2022-2021学年高二数学北师大版必修5练习：3.2.2 一元二次不等式的应用

2.2 一元二次不等式的应用
课时目标 1.会解可化为一元二次不等式(组)的简洁分式不等式.2.会解与一元二次不等式有关的恒成立问题．
1． 一元二次不等式的解集：
判别式 Δ＝b 2－4ac
Δ>0
x 1<x 2 Δ＝0 Δ<0
ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)
ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)
2.解分式不等式的同解变形法则： (1)f (x )g (x )>0⇔________； (2)f (x )g (x )
≤0⇔__________； (3)f (x )
g (x )≥a ⇔f (x )－ag (x )g (x )
≥0. 3．处理不等式恒成立问题的常用方法： (1)一元二次不等式恒成立的状况：
ax 2＋bx ＋c >0 (a ≠0)恒成立⇔__________； ax 2＋bx ＋c ≤0 (a ≠0)恒成立⇔__________.
(2)一般地，若函数y ＝f (x )，x ∈D 既存在最大值，也存在最小值，则： a >f (x )，x ∈D 恒成立⇔____________； a <f (x )，x ∈D 恒成立⇔____________. 4．简洁的一元高次不等式的解法
一元高次不等式f (x )>0用穿针引线法(或数轴穿根法)求解，其步骤是： (1)将f (x )最高次项的系数化为正数；
(2)将f (x )分解为若干个一次因式或二次不行分解因式的积或商的形式； (3)将每个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(留意重根状况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；
(4)依据曲线显现出的f (x )值的符号变化规律，写出不等式的解集．
一、选择题
1．不等式x －2
x ＋3
>0的解集是( )
A ．(－3,2)
B ．(2，＋∞)
C ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)
D ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
2．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( )
A ．{x |x >1}
B ．{x |x ≥1}
C ．{x |x ≥1或x ＝－2}
D ．{x |x ≤－2或x ＝1}
3．不等式x 2－2x －2
x 2＋x ＋1
<2的解集为( )
A ．{x |x ≠－2}
B ．R
C ．∅
D ．{x |x <－2或x >2}
4．不等式x ＋5
(x －1)2≥2的解是( )
A ．[－3，12]
B ．[－1
2，3]
C ．[12，1)∪(1,3]
D ．[－1
2
，1)∪(1,3]
5．不等式x 2－x －6
x －1＞0的解集为( )
A.{}x | x ＜－2，或x ＞3
B.{}x | x ＜－2，或1＜x ＜3
C.{}x | －2＜x ＜1，或x ＞3
D.{}x | －2＜x ＜1，或1＜x ＜3
6．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( ) A ．1<x <3 B ．x <1或x >3 C ．1<x <2 D ．x <1或x >2
二、填空题
7．若关于x 的不等式x －a
x ＋1
>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a ＝________.
8．若不等式－x 2＋2x －a ≤0恒成立，则实数a 的取值范围是________．
9．若全集I ＝R ，f (x )、g (x )均为x 的二次函数，P ＝{x |f (x )<0}，Q ＝{x |g (x )≥0}，则不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧
f (x )<0，
g (x )<0的
解集可用P 、Q 表示为________．
10．假如A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围为________．
三、解答题
11．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减小耕地损失，打算按耕地价格的t %征
收耕地占用税，这样每年的耕地损失可削减5
2
t 万亩，为了既削减耕地的损失又保证此项税收一年不少于
9 000万元，t %应在什么范围内变动？
12．关于x 的不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－x －2>0，
2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，求实数k 的取值范围．
力气提升
13．已知x 1、x 2是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0(k ∈R )的两个实数根，则x 21＋x 2
2的最大值为( )
A ．18
B ．19 C.50
9
D ．不存在
14．已知不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p .
(1)假如不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的取值范围； (2)假如不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的取值范围．
1．解分式不等式时，确定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．若不等式含有等号时，留意分母不为零．
2．对于有的恒成立问题，分别参数是一种行之有效的方法．这是由于将参数予以分别后，问题往往会转化为函数问题，从而得以快速解决．当然这必需以参数简洁分别作为前提．分别参数时，经常要用到下述简洁结论：(1)a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；(2)a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .
2．2 一元二次不等式的应用 答案
学问梳理
1．{x |x <x 1或x >x 2} {x |x ∈R 且x ≠－b
2a } R {x |x 1<x <x 2} ∅ ∅ 2.(1)f (x )·g (x )>0 (2)⎩⎪⎨⎪⎧
f (x )·
g (x )≤0g (x )≠0
3.(1)⎩⎨⎧ a >0Δ<0 ⎩⎪⎨⎪
⎧
a <0Δ≤0 (2)a >f (x )max a <f (x )min
作业设计
1．C [解不等式x －2
x ＋3
>0得，x >2或x <－3.]
2．C [当x ＝－2时，0≥0成立．当x >－2时，原不等式变为x －1≥0，即x ≥1. ∴不等式的解集为{x |x ≥1或x ＝－2}．] 3．A
[原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0，∴x ≠－2.
∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．]
4．D [x ＋5
(x －1)2≥2⇔⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋5≥2(x －1)2x －1≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧
－12
≤x ≤3，x ≠1，
∴x ∈[－12，1)∪(1,3]．] 5．C [
∵x 2－x －6x －1
＞0，
∴(x －3)(x ＋2)x －1
＞0，
∴(x －3)(x ＋2)(x －1)＞0，如图，由穿根法可得不等式的解集为{ x |}－2＜x ＜1，或x ＞3
.]
6．B [设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，g (a )>0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎪⎨⎪
⎧
g (1)＝x 2－3x ＋2>0g (－1)＝x 2
－5x ＋6>0⇔
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x <1或x >2
x <2或x >3⇔x <1或x >3.] 7．4
解析 x －a x ＋1>0⇔(x ＋1)(x －a )>0⇔(x ＋1)(x －4)>0∴a ＝4.
8．a ≥1
解析 ∵Δ＝4－4a ≤0，∴a ≥1. 9．P ∩∁I Q
解析 ∵g (x )≥0的解集为Q ， 所以g (x )<0的解集为∁I Q ，
因此⎩⎨⎧
f (x )<0，
g (x )<0
的解集为P ∩∁I Q .
10．0≤a ≤4
解析 a ＝0时，A ＝∅；当a ≠0时，A ＝∅⇔ax 2－ax ＋1≥0恒成立⇔⎩
⎪⎨⎪
⎧
a >0Δ≤0⇔0<a ≤4，
综上所述，实数a 的取值范围为0≤a ≤4.
11．解 由题意可列不等式如下：⎝⎛⎭⎫20－5
2t ·24 000·t %≥9 000⇔3≤t ≤5. 所以t %应把握在3%到5%范围内． 12．解 由x 2－x －2>0，可得x <－1或x >2.
∵⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－x －2>0，
2x 2
＋(2k ＋5)x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，
方程2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝0的两根为－k 与－5
2
，
①若－k <－5
2，则不等式组的整数解的集合就不行能为{－2}；
②若－5
2
<－k ，则应有－2<－k ≤3，
∴－3≤k <2.
综上，所求的k 的取值范围为－3≤k <2.
13．A [由已知方程有两实数根得，Δ≥0，即(k －2)2－4(k 2＋3k ＋5)≥0.
解得－4≤k ≤－43
，又x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝－(k ＋5)2
＋19， ∴当k ＝－4时，x 21＋x 22有最大值，最大值为18.]
14．解 (1)不等式化为(x －1)p ＋x 2－2x ＋1>0，令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1， 则f (p )的图像是一条直线．又∵|p |≤2，
∴－2≤p ≤2，于是得：⎩⎨⎧
f (－2)>0，f (2)>0.
即⎩⎪⎨⎪⎧
(x －1)·(－2)＋x 2－2x ＋1>0，
(x －1)·2＋x 2
－2x ＋1>0.
即⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－4x ＋3>0，x 2
－1>0. ∴x >3或x <－1.
故x 的取值范围是x >3或x <－1. (2)不等式可化为(x －1)p >－x 2＋2x －1， ∵2≤x ≤4，∴x －1>0. ∴p >－x 2＋2x －1x －1
＝1－x .
由于不等式当2≤x ≤4时恒成立， ∴p >(1－x )max .而2≤x ≤4， ∴(1－x )max ＝－1，于是p >－1. 故p 的取值范围是p >－1.。