近世代数期末考试卷

近世代数期末考试卷
广东第二师范学院考试试卷
（ A ）卷
2019-2019学年第2学期
考试有关事项说明
考试日期：2019年7月4日（星期3）考试用时：150分钟考试地点：（花都校区教学楼楼课室）考试形式：闭卷
, 每小题5分, 共20分)
1. 设A,B 是非空的有限集合, |A|=m≤|B|=n, 则从A 到B 的单射一共有个.
2. 整数环的模12的剩余类环 Z /(12) 的零因子为 .
12345⎫
3. 把5次对称群S 5的元⎫ 写成不相连接的循环置换之积为 .
⎫41523⎫
4. 群G 中 |a|=n. 则 |am .
, 每题5分, 共20分)
1. 设ϕ是从环R 到环
的同态满射. 下列说法正确的是 ( ). (选项中环的一个特
征指这个环的所有元对加群的阶的最大值.)
A. 若R 没有零因子, 则没有零因子;
B. 若没有零因子, 则没有零因子;
C. R 的特征≥ 的特征;
D.
的特征≥R 的特征.
2. 设群G 的阶为素数p. 作命题 (1) G是交换群; (2) G是循环群; (3) G与任一p 阶群
同构; (4) G有且只有两个子群. 这些命题中一定成立的个数是 ( ). A. 1个; B. 2个; C. 3个; D. 4个.
4
3. 设G 是一个24阶群. 若 G的元a 生成的子群 (a) 在G 中的指数是4, 则a 生成的子
4
群 (a) 在G 中的指数是 ( ). A. 1; B. 8; C. 16; D. 24.
4. 下列条件哪一个不是群G 的子群N 做成正规子群的充要条件? ( ).
A. an=na, a∈G, n∈N;
-1
B. aNa =N, a∈G;
-1
C. aNa ⊂N, a∈G;
D. aN ⊂Na, a∈G.
, 每题15分, 共60分)
1. 设 u 为一个无理数. 证明R 上的关系={(a,b)∈
a ⇔ (a-b)/u 为有理数) 是一个等价关系. (15 分)
2. 设G 是一个群. 取u ∈G, 定义G 上的二元运算○: a○b=aub. 证明(G,○)
做成群,
而且 G≅(G,○). (15分)
: a-b=ku, k为有理数} (即,
3. 设R 是一个有单位元的交换环, R[x] 为R 上的一元多项式环. 证明R[x] 是一个整环
当且仅当R 是一个整环. (15分)
4. 说明：(x ) 是不是多项式环Z [x ]的最大理想? (x ) 是不是多项式环Q [x ]的最大理想?
(15分)。