《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》教学设计(第一课时)

《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》教学设计（第一课时）
宁波市第四中学邵春霞
一、教学内容分析
(一)教材的地位与作用
“分类加法计数原理和分步乘法计数原理”（以下简称“两个计数原理”）是人教A版高中数学课标教材选修2-3中“第一章计数原理”第1.1节的内容，本节课为第1课时．两个计数原理是人类在大量的实践体会的基础上归纳出的差不多规律，是解决计数问题的最差不多、最重要的方法，它们不仅是推导排列数、组合数运算公式的依据，而且其差不多思想方法也贯穿在解决本章应用问题的始终，在本章中是奠基性的知识。

一方面它为后面学习排列、组合、随机变量的概率等内容提供了思想方法和理论依据；另一方面它的结论与其差不多思想方法在解决本章应用问题时有许多直截了当应用。

因此，它理应成为我们重点把握的教学内容。

新旧教材最大区别在于：旧教材是先学习两个计数原理后学习概率，表达由理论到实践的过程。

新教材是在学习了古典概型的基础上提出了本节内容，表达了由实践到理论、再到实践的过程。

学生在具备一定的计数能力(树形图、列举法等)的前提下，能更好更快地明白得并把握这两个差不多原理，在实践中能更灵活地运用两个差不多原理来解决问题。

另外本节课所涉及的分步、分类思想是解决实际问题的最有效的武器，是人们摸索问题的差不多方法。

（二)教学重点与难点
教学重点：对两个计数原理的认识与明白得，并能解答简单的应用问题。

教学难点：依照具体问题特点，准确选择分类加法计数原理与分步乘法计数原明白得决实际问题。

（三）教学目标
1、知识与技能：
（1）正确明白得和把握分类加法计数原理和分步乘法计数原理
（2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题
2、过程与方法：
(1) 经历由实际问题推导出两个原理，再回来实际问题的解决这一过程，体会数学源于生活、高于生活、用于生活的道理，让学生体验到发觉数学、运用数学的过程．
(2)在解决实际问题的过程中，进一步体会将问题进行“分类”摸索和“分步”摸索的数学方法。

3、情感、态度与价值观：
培养主动探究的学习态度和协作学习的能力，进一步提高学习数学、研究数学的爱好．
二、学情分析
1.认知基础：关于学生来说计数问题并不生疏，在不同的学段都有相应的接触，专门是在高中数学《必修2》中学习“古典概型”时，学生又学会了用树状图、列举法解决最简单的计数问题，这些形成了学生思维的“最近进展区”；同时在学习和
生活中，学生差不多不自觉地会使用“分类”和“分步”的方法来摸索和解决问题．
2.能力基础：高二学生有较强的观看能力和一定的数学抽象概括能力。

3.可能障碍：一是应用原理的意识淡薄，二是不能依照问题的特点，正确地选择原明白得决问题。

两个计数原理虽简单朴素，易学好明白，但如何让学生借助已有的数学活动体会，抽象概括出两个计数原理，并领会其中重要的数学思想方法，实现认知的飞跃，则是本课必须要突破的难点所在．为此，抓住以下两个要点尤为重要：一是要通过典型丰富的实例来关心学生完成归纳提炼的过程，加强学生应用两个计数原明白得决问题的意识——这是有效提升学生抽象概括能力的契机；
二是要在解决问题的过程中，始终突出两个计数原理的核心要素，即弄清“完成一件事”的含义和区分“分步”与“分类”的特点——这是如何选择两个计数原理的关键．
三、教学策略分析
(一)教法分析
关于两个计数原理，不仅仅在于规律本身，更在于学生从已有的方法中发觉原理、归纳原理，进一步深刻认识原理，在发觉的过程中学会学习，学会探究，提升思维的品质．拟定采取以退为进的教学策略，采纳“情境引入—问题诱导—实例探究—抽象概括—原理应用—归纳总结—拓展铺垫”的探究发觉式教学方法，紧紧围绕如何抽象、如何样概括、如何归纳和如
何应用等问题展开，通过典型丰富的实例引导学生归纳出两个计数原理，并能学会初步应用，加深对原理的区分和思想方法的明白得．
（二）学法指导
学生已具备一定的计数能力（树状图、列举法等），能解决一些差不多的计数问题，包括本节课所涉及的一些实际问题，只是还没有上升到理论的高度。

然而要由实际问题转变为数学知识，必须借助于老师的引导和关心。

而当归纳总结得出分类加法计数原理之后，运用类比的方式得出分步乘法计数原理对学生来说就并不困难了。

同时，关于两个原理的应用，关键是能否依照具体问题的特点选择相应的原理，要指导学生感悟两个计数原理的区别与联系及其应用的前提条件和应用的注意点。

四、教学手段
采纳多媒体辅助教学，营造愉悦的学习情境。

五、过程设计
（一）创设问题情境，激发学习爱好，导入课题
随着生活水平的提高，都市汽车越来越多，道路也越来越拥堵，图片中是我们宁波市区上班高峰时的路况。

背景资料：宁波治堵再放大招！2021年新增公共自行车5 000辆、专用停车位超4万个。

过去的几年，宁波市委、市政府大力推行“都市治堵”，让许多市民深有体会。

然而，这还仅仅只是个开始。

昨天，宁波市召开2021年交通拥堵治理和公交
都市创建工作推进会，公布了最新方案。

依照部署，今年宁波将通过优化公交出行、完善都市道路网络、加强停车设施治理与建设、推进聪慧交通建设、推进市域治堵等十方面工作，切实提高居民获得感和中意度，提升都市综合竞争力。

（2021-03-23现代金报）
你明白宁波市的公共自行车有哪些种类吗？它们的车牌是什么模样的?
情境1：假如宁波市公共自行车车牌照形式为“甬-□□□□■”其中“甬”为地区代码，■为大写英文字母D，E，□为0~9阿拉伯数字。

按此方式编排，最多有多少个不同的牌照？
【设计意图】：创设问题情境，从贴近学生生活的实际问题动身，激发学生的学习爱好。

我们来看看那个问题的设问方式，“按此方式编排，最多有多少个不同的牌照？”这确实是一个典型的计数问题．所谓计数确实是数数．我们将这种方法数的运算问题称之为计数问题。

计数问题：即运算完成一件事的方法数的问题。

小时候，我们是如何数的呀？
当那个数专门大时，列举的方法专门难实施．比如，刚才那个问题“一个一个的去数”能够吗？比较复杂．看来我们有必要探究更有效的计数方法。

今天我们先来学习计数问题中两种最差不多、最重要的方法。

（板书课题：1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理）（二）实例探究，归纳原理
那个问题研究五位编码比较复杂，如何办？我们不妨先研究比较简单的问题，从中探究出规律，进而解决五位数编码问题．
（1）师生共同探究，得出分类加法计数原理
情境１：北师大专家到宁波四中进行学术交流，已知从北京到宁波，能够乘火车，也能够乘飞机．一天中，直达火车有5班，直达飞机有10班。

那么一天中，乘坐这些交通工具从北京到宁波共有多少种不同的走法？
【设计意图】：引导学生分析要完成的“一件事”是什么,从而正确明白得“一件事”的概念。

情境2：若从北京到宁波一天中还有2班汽车可乘，那么一天中乘坐这些交通工具从北京到宁波，共有多少种不同的走法？
看来加法原理不仅对完成一件事有两类不同方案适用，也对分三类方案适用，对分n类同样适用．
变式：做一件事，完成它能够有n类方法，在第一类方法中有m1种不同的方法，在第二类方法中有m2种不同的方法，……，在第n类方法中有mn种不同的方法，每一类中的每一种方法均可完成这件事，那么，完成这件事共有多少种不同的方法？
【设计意图】：由专门到一样的设计思路，让学生明白得分类加法计数原理的概念，表达了一样存在于专门之中的辩证思想。

例1、假如北师大专家从3门必考科目语、数、外和7门选考科目物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术中选择一门学科进行学术指导，共有多少种不同选法？
【设计意图】通过本例让学生进一步明白得“分类”的含义。

反馈练习1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字（1～9）给各个学科的学术交流资料进行编号，总共能够编出多少种不同的号码？
（2）类比转化探究，得出分步乘法计数原理
情境3：北师大专家先乘飞机从北京到杭州，再于次日从杭州乘汽车到宁波。

一天中，汽车有5班，飞机有10班，那么两天中，从北京到宁波共有多少种不同的走法？
【设计意图】从实际问题动身，让学生类比分类加法计数原理归纳得出分步乘法计数原理。

例2、专家从3门必考科目语、数、外和7门选考科目物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术中选择必考科目和选考科目中各选一门学科进行学术指导，共有多少种不同的选法？
【设计意图】通过本例让学生进一步明白得“分步”的含义。

反馈练习2：用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，……，B1，B2，……的方式给各个学科的学术交流资料进行编号，总共能编出多少种不同的号码？
【设计意图】让学生总结得到：若“要完成的事”满足“类类独立”，用任何一类中的任何一种方法都能独立完成这件情况，则是一个分类问题；若“要完成的事”满足“步步相依”，只有依次完成每一个步骤才能完成这件情况，则是一个分步问题，从而进一步培养学生分析问题解决问题的能力，并向学生介绍“树形图”是解决计数问题的的常用方法。

（三）小试牛刀
例3、假如北师大专家从语、数、外3门必考科目和物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术7门选考科目中选一门或从必考科目和选考科目中各选一门学科进行学术指导，共有多少种不同的选法？
【设计意图】通过对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用，加深对概念的明白得。

探究1：解答计数问题的一样思维过程是什么？
探究2：对比两个计数原理指出相同点和不同点。

【设计意图】：通过自主合作探究，加深对两个差不多原理的明白得，同时在两个差不多原理内容的比较中提高学生数学阅读的能力。

例4、假如宁波市公共自行车车牌形式为“甬-□□□□■”其中“甬”为地区代码，■为大写英文字母D，E，□为0~9
阿拉伯数字。

按此方式编排，最多有多少个不同的牌照？
反馈练习3：班级有2幅不同国画、1幅油画、1幅水彩画,以美化教室为背景(1)编写一个使用分类加法计数原明白得决的计数问题；(2)编写一个使用分步乘法计数原明白得决的计数问题；
反馈练习4：用4种颜色的花装饰花坛，每个区域种植一种颜色的花，若要求相邻（有公共边）区域不同色，共有多少种不同的种植方法？
【设计意图】通过此例让学生明白数学源于生活，又服务于生活，同时让学生明白解决数学问题的差不多方法：从实际问题中提炼出数学概念，再用数学概念解决实际问题。

（四）构建知识系统，把握方法，强化能力
1．知识小结，学生回答后教师总结
一个中心：计数问题
两个差不多原理：分类加法计数原理和分步乘法计数原理三个关键点：分析“完成如何样一件事”；区分“分类”或“分步”，“分类”满足“类类独立”，“分步”满足“步步相依”；注意分类标准要求“不重不漏”，分步标准要求“步骤完整”。

2．运用数学思想方法，猎取数学知识过程的小结
①两个差不多原理表达了解决问题时将其分解的两种常用思想方法——分类解决或分步解决。

②解决数学问题的差不多方法：实际问题⇒数学概念⇒实际问题。

③类比，发觉，归纳，探究前进是制造的差不多途径。

（五）布置作业
1. 完成课本P12 A组1、2、3
2. 阅读课本P11：子集的个数有多少
3. 从我们生活中找寻运用两个计数原明白得决的实例并
相互交流
（六）板书设计
1、分类加法计数原理：例1：
N= m1 +m2 +…+mn
2、分步乘法计数原理：
N= m1×m2 ×…×mn
例2：
六、教学反思
针对本节课的教学过程，我认为本节课的成功之处在于整个过程都结合了“新课标”的思想，从贴近学生生活的实际问题动身，激发学生的学习爱好，找准学生的“最近进展区”来组织教学。

采纳先构建数学基础，让学生能够在自己的认识基础上，通过对基础的把握和自身思维的发挥，让学生发觉问题，推广结论，让学生成为课堂学习的主体，老师只是作为引导者。

课件的制作我也充分把握了这一思想，先是引入实际问题让学生自己分析，总结出分类加法计数原理的概念，再结合实例、类比分类加法计数原理总结出分步乘法计数原理的概念。

在练
习的基础上发挥学生的主观能动性将概念进行推广。

课堂中间部分通过对两大原理的直观对比，让学生发觉区别，发觉联系。

新课的导入、例题、反馈练习的设计差不多上从四中学生的实际生活动身，去体会理论与实际的联系，如此设计的意图是使整堂课的教学能更好地完成教学目标。

假如再让我上这节课，我会将优点发挥的更明显，让学生成为真正的主导，让学生得到充分的分析、摸索、思维的完善时刻，从而达到有效课堂的要求，完成教学目标。