数学数学立体几何多选题试题及答案

数学数学立体几何多选题试题及答案
一、立体几何多选题
1．如图①，矩形ABCD 的边2BC =，设AB x =，0x >，三角形BCM 为等边三角形，沿BC 将三角形BCM 折起，构成四棱锥M ABCD -如图②，则下列说法正确的有（ ）
A ．若T 为BC 中点，则在线段MC 上存在点P ，使得//PD 平面MAT
B ．当)
3,2x ∈
时，则在翻折过程中，不存在某个位置满足平面MAD ⊥平面ABCD
C ．若使点M 在平面ABC
D 内的射影落在线段AD 上，则此时该四棱锥的体积最大值为1 D ．若1x =，且当点M 在平面ABCD 内的射影点H 落在线段AD 上时，三棱锥
M HAB -6322
++【答案】BCD 【分析】
对于A ，延长AT 与DC 的延长线交于点N ，此时，DP 与MN 必有交点； 对于B ，取AD 的中点H ，表示出2223MH MT HT x --，验证当)
3,2
x ∈时，无解即可； 对于C ，利用体积公式21
233
V x x =
⨯⨯-，借助基本不等式求最值即可； 对于D ，要求外接球半径与内切球半径，找外接圆的圆心，又内接圆半径为
2
323
r =
++
【详解】
对于A ，如图，延长AT 与DC 的延长线交于点N ，则面ATM ⋂面()MDC N MN =．
此时，DP 与MN 必有交点，则DP 与面ATM 相交，故A 错误； 对于B ，取AD 的中点H ，连接MH ，则MH AD ⊥．
若面MAD ⊥面ABCD ，则有2223MH MT HT x =-=- 当)
3,2x ∈
时，无解，所以在翻折过程中，不存在某个位置满足平面MAD ⊥平面
ABCD
故B 正确；
对于C ，由题可知，此时面MAD ⊥面ABCD ，由B 可知，(3x ∈，
所以()
2
2
22222
1223232331333232x x V x x x x ⎛⎫+-⎛⎫=⨯⨯-=-≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
当且仅当223x x =-，即6
x =
时等号成立．故C 正确； 对于D ，由题可知，此时面MAD ⊥面ABCD ，且2MH =
因为AHB ，MHB 都是直角三角形，所以M ABH -底面外接圆的圆心是中点，所以
1R =，
由等体积法，可求得内接圆半径为2323
r =++，故6132
2R r ++=，故D 正确．
故选：BCD ． 【点睛】
本题从多个角度深度考查了立体几何的相关内容，注意辅助线的作法，以及求内接圆半径的公式、基本不等式、构造函数等核心思想．
2．已知正方体1111 ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1DD 的中点，N 为正方形ABCD 所在平面内一动点，则下列命题正确的有（ ）
A ．若2MN =，则MN 的中点的轨迹所围成图形的面积为π
B ．若N 到直线1BB 与直线D
C 的距离相等，则N 的轨迹为抛物线
C ．若1
D N 与AB 所成的角为3
π
，则N 的轨迹为双曲线 D ．若MN 与平面ABCD 所成的角为3
π
，则N 的轨迹为椭圆
【答案】BC 【分析】
对于A ，连接MN ，ND ，DP ，得到直角MDN △，且P 为斜边MN 的中点，所以1PD =，
进而得到P 点的轨迹为球面的一部分，即可判断选项A 错误；对于B ，可知1NB BB ⊥，即NB 是点N 到直线1BB 的距离，在平面ABCD 中，点N 到定点B 的距离与到定直线DC 的距离相等，利用抛物线定义知B 正确；对于C ，建立空间直角坐标系，设(,,0)N x y ，利用空间向量求夹角知122121
cos
3
2
2
4
D N AB y x y D N AB
π
⋅=
=
=
⨯++⋅，化简可知N 的轨迹为双曲线；对于D ，MN 与平面ABCD 所成的角为3
MND π
∠=
，3
ND =
，可知N 的轨迹是以D 为圆心，3
3
为半径的圆周； 【详解】
对于A ，如图所示，设P 为MN 的中点，连接MN ，ND ，DP ，由正方体性质知MDN △为直角三角形，且P 为MN 的中点，2MN =，根据直角三角形斜边上的中线为斜边的一半，知MDN △不管怎么变化，始终有1PD =，即P 点的轨迹与正方体的面围城的几何体是一个以D 为球心，1为半径的球的
18，其面积2
14182
S ππ=⨯⨯=，故A 错误；
对于B ，由正方体性质知，1BB ⊥平面ABCD 由线面垂直的性质定理知1NB BB ⊥，即NB 是点N 到直线1BB 的距离，在平面ABCD 中，点N 到定点B 的距离与到定直线DC 的距离相等，所以点N 的轨迹是以点B 为焦点，直线DC 为准线的抛物线，故B 正确； 对于C ，如图以D 为直角坐标系原点，建立空间直角坐标系，(,,0)N x y ，1(0,0,2)D ，
(0,2,0)A ，(2,2,0)B ，则1(,,2)D N x y =-，(0,2,0)AB =，利用空间向量求夹角知
122121cos
3
2
24
D N AB y x y D N AB
π
⋅=
=
=
⨯++⋅，化简整理得：22
34y x -=，即22
1
44
3
y x -=，所以N 的轨迹为双曲线，故C 正确；
对于D ，由正方体性质知，MN 与平面ABCD 所成的角为MND ∠，即3
MND π
∠=，在直
角MDN △中，3ND =，即N 的轨迹是以D 为圆心，3为半径的圆周，故D 错误； 故选：BC 【点睛】
关键点睛：本题考查立体几何与解析几何的综合，解题的关键是抓住解析几何几种特殊曲线的定义，考查学生的逻辑推理能力，转化与划归能力与运算求解能力，属于难题.
3．如图，已知四棱锥P ABCD -所有棱长均为4，点M 是侧棱PC 上的一个动点（不与点,P C 重合），若过点M 且垂直于PC 的截面将该四棱锥分成两部分，则下列结论正确的是（ ）
A ．截面的形状可能为三角形、四边形、五边形
B ．截面和底面ABCD 所成的锐二面角为4
π
C ．当1PM =时，截面的面积为52
D ．当2PM =时，记被截面分成的两个几何体的体积分别为()1212,>V V V V ，则123=V V 【答案】BCD 【分析】
点M 是侧棱PC 上的一个动点，根据其不同位置，对选项逐一进行判断即可. 【详解】
A 选项中，如图，连接BD ，当M 是PC 中点时，2MC =，
由题意知三角形PDC 与三角形PBC 都是边长为4的正三角形，所以
DM PC ⊥,BM BC ⊥，又DM ，BM 在面MBD 内，且相交，所以PC ⊥平面PBD ，三角
形MBD 即为过点M 且垂直于PC 的截面，此时是三角形，点M 向下移动时，2MC <，如图，仍是三角形；
若点M 由中点位置向上移动，2MC >，在平面PDC 内作EM PC ⊥，交PD 于E ，
在平面PBC 内作FM PC ⊥交PB 于F ，平面MEF 交平面PAD 于EG ，交PAB 于FH ，即交平面ABCD 于GH ，则五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，此时是五边形； 故截面的形状可能为三角形、五边形，A 错误；
B 选项中，因为截面总与P
C 垂直，所以不同位置的截面均平行，截面与平面ABC
D 所成的锐角为定值，
不妨取M 是中点，连接AC ，BD ，MB ，MD ，设AC ，BD 交点是N ，连接PN ，由题意知，四边形ABCD 是边长为4的菱形，BD AC ⊥，因为MB =MD ，所以MN BD ⊥，故
MNC ∠是截面与平面ABCD 所成的锐角，过点M 作MQ AC ⊥，垂足Q.在三角形PAC
中，MN =2，NQ=2，故在直角三角形MNQ 中，2
cos NQ MNC MN ∠=
=
，故4
MNC π
∠=
，故B 正确；
C 选项中，当PM =1时，M 是PC 中点，如图，五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，依题意，直角三角形PME 中，2cos PM
PE EPM
=
=∠，故E 为PD 的中点，同理，F
是PB 的中点，则EF 是三角形PBD 的中位线，1
222
EF BD =
=，G ，H 分别在,AD AB 的中点上，证明如下，当G ，H ，也是中点时，1
//,2
GH BD GH BD =
，有//,22GH EF GH EF ==，四边形EFHG 是平行四边形.依题意，三角形PAC 中4,42PA PC AC ===，故PA PC ⊥，故PC GE ⊥，易见，正四棱锥中BD ⊥平面
PAC ，故BD PC ⊥，GH PC ∴⊥，因为 ,GE GH 均在平面EFHG 内，且相交，所以
PC ⊥平面EFHG ，故此时平面EFHG 和平面MEF 即同一平面.又BD ⊥平面PAC ，有GH ⊥面平面PAC ，GH GM ⊥，根据对称性有GH GE ⊥，四边形EFHG 是矩形. 即五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，平面图如下:
依题意，22GH EF ==2EG FG ==，三角形高为()()
2
2
321h =-=，
面积是
1
22122⨯=，四边形面积是22242=，故截面面积是52 故C 正确；
D 选项中，若PM =2，看B 选项中的图可知，211
24
M BCD P BCD P ABCD V V V V ---==
=，故剩余
部分13
4
P ABCD V V -=
，所以123=V V ，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】
本题考查了棱锥的截面问题，考查了二面角、体积等计算问题，属于难题.
4．在长方体1111ABCD A B C D -
中，AB =12AD AA ==，P 、Q 、R 分别是
AB 、1BB 、1A C 上的动点，下列结论正确的是（ ）
A ．对于任意给定的点P ，存在点Q 使得1D P CQ ⊥
B ．对于任意给定的点Q ，存在点R 使得1D R CQ ⊥
C ．当1AR A C ⊥时，1AR
D R ⊥
D ．当1
13AC A R =时，1//D R 平面1BDC 【答案】ABCD 【分析】
本题先建立空间直角坐标系，再运用空间向量在立体几何中的应用逐一判断即可. 【详解】
如图所示，建立空间直角坐标系，设(2,,0)P a
，0a ⎡∈⎣
，(2,)Q b ，
[]0,2b ∈，
设11A R AC λ=
，得到(22,,22)R λλ--，
[]
0,1λ∈. 1(2,,2)D P a =-，(2,0,)CQ b =，142D P CQ b ⋅=-，当2b =时，1D P CQ ⊥，A 正
确；
1(22,2)D R λλ=--，12(22)2D R CQ b λλ⋅=--，取2
2b
λ=
+时，1D R CQ ⊥，B 正确；
1AR A C ⊥
，则1
(2,22)(2)412440AR AC λλλλλ⋅=--⋅--=+-+=，解得：15λ=
，此时12282
()()05555
AR D R ---⋅=⋅=，1AR D R ⊥，C 正确；
113AC A R =
，则44()33R
，1
42()33D R =-，设平面1BDC 的法向量为(,,)n x y z =，则10
0n BD n DC ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩
，解得(3,n =-，故10n D R ⋅=，故1//D R 平面1BDC ，D 正确.
故选：ABCD.
【点睛】
本题考查了空间向量在立体几何中的应用，是偏难题.
5．已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==，D 是AC 的中点，O 为1A C 的中点.点P 是1BC 上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A ．当点P 运动到1BC 中点时，直线1A P 与平面111A
B
C 5 B ．无论点P 在1BC 上怎么运动，都有11A P OB ⊥
C ．当点P 运动到1BC 中点时，才有1A P 与1OB 相交于一点，记为Q ，且11
3
PQ QA = D ．无论点P 在1BC 上怎么运动，直线1A P 与AB 所成角都不可能是30° 【答案】ABD 【分析】
构造线面角1PA E ∠，由已知线段的等量关系求1tan EP
PA E AE
∠
=的值即可判断A 的正误；利用线面垂直的性质，可证明11A P OB ⊥即可知B 的正误；由中位线的性质有
11
2PQ QA =可知C 的正误；由直线的平行关系构造线线角为11B A P ∠，结合动点P 分析角度范围即可知D 的正误 【详解】
直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==
选项A 中，当点P 运动到1BC 中点时，有E 为11B C 的中点，连接1A E 、EP ，如下图示
即有EP ⊥面111A B C
∴直线1A P 与平面111A B C 所成的角的正切值：1tan EP
PA E AE
∠
= ∵112EP BB =
，22111152
AE A B B E BB =+= ∴15
tan PA E ∠=
，故A 正确
选项B 中，连接1B C ，与1BC 交于E ，并连接1A B ，如下图示
由题意知，11B BCC 为正方形，即有11B C BC ⊥
而AB BC ⊥且111ABC A B C -为直三棱柱，有11A B ⊥面11B BCC ，1BC ⊂面11B BCC ∴111A B BC ⊥，又11
11A B B C B =
∴1BC ⊥面11A B C ，1OB ⊂面11A B C ，故11BC OB ⊥ 同理可证：11A B OB ⊥，又11A B BC B ⋂=
∴1OB ⊥面11A BC ，又1A P ⊂面11A BC ，即有11A P OB ⊥，故B 正确
选项C 中，点P 运动到1BC 中点时，即在△11A B C 中1A P 、1OB 均为中位线
∴Q为中位线的交点
∴根据中位线的性质有：
1
1
2
PQ
QA
=，故C错误
选项D中，由于11//
A B AB，直线
1
A P与AB所成角即为
11
A B与
1
A P所成角：
11
B A P
∠
结合下图分析知：点P在1
BC上运动时
当P在B或1
C上时，
11
B A P
∠最大为45°
当P在1
BC中点上时，
11
B A P
∠最小为23
arctan30
>=︒
∴
11
B A P
∠不可能是30°，故D正确
故选：ABD
【点睛】
本题考查了利用射影定理构造线面角，并计算其正弦值；利用线面垂直证明线线垂直；中位线的性质：中位线交点分中位线为1：2的数量关系；由动点分析线线角的大小
6．如图，正方体1111
ABCD A B C D
-的棱长为1，线段
11
B D上有两个动点E，F，且
2
EF=则下列结论正确的是（）
A ．三棱锥A BEF -的体积为定值
B ．当E 向1D 运动时，二面角A EF B --逐渐变小
C ．EF 在平面11ABB A 内的射影长为
12
D ．当
E 与1D 重合时，异面直线AE 与B
F 所成的角为π4
【答案】AC 【分析】
对选项分别作图，研究计算可得. 【详解】
选项A:连接BD ,由正方体性质知11BDD B 是矩形，
11122
12224
BEF S EF BB ∆∴=
⋅=⨯=
连接AO 交BD 于点O
由正方体性质知AO ⊥平面11BDD B ,
所以，AO 是点A 到平面11BDD B 的距离，即2
2
AO =
11221
3312
A BEF BEF V S AO -∆∴=⨯==
A BEF V -∴是定值.
选项B:
连接11A C 与11B D 交于点M ，连接11,AD AB ， 由正方体性质知11AD AB =,M 是11B D 中点，
AM EF ∴⊥ ,又1BB EF ⊥,11//BB AA
A EF
B ∴--的大小即为AM 与1AA 所成的角，
在直角三角形1AA M 中，12
tan 2
MAA ∠=为定值. 选项C:
如图，作1111,,,FH A B EG A B ET EG ⊥⊥⊥ 在直角三角形EFT 中，221
cos 452
FT EF =⨯=⨯=
12HG FT ∴== 选项D:
当E 与1D 重合时，F 与M 重合，连接AC 与BD 交于点R ，连接1D R ,1//D R BM 异面直线AE 与BF 所成的角,即为异面直线1AD 与1D R 所成的角, 在三角形1AD R 中，22111132,2AD D R MB BB M B =
==+=
2
AR =
由余弦定理得1cos AD R ∠= 故选：AC 【点睛】
本题考查空间几何体性质问题.
求解思路：关键是弄清(1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2)线的变化，应注意其位置关系的变化；(3)长度、角度等几何度量的变化．
求空间几何体体积的思路：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法；若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.
7．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =12AD AA ==，,,P Q R 分别是
11
,,AB BB AC 上的动点，下列结论正确的是（ ） A ．对于任意给定的点P ，存在点Q 使得1D P CQ ⊥ B ．对于任意给定的点Q ，存在点R 使得1D R CQ ⊥ C ．当1AR A C ⊥时，1AR D R ⊥
D ．当1
13AC A R =时，1//D R 平面1BDC 【答案】ABD 【分析】
如图所示建立空间直角坐标系，计算142D P CQ b ⋅=-，()12222D R CQ b λλ⋅=--，
13
4
AR D R ⋅=-，10D R n ⋅=，得到答案.
【详解】
如图所示，建立空间直角坐标系，设()2,,0P a ，a ⎡∈⎣，()
Q b ，
[]0,2b ∈，
设11
A R AC λ=，得到()
22,22R λλ--，[]
0,1λ∈. ()12,,2P a D -=，()2,0,CQ b =，142D P CQ b ⋅=-，当2b =时，1D P CQ ⊥，A 正
确；
()
122,2D R λλ=--，()12222D R CQ b λλ⋅=--，取2
2b
λ=+时，1D R CQ ⊥，B 正确； 1AR A C ⊥，则
()()
1
2,222212440AR AC λλλλλ⋅=--⋅--=-+-+=，
1
4λ=
，此时1
1333313
,,,,0
22224 AR D R
⎛⎫⎛⎫
⋅=-⋅-=-≠
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，C错误；
11
3
AC A R
=，则
4234
,,
333
R
⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭
，
1
4232
,,
333
D R
⎛⎫
=-
⎪
⎪
⎝⎭
，
设平面1
BDC的法向量为()
,,
n x y z
=，则
1
n BD
n DC
⎧⋅=
⎪
⎨
⋅=
⎪⎩
，解得()
3,1,3
n=-，
故
1
D R n⋅=，故1//
D R平面
1
BDC，D正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题考查了空间中的线线垂直，线面平行，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，推断能力.
8．如图，点O是正四面体P ABC
-底面ABC的中心，过点O的直线交AC，BC于点M，N，S是棱PC上的点，平面SMN与棱PA的延长线相交于点Q，与棱PB的延长线相交于点R，则（）
A ．若//MN 平面PA
B ，则//AB RQ
B ．存在点S 与直线MN ，使P
C ⊥平面SRQ
C ．存在点S 与直线MN ，使()
0PS PQ PR ⋅+= D ．
111PQ
PR
PS
+
+
是常数
【答案】ABD 【分析】
对于选项A ，根据线面平行的性质定理，进行推理判断即可；
对于选项B ，当直线MN 平行于直线AB ， 1
3
SC PC =
时，通过线面垂直的判定定理，证明此时PC ⊥平面SRQ ，即可证明，存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQ ；
对于选项C ，假设存在点S 与直线MN ，使()
0PS PQ PR ⋅+=，利用线面垂直的判定定理可证得PC ⊥平面PAB ，此时通过反证法说明矛盾性，即可判断； 对于选项D ，利用S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V ----=++，即可求得111PQ
PR
PS
+
+
是常数.
【详解】 对于选项A ， 若//MN 平面PAB ，
平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ，与棱PB 的延长线相交于点R ,
∴平面SMN 平面PAB =RQ ，
又MN ⊂平面SMN ，//MN 平面PAB ，
∴//MN RQ ，
点O 在面ABC 上，过点O 的直线交AC ，BC 于点M ，N ，
∴MN ⊂平面ABC ，
又//MN 平面PAB ，平面ABC
平面PAB AB =，
∴//MN AB ， ∴//AB RQ ，
故A 正确； 对于选项B ，
当直线MN 平行于直线AB ，S 为线段PC 上靠近C 的三等分点，即1
3
SC PC =， 此时PC ⊥平面SRQ ，以下给出证明： 在正四面体P ABC -中，设各棱长为a ，
∴ABC ，PBC ，PAC △，PAB △均为正三角形，
点O 为ABC 的中心，//MN AB ，
∴由正三角形中的性质，易得23
CN CM a ==
， 在CNS 中，
2
3CN a =，13SC a =，3
SCN π∠=，
∴由余弦定理得，SN a ==， ∴222
249
SC SN a CN +=
=，则SN PC ⊥， 同理，SM PC ⊥，
又SM SN S =，SM ⊂平面SRQ ，SN ⊂平面SRQ ，
∴PC ⊥平面SRQ ，
∴存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQ ，
故B 正确； 对于选项C ，
假设存在点S 与直线MN ，使()
0PS PQ PR ⋅+=， 设QR 中点为K ，则2PQ PR PK +=，
∴PS PK ⊥，即PC PK ⊥，
()
cos cos 0PC AB PC PB PA PC PB CPB PC PA CPA ⋅=⋅-=⋅∠-⋅∠=，
∴PC AB ⊥，
又易知AB 与PK 为相交直线，AB 与PK 均在平面PQR 上，
∴PC ⊥平面PQR ，即PC ⊥平面PAB ，
与正四面体P ABC -相矛盾，所以假设不成立， 故C 错误； 对于选项D ，
易知点O 到面PBC ，面PAC ，面PAB 的距离相等，记为d ， 记PC 与平面PAB 所处角的平面角为α，α为常数，则sin α也为常数， 则点S 到PQR 的距离为sin PS α， 又13sin 234
PQR
S
PQ PR PQ PR π=
⋅=⋅ ∴
()
()
1
133sin sin sin 3
3412
S PQR PQR
V PS S PS PQ PR PQ PR PS ααα-=
⋅=
⋅⋅=⋅⋅， 又13
sin
23PSR
S
PS PR PS PR π=
⋅=⋅， 13sin 234
PSQ
S
PS PQ PS PQ π=
⋅=⋅，
13sin 234
PQR
S
PQ PR PQ PR π=
⋅=⋅，
()
S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V PS PR PS PQ PQ PR ----=++=
⋅+⋅+⋅，
∴
()
3sin 12
PQ PR PS d PS PR PS PQ PQ PR α⋅⋅=⋅+⋅+⋅， ∴
111sin d PQ
PR
PS
α
+
+
=
为常数，
故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】
本题考查了线面平行的性质定理、线面垂直的判定定理，考查了三棱锥体积的计算，考查了向量的运算，考查了转化能力与探究能力，属于较难题.。