初中函数综合试题(卷)(附答案解析)

二次函数与其他函数的综合测试题
一、选择题：（每小题
3 分，共 45 分）
1 ．已知 h 关于 t 的函数关系式为 h
1
gt 2
，（ g 为正常数， t 为时间），则函数图象为（
）
2
（A ） （B ） （ C ） （D ）
2 ．在地表以下不太深的地方，温度 y （℃）与所处的深度 x （km ）之间的关系可以近似用关系
式 y ＝ 35 x ＋ 20 表示，这个关系式符合的数学模型是（ ）
（A ）正比例函数 （ B ）反比例函数． （C ）二次函数
（ D ）一次函数
3 ．若正比例函数
y ＝（ 1－ 2
m ）x 的图像经过点 A （ x 1 ， y 1 ）和点 B （ x 2 ， y 2 ），当
x 1 ＜ x 2 时 y 1 ＞ y 2 ，则 m 的取值范围是
（
）
（A ） m ＜0
（ B ） m ＞0
（ C ） m ＜ 1
（ D ） m ＞ 1
2 2 y x k 在同一坐标系中的大致图象是（
4．函数 y = k x + 1 与函
数
）
y y y
y
O O O x O
x x
x
（A）（B）（C）（D）
5 ．下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数y ax 2(a c) x c 与一次函数y＝ a x＋ c 的
大致图像，有且只有一个是正确的，正确的是（）
（ A ）（ B）（ C）（ D）
6．抛物线 y 2( x 1) 21的顶点坐标是（）
A ．（ 1， 1） B．（ 1，－ 1） C．（－ 1， 1） D．（－ 1，－ 1）
7．函数 y=a x+b 与 y=a x2 +bx +c 的图象如右图所示，则下列选项中正确的是
（）
A． ab>0 ， c>0 B． a b<0 ， c>0
C． ab>0 ， c<0 D ． ab<0 ， c<0
8
a b c
．已知 a ，b，c 均为正数，且 k=
a c
，在下列四个点中，正比例函数 y
kx
b c a b
的图像一定经过的点的坐标是（）
A．（ l，1） B ．（ l，2 ）C．（ l，－1）D．（ 1，－ 1）
2 2
9 ．如图，在平行四边
形ABCD 中， AC=4 ， BD=6 ， P 是 BD
A
D
E
上的任一点，过 P 作 EF∥AC ，与平行四边形的两条边分别交于
P
B
F C
点 E， F．设 BP=x， EF=y，则能反映 y 与 x 之间关系的图象
为⋯⋯⋯⋯⋯ （
）
12 ．二次函数 y= x 2
-2 x+2 有 （ ） A ． 最大值是 1 B ．最大值是 2
C ．最小值是 1
D ．最小值是 2
13 ．设 A （ x1 ，y1 ）、 B （ x2 ，y2）是反比例函数 y=
2 x1<x2 <0 ，则 y1 与 y2
图象上的两点，若 x
之间的关系是（ ）
A ． y 2 < y 1 <0
B ． y 1< y 2 <0
C ． y 2
> y 1 >0 D ． 1> y
2 >0
y
14 ．若抛物线 y= x 2
-6 x+c 的顶点在 x 轴上，则 c 的
值是
(
)
10 ．如图 4 ，函数图象①、②、③的表达式应为（ ）
5
4 A ．9B ． 3 C ．-9D ． 0
（A ）
y x 2 ， y x ， y x
3
2 15 ．二次函数 y x 2 3x 的图象与 x 轴交点的个数是（ ） 5
4 2
（B ）
y x 2 ， y
y x ， y x
2 A ．0 个 B ．1 个 C ．2 个 D ．不能确定
5
x ， y 4 P
（C ）
y
x 2 ， y
2 x 二、填空题：（每小题
3 分，共 30 分）
D O
x （D ）
y
5
x ， y x 2 ， y 4
2 x 1 ．完成下列配方过程：
第 3题图
11 ．张大伯出去散步，从家走了20 分钟，到一个离家 900 米的阅报亭，看了 10 分钟报纸后，
x 2
2 px 1＝ x 2 2 px
________ ________
用了 15 分钟返回到家，下面哪个图形表示张大伯离家时间与距离之间的关系（）
_____ 2
＝ x _______ ；
2 ．写出一个反比例函数的解析式，使它的图像不经过第一、第三象限：_________．
3．如图，点 P 是反比例函
数
y 2
上的一点， PD ⊥x 轴于点 D ，则△POD 的面积为 ；
共45分）
x
4、已知实数 m 满足 m 2
m
2 0，当 m=___________ 时，函数 y x m
m
1 x m 1 的
1 已知二次函数 y x 2
bx c 的图像经过 A （0 ， 1）， B （ 2，－ 1）两点． 图象与 x 轴无交点．
（ 1 ）求 b 和 c 的
值；
5．二次函数 y
2 (2 m
1) x ( 2 1) 有最小值，则 _________
（ 2 ）试判断点 P （－ 1， 2）是否在此函数图像上？
x m m ＝ ；
6．抛物线 y
x 2
2x 3向左平移 5 各单位，再向下平移
2 个单位，所得抛物线的解析式为
___________；
2 ．已知一次函数 y
kx k 的图象与反比例函数 y 8 P(4 ，
n)． 的图象交于点
x
7．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出
20 件，每件可 盈利 40 元．为了扩大销售
量，
（ 1）求 n 的值．（ 2 ）求一次函数的解析式． 增加盈利，采取了降价措施，经调查发现如果每件计划降价 1 元，那么商场平均每天可多售出
2 件．若商场平均每天要赢
利
1200 元，则每件衬衫应降价 __________；
3 ．看图，解答下列问题．
8．某学生在体育测试时推铅球，千秋所经过的路线是二次函数图像的一部分，如果这名学生出 （ 1）求经过 A 、 B 、 C 三点的抛物线
手处为 A （ 0 ， 2），铅球路线最高处为 B （ 6 ， 5），则该学生将铅球推出的距
离是
________； 解析式；
9．二次函数 y ax 2 ( 0) 的图像与 x 轴交点横坐标为－ 2 ， ，图像
与 y 轴交点到圆
bx c a b 点距离为 3，则该二次函数的解析式为
___________；
10 ．如图， 直线 y kx 2( k 0) 与双曲线 y k 在第一象限内的交点 （ 2 ）通过配方，求该抛物线的顶点坐 x
标和对称轴；
R ，与 x 轴、 y 轴的交点分别为 P 、Q ．过 R 作 RM ⊥x 轴， M 为垂
足，若△OPQ 与△PRM 的面积相等，则 k 的值等于
．
（ 3 ）用平滑曲线连结各点，画出该函数图象．
三、解答题：（ 1－ 3 题，每题 7 分，计 21 分； 4－6 题每题 8 分，计 24 分；本题 4 ．已知函数 y=x2 +bx-1 的图象经过点（ 3， 2 ）
（1 ）求这个函数的解析式；
（2 ）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；
（3 ）当 x>0 时，求使y≥2 的 x 的取值范围．
5．某工厂设门市部专卖某产品，该产品每件成本40 元，从开业一段时间的每天销售统计中，
（ 2）门市部原设有两名营业员，但当销售量较大时，在每天售出量超过168 件时，则必须增派一名营业员才能保证营业有序进行，设营业员每人每天工资为40 元．求每件产品应定价多少元，才能使每天门市部纯利润最大（纯利润指的是收入总价款扣除
成本及营业员工资后的余额，其它开支不计）
随机抽取一部分情况如下表所示：
每件销售价（元）50 60 70 75 80 85 ⋯
6 ．如图，一单杠高2.2 米，两立柱之间的距离为 1.6 米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结
每天售出件数300 240 180 150 120
⋯90
假设当天定的售价是不变的，且每天销售情况均服从这种规律．
（ 1 ）观察这些统计数据，找出每天售出件数y 与每件售价x （元）之间的函数关系，并
写出该函数关系式．
合处，绳子自然下垂呈抛物线状．
（ 1）（2）
（ 1）一身高0.7 米的小孩站在离立柱0.4 米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地（Ⅱ）设 C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、 N，并且△
面的距离；MNC 的面积等于27，试求 m 的值．
（ 2）为供孩子们打秋千，把绳子剪断后，中间系一块长为0.4 米的木板，除掉系木板用去
的绳子后，两边的绳长正好各为 2 米，木板与地面平行．求这时木板到地面的距离（供选用数
据： 3.36 ≈1.8 ， 3.64 ≈1.9 ， 4.36 ≈2.1 ）
7．已知抛物线y＝－ x2＋ mx －m ＋2 ．
（Ⅰ）若抛物线与 x 轴的两个交点 A、 B 分别在原点的两侧，并且AB ＝ 5 ，试求 m 的值；参考答案：
一、选择题：1．A 2．D 3．D 4．B 5．D 6．A 7．D 8．A
9．A 10．C 11．D 12．C 13．C 14．A 15．C
二、填空题： 1． p2， 1 p2， p ， 1 p2．
2 y= 2 3． 1 4．2 或－1 5． 5 6 ． y x28x 10 7．10 元或 20 元
x 4
8．6＋ 2 5
9 ．
y 1 x2x 3 或 y 1 x 2x 3 10． 2 2
4 4
三、解答题：
1．
2．解：（ 1）由题意得：
n 8 ， n 2.
4
2 （2 ）由点 P （ 4， 2）在
y
kx k 上， 2 4k k,k
． 2 x 2
5
一次函数的解析式为 y ．
5 5 3．解：（ 1）由图可知 A （－ 1，－ 1）， B （ 0，－ 2）， C （ 1，1）
设所求抛物线的解析式为 y
ax 2＋ bx ＋c
＝
a b c ， a ，
1
2
依题意，
得
c ， 解得 ， ∴ y ＝ 2 x 2＋ x － 2． 2 b 1
a b c 1 c 2
（2） ＝2 x
2＋ x －2＝2（ x ＋ 1
）2－ 17 y 4 8
∴ 顶点坐标为（－ 1，17 ），对称轴为
x ＝－ 1
4 8 4
（ 3）图象略，画出正确图
象
4．解：（ 1）函数 y=x 2
+bx-1 的图象经过点
（ 3，2）
（2 ） y=x 2
-2 x-1=( x-1) 2-2 ，图象略， 图象的顶点坐标为（ 1，-2） （3 ）当
x=3
时， y=2 ， 根据图象知，当 x ≥3 时，
y ≥2
∴当 x>0 时，使 y ≥2 的 x 的取值范
围是
x ≥3．
5．解：（ 1）由统计数据知，该函数关系为一次函数关系，每天售出
件数
y 与每件售价 x 之
间
的函数关系为：y 6 0 0 6x ．
（2）当
y 168 时，
1 6 8 6x
， 解得：
x
72 ；
6 0 0 设门市部每天纯利润为 z ①当 x 72 时， y 168
z
x 40
600 6 x
40 3
6 x 70 2
5280 当 x
70 时， z max
5280
②当 x 72 时， y 168 z x 40 600 6x 40 2
6 x 70 2 5320
x 70 时， y 随 x 的增大而减少
x 72 时， z max 6 22
5320 5296
5296
5280
当 x 72 时，纯利润最大为 5296 元．
6 ．
∴9+3 b-1=2 ，解得 b=-2 ．
∴函数解析式为 y=x 2
-2 x-1
（ 1 ）
（ 2）
解：（ 1）如图，建立直角坐标系， 设二次函数解析式为
y ＝ax 2
＋ c
0.16a ＋ ＝ ，
∵ D （－ 0.4 ， 0.7 ）， B （ 0.8 ， 2.2 ）， ∴
c 0.7
0.64a ＋ ＝ ．
c 2.2
＝ 28
， a
0.2 米．
∴ 5 ∴绳子最低点到地面的距离为 c ＝ ．
0.2
（ 2）分别作 EG ⊥AB 于 G ， FH ⊥AB 于 H ，
AG ＝ 1
（AB －EF ）＝ 1
（1.6 －0.4）＝ 0.6 ． 2 2
在 Rt △ 中， AE ＝
2 ， EG ＝
2 2 2 2 0.6 2 ＝ 3.64 ≈1.9 ．
AGE AE －AG ＝ ∴ 2.2 － 1.9 ＝ 0.3 （米）． ∴ 木板到地面的距离约
为 0.3 米．
7．解： (I) 设点 Ａ （x1 ， 0）， B(x2 ，0)
， 则 x1 ， x2 是方程 x 2
－ mx ＋ m － 2＝ 0 的两
根．
∵x1 ＋ x2 ＝ m ， x1·x2 = m － 2 ＜0
即 m ＜ 2；
又 AB ＝∣1 x 2∣
＝ 2 4 x 1 x 2 5
，∴m 2
－ 4 m ＋ 3=0 ．
x （x 1 +x 2）
解得： m=1 或 m=3( 舍去 ) ，∴m 的值为 1 ．
（ II ）设 M (a ， b)，则 N(－ a ，－ b) ．
∵M 、N 是抛物线上的两点，
a 2
ma m 2 b, ①
y
∴
ma m 2 b. ② C
a 2
①＋②得：－ 2 a 2
－ 2m ＋ 4＝
0 ．
N
∴a 2
＝－ m ＋ 2．
x O
M ∴当m ＜2 时，才存在满足条件中的两点 M 、N ．
∴a 2 m ．
这时 M 、N 到 y 轴的距离均为
2 m ，
又点 C 坐标为（ 0， 2 － m ），而 S △M N
C = 27 ， ∴2×1
×（ 2 － m ）× 2 m =27 ．
∴解得 m=－ 7 ． 2。

中考试题分类汇编 --函数综合题
1.
如图，已知点 A （tan α，0 ）， B （ tan β，0 ）在 x 轴正半轴上，点 A 在点 B 的左边，α、
β 是以线段 AB 为 斜边、顶点 C 在 x 轴上方的 Rt △ABC 的两个锐角．
（ 1）若二次函数y＝－ x2－5 kx ＋（ 2 ＋ 2k－ k2）的图象经过A、 B 两点，求它的解
析式；
2
（2）点 C 在（ 1 ）中求出的二次函数的图象上吗？请说明
理由．解：（ 1）∵α，β是Rt △ABC 的两个锐角，
∴ tan α·tan β＝1． tan α＞0， tan β＞0．
由题知 tan α，tan β是方程
x2＋5 kx－（ 2＋2k － k2）＝ 0 的两个根，
2
∴ tanx ·tan β＝（2 ＝2k － k2）＝ k2－ 2k－ 2 ，∴k2－ 2k－ 2 ＝ 1．
解得， k＝ 3 或 k＝－ 1．
而tan α＋tan β＝－5 k＞0 ，
2
∴ k＜0 ．∴k＝ 3 应舍去， k＝－ 1．
故所求二次函数的解析式为y＝－ x2＋5 x－ 1．
2
（ 2）不在．
过C 作 CD⊥AB 于 D．
令 y＝0，得－ x2＋5 x－1 ＝ 0，
2
1
解得 x1＝， x2＝2 ．
2
∴ A（1，0）， B（2，0）， AB ＝3．
2 2
∴tan α＝1， tan β＝2．设 CD ＝m．则有 CD ＝ AD ·tan α＝1 AD ．
2 2
∴AD ＝2CD ．
又CD＝ BD ·tan β＝2BD ，
1
∴ BD＝CD．
2
∴2m ＋1 m＝3．
2 2
∴m＝3．∴ AD ＝6．
5 5
∴ C（17，3）．
10 5
当x＝17时， y＝9≠3
10 25 5
∴点 C 不在（ 1 ）中求出的二次函数的图象上．
2 ．已知抛物线
y x2kx b 经过点 P(2， 3)， Q( 1，0) ．y
（
1）求抛物线的解析式．
（
2
Q O ）设抛物线顶点为N ，与 y 轴交点为 A ．求 sin∠AON 的值．x
M
A
（
3）设抛物线与x 轴的另一个交点为 M ，求四边形 OANM 的面积．
N
0 1 k b
解：（ 1）解方程组
3 4 2k b
k 2
y x 2
2x 3 ．
得
，
b
3
（2 ）顶点 N (1， 4)， ON 17，sin ∠ AON
17 ．
17 （3 ）在 y x 2
2x 3 中，令 x 0 得 y 3 ， A(0， 3) ，
令 y 0得 x
1或 3， M (3，0) ．
S 四边形 S △OA N S △ONM 3 7.5 （面积单位）
6
2
4 ．已知函数
y=
2
和 y=kx+l(k ≠
O)．
x
(1) 若这两个函数的图象都经过点 (1 ， a) ，求 a 和 k
的值； (2) 当 k 取何值时，这两个函数的图象总有公共点
?
a 2
a
2 解； (1) 1
∵两函数的图象都经过点 (1 ， a) ，
∴
∴
1 a k k
1
(2) 将 y ＝ 2
代人 y=kx+l ，消去 y ．得 kx 2
+x 一 2=0 ． x ∵k ≠ O ， ∴ 要使得两函数的图象总有公共点，只要 △≥ 0 即可．
3．如图 9，抛物线 y=ax 2
+8ax+12a 与 x 轴交于 A 、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），抛物线上另有一点 C 在第一象限，满足∠ ACB 为直角 ,且恰使△OCA ∽△OBC.
y
(1) 求线段 OC 的长 .
(2) 求该抛物线的函数关系式．
C
(3) 在 x 轴上是否存在点 P ，使△BCP 为等腰三角形？ O A Bx
图 9
∵△＝1＋8k ，
∴1+8k ≥ 0，解得 k ≥ 一
∴k ≥ 一 1
且 k ≠ 0．
8
1 8
若存在，求出所有符合条件的 P 点的坐标；若不存在， 请说明理由 .
解：（ 1） 2 3 ；（ 2 ） y 3 x 2
8 3 x 4 3 ；（ 3） 4 个
点：
3 3 (6 2 3,0)(6 2 3,0), (0,0), (4,0)
5 ．已知如图，矩形 OABC 的长 OA= 3 ，宽 OC=1 ，将△AOC 沿
AC 翻折得△APC 。

（ 1 ）填空：∠ PCB=____ 度， P 点坐标为（ ， ）；
（ 2 ）若 P ，A 两点在抛物线 y= － 4
x 2
+bx+c
上，求 b ，c 的值， 并
3
说明点 C 在此抛物线上；
（ 3 ）在（ 2 ）中的抛物线CP 段（不包括 C ，P 点）上，是否存在一点
M，使得四边形MCAP
的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时
M 点的坐标；若不存在，请说明理由. （1 ）30, （ 3
, 3
） ;
2 2
（2 ）∵点P （ 3 , 3
），A （ 3 ，0）在抛物线上， 故 - 4 ×3 +b × 3 +c= 3 ,-
4
×3+b × 3 +c=0,
2 2
3 4 2 2 3
∴b=
3 ,c=1
. ∴抛物线的解析式为 y=- 4 x 2
+ 3 x+1,C 点坐标为 （ 0，1）.
∵- 4
×02
+ 3 ×0+1=1
，
3
3
∴点 C 在此抛物上 .
6.如图，二资助函数 y x 2
bx c 的图象经过点 M （ 1，— 2）、 N （—
1
， 6） .
（
1 ）求二次函数 y
x 2 bx c 的关系式 .
（ 2 ）把 Rt △ABC 放在坐标系内，其中∠CAB = 90°，点A 、B 的坐标分
别为（ 1， 0）、（ 4， 0 ）， BC = 5 。

将△ABC 沿 x 轴向右平移，当点 C 落在抛物线上时，
求△
ABC 平移的距离 .
解：（ 1）∵M（ 1 ，－ 2 ）， N（－ 1 ， 6 ）在二次函数y = x 2 +bx+c 的图象上，
1 b c 2, b 4,
∴
b c 6. 解得
1.
1 c
二次函数的关系式为y = x 2－4x+1.
（2） Rt △ABC 中， AB = 3 ，BC = 5 ，∴AC = 4 ，
4 x24x 1, x24x 3 0,
解得 x 4 16 12
7.
2
2
∵A （ 1， 0），∴点 C 落在抛物线上时，△ ABC 向右平
移 1 7个单位.
7.如图，在平面直角坐标系中，两个
函数y x, y 1
6 的图象交于点
A。

动点 P 从点
O
x
2
开始沿 OA 方向以每秒 1 个单位的速度运动，作 PQ ∥x 轴交直线BC 于点 Q ，以 PQ 为
一边向下
作正方形 PQMN ，设它与△ OAB 重叠部分的面积为S.
（1）求点 A 的坐标 .
（2）试求出点 P 在线段 OA 上运动时， S 与运动时间 t（秒）的关系式 .
（3 ）在（ 2 ）的条件下， S 是否有最大值？若有，求出 t 为何值时， S 有最大值，并求出最大值；
若没有，请说明理由 . （ 4 ）若点 P 经过点 A 后继续按原方向、原速度运动，当正
方形PQMN 与△OAB 重叠部分面积最大时，运动时间t 满足的条件是 ____________.
y x,
x 4,
解：（ 1）由 1 可得
4.
y x 6, y
2
∴A（4，4）。

（2）点 P 在 y = x 上， OP = t ，
则点P坐标为( 2 t,2 t).
2 2
点 Q 的纵坐标
为2 t ，并且点 Q 在 y 1 x 6 上。

2 2
∴ 2t 1 x6, x 12 2t ，
2 2
即点 Q 坐标为(122t, 2 t) 。

2
PQ 12 3 2 t 。

2
当
12 3 2 t2 t 时， t 3 2 。

2 2
当0＜t 3 2时，
S 2 t (12 3 2 t ) 3 t 2
6
2t.
2 2 2
当点 P 到达 A 点时， t 4
2 ， 当
3 2＜ t ＜
4 2 时，
S
(12 3 2 t )2
2 解： (1)y= 3x
y= 3x -m
9 t 2 +2 36 2t 1 4 4。

2 (2) 不变的量有：
（3 ）有最大值，最大值应
在
0＜t 3 2 中，
3 t 2 3 (t 2
3 (t 2 2 )2
① 四边形四个内角度数不变， 理由略；
S 6 2t 4 2t 8) 12 12,
2 2 2 ② 梯形 EFGH 中位线长度不变 (或 EF+GH 不变 )，理由略．
当 t 2 2 时， S 的最大值为
12.
(3)S= 4 3
m 0<m ≤1 0<s ≤4
3
（4 ） t 12 2
. 3 3
(4) 沿 y= 3x 平移时，面积不变；沿
y=x 平移时，面积改变，设其面积为 S ，则
8．已知一次函数 y= 3 +m(O<m ≤ 1) 的图象为直线 l ，直线 l 绕原点 O 旋转 180 °后得直线l ，△
0<S ≤5 3
ABC 三个顶点的坐标分别为 A(- 3 ，-1)、B( 3 ，-1) 、 C(O ，
2)．
3 9 ． 如图，在平面直角坐标系中，点 A 、 B 分别在 x 轴、 y 轴上，线段 OA 、 OB 的长
(0A<OB)
(1) 直线 AC 的解析式为 ________，直线
l
的解析式为 ________ ( 可以含 m)； 是方程 x 2
-18x+72=0 的两个根，
点 C 是线段 AB 的中点，点 D 在线段 OC 上， OD=2CD ．
(2) 如图，
l 、 l 分别与 △ABC 的两边交于 E 、F 、G 、 H ，当 m 在其范围内变化时，判断四
(1) 求点 C 的坐标；
边形 EFGH 中有哪些量不随 m 的变化而变化 ?并简要说明理由；
(2) 求直线 AD 的解析式；
(3) 将 (2) 中四边形 EFGH 的面积记为 S ，试求 m 与 S 的关系式，并求 S 的变化范围；
(3)P 是直线 AD 上的点，在平面内是否存在点
Q ，使以 0、A 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形 ?
(4) 若 m=1 ，当 △ABC
分别沿直线 y=x 与
y= 3 x 平移时，判断 △ABC 介于直线 l ， l 之间
若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．部分的面积是否改
变?若不变请指出来．若改变请写出面积变化的范围．(不必说明理由 )
解： (1)OA=6 ， OB=12 ，
点C 是线段 AB 的中点， OC=AC.
作 CE ⊥x 轴于点
E ．
1 1
∴ OE= OA=3 ， CE= OB=6 ．
2 2
∴点 C 的坐标为 (3，6).
(2) 作 DF ⊥x 轴于点
F
OD 2
△ OFD ∽△ OEC ，= ，于是可求
得
OF=2 ，
DF=4 ．
OC 3
∴点 D 的坐标为 (2，4).
设直线 AD 的解析式为 y=kx+b ．
6k b 0
把 A(6 ，0)，D(2 ，4)代人得
b ，
2k 4 k 1
解得，
b 6
∴直线 AD 的解析式为 y=-x+6 . (3)存在．
Q1(-3 2，3 2)；
Q2(3 2，-3 2)；
Q3(3，-3) ；
Q4(6，6) .
10.在平面直角坐标系中 ,已知 A(0,2), B(4,0), 设 P、Q分别是线段 AB 、OB上的动点 ,它们同时
出发 ,
点P以每秒 3 个单位的速度从点 A向点 B运动 ,点 Q以每秒 1 个单位的速度从点 B向点 O运动 .设运动时间为 t(秒 ).
(1)用含 t的代数式表示点 P的坐标 ;
(2)当t为何值时 ,△ OPQ为直角三角形 ?
(3)在什么条件下 ,以 Rt△ OPQ 的三个顶点能确定一条对称轴平行于y轴的抛物线 ? 选择一种情况
求出所确定的抛物线的解析式 .
解:(1) 作 PM⊥y轴 ,PN ⊥x轴 .∵ OA=3, OB =4, ∴ AB =5.
∵ PM∥x轴 ,∴PM AP .∴PM3t .∴P M= 12 t.
OB AB 4 5 5
∵∥轴 ,∴PN PB PN 5 3t∴9 .
PN y ∴. PN=3- t
OA
.
3 5
AB 5
∴
点P 的坐标为 ( 129
t
).
,3-
t
5 5
(2)①当∠ POQ=90 °时 ,t=0, △ OPQ 就是△ OAB ,为直角三角形 .
②当∠ OPQ=90 °时 ,△ OPN ∽△ PQN, ∴PN2 =ON?NQ.(3- 9 t)2= 12 t(4- t- 12 t).
5 5 5
15
化简 ,得 19t2-34 t+15=0. 解得 t=1 或
t= .
19
③ 当
∠OQP
=90 °
时 ,、Q重合.∴4- =1220
N t t ,∴=.
5
t
15 20
17
综上所述 ,
当
=0,
=1, =
,
=
时 ,
△
OPQ
为直角三角
形 .
t t t t
19 17
(3) 当 =1或 = 15
时,即∠ OPQ =90 °时,以 Rt △ OPQ 的三个顶点可以确定一条对称轴平行于 y 轴的
t t
19 12 6 抛物线 .当 t=1 时 , 点 P 、 Q 、 O 三点的坐标分别为 P( , ),Q(3,0),O(0,0). 设抛物线的解析式
为
5 5
y=a( x-3)( x-0),即 y=a(x 2
-3 x).将 P( 12 , 6 )代入上式 ,得a=- 5 .∴
y=-
5 (x 2
-3 x). 5 5 6 6
即 y=- 5 x 2+ 5
x.
6 2
15 61
时 ,点 P 、Q 、O 三点的坐标分别是 P( 36 , 30 ),Q ( 说明 :若选择 t= ,0), O(0,0). 求得抛物
线
19 19 61 19 19 19 的解析式为
y=-
x 2
+ x,相应给分 . 30 30
11 ．已知：抛物线 y x 2
2x m （ m>0 ）与 y 轴交于点 C ，C 点关于抛物线对称轴的对称点
为 C ′点.
（1 ）求 C 点、 C ′点的坐标（可用含 m 的代数式表示）
（2 ）如果点 Q 在抛物线的对称轴上，点
P 在抛物线上，以点 C 、C ′、P 、Q 为顶点的四边形
是
平行四边形，求 Q 点和 P 点的坐标（可用含 m 的代数式表
示）
y
（3 ）在（ 2）的条件下，求出平行四边形的周长.
O
x
12 ．抛物线 y=3(x-1) +1 的顶点坐标是（ A ）
A ．（ 1， 1）
B ．（ -1，1）
C ．（ -1，-1）
D ．（ 1， -1）
13 ．如图，△ OAB 是边长为 2 3 的等边三角形，其中 O 是坐标原
点，
顶点 B 在 y 轴正方向上， 将△OAB 折叠，使点 A 落在边 OB 上，记为 A ′，
折痕为 EF.
（1 ）当 A ′E// x 轴时，求点 A ′和E 的坐标；
（2 ）当 A ′E// x 轴，且抛物线
y
1 x
2 bx c
经过点 A E
′和 时，求
抛
6
物线与 x 轴的交点的坐标；
（ 3 ）当点 A ′在OB 上运动，但不与点 O 、 B 重合时，能否使△ A ′EF 成为直角三角形？若能，请求出此时点 A ′的坐标；若不能，请你说明理由 .
解：（1）由已知可得 ∠A ，OE=60 o , A ，
E=AE
由 A ′E// x 轴 ,得△OA ，
E 是直角三
角形，设 A ，
的坐标为（0，b ） AE=A ，
E= 3b ,OE=2b 3b 2b 2
3
所以 b=1 ，A ，
、E 的坐标分别是（ 0，1）与（ 3 ，1）
（2）因为 A ，
、E 在抛物线上，所以
1 c
1 1 ( 3)2
3b c
6
c 1
1
3
所以 b 3
，函数关系式为 y
x 2
x 1 6
6 6
由 1
x 2
3
x 1 0 得 x 1
3, x 2 2 3 6 6
与 x 轴的两个交点坐标分别是
（
3 ，0）与（ 2 3 ，
0）
（3）不可能使△A ′EF 成为直角三角形 .
∵∠FA ，E=∠FAE=60 o ,若△A ′EF 成为直角三角形 ,只能是∠A ，EF=90o 或∠A ，FE=90 o
若∠A ，EF=90 o ,利用对称性,则∠AEF=90 o , A ，
、E 、A 三点共线，O 与 A 重合，与已知矛盾；
同理若∠A ，FE=90 o
也不可能
所以不能使△A ′EF 成为直角三角形 .
14. 已知抛物线 y=x 2—4x+1. 将此抛物线沿 x 轴方向向 左平
移 4 个单位长度，得到一条新的抛物线 .
⑴求平移后的抛物线解析式 ;
⑵若直线 y=m 与这两条抛物线有且只有四个交 点 ,求
实数 m 的取值范围 ;
⑶若将已知的抛物线解析式改为 y=ax 2+bx+c(a ＞ 0， b ＜0) ，并将此抛物线沿 x 轴方向向左
平移 - b个单位长度，试探索问题⑵．
a
(1) 解： y x24x 1
配方，得 y (x 2)2 3 ，
向左平移
4 个单位，得 y ( x 2) 2 3
∴平移后得抛物线的解析式为y x 24x 1
(2) 由 (1) 知，两抛物线的顶点坐标为(2，3) ，(－2，－3)
y x24x 1 x 0
解
x24x ，得
y 1
y 1
∴两抛物线的交点为（0，1 ）
由图象知，若直线y＝ m 与两条抛物线有且只有四个交点时，
m＞－ 3 且 m≠1
（ 3）由 y ax 2bx c 配方得， y a( x b ) 2 4ac b 2
2a 4a
向左平移b
个单位长度得到抛物线的解析式为
a
y a(x
b )
2 4ac b 2 2a 4a
∴两抛物线的顶点坐标分别为
( b , 4ac b2) ，
( b
, 4ac b
2)
2a 4a 2a 4a
y
b 4a
c b 2
a( x )
x 0 解
2a 4a
b 4a
c b 2
得，
c
y
y
a( x )
2a4a
∴两抛物线的交点为（ 0 ， c）
由图象知满足（2 ）中条件的m 的取值范围是：
m＞ 4ac b 2且 m≠c
4a
15. 直线
y
3 x 1分别与 x 轴、 y 轴交于 B、 A 两
点．
3
⑴求 B 、 A 两点的坐标；
⑵把△AOB 以直线 AB 为轴翻折，点 O 落在平
面上的点 C 处，以 BC 为一边作等边△ BCD
求 D 点的坐标．
解：如图（ 1）令 x=0 ，由 y 3 x 1 得 y=1
3
令 y=0 ，由 y 3 x 1 得 x 3
3
∴B 点的坐标为（
3 ， 0）， A 点的坐标为
（0，1）（ 2）由（ 1）知 OB= 3 ， OA=1
OA
= 3
°
∴tan ∠OBA= ∴∠OBA=30
OB 3
∵△ABC 和△ABO 关于 AB 成轴对称
∴BC=BO= 3 ，∠CBA= ∠OBA=30 ° ∴ ∠CBO=60 °过点 C 作 CM ⊥x 轴于 M，则在 Rt △BCM
中
CM=BC ×sin ∠CBO=3
×sin60 °= 3
2
BM=BC ×cos ∠CBO=3
×cos60 °=3∴OM=OB － BM= 3 － 3 = 3
2 2 2
∴C 点坐标为（3，3）
2 2
连结 OC
∵OB=CB ，∠CBO=60 °
∴△BOC 为等边三角形
过点 C 作 CE∥x 轴，并截取 CE=BC 则∠BCE=60 °
连结 BE 则△BCE 为等边三角形．y C E 作 EF ⊥x 轴于 F，则 EF=
CM= 3， BF=BM= 3
A
2 2
OF=OB+BF= 3 + 3 = 3 3 O MB
F
x
2 2
∴点E坐标为（33，3）
2 2
∴D 点的坐标为（0， 0）或（3 3 ，3）
2 2
16 ．已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过 A ，B ，C 三点，当x≥0 时，其图象如图所示．
(1)求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；
(2)画出抛物线 y=ax 2+bx+c 当 x<0 时的图象；
(3)利用抛物线 y=ax 2+bx+c, 写出 x 为何值时， y>0 ．
(第 25 题)
解： (1) 由图象，可知A(0,2) ， B(4,0) ， C(5,-3) ，
得方程组解得
∴抛物线的解析式为
顶点坐标为
(2)所画图如图．
(3)由图象可知，当 -1<x<4 时， y>0 ．
17 ．如图，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点， B(5 ，
0)，M 为等腰梯形 OBCD 底边 OB 上一点， OD=BC=2 ，
∠DMC= ∠ DOB=60 ° ．
(第 28题)
(1) 求直线 CB 的解析式：
(2) 求点 M 的坐标；
(3) ∠ DMC 绕点 M 顺时针旋转α (30 ° <α <60 ° )后，得到∠D 1MC 1(点 D1， C1 依次与
点D， C
对应 )，射线 MD 1 交直线 DC 于点 E，射线 MC 1 交直线 CB 于点 F ，设 DE=m ， BF=n ．求 m 与 n 的函数关系式．
解： (1) 过点 C 作 CA ⊥OB ，垂足为 A ．在 Rt △ ABC 中，∠CAB=90 °，∠ CBO=60 °，设直线 CB 的解析式为 y=kx+b ，由 B(5 ， 0) ，
C(4 ，
3 )
，
得解得
∴直线 CB 的解析式为y=- 3 x+5 3 ．
(2)∵∠ CBM+ ∠ 2+ ∠ 3=180 °，∠ DMC+ ∠ 1+ ∠ 2=180 °，∠CBM= ∠DMC= ∠ DOB=60 °∴∠ 2+ ∠3=∠1+∠ 2,∴∠ 1=∠3．
∴△ODM ∽△ BMC ．
∴OD· BC=BM · OM．( 第(2) 小
∵B 点为 (5， 0)，∴OB=5 ．
设OM=x ，则 BM=5-x ．
∵OD=BC=2 ，∴2 × 2=x(5-x) ．
解得 x1 =1， x2=4 ．
∴M 点坐标为 (1， 0)或 (4，0) ．
(3)(I) 当 M 点坐标为 (1 ， 0) 时，
(第(3) 小题
如图①， OM=1 ，BM=4 ．
0D=BC=2 ，∴ CA=BC · sin ∠ CBO= 3 , BA=BC · cos ∠ CBO=1 ．∵DC ∥ OB ，∴∠ MDE= ∠ DMO ．
∴点C 的坐标为 (4，3 )．又∠ DMO= ∠ MCB, ∴∠ MDE= ∠MCB ．
(第(1) 小
∵∠ DME= ∠ CMF=a, ∴△ DME ∽△ CMF. (2) 当
t
1
时，求直线 DE 的函数表达式；
3
(3) 如果记四边
形MNPQ 的面积为 S，那么请写出面积
S 与变量 t 之间的函数关系式，
并写
∴CF=2DE ．
∵CF=2+n ， DE=m ，
(第(3) 小题
n
．
∴2+n=2m ，即 m=1+ (0<n<4)
2
(Ⅱ )当 M 点坐标为 (4，0)时，如图② ．
OM=4,BM=1.
同理可得△ DME ∽△ CMF ，
∴DE=2CF.
1
∵CF=2-n ， DE=m ，∴ m=2(2-n) ，即 m=4-2n( <n<1) ．
2
18 ．如图，边长为1 的等边三角形 OAB 的顶点 O 为坐标
原点，点 B 在 x 轴的正半轴上，点 A 在第一象限，动点 D
在线段 OA 上移动 (不与 O， A 重合 )，过点 D 作 DE ⊥AB ，
垂足为 E，过点 D 作 DF ⊥OB ，垂足为 F。

点 M， N， P，
Q 分别是线段 BE ，ED ， DF ， FB 的中点。

连接MN ，NP ， PQ ， QM 。

记 OD 的长为 t .
(1) 当t
1 D 和点 E 的坐
标；
时，分别求出点
出自变量 t 的取值范围，是否存在s 的最大值？若存在，求出这个最大值及此时t 的值；若不存
在，请说明理由。

19 ．如图，在△ ABC
中，AB AC 1，点 D ， E 在直线 BC 上运动，设 BD
x ， CE
y ．
（1）如果BAC 30 ，DAE 105 ，试确定 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）如果BAC 的度数为，DAE 的度数为
，当，满足怎样的关系式时，（1 ）中
y
与 x 之间的函数关系式还成立，试说明理由．Ａ
解：（ 1）在△ ABC 中， AB AC 1，∠ BAC
Ｄ
ＢＣ
Ｅ
30 ，
（第22 题
∠ ABC ∠ACB 75 ，
图）
∠ ABD ∠ ACE 105 ．
又∠DAE 105 ，
3
∠DAB ∠CAE 75 ．（ 1 ） P 点的坐标
为（，
）（用含 x 的代数式表
示）；
又∠DAB ∠ADB ∠ABC 75 ，（ 2 ）试求△ NPC 面积 S 的表达式，并求出面
积S 的最大值及相应的 x 值；
∠CAE∠A（ 3 ）当 x 为何值
时，△NPC
是一个等腰三角形？简要说明理由．
．
△A D ∽△B E A
．
A B B D
E C ．
A C
1 x
，所以 y 1
解：（ 1）由题意可
知，
C (0，3) ， M (x，0)， N
(4x，3) ，
即
1．
y x
，3- 3．
1 P 点坐标为
( x x)
（ 2）当，满足关系式90 仍然成立．4
时，函数关系式
y
3
2 x
（ 2 ）设△NPC 的面积为 S ，在△ NPC 中， NC 4 x ， NC 边上的高为x ，其中此时，∠ DAB ∠ CAE ．
4
又∠DAB ∠ADB ∠ABC 90 ，
∠CAE∠A
．
又∠ABD ∠ACE，△ ADB ∽△ EAC 仍然成立．
从而（ 1 ）中函数关系式y
1
成立．x
20 ．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A， B 的坐标分别为 (4，0)，，43 ，动点 M，N 分别从 O，B 同时出发，以每秒 1 个单位的速度运动．其中，点M 沿 OA 向终点 A 运动，点N 沿 BC向终点 C运动，过点 M 作 MP⊥OA，交 AC于 P，连结 NP ，已知动点运动了 x 秒．
0 ≤ x ≤ 4 ．
S 1 (4 x) x 3 ( x24x) 3 (x 2) 2 3 ．
2 8 8 2
S 的最大值为3，此时 x 2 ．
2
（3）延长 MP 交 CB 于 Q ，则有 PQ BC ．y
y
①若 NP CP，
C
ＱＮ
B Ｎ B PQ BC， NQ CQ x ．
P
C
P
3x 4 ，
OM A x
x
4 O M A x
（第23 题
．
3
（第
23 题图）3 x， CP 5 x ，
②若 CP CN ，则 CN 4 x， PQ
4 4
4 x 5
x ， x 16
4 ．
9 ③若 CN NP ，则 CN 4 x ．
PQ
3
， NQ
4 2x ，
4
在 Rt △ PNQ 中， PN 2
NQ 2
PQ 2
．
(4 x)2
(4 2x)2
( 3 x)2 ， x 128 ．
4 16 4 128 57
综上所述， x ，或 x ．
，或 x
9 57 3
21. （ 2006 ·北京市海淀区）已知抛
物线
y 1 x 2
2x c 的部分图象如图 1 所示。

图 1
图 2
（ 1）求 c 的取值范围；
（ 2）若抛物线经过点（
0， -1 ），试确定抛物线 y 1 x 2
2 x c 的解析式；
（ 3）若反比例函数 y 2 k 1 ， a ），试在
图 2 所示直角
的图象经过（ 2 ）中抛物线上点（
x 坐标系中， 画出该反比例函数及
（ 2 ）中抛物线的图象， 并利用图象比较 y 1 与 y 2 的大
小 .22. 解： （1 ）根据图象可知 c 0
且抛物线 y 1
x 2
2x c 与 x 轴有两个交点
所以一元二次方程 x 2
2 x c 0 有两个不等的实数
根。

2 4c 4 4c 0 ，且 c 0 所以 2
所以 c
1
（ 2）因为抛物线经过点（ 0，-1） 把 x
0， y 1
1 代入
y 1
x 2
2x c 得 c
1
故所求抛物线的解析式
为
y 1
x 2
2 x 1
（ 3）因为反比例函数 y 2 k
的图象经过抛物线 y 1 x 2
2x 1 上的点（ 1，
a ）
x
把
， a 代入 y x 2
2 x 1 ，得 a
2
x 1 y 1
1 把 x 1， a
2 代入 y 2 k ，得 k
2
x 2
所以 y 2
x
画出 y 2
2
的图象如图所
示 . x
观察图象， y 1与 y 2 除交点（ 1， -2 ）外，还有两个交点大
致为
1，2 和2， 1 把 x ， 2 和 x 2， y 2 1分别代入 y 1 x 2
2 x 1 和 y 2 2 可知，
1 y
2 x 1， 2 和 2， 1 是 y 1 与 y 2 的两个交点
根据图象可知：
当x 1 或 0 x 1或 x 2 时， y1y2
当x 1或 x 1或
x 2 时， y1y2∴b、 c 是一元二次方
程
4
x2－ (2 － a)x ＋＝ 0 的两实
根．
a
当1x 0或 1 x 2 时，
y 2 1
y
4
22 ．已知抛物线 y＝ax 2＋bx ＋ c 经过点（ 1，
2 ） . ∴△＝（2－a ）2－ 4 × ≥0，
a
（1 ）若 a＝ 1 ，抛物线顶
点为A，它与 x 轴交于两点 B、C，且△ABC 为等边三角形，求 b 的值 .
∴a3－4a 2＋ 4a－16≥0,即（ a2＋ 4） (a －4) ≥0 ，故a≥4.
（2 ）若 abc ＝ 4，且 a ≥b ≥c，求 |a| ＋ |b| ＋ |c| 的最小值 .
∵abc ＞ 0，∴a、 b 、 c 为全大于０或一正二负．
解：⑴由题意，a ＋b ＋ c＝2，∵a＝ 1 ，∴b＋ c＝ 1
b b 2
抛物线顶点为 A（－，c－）
2 4
设B （x1 ， 0 ）， C（ x2 ， 0），∵x1 ＋x2 ＝－ b， x1 x2 ＝c，△＝b2－ 4c＞ 0
∴|BC| ＝ | x 1－ x2|＝| x 1－ x2 |2＝（ x1＋ x2）2－ 4 x 1 x2＝b2－ 4c
b 2 3
∵△ABC 为等边三角形，∴－c＝ b 2－ 4c
4 2
即b 2－ 4c＝ 2 3 · b2－ 4c，∵b2－ 4c ＞ 0，∴ b2－ 4c ＝2 3
∵c＝ 1 －b，∴b2＋ 4b － 16 ＝0 ，b＝－ 2 ±2 5
所求 b 值为－ 2±2 5
⑵∵a ≥b ≥c，若 a ＜ 0，则 b ＜ 0， c＜ 0 ，a ＋ b＋ c＜ 0 ，与 a ＋ b＋ c＝ 2 矛盾 .
∴a ＞ 0．
4 ∵b ＋ c＝2－ a ， bc＝
a
①若 a、 b 、 c 均大于０，∵ a ≥4，与 a ＋ b＋ c＝ 2 矛盾；
②若 a、 b 、 c 为一正二负，则a＞ 0 ， b＜ 0， c＜0,
则|a| ＋ |b| ＋|c| ＝ a － b－ c＝ a－ (2－ a) ＝ 2a－ 2 ，
∵ a≥4，故 2a －2 ≥6
当 a＝4 ， b ＝ c＝－ 1 时，满足题设条件且使不等式等号成立．
故|a| ＋ |b| ＋|c| 的最小值为 6 ．
23. 已知抛物线y ax 2 bx c 与 y
y
轴的交点为 C，顶点为M，直线 CM 的解析式y=-x+2
并且线段 CM 的长为 2 2
O x （1）求抛物线的解析式。

（2）设抛物线与 x 轴有两个交点 A （ X1 ， 0）、 B （ X2 ，
0），且点 A 在 B 的左侧，求线段 AB 的长。

（3 ）若以 AB 为直径作⊙ N，请你判断直线CM 与⊙N 的位置关系，并说明理由。

（ 1）解法一：由已知，直线 CM ：y= － x＋ 2 与 y 轴交于点 C（ 0,2 ）
抛物线 y ax 2bx c
过点 C（ 0,2 ），所以 c=2 ，抛物线
y ax 2bx c 的顶点 M b , 4ac b2在直线CM
2a 4a
上，所以4a 2 b2b 2 , 解得 b 0或 b 2
4a 2a
若 b ＝ 0，点 C、 M 重合，不合题意，舍去，所以b ＝－ 2 。

即
M 1 , 2 1
a a
过 M 点作 y 轴的垂线，垂足
为Q，在 Rt CMQ中，CM 2CQ 2QM 2
所以，
8 ( 1 ) 2[2 (2 1)] 2，解得，
a 1 。

a a 2
∴所求抛物线为：
y 1 x2 2x 2 或 y 1 x2 2x 2 以下同下。

2 2
（1 ）解法二：由题意得C(0 , 2), 设点 M 的坐标为 M
（ x ， y）
∵点M 在直线 y x 2 上，∴
y x 2
由勾股定理得 CM x2(y 2)2，∵ CM 2 2 ∴ x 2(y 2) 2= 2 2 ，即 x2( y 2) 2 8
y x 2 x1 2 x2 2
解方程
组x2(
y 2)2 8 得y1 4 y20
∴M（-2，4）或 M ‘（2， 0）
当 M（ -2 ， 4）时，设抛物线解析式为y a( x 2) 2 4 ，∵抛物线过（ 0， 2 ）点，
∴a 1，∴ y 1 x2 2x 2
2 2
‘
y a( x 2)
2
当 M （ 2， 0 ）时，设抛物线解析式
为
∵抛物线过（ 0 ， 2）点，
∴ a 1 ，∴y 1 x 2 2x 2
2 2
∴所求抛物线为：
y 1 x2 2 x 2 或
1
2
y
y x22x 2
M
2
（ 2 ）∵抛物线与 x 轴有两个交
点， C （
∴ 1 2 2x 2 不合题意，舍去。

y x
2
1 x 2
A B M
N
∴抛物线应为：
y 2 x 2 O D
2
抛物线与 x 轴有两个交点
且点 A 在 B 的左侧，∴由 1 x2 2 x 2 0，得
2
AB x1x2 4 2
（ 3 ）∵AB 是⊙N 的直径，∴ r = 2 2 ， N（－ 2， 0 ），又∵M（－ 2， 4），∴MN = 4 设直线 y x
2 与 x 轴交于点 D，则 D（ 2 ， 0），∴DN = 4 ，可得 MN =
DN ，∴
MDN 45 ，作 NG ⊥CM 于 G，在 Rt NGD 中，NG DN sin 452 2 = r 即圆心到直线CM 的距离等于⊙ N 的半径，∴直线 CM 与⊙N 相切
24 ．已知：抛物
线
y=-x 2 +4x-3 与 x 轴相交于 A 、B 两点 (A 点在 B 点的左侧 )，顶
点为 P ．
(1)求 A、B、 P 三点坐标；
(2) 在下面的直角坐标系内画出此抛物线的简图，并根据简图写出当x 取何值时，函数值y
大于零；
(3)确定此抛物线与直线 y=-2x+6 公共点的个数，并说明理由 . 解： (1)求得 A(1， 0)，B (3 ，0)， P (2 ，1) 解： (1) 方法一：在Rt△AOB 中，可求得AB ＝23
3
∵∠OAB ＝∠BAC ，∠AOB ＝∠ABC=Rt ∠，∴△ABO ∽△ABC，∴AO AB，由此可求得： AC ＝4
AB AC 3 方法二：由题意知： tan ∠OAB=
y
OB3 2 3
A
(2) 作图正确当 1＜ x＜ 3 时，y>0
(3) 由题意列方程组得：y x 2
4x
3
y 2x 6
转化得： x2-6x+9=0
△＝0 ，∴方程的两根相等，
方程组只有一组解
∴此抛物线与直线有唯一的公共点
25 ．已知：如图， A（ 0,1 ）是 y 轴上一定点，
部作∠BAE ＝∠OAB ，过 B 作 BC ⊥AB ，交AE
y
3
2
1
-1
O1 2345
x
-2
-1
-2
-
3
B 是 x 轴上一动点，以AB 为边，在∠ OAB 的外
于点 C.
，1，由勾股定理可
求得AB ＝ 2 ，
C
OA3 3
x
3，可求得 AC＝4
在 ABC 中，
tan
BAC tan
OAB O
B
H
3 3 D
G
(2) 方法一：当 B 不与 O 重合时，
延长
CB 交 y 轴于点 D，过 C 作 CH ⊥x 轴，交 x 轴于点
H，
则可证得 AC ＝ AD ，BD ＝ --4′
2
∵AO ⊥OB ， AB ⊥BD ，∴△ABO ∽△BDO ，则 OB 2＝ AO ×OD----
6 ′，即x1y
2
化简得： y= x
2，当 O、 B、 C 三点重合时， y=x=0 ，∴y 与 x 的函数关系式为： y= x2
4 4
方法二：过点 C 作 CG ⊥x 轴，交 AB 的延长线于点H，则 AC 2＝ (1 － y)2+x 2 =(1+y) 2，化简即
可
得。

y kx b
(1) 当 B 点的横坐标为时，求线段AC 的长；
(2)当点 B 在 x 轴上运动时，设点 C 的纵、横坐标分别为 y、 x，试求 y 与 x 的函数关系式（当点 B 运动到O 点时，点 C 也与 O 点重合）；
(3)设过点 P（ 0，-1 ）的直线 l 与 (2) 中所求函数
的图象有两个公共点M1(x1 ， y1 )、 M2 (x2，y2)，且 x12+x 22－ 6(x 1+x 2 )=8 ，求直线l 的解析式．
(3) 设直线的解析式为 y=kx+b ，则由题意可得： 1 2 ，消去 y 得： x 2
-4kx-4b=0 ，则
有 y x 4 x 1 x 2 4k
，由题设知：
x 1 x 2
4b
x12
+x 22
-6(x 1+x 2)=8 ，即(4k) 2
+8b-24k=8 ，且 b=-1 ，则 16k 2
-24k -16=0 ，解之得： k1 =2 ，k2= 1
， 2
当 k1=2 、 b=-1 时，
△＝16k 2
+16b=64-16>0 1
2
+16b=4-16<0 ，不合题意 （舍
，符合题意； 当 k2= ，b=-1 时，△＝16k
2
去），∴所求的直线 l 的解析式为： y=2x-1
26 ．如图，已知抛物线与 x 轴交于 A （ m ，0）、 B （ n ，0 ）两点，与 y 轴交于点 C （ 0， 3），
点 P 是抛物线的顶点，若 m-n= -2 ， m ·n =3 ．
（ 1）求抛物线的表达式及 P 点的坐标； （ 2）求 △ ACP 的面积 S △ACP ．
解： （ 1 ）设抛物线的表达式为 y=ax 2
+bx+c ，∵抛物线过 C （ 0，3），
∴c=3 ，
又∵抛物线与 x 轴交于 A （ m ， 0）、 B （ n ， 0）两点， ∴m 、n 为一元二次方程 ax 2
+bx+3=0 的解，
∴m+n=- b
， mn= 3
，
a a
由已知 m-n= -2 ，m ·n =3 ，∴解之得 a=1 ， b=-4 ； m=1 ， n=3 ，
∴ 抛物线的表达式为 y=x 2
-4x+3 ， P 点的坐标是（
2， 1 ）
（2 ）由（ 1 ）知，抛物线的顶点 P （ 2， -1 ），过 P 作 PD 垂直于 y 轴于点 D ，所以，
S △ BCP =S
梯形 CBPD -S △
CPD =S △
COB + S 梯形 OBPD - S △
CPD ， ∵B （3， 0）， C （ 0，3），
1 1 1
∴S △BCP =S △COB + S 梯形 OBPD - S △ CPD = ×3 ×3+ ×1×（3+2 ） -
×2×4=3 ． 2 2 2
27 ．已知抛物线 C 1 ： yx 2
2mx n （ m ， n 为常数，且 m ≠ 0 ， n 0 ）的顶点为
A ，
与 y 轴交于点 C ；抛物线 C 2 与抛物线 C 1 关于 y 轴对称，其顶点为 B ，连接 AC ， BC ，
AB ．
注：抛物线 2 b 4ac b 2
y ax bx c a ≠ 0 的顶点坐标为 ， ．
2a 4a
（ 1 ）请在横线上直接写出抛物线C 2 的解析式： ________________________ ； （ 2 ）当 m 1时，判定 △ ABC 的形状，并说明理由；
（ 3 ）抛物线 C 1 上是否存在点 P ，使得四边形 ABCP 为菱形？如果存在，请求出 m 的值；如果
不存在，请说明理由．
解：（ 1） y x 2
2mx n ．
（ 2 ）当 m 1时， △ ABC 为等腰直角三角
形．理由如下：
如图： 点 A 与点 B 关于 y 轴对称，点 C 又在 y 轴上，
AC BC ．
过点 A 作抛物线 C 1 的对称轴交 x 轴于 D ，过点 C 作 CE AD 于E ．
当 m
时，顶点 A 的坐标
为 A 11， n ， CE
1 ．
1
又 点 C 的坐标为 0，n ， AE
1 n n 1 ． AE
CE ． 从而 ∠ ECA
45 ， ∠ ACy
45 ．
由对称性知 ∠
BCy
∠ ACy 45 ， ∠ACB 90 ．
△ ABC 为等腰直角三角形．
（3 ）假设抛物线C1上存在点 P ，使得四边形A BCP 为菱形，则PC AB BC ．由（ 2）知， AC BC ，AB BC AC ．
从而△ ABC 为等边三角形．
∠ ACy ∠ BCy 30 ．
四边形 ABCP 为菱形，且点P 在 C1上，点 P 与点 C 关于 AD 对称．
PC 与 AD 的交点也为点 E ，因此∠ ACE 90 30 60 ．
点A，C 的坐标分别为 A m，m2 n ，C 0，n ，
AE m2n n m2， CE m ．y
AE m2
3 ．
在 Rt△ ACE 中， tan60
m
CE （1） y＝2x 2
（2） 8； 24.5
（3）5 秒
29 、如图，已知抛物线 L 1: y=x 2-4 的图像与x 有交于 A 、 C 两点，
（1）若抛物线 l2 与 l1 关于 x 轴对称，求 l 2 的解析式；
（2）若点 B 是抛物线 l1上的一动点（ B 不与 A、C 重合），以 AC 为对角线， A 、B、C 三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点 D 在 l2 上；
（ 3 ）探索：当点 B 分别位于l1 在 x 轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD 的面积是
否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不
存在，
请说明理由 .
m 3 ，m 3 ．
故抛物线 C1上存在点 P ，使得四边形 ABCP 为菱形，此时 m 3 ．
Y
28 ．如图 10（单位： m），等腰三角形 ABC 以 2 米/秒的速度沿直线L 向正方形移动，直
到
D
l
1
AB
与 CD 重合。

设 x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积
为y m2.
D A C
A O X （1 ）写出 y 与 x 的关系式；1 1
B 1L B
l
2
C
（2 ）当 x＝ 2 ， 3.5 时， y 分别是多少？
图
图21
（3 ）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？。