2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1阶段质量检测(四) 模块综合检测含答案解析

阶段质量检测(四) 模块综合检测 [考试时间：120分钟 试卷总分：160分]
题 号 一 二
总 分 15 16 17 18 19 20 得 分
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．把正确答案填在题中的横线上) 1．(安徽高考)命题“存在实数x ，使x >1”的否定是________________________． 2．“相似三角形的对应角相等”的否命题是________________________________． 3．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p >0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于________．
4．若a ＝(1，－1，－1)，b ＝(0,1,1)，且(a ＋λb )⊥b ，则实数λ的值是________．
5．(重庆高考)设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1
垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________.
6．已知a ＝(t ＋1,1，t )，b ＝(t －1，t,1)，则|a －b |的最小值为________．
7．方程x 23＋m －y 2
1－m ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围是________．
8．(北京高考改编)双曲线x 2
－y 2
m
＝1的离心率大于2的充分必要条件是________．
9．(山东高考改编)给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的________条件．
10．命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是____________________． 11．已知A (4,1,3)、B (2,3,1)、C (3,7，－5)，点P (x ，－1,3)在平面ABC 内，则x 的值为________． 12．(山东高考改编)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2
＝1的右焦点的连线
交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝________.
13．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP ―→＝2P A ―→，且OQ ―→·AB ―→＝1，则P 点的轨迹方程是________．
14．若方程x 24－t ＋y 2
t －1＝1所表示的曲线为C ，给出下列四个命题：
①若C 为椭圆，则1＜t ＜4且t ≠5
2；
②若C 为双曲线，则t ＞4或t ＜1； ③曲线C 不可能是圆；
④若C 表示椭圆，且长轴在x 轴上，则1＜t ＜3
2
.
其中正确的命题是________(把所有正确命题的序号都填在横线上)．
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)过直角坐标平面xOy 中的抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为π
4
的直线与抛物线相交于A ，B 两点． (1)用p 表示线段AB 的长；
(2)若OA ·
OB ＝－3，求这个抛物线的方程．
16．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫
π4＋x －3cos 2x －1，x ∈R .
设p ：x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，q ：|f (x )－m |＜3，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．
17.(本小题满分14分)如图，在正方体AC 1中，O 为底面ABCD 的中心，
P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面 P AO?
18．(本小题满分16分)已知点⎝⎛⎭⎫1，32是椭圆E ：x 2
a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)上一点，离心率为12. (1)求椭圆E 的方程；
(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆E 交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．
19．(新课标全国卷Ⅱ)(本小题满分16分)如图，直三棱柱ABC －A
1B 1C 1
中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝
2
2
AB . (1)证明：BC 1//平面A 1CD ； (2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值．
20．(重庆高考)(本小题满分16分)如图，设椭圆的中心为原点
O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三
角
形．
(1)求该椭圆的离心率和标准方程；
(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程．
答 案
1．对任意实数x ，都有x ≤1
2．解析：否命题是条件结论都否定． 答案：不相似的三角形的对应角不相等
3．解析：抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p
2，因为P (6，y )为抛物线上的点，所以P 到焦点
F 的距离等于它到准线的距离，所以6＋p
2
＝8，所以p ＝4，焦点F 到抛物线准线的距离等于4.
答案：4
4．解析：λb ＝(0，λ，λ)，a ＋λb ＝(1，λ－1，λ－1)． ∵(a ＋λb )⊥b ，∴(a ＋λb )·b ＝0. ∴λ－1＝0，λ＝1. 答案：1
5．解析：由PF 1⊥x 轴且P 点在双曲线的左支上，可得P ⎝⎛⎭⎫－c ，－b 2
a .又因为点P 在直线y ＝b
3a
x 上，所以－b 2a ＝b
3a ×(－c )，整理得c ＝3b ，根据c 2＝a 2＋b 2得a ＝22b ，所以双曲线的离心率e ＝
c a ＝3b 22b ＝324
. 答案：32
4
6．解析：|a －b |2＝22＋(1－t )2＋(t －1)2＝2(t －1)2＋4， 所以当t ＝1时，|a －b |取得最小值2. 答案：2
7．解析：若x 23＋m －y 2
1－m
＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
3＋m >0，1－m >0⇒－3<m <1， ∴m 的取值范围是(－3,1)． 答案：(－3,1)
8．解析：依题意，e ＝c a ，e 2＝c 2
a 2>2，得1＋m >2，
所以m >1. 答案：m >1
9．解析：由q ⇒綈p 且綈p ⇒/ q 可得p ⇒綈q 且綈q ⇒/ p ，所以p 是綈q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要
10．解析：∵“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9＜0”为假命题， ∴∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0为真命题， ∴Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即a 2≤8， ∴－22≤a ≤2 2. 答案：[－22，2 2 ]
11．解析：因为A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)， P (x ，－1,3)，
所以AP ＝(x －4，－2,0)，AB ＝(－2,2，－2)，
AC ＝(－1，6，－8)．
由于点P 在平面ABC 内，所以P 、A 、B 、C 四点共面．所以AP 、AB 、AC 三个向量共面．故由共面向量定理，知存在有序实数对(m ，n )，使AP ＝m AB ＋n AC ，
即(x －4，－2,0)＝m (－2,2，－2)＋n (－1,6，－8)， 所以⎩⎪⎨⎪
⎧
x －4＝－2m －n ，－2＝2m ＋6n ，
0＝－2m －8n .解得⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＝－4，n ＝1，
x ＝11.
答案：11
12．解析：由已知得抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p
2，双曲线的右焦点坐标为(2,0)，所以上述两点连线的方程为x 2＋2y p ＝1.双曲线的渐近线方程为y ＝±33x .对函数y ＝12p x 2求导得，y ′＝1
p x .设M (x 0，
y 0)，则1p x 0＝33，即x 0＝33p ，代入抛物线方程得，y 0＝16p .由于点M 在直线x 2＋2y p ＝1上，所以3
6p
＋2p ×p 6＝1，解得p ＝43
＝43
3. 答案：433
13．解析：可得A (3
2x,0)，B (0,3y )，Q (－x ，y )，
则AB ＝(－3
2x,3y )，OQ ＝(－x ，y )，
故OQ ·AB ＝3
2
x 2＋3y 2＝1，
所以P 点的轨迹方程为3
2x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．
答案：3
2
x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)
14．解析：若为椭圆，则⎩⎪⎨⎪
⎧
4－t ＞0，t －1＞0，
4－t ≠t －1，
即1＜t ＜4，且t ≠5
2
；
若为双曲线，则(4－t )(t －1)＜0，即4＜t 或t ＜1； 当t ＝5
2时，表示圆，若C 表示长轴在x 轴上的椭圆，
则1＜t ＜5
2，故①②正确．
答案：①②
15．解：(1)抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，过点F 且倾斜角为π4的直线方程是y ＝x －p 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪
⎧
y 2
＝2px ，y ＝x －p
2 得x 2
－3px ＋p 2
4
＝0，
∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 2
4，∴AB ＝x 1＋x 2＋p ＝4p .
(2)由(1)知x 1x 2＝p 2
4
，x 1＋x 2＝3p ，
∴y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫x 1－p 2⎝⎛⎭⎫x 2－p 2＝x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋p 2
4＝p 2
4－3p 2
2＋p
2
4＝－p 2， ∴OA ·
OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－3p 2
4＝－3， 解得p 2＝4，∴p ＝2.
∴这个抛物线的方程为y 2＝4x .
16．解：∵f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1 ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
3， ∴若p 成立，即x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3， 由|f (x )－m |＜3⇒m －3＜f (x )＜m ＋3.
∵p 是q 的充分条件，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
m －3＜1，
m ＋3＞2，解得－1＜m ＜4，
即m 的取值范围是(－1,4)．
17．解：如图，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为
x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则O ⎝⎛⎭⎫12，12，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，12， A (1,0,0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，
设Q (0,1，z )，则OP ＝⎝⎛⎭⎫－12
，－12，1
2， 1BD ＝(－1，－1,1)，∴OP ∥1BD ，
∴OP ∥BD 1，AP ＝⎝
⎛⎭⎫－1，0，1
2，BQ ＝(－1,0，z )， 当z ＝1
2时，AP ＝BQ ，即AP ∥BQ ，有平面AOP ∥平面D 1BQ ，
∴当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO . 18．解：(1)由题意知，c a ＝1
2，所以a 2－b 2a 2＝14，a 2＝43b 2.
又1a 2＋9
4b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝3. 因此椭圆E 的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0， 故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1
消去y 得， (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－3)＝0. 由题意知Δ＝64k 2m 2－16(3＋4k 2)(m 2－3) ＝16(12k 2－3m 2＋9)>0， 即4k 2－m 2＋3>0.
又x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2
所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2 ＝3m 2－12k 23＋4k 2
.
因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，
所以y 1x 1·y 2x 2＝3m 2－12k 2
4(m 2
－3)
＝k 2，
即(4k 2－3)m 2＝0，∵m ≠0，∴k 2＝3
4.
由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ>0， 得0<m 2<6，且m 2≠3. 设d 为点O 到直线l 的距离， 则S △OPQ ＝12d |PQ |＝12×|m |
1＋k 2
1＋k 2|x 1－x 2|
＝1
2|m |(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 又因为m 2≠3，
所以S △OPQ ＝33m 2(6－m 2
)<33×m 2＋6－m 2
2
＝ 3.
所以△OPQ 面积的取值范围为(0，3)．
19.解：(1)证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点．
又D 是AB 的中点，连结DF ，则BC 1∥DF . 因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD . (2)由AC ＝CB ＝2
2
AB 得， AC ⊥BC .
以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)，
CD ＝(1,1,0)，CE ＝(0,2,1)，1CA ＝(2,0,2)．
设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧
n ·CD ＝0，n ·1
CA ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＋y 1＝0，
2x 1＋2z 1＝0.
可取n ＝(1，－1，－1)．
同理，设m ＝(x 2，y 2，z 2)是平面A 1CE 的法向量，则
⎩
⎪⎨⎪⎧
m ·CE ＝0，m ·1CA ＝0，即⎩⎪⎨⎪
⎧
2y 2＋z 2＝02x 2＋2z 2＝0可取m ＝(2,1，－2)．
从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝33，故sin 〈n ，m 〉＝6
3.
即二面角D －A 1C －E 的正弦值为
6
3
. 20．解：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)．
因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|＝|AB 2|， 故∠B 1AB 2为直角，
因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝c
2
.
结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2， c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝2
5 5.
在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2， 故S △AB 1B 2＝1
2·|B 1B 2|·|OA |
＝|OB 2|·|OA |＝c
2
·b ＝b 2.
由题设条件S △AB 1B 2＝4，得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20. 因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 2
4
＝1.
(2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.
设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则y 1，y 2是上面方程的两根， 因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1y 2＝－16
m 2＋5，
又2B P ＝(x 1－2，y 1)，2B Q ＝(x 2－2，y 2)， 所以2B P ·2B Q ＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16(m 2＋1)m 2＋5－16m 2
m 2＋5＋16
＝－16m 2－64m 2＋5
，
由PB 2⊥QB 2，得2B P ·2B Q ＝0， 即16m 2－64＝0， 解得m ＝±2.
所以满足条件的直线有两条，
其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.。