旋转在几何计算、证明中的运用

旋转在几何计算、证明中的运用
一、旋转在解三角形中的应用
（一）正三角形类型
在正ΔABC 中，P 为ΔABC 内一点，将ΔABP 绕A 点按逆时针方向旋转600，使得AB 与AC 重合。

经过这样旋转变化，将图（1-1-a ）中的PA 、PB 、PC 三条线段集中于图（1-1-b ）中的一个ΔP'CP 中，此时ΔP'AP
也为正三角形。

例．1. ．．如图：（．．．．1．-．1．）：设．．．P ．是等边．．．Δ．ABC ．．．内的一点，．．．．．PA=3．．．．，． PB=4．．．．，．PC=5．．．．，∠．．APB ．．．的度数是．．．．________.．．．．．．．．．
. 练习，
二等腰直角三角形类型
在等腰直角三角形ΔABC 中， ∠C=Rt ∠ , P 为ΔABC 内一点，将ΔAPC 绕C 点按逆时针方向旋转900，使得AC 与BC 重合。

经过这样旋转变化，在图（3-1-b ）中的一个ΔP' CP 为等腰直角三角形。

1.如图1所示，P 是等边三角形ABC 内的一个点，
PA=2，PB=32，PC=4，求△ABC 的边长。

例2．如图，在ΔABC 中，∠ ACB =900，BC=AC ，P 为ΔABC 内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。

求∠ BPC 的度数。

11.如图，在△ABC
中，∠C=90°，AC=BC ，M 、N 是斜边AB 上的点，且∠
MCN=45°，AM=3，BN=5，则MN= ．
三、旋转在正方形中的运用
类比练习：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，D 是BC 上的任意一点，求证：BD 2+CD 2=2AD 2．
D C
B
A
例.如图4，P 是正方形ABCD 内一点，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转能与'CBP 重合，若PB=3，求'PP 的长。

如图5, P 是正方形ABCD 内一点，且满足PA ：PD ：PC=1：2：3，则∠APD= .
图5
、
家庭作业
1(青岛市)如图，P 是正三角形 ABC 内的一点，且PA ＝6，PB ＝8，PC ＝10．若将△PAC 绕点A 逆时针旋转后，得到△P'AB ，则点P 与点P' 之间的距离为多少，∠APB ？
2、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD = 2，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90°至DE ，连接AE 、CE ，△ADE 的面积为3，则BC 的长为 ．
3如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上一点，且BE ＋DF ＝EF ，求∠EAF 、
4、如图，有边长为1的等边三角形ABC 和顶角为120°的等腰△DBC ，•以D 为顶点作∠MDN=60°角，两边分别交AB 、AC 于M 、N 的三角形，连结MN ，（1）、求证MN=BM+CN ；（2）、试说明△AMN 的周长为2．（3）、若M,N 分别在AB,CA 的延长线上，则（1）中结论还成立吗？如果不成立，MN,BM,CN 又满足什么关系？
A B C D 图9
C
A
5如图，已知正方形ABCD ，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且AE=BE+FD ，请说出AF 平分∠DAE 的理由。

6、操作：在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠C ＝900，将一块等腰三角形板的直角顶点放在斜边AB 的中点P 处，将三角板绕点P 旋转，三角板的两直角边分别交射线AC 、CB 于D 、E 两点．图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况．研究：
M
（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合图②加以证明．
（2）三角板绕点P旋转，△PBE能否为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角
形时CE的长）；若不能，请说明理由．
7【观察发现】
如图1，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，且点E在边AB上，连接DE和BG，猜想线段DE与BG的数量关系，以及直线DE与直线BG的位置关系．（只要求写出结论，不必说出理由）
【深入探究】
如图2，将图1中正方形AEFG绕点A逆时针旋转一定的角度，其他条件与【观察发现】中的条件相同，【观察发现】中的结论是否还成立？请根据图2加以说明．
【拓展应用】
如图3，直线l上有两个动点A、B，直线l外有一点O，连接OA,OB，OA,OB长分别为2
2、4，以线段AB为边在l的另一侧作正方形ABCD，连接OD．随着动点A、B的移动，线段OD的长也会发生变化，在变化过程中，线段OD的长是否存在最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由．
G
图2 图3
8、如图，ABC ∆是边长为3的等边三角形，BDC ∆是等腰三角形，且0120BDC ∠=，以D 为顶点做一个0
60角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，则AMN ∆的周长为 ；
B
C
3
9、在等边ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为
ABC 外一点，且
︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，
BM 、NC 、MN 之间的
数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．
图1 图2 图3 （I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； 此时
=L
Q
； （II ）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜
想并加以证明；
（III ） 如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时， 若AN=x ，则Q= （用x 、L 表示）．。