2020年高考江苏版高考数学 15.2 双曲线

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所以 t2=4|1-4m2|=4(1-4m2).
{������ = ������������ + ������,

������2 ������2
-
������2 4������2
备战 2020 高考
| | | | 1 ������ 2������ 2������
2 - ������ · 2 - ������ - 2 + ������ =8,即 m2=4|4-k2|=4(k2-4).
{������ = ������������ + ������,
由 ������2 ������2
(2)因为双曲线经过点 M(0,12),
所以 M(0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在 y 轴上,且 a=12.
因为 2c=26,所以 c=13.所以 b2=c2-a2=25.
������2 ������2
所以双曲线的标准方程为144-25=1.
1
(3)解法一:因为双曲线的渐近线方程为 y=±2x, 所以可设双曲线的方程为 x2-4y2=λ(λ≠0).
备战 2020 高考
15.2 双曲线
挖命题
【考情探究】
考点
内容解读
考题示例
5 年考情 考向
关联考点
预测热 度
双曲线的定 义及标准方 程
求双曲线的标 准方程
★☆☆
双曲线的几 何性质
双曲线的几何 性质及简单运 用
2015 江苏,12 2016 江苏,3 2017 江苏,8 2018 江苏,8
双曲线的几何性质 双曲线的几何性质 双曲线的几何性质 双曲线的几何性质
( )������
则 C - ������ ,0 .记 A(x1,y1),B(x =���������=���������2+������������,得
2������
2������
y1=2 - ������,同理得 y2=2 + ������.
1
由 S△OAB=2|OC|·|y1-y2|得,
得(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.
4 - 16 = 1
因为 4-k2<0, 所以 Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16), 又因为 m2=4(k2-4), 所以 Δ=0,即 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点.
������2 ������2
因此,存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为 4 -16=1. 解法二:
答案 4 - 5 =1
������2 ������2
5.(2017 天津理改编,5,5 分)已知双曲线������2-������2=1(a>0,b>0)的左焦点为 F,离心率为 2.若经过 F 和 P(0,4) 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为 .
������2 ������2
答案 5 -20=1
������2 ������2
9.(2014 福建,19,13 分)已知双曲线 E:������2-������2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为 l1:y=2x,l2:y=-2x. (1)求双曲线 E 的离心率;
(2)如图,O 为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1,l2 于 A,B 两点(A,B 分别在第一、四象限),且△OAB 的面积 恒为 8.试探究:是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E?若存在,求出双曲线 E 的方程;若不存
炼技法
【方法集训】
备战 2020 高考
方法一 求双曲线方程的方法
分别求出适合下列条件的双曲线的标准方程:
5
(1)虚轴长为 12,离心率为4; (2)焦距为 26,且经过点 M(0,12);
1
(3)渐近线方程为 y=±2x,且经过点(4, 3).
������2 ������2
������2 ������2
答案 2
������2 ������2
5
4.(2017 课标全国Ⅲ理改编,5,5 分)已知双曲线 C:������2-������2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 y= 2 x,且与椭圆
������2 ������2
12+ 3 =1 有公共焦点,则 C 的方程为 .
������2 ������2
������2 ������2
此时双曲线 E 的方程为 4 -16=1.
������2 ������2
若存在满足条件的双曲线 E,则 E 的方程只能为 4 -16=1.
������2 ������2
以下证明:当直线 l 不与 x 轴垂直时,双曲线 E: 4 -16=1 也满足条件. 设直线 l 的方程为 y=kx+m,依题意,得 k>2 或 k<-2,
������2 ������2
由(1)知,双曲线 E 的方程为������2-4������2=1. 设直线 l 的方程为 x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2).
11
依题意得-2<m<2.
{由
������
= ������
������������ + = 2������
������,得
y1=1
2
答案 2
B 组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点一 双曲线的定义及标准方程
������2 ������2
1.(2018 天津文改编,7,5 分)已知双曲线������2-������2=1(a>0,b>0)的离心率为 2,过右焦点且垂直于 x 轴的直线与 双曲线交于 A,B 两点.设 A,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1 和 d2,且 d1+d2=6,则双曲线的方程 为 .
������2 ������2
答案 3 - 9 =1
������2
2.(2018 浙江改编,2,4 分)双曲线 3 -y2=1 的焦点坐标是 .
备战 2020 高考
答案 (-2,0),(2,0)
������2 ������2
3.(2017 课标全国Ⅱ理改编,9,5 分)若双曲线 C:������2-������2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4 所截得的 弦长为 2,则 C 的离心率为 .
1
直,sin∠MF2F1=3,则 E 的离心率为 .
备战 2020 高考
答案 2
������2 ������2
2.(2018 江苏海门四校联考)设双曲线������2-������2=1(0<a<b)的半焦距为 c,直线 l 过(a,0)、(0,b)两点.已知原点
3
到直线 l 的距离为 4 c,则双曲线的离心率为 . 答案 2
(2)解法一:由(1)知,双曲线 E 的方程为������2-4������2=1. 设直线 l 与 x 轴相交于点 C.
当 l⊥x 轴时,若直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点,
则|OC|=a,|AB|=4a,
又因为△OAB 的面积为 8,
1
所以2|OC|·|AB|=8,
1
因此2a·4a=8,解得 a=2,
在,说明理由.
备战 2020 高考
������
������2 - ������2
解析 (1)因为双曲线 E 的渐近线分别为 y=2x,y=-2x,所以������=2,所以 ������ =2,故 c= 5a,
������
从而双曲线 E 的离心率 e=������= 5.
������2 ������2
2������
- 2������,同理得
y2=1
- 2������
+ 2������.
设直线 l 与 x 轴相交于点 C,则 C(t,0).
1
由 S△OAB=2|OC|·|y1-y2|=8,
| | 1
2������
2������
得2|t|· 1 - 2������ + 1 + 2������ =8,
两直线的距离公式
两直线的交点
★★★
点到直线的距离公式
分析解读 双曲线几乎是江苏高考的必考内容之一,考查的频率比较高,主要是考查双曲线的几何性质,
题型以填空题为主,难度不大,主要是基础题.
破考点
【考点集训】
考点一 双曲线的定义及标准方程
������2 ������2
1.已知方程2 + ������-1 + ������=1 表示双曲线,则 λ 的取值范围是 . 答案 (-∞,-2)∪(-1,+∞) 2.已知双曲线 C 的渐近线方程为 y=±2x,且经过点(2,2),则 C 的方程为 .
������2
3.(2017 课标全国Ⅱ文改编,5,5 分)若 a>1,则双曲线������2-y2=1 的离心率的取值范围是 . 答案 (1, 2)
过专题
【五年高考】
A 组 自主命题·江苏卷题组
������2 ������2
1.(2018 江苏,8,5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线������2-������2=1(a>0,b>0)的右焦点 F(c,0)到一条渐近线
������2 ������2
答案 4 - 3 =1
������2 ������2
8.(2014 天津改编,5,5 分)已知双曲线������2-������2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,双曲线的一 个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为 .
������2 ������2
������ 5
解析 (1)设双曲线的标准方程为������2-������2=1 或������2-������2=1(a>0,b>0).由题意知,2b=12,e=������=4,
所以 b=6,c=10,a=8.
������2 ������2
������2 ������2
所以双曲线的标准方程为64-36=1 或64-36=1.
答案 8 - 8 =1
������2
6.(2015 北京,10,5 分)已知双曲线������2-y2=1(a>0)的一条渐近线为 3x+y=0,则 a= .
3
答案 3
������2 ������2
7.(2015 天津改编,6,5 分)已知双曲线������2-������2=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2, 3),且双曲线的一个焦点在 抛物线 y2=4 7x 的准线上,则双曲线的方程为 .
������2
因为双曲线过点(4, 3),所以 λ=16-4×( 3)2=4,所以双曲线的标准方程为 4 -y2=1.
1
解法二:因为渐近线 y=2x 过点(4,2),而 3<2,
所以点(4,
3)在渐近线
1
y=2x
的下方(如图).
������2 ������2
所以双曲线的焦点在 x 轴上,故可设双曲线方程为������2-������2=1(a>0,b>0).
������2 ������2
答案 3 -12=1
考点二 双曲线的几何性质
1.(2018 江苏启东期中)已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为 120°,则 E 的离心率为 . 答案 2
������2 ������2
2.(2018 江苏连云港模拟)已知双曲线 E:������2-������2=1(a>0,b>0),若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上,AB,CD 的中点 为 E 的两个焦点,且 2|AB|=3|BC|,则 E 的离心率是 . 答案 2
3
的距离为 2 c,则其离心率的值是 . 答案 2
������2 ������2
2.(2016 江苏,3,5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 7 - 3 =1 的焦距是 . 答案 2 10
������2
3.(2017 江苏,8,5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 3 -y2=1 的右准线与它的两条渐近线分别交于点 P,Q,其焦点是 F1,F2,则四边形 F1PF2Q 的面积是 . 答案 2 3 4.(2015 江苏,12,5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,P 为双曲线 x2-y2=1 右支上的一个动点.若点 P 到直线 xy+1=0 的距离大于 c 恒成立,则实数 c 的最大值为 .
{ { ������ 1
由已知条件可得
������ = 2, 16 3 解得 ������2 - ������2 = 1,
������2 ������2
= =
14,,所以双曲线的标准方程为���4���2-y2=1.
方法二 求双曲线离心率(范围)的方法
������2 ������2
1.(2019 届江苏前黄高级中学期中)已知 F1,F2 是双曲线 E:������2-������2=1 的左,右焦点,点 M 在 E 上,MF1 与 x 轴垂
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