苏教版高中数学选修第三章数系的扩充与复数的引入综合测试(1)

高中苏教选修（1-2）第3章数系的扩充与复数的引入综合
测试
一、选择题
1．下列说法中正确的是（ ）
A ．如果实数a b ，相等，则()()a b a b i -++是纯虚数
B ．模相等的两个复数是共轭复数
C ．如果z 是纯虚数，那么z z ≠
D ．任何数的偶次幂不小于零 答案：C
2．已知复数z 满足2
230z z --=，则复数z 为对应点的轨迹是（ ） A ．一个圆 B ．线段 C ．两个点 D ．两个圆
答案：A
3．若2
(1)1z -=-，则z 的值为（ ） A ．1i + B ．1i ± C ．2i + D ．2i ± 答案：B
4．下面给出的四个不等式中，正确的是（ ） A ．32i i >
B ．2314i i +>-
C ．4
22i i -> D ．2
i i >-
答案：C
5．已知复数z 满足z z =-，则z 的实部（ ） A ．不小于0 B ．不大于0
C ．大于0
D ．小于0
答案：B
6．对于虚数2
2
2
z z z z ，，，的关系是（ ） A ．互不相等
B ．2
2
2
z z z =≠
C ．2
2
2
z z z ≠= D ．2
2
2
z z z ==
答案：B
7．复平面上矩形ABCD 的四个顶点中，A B C ，，所对应的复数分别是23i +，32i +，23i --，则D 点对应的复数是（ ）
A ．23i -+
B ．32i --
C ．23i -
D ．32i - 答案：B
8．若复数z 满足344z i ++=，则z 的最小值是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
答案：A
9．设1a >，复数z 满足(1)ai z i a +=+，则z 对应的点在复平面中的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
答案：D 10．已知1322i
ω=-
+，则下列命题：①2ωω=；②21ωω
=；③210ωω++=；④3
1ω=．其中真命题的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
答案：D
11．已知z ∈C ，满足不等式0zz iz iz +-≤的点Z 的集合用阴影表示为（ ）
答案：C
12．设2
2
(253)(22)z t t t t i =+-+++，t ∈R ，则以下结论正确的是（ ） A ．z 对应的点在第一象限 B ．z 一定不为纯虚数 C ．z 对应的点在实轴的下方 D ．z 一定为实数 答案：C 二、填空题
13．若15z =，234z i =+且12z z g 是纯虚数，则1z = ． 答案：43i +或43i -- 14．定义运算ab ad bc c d
=-，则符合条件
11
2z zi
-=的复数z 为 ． 答案：1i -
15．若n 为奇数，则4422n n
+= ．
答案：2-
16．设2
22log (33)log (3)()z m m i m m =--+-∈R g
，若z 对应的点在直线210x y -+=
上，则m 的值为 ．
三、解答题
17．已知复数12z z ，满足条件12z =，23z =，且12326z z +=，求复数1z 和2z ． 解：设1z a bi =+，2()z c di a b c d =+∈R ，，，， 则2
2
4a b +=，2
2
9c d +=，
由12326z z +=得(32)(32)6a c b d i +++=，
根据复数相等的充要条件得326
320a c b d +=⎧⎨+=⎩，
解方程组222
24
9
326320a b c d a c b d ⎧+=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩
，
解得3122a b c d ===
=-，，或1a =
，b =32
c =
，2d =．
所以12132z z ⎧=+⎪⎨=⎪⎩
或12132z z ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩．
18．已知方程2
40()x x c c ++=∈R 的一个根为12x i =-+，求c 的值及方程的另一个根．
解：12x i =-+为方程2
40x x c ++=的一个根，
所以2
(2)4(2)0i i c -++-++=， 即2
44840i i i c -+-++=，所以5c =． 所以方程2
40x x c ++=可写成2
450x x ++=，
由求根公式得422
x i -=
=-±． 所以方程的另一根为2i --．
19．若关于x 的方程2
430x zx i +++=有纯虚数根，求z 的最小值．
解：设方程的纯虚数根是0(0)x bi b b =∈≠R 且，
将0x bi =代入方程得2
430b zbi i -+++=，
因为243b i
z bi
--=，
所以243b i z bi --=
===
=
当且仅当2
2
25
b b =
，即b =z ． 20．已知点P 对应的复数为1z ，点Q 对应的复数为1234z i +-，若点P 在圆2z =上运动，求点Q 的轨迹．
解：设Q 点对应的复数为z ，则1234z z i =+-， 即1342
z i
z -+=
． 因为点P 在圆2z =上运动，所以点P 对应的复数1z 满足12z =， 即
3422
z i
-+=， 化简得(34)4z i --=，
所以点Q 的轨迹是以(34)-，为圆心，以4为半径的圆． 21．已知()z i z ω=+∈C ，且22
z z -+为纯虚数，求22
11M ωω=++-的最大值及当M 取最大值时的ω．
解：设()z a bi a b =+∈R ，，
则2222
2(2)(4)42(2)(2)z a bi a b bi
z a bi a b
--++-+==+++++， 因为
22
z z -+为纯虚数，所以22
4(0)a b b +=≠， 2
2
222211(1)(1)(1)(1)124M a b a b b ωω=++-=++++-++=+，
因为2
2
4(0)a b b +=≠，所以22
40a b =-≥，
所以22b -≤≤且0b ≠．
故当2b =时，M 取最大值20，这时0a =，3i ω=．
22．已知关于x 的方程：2
(6)90x i x ai -+++=（a ∈R ）有实数根b ． （1）求实数a b ，的值；
（2）若复数z 满足20z a bi z ---=，求z 为何值时，z 有最小值，并求出z 的最小值． 解：（1）b 是方程2
(6)90()x i x ai a -+++=∈R 的实根，
2(69)()0b b a b i ∴-++-=，
故2690b b a b ⎧-+=⎨=⎩
，
解得3a b ==；
（2）设()z x yi x y =+∈R ，由332z i z --=， 得2
2
2
2
(3)(3)4()x y x y -++=+， 即2
2
(1)(1)8x y ++-=，
Z ∴点的轨迹是以1(11)
O -，为圆心， 如图，当Z 点为直线1OO 与1O e 的交点时，z 有最大值或最小值．
1OO =Q r =
∴当1z i =-时，min z =
高中苏教选修（1-2）第3章数系的扩充与复数的引入综合
测试
一、选择题
1化简后的结果为（ ）
A ．
14-
B ．14-
-
C ．
144
+
D ．144
-
+ 答案：B 2．1
22008()n n n i i i n +++*+++∈N …等于（ ）
A ．3
n i
+
B ．0
C ．1
D ．i
答案：B
3．已知1z i =+，22
11
z az b
i z z ++=--+，则实数a b ，的大小关系为（ ） A ．a b >
B ．a b <
C ．a b =
D ．大小关系无法确定
答案：B
4．方程2
(4)40()x i x ai a ++++=∈R 有实根b ，且z a bi =+，则z =（ ） A ．22i -
B ．22i +
C ．22i -+
D ．22i --
答案：A
5．集合{}
2212(25)(56)M m m m m i =--+++，，，{}310N =，，且M N ≠∅I ，则实数
m 的值为（ ）
A ．2-
B ．2-或4
C ．2-或3-
D ．2-或5
答案：C
6．设1()a bi b ai a b ++∈R ，，，是一个等比数列的连续三项，
则a b ，的值分别为（ ）
A ．2a =±
，1
2
b =± B ．1
22
a b =-=
，
C ．2a =±
，1
2b =或0a =，1b =-
D ．1
2
a =-，2
b =-
答案：C
7．复数2()12m i
z m i
-=
∈+R 不可能在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：A
8．两个互为共轭复数之和大于2的一个充要条件为（ ） A ．两复数的实部大于1 B ．两复数的实部大于2 C ．两复数的虚部大于1 D ．两复数的虚部大于2
答案：A 9．在复平面内，平行四边形ABCD 的顶点A B C ，，分别对应于复数12212i i i +-+--，，，则顶点D 对应的复数为（ ） A ．12i - B ．2i + C ．2i - D ．12i -+ 答案：C
10．已知实数x 满足2
(12)3i x x m i -+-=-，则实数m 满足（ ） A ．112
m =- B ．112
m >
C ．112
m <
D ．112
m =
答案：D
11．若复数226
(56)()2
a a z a a i a a +-=
+-+∈+R 为纯虚数，则a 的取值是（ ） A ．3 B ．3-
C ．3或3-
D ．2
答案：B
12．对于两个复数122i α=-
+，122β=--，有下列四个结论：①1αβ=；②1α
β
=； ③1α
β
=；④331αβ+=，其中正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
答案：B 二、填空题
13．在复平面内，若复数z 满足114z z ++-=，则z 在复平面内对应点的轨迹方程为 ．
答案：22
143
x y += 14．若2
34z i =+，则z = ． 答案：(2)i ±+
15．设2z =，则32
452z z z -+-的值为 ．
答案：6-+
16．式子8
11i i -⎛⎫
⎪+⎝⎭
的计算结果为 ．
答案：1 三、解答题
17．已知113z i =-，268z i =-，若12
111
z z z +=，求z 的值． 解：由113z i =-，得
111131313(13)(13)1010
i i z i i i +===+--+． 又由268z i =-， 得
211683468(68)(68)5050
i i z i i i +===+--+． 那么
2111131431112115010501025550
i i i z z z +⎛⎫⎛⎫=-=-+-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 得5050(211)211(211)(211)i z i i i -=-
=-++-422
55
i =-+．
18．设复数2
2
lg(22)(32)z m m m m i =--+++，试求m 取何实数值时， （1）z 是实数；
（2）z 是纯虚数；
（3）z 对应的点位于复平面的第二象限．
解：（1）由z 是实数，得22
320
1220
m m m m m ⎧++=⎪⇒=-⎨-->⎪⎩或2m =-； （2）由z 是纯虚数，得222
2lg(22)0221
3220320m m m m m m m m m ⎧⎧--=--=⎪⎪⇒⇒=⎨⎨-->++≠⎪⎪⎩⎩
； （3）若z 对应的点位于复平面的第二象限，则
22
lg(22)0320m m m m ⎧--<⎪⎨++>⎪⎩，2
20221
320
m m m m ⎧<--<⎪⇒⎨++>⎪⎩， 222220221320m m m m m m ⎧-->⎪⇒--<⎨⎪++>⎩
，111321
m m m m m ⎧<>+⎪
⇒-<<⎨⎪<->-⎩或，
11m ⇒-<<-
13m <<为所求．
19．已知复数12z z ，满足22
12121052z z z z +=g ，且122z z +为纯虚数，求证：123z z -为实
数．
证明：由2212121052z z z z +=，得22
112210250z z z z -+=，
即22
1212(3)(2)0z z z z -++=，
那么222
121212(3)(2)[(2)]z z z z z z i -=-+=+，
由于122z z +为纯虚数，可设122(0)z z bi b b +=∈≠R 且，
所以22
12(3)z z b -=，从而123z z b -=±，
故123z z -为实数．
20
．已知21z x =+2
2()z x a i =+，对于任意实数x ，都有12z z >恒成立，试
求实数a 的范围．
解：由12z z >恒成立，得4
2
2
2
1()x x x a ++>+恒成立， 即2
2
(12)(1)0a x a -+->对于任意实数x 恒成立．
（1）当120a -=，即1
2a =
时，不等式恒成立． （2）当120a -≠，即1
2
a ≠时，得
2
12004(12)(1)0
a a a ->⎧⎨∆=---<⎩，1
12a ⇒-<<， 综上（1）（2）得实数a 的范围为112
a -<≤
． 21．设关于x 的方程2
(tan )(2)0x i x i θ-+-+=． （1）若方程有实数根，求锐角θ和实数根； （2）证明：对任意π
π()2
k k θ≠+
∈Z ，方程无纯虚数根． （1）解：设实数根为a ，则2
(tan )(2)0a i a i θ-+-+=， 即2
(tan 2)(1)0a a a i θ---+=． 由于a ，tan θ∈R ，那么
21
tan 20tan 110
a a a a θθ=-⎧--=⎧⇒⎨⎨
=+=⎩⎩，． 又π02θ<<，得1
π4
a θ=-⎧⎪
⎨=⎪⎩；
（2）证明：假设方程有纯虚数根(0)i βββ∈≠R ，且，
使2
()(tan )()(2)0i i i i βθβ-+-+=． 即2(2)(tan 1)0i βββθ-+--+=，
由β，tan θ∈R ，那么220
tan 10
βββθ⎧-+-=⎨+=⎩，
由于2
20ββ-+-=无实数解与β∈R 矛盾， 故对任意π
π()2
k k θ≠+∈Z ，方程无纯虚数根． 22．设复数z 满足5z =，且(34)i z +在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，252()z m m -=∈R ，求z 和m 的值．
解：设()z x yi x y =+∈R ，，由5z =， 得2
2
25x y +=．
(34)(34)()(34)(43)i z i x yi x y x y i +=++=-++，
又因为(34)i z +在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上， 所以，(34)(43)0x y x y -++=，得7y x =．
由22
27225722x y x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩或2222
x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．
即2222z i =
+或272
22z =--． 当2222z i =
+或27222z =--． 当272z =
+252z m -=， 即1752i m +-=0m =或2m =；
当272
z =252z m -=，
即17i m ---=0m =或2m =-．
故z =
+，0m =或2m =；z =-，0m =或2m =-．。