
【点睛】
本题考查利用线面垂直的性质来证明线线垂直，同时也考查了利用空间向量法来计算二面角的余弦值，涉及了利用基本不等式求最值，考查推理论证能力与计算能力，属于中等题.
20．顺次连接椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>7且
面积为43.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设直线l 与椭圆C 相切于点A ，过点O 作OM l ⊥，垂足为M ，求AMO ∆面积的最大值.
【答案】（1）22
143
x y +=；
（2）14. 【解析】（1）根据题意列出关于a 、b 的方程组，解出这两个量，即可得出椭圆C 的标准方程；
（2）结合题意可知，直线l 斜率存在且不为0，可设直线l 的方程为y kx t =+，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，利用0∆=，得出2243t k =+，求出点A 的横坐标，并求出点M 的横坐标以及OM 、AM ，然后利用基本不等式结合三角形的面积公式可求出ABM ∆面积的最小值. 【详解】
（1）由题意可得221
2243
27a b a b ⎧⨯⨯=⎪⎨⎪+=⎩2a =，3b =
故椭圆C 的方程为22
143
x y +=；
（2）显然直线l 斜率存在且不为0，设直线:l y kx t =+，联立22
3412
y kx t
x y =+⎧⎨+=⎩， 得(
)2
2
23484120k
x
ktx t +++-=，
且(
)()22
2
2
644344120k t k t
∆=-+-=，得2243t k =+，
所以()
284234A kt k
x t k -=
=-+，
1y x
⎧
=-⎪kt 1||kt
则241k kt AM t k =-+
+(
)
322441k k kt t k --+==+，
所以
2111111
1222124AMO k S AM OM k k k
∆=
⋅==⋅=⋅≤
++，
故ABM ∆面积最大值为1
4
，当且仅当1k =±时成立. 【点睛】
本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积最值的计算，涉及利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题.
21．已知函数()()2
ln 22f x x ax a x =+-++（a 为常数）.
（1）若()f x 在()()
1,1f 处的切线与直线30x y +=垂直，求a 的值； （2）若0a >，讨论函数()f x 的单调性；
（3）若a 为正整数，函数()f x 恰好有两个零点，求a 的值. 【答案】（1）4a =；（2）见解析；（3）1a =.
【解析】（1）由题意得出()13f '=，即可求出实数a 的值； （2）由0a >，可得出
10a
>，对1
a 与12的大小关系进行分类讨论，分析导数的符号，
可得出函数()y f x =的单调增区间和减区间；
（3）分1a =、2a =和2a >三种情况讨论，结合（2）中函数()y f x =的单调性以及零点存在定理来判断出函数()y f x =的零点个数，可得出整数a 的值. 【详解】
（1）由题意0x >，()()()()1211
22ax x f x ax a x x
--'=
+-+=
，则()11f a '=-， 由于函数()y f x =的图象在()()
1,1f 处的切线与直线30x y +=垂直， 则()1113f ⎛⎫'⋅-=- ⎪⎝⎭
，所以()113f a '=-=，因此，4a =；
（2）0a >Q ，则
1
0a >. ①若02a <<时，11
2
a >，
当102x <<
或1x a
>时，()0f x '>，11
2x a <<时，()0f x '<， 所以()y f x =在10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
单调递增，在11,2a ⎛⎫
⎪⎝⎭单调递减，
②若2a =时，
11
2a =，对0x >，()0f x '≥恒成立，()y f x =在()0,∞+单调递增；
③若2a >时，11
2
a <，
当10x a
<<
或12x >时，()0f x '>，11
2x a <<时，()0f x '<，
所以()y f x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
单调递增，在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减；
（3）因为a 为正整数，
若02a <<，则1a =，()2
ln 32f x x x x =+-+，
由（2）知()y f x =在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
和()1,+∞单调递增，在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，
又()10f =，所以()y f x =在区间1,2⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭内仅有1实根，()1102f f ⎛⎫
>> ⎪⎝⎭
， 又()()2
4
222330f e
e
e e e -----=-=-<，所以()y
f x =在区间10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
内仅有1实根.
此时，()y f x =在区间()0,∞+内恰有2实根； 若2a =，()y f x =在()0,∞+单调递增，至多有1实根.
若2a >，()2
111111ln 22ln 1f a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令1
t a =
，则102t <<，ln 1y t t =-+，110y t
'=->，
所以111
ln 1ln 20222
y <-+=-<.
由（2）知()y f x =在11,2a ⎛⎫
⎪⎝⎭单调递减，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
单调递增， 所以1102f f a ⎛⎫⎛⎫
<<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以()y f x =在()0,∞+至多有1实根.
本题考查利用切线斜率求参数、利用导数求含参数函数的单调区间以及利用导数研究函数的零点问题，一般结合函数的单调性与零点存在定理来分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
22．某公司为了了解年研发资金投人量x （单位：亿元）对年销售额y （单位：亿元）的影响.对公司近12年的年研发资金投入量i x 和年销售额i y 的数据，进行了对比分析，建立了两个函数模型：①2y x αβ=+，②x t y e λ+=，其中α、β、λ、t 均为常数，e
为自然对数的底数.并得到一些统计量的值.令2
i i u x =，()ln 1,2,,12i i v y i ==⋅⋅⋅，经计
算得如下数据：
（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ （2）（ⅰ）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
（ⅱ）若下一年销售额y 需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x 是多少亿元？
附：①相关系数()(
)
n
i
i
x x y y r --=
∑
回归直线$$y a
bx =+$中公式分别为：()()
()
1
2
1
n i
i
i n
i
i x x y y b x x ==--=-∑∑$，a y bx =-$$；
②参考数据：308477=⨯9.4868， 4.499890e ≈. 【答案】（1）模型x t
y e
λ+=的拟合程度更好；（2）（ⅰ）0.180.56v x =+$；（ⅱ）21.89
亿元.
【解析】（1）计算出两个模型的相关系数，选择相关系数绝对值较大的模型拟合较好； （2）（ⅰ）由（1）可知，选择模型x t y e λ+=拟合较好，变形得到ln y x t λ=+，即
v t x λ=+，然后利用表格中的数据以及最小二乘法公式求出λ和t 的值，即可得出回
归方程；
（ⅱ）在所求回归方程中，令90y =，结合题中参考数据可求出x 的值，即可求解. 【详解】
（1）设{}i u 和{}i y 的相关系数为1r ，{}i x 和{}i v 的相关系数为2r ，由题意，
()()
12
143
0.8650
i
i
u u y y r --=
=
==∑，
()(
)
12
210
0.9111
i
i
x x v v r --=
=
=≈∑，
则12r r <，因此从相关系数的角度，模型x t
y e λ+=的拟合程度更好；
（2）（ⅰ）先建立v 关于x 的线性回归方程， 由x t
y e
λ+=，得ln y t x λ=+，即v t x λ=+；
由于()()
()
12
1
12
2
1
20.18211i
i
i i
i x x v v x x λ==--=
=
≈-∑∑，2
4.20200.5611
t v x λ=-=-⨯≈， 所以v 关于x 的线性回归方程为0.180.56v
x =+$， 所以$ln 0.180.56y x =+，则$0.180.56e x y +=；
（ⅱ）下一年销售额y 需达到90亿元，即90y =，代入$0.180.56e x y +=，得0.180.5690x e +=， 又44998e 90⋅≈，所以4.49980.180.56x ≈+，所以 4.49980.56
21.890.18
x -≈≈，
所以预测下一年的研发资金投入量约是21.89亿元. 【点睛】
本题考查利用相关系数选择回归模型，同时也考查了非线性回归模型的求解，以及利用回归方程解决实际问题，考查计算能力，属于中等题.。