2021届全国天一大联考新高考模拟考试(九)理科数学

2021届全国天一大联考新高考模拟考试（九）
理科数学
★祝你考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数21i
z i
=
+在复平面内对应点的坐标为（ ） A. ()1,1-- B. ()1,1-
C. ()1,1
D. ()1,1-
【答案】C 【解析】 【分析】
由除法法则计算复数，化为复数的代数形式，得对应点坐标．
【详解】
21i i +2(1)1(1)(1)
-==+-+i i i i i ，对应点为(1,1)． 故选：C.
【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的几何意义．属于基础题．
2.已知集合{}
2
|20A x x x =--<，{}|3B x a x a =<<+，若{}|02A B x x ⋂=<<，则A
B =（ ）
A. {}|23x x -<<
B. {}|13x x -<<
C. {}|03x x <<
D. {}|21x x -<<
【答案】B
【解析】 【分析】
先根据一元二次不等式的解法，求出集合{|12}A x x =-<<，然后根据{|02}A B x x ⋂=<<得出0a =，从而可得出集合B ，然后进行并集的运算，即可求出A
B ．
【详解】解：由题可知，{
}
2
}|20{|12A x x x x x =-<-=<-<， 由于{|3}B x a x a =<<+，且{|02}A B x x ⋂=<<，
0a ∴=，
{|03}B x x ∴=<<，
{|13}A B x x ∴=-<<．
故选：B ．
【点睛】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集和并集的运算，属于基础题． 3.已知向量()0,1a =，()
1,3b =，则a 在b 上的投影为（ ）
D.
12
【答案】B 【解析】 【分析】
由向量的数量积公式得出a 与b 的夹角的余弦值，再由cos a θ得出a 在b 上的投影. 【详解】设a 与b 的夹角为θ
11a ==，(12b =+
=，011a b =⨯+=⋅2
cos 3a b b
a θ⋅∴=
⋅=
则a 在b 上的投影为cos 1a θ==
故选：B
【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的几何意义，属于中档题.
4.某校2名教师、4名学生分成2个小组，分别到两个不同的实验室做实验.每个小组由1名教师和2名学生组成，则教师A 和学生B 在同一个小组的概率为（ ）
A.
16
B.
14
C.
13
D.
12
【答案】D 【解析】 【分析】
把四个学生编号，分配两个给教师A ，写出所示有基本事件可知教师A 和学生B 在同一个小组所含基本事件的个数．即可计算出概率．
【详解】4名学生编号为,,,B C D E ，与教师A 同一组的基本事件有,,,,,BC BD BE CD CE DE 共6个，其中教师A 和学生B 在同一个小组所含基本事件有,,BC CD BE 共3个，所以所求概率为31
62
P ==． 故选：D ．
【点睛】本题考查古典概型，解题关键是用列举法写出事件空间中的所有基本事件．
5.某数学小组在国际数学日（每年3月14日）开展相关活动，其中一个活动是用随机模拟实验的方法获得π的近似值.现通过计算器随机获得500个点的坐标()(),y 01,01x x y <<<<，其中有399个点的坐标满足
221x y +≤，据此可估计π的值约为（ ）
A. 3.19
B. 3.16
C. 3.14
D. 3.11
【答案】A 【解析】 【分析】
本题首先可以通过绘图明确点()(),y 01,01x x y <<<<所在区域以及22
1x y +≤所表示的区域，然后求出
重合的区域面积，最后根据题意以及几何概型的性质即可得出结果.
【详解】
如图所示，点()(),y 01,01x x y <<<<落在一个边长为1的小正方形内，正方形面积为1，
221x y +≤指一个半径为1的圆以及此圆内部的所有区域，
圆与小正方形重合的区域面积为
4
π， 因为获得500个点()(),y 01,01x x y <<<<的坐标，有399个点的坐标满足22
1x y +≤，
所以
π4
399
1
500
，π 3.19， 故选：A.
【点睛】本题考查几何概型，能否根据题意准确的绘出图像是解决本题的关键，考查几何概型概率计算公式的灵活使用，体现了基础性，是中档题.
6.已知双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>的实轴长为4，且两条渐近线夹角为60，则该双曲线的焦距为（ ）
A.
B. 8
C. 4
D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】
本题首先可以根据双曲线方程得出渐近线方程为b y x a =±
，然后根据两条渐近线夹角为60得出3
b a =
或
b
a
=222c a b =+即可得出结果. 【详解】令22220x y a b -=，则22
22y x b a =，b y x a =±，
故双曲线22
22:1x y C a b
-=的渐近线方程为b y x a =±，
因为两条渐近线夹角为60，
所以其中一条渐近线的切斜角为30或60，b a =
b
a = 因为实轴长为4，所以2a =，
当
b a =
时，3
b =，224
43
4
33c a b ，焦距83
2c ；
当
b
a
=
b =22
4124c a b ，焦距28c =，
综上所述，该双曲线的焦距为8， 故选：D.
【点睛】本题考查根据双曲线的渐近线的相关性质求焦距，能否根据双曲线夹角的度数得出a 、b 之间的关系是解决本题的关键，考查双曲线实轴、虚轴以及焦距三者之间的关系，考查计算能力，是中档题. 7.著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中1213,,,a a a ⋅⋅⋅表示这些半音的频率，它们满足
()12
12log 11,2,,12i i a i a +⎛⎫
==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭
.
若某一半音与#D ）
A. #F
B. G
C. #G
D. A
【答案】B 【解析】 【分析】
先根据已知条件求得公比，结合题目所求半音与#D 的频率之比，求得该半音. 【详解】依题意可知()01,2,
,12,13n a n >=.
由于1213,,,a a a ⋅⋅⋅满足()12
12log 11,2,,12i i a i a +⎛⎫==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭
，则12
1
11
12
22i i i i a a a a ++⎛⎫=⇒=
⎪⎝⎭，所以数列{}()1,2,
,12,13n a n =为等比数列，设公比1
122q =，#D 对应的频率为4a ，题目所求半音与#D 的频率之
4
1
1
3
1222⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以所求半音对应的频率为4
1
12482a a ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭
.即对应的半音为G .
故选：B
【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.
8.已知函数()tan 0,2y x πωϕωϕ⎛⎫
=+>< ⎪⎝
⎭
的最小正周期为
2
π
，其图象过点(，则其对称中心为（ ）
A. (),046k k ππ⎛⎫
-∈
⎪⎝⎭
Z B. (),0412k k ππ⎛⎫
-∈
⎪⎝⎭
Z C. (),026k k ππ⎛⎫
-∈
⎪⎝⎭Z D. (),0212k k ππ⎛⎫
+∈
⎪⎝
⎭Z 【答案】A 【解析】 【分析】
由正切函数的最小正周期公式T π
ω
=
求出ω，将点(代入求出ϕ，得出()tan y x ωϕ=+的解析式，根据正切函数的对称中心和利用整体代入法得出23
2
k x π
π
+=
，即可求出对称中心. 【详解】解：
已知函数tan()(0,||)2y x π
ωϕωϕ=+><的最小正周期为2
ππ
ω=，
2ω∴=，即函数tan(2)y x ϕ=+，
其图象过点，
tan ϕ∴=2
π
ϕ<
，3
π
ϕ∴=
，
则函数tan(2)3y x π
=+，
令23
2k x π
π+
=
()k Z ∈，求得46
k x ππ
=-，k Z ∈， 则该函数的对称中心为(46
k ππ
-，0)，k Z ∈. 故选：A.
【点睛】本题考查正切函数的图象和性质，以及利用整体代入法求正切型函数的对称中心，考查分析和运算能力.
9.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A. 472
π
B. 47π+
C. 872
π
+
D. 872
π
【答案】C 【解析】 【分析】
由三视图可得该几何体为长方体中挖去半个圆锥，根据所给数据可计算出表面积. 【详解】由三视图可得该几何体为长方体中挖去半个圆锥，如图所示： 其中2AD DC ==3 所以2PA PB ==，22PC PD == 所以侧面PAD 和侧面PBC 面积相等，均为
1
2222
⨯⨯=， 侧面PCD 的面积为()
2
21
222172
⨯-=
半个圆锥的侧面积为
1122ππ⨯⨯⨯=，底面积为21221422
ππ⨯-⨯=-， 所以该几何体的表面积为2274872
2
π
π
π++-=，
故选：C.
【点睛】本题考查几何体的表面积的求法，考查几何体的三视图等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，属于中档题.
10.已知函数21,2()log ,2
x f x x x ⎧<⎪=⎨
≥⎪⎩，则不等式(21)(4)f x f x +<的解集为（ ） A. 1
1
(,)
(,)64
-∞-+∞ B. 11
(,)
(,)42-∞-+∞ C. (,1)(1,)-∞⋃+∞ D. 11
(,)(,)22
-∞-+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
利用分段函数图象解不等式求解可得.
【详解】
画出函数图象，由图得：()f x 是偶函数且在(,2)-∞-上单减，在(2+)∞，上单减； (21)(4)f x f x +<，由偶函数性质得
当2214x x ≤+<，满足不等式，则1
2
x >
因为22x -<<时()1f x = 42x ∴<-时，满足不等式，则2
1x <- 综上有11
(,)(,)22
x ∈-∞-+∞ 故选：D
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式.
利用指对数函数的单调性，要特别注意底数的取值范围，并在必要时进行讨论 11.若面积为1的ABC 满足2AB AC =，则边BC 的最小值为（ ）
A. 1
D. 2
【答案】C 【解析】 【分析】
由已知利用三角形的面积公式可得2
1
sin AC A
=，由余弦定理可求2sin 4cos 5BC A A +=，利用辅助角公式和正弦函数的性质即可求解． 【详解】解：ABC 的面积1S =，且2AB AC =，
21
sin sin 12
ABC S AB AC A AC A ∴===△， 21
sin AC A
∴=
， 根据余弦定理得：
2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅ 22422cos AC AC AC AC A =+-⋅⋅⋅ 22254cos 54cos (54cos )sin A
AC AC A A AC A
-=-⋅=-=
，
即2
54cos sin A
BC A
-=
，
可得2sin 4cos 5BC A A +=，
2sin 4cos )5BC A A A α∴+=+=，
5
5sin()
A α=
≥+，
解得：BC ≥
即边BC 故选：C.
【点睛】本题考查三角形的面积公式、余弦定理和辅助角公式的应用，以及正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了化简和运算能力.
12.当[],x m n ∈时，函数()2
sin cos 2310f x x x x x ππ=--++≥恒成立，则n m -的最大值为（ ）
A.
52
B. 2
C.
32
D. 1
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，将原不等式恒成立转化为2sin cos 231x x x x ππ---恒成立，设()sin cos g x x x ππ=-，2()231h x x x =--，转化为()()g x h x ≥恒成立，求得它们的交点(0,1)-，3
(2
，1)-，画出()y g x =和
()y h x =的图象，即可得到所求区间和n m -的最大值．
【详解】解：由题可知，[],x m n ∈时，函数2()sin cos 2310f x x x x x ππ=--++恒成立， 即为2sin cos 231x x x x ππ---恒成立，
设()sin cos g x x x ππ=-，即()2sin()4
g x x π
π=-，
()g x 为最小正周期为2的函数，且(0)1g =-，35()2sin
124
g π
==-， 设2()231h x x x =--，可得3
(0)()12
h h ==-，
分别作出()y g x =和()y h x =的图象，可得它们有两个交点(0,1)-，3
(2
，1)-，
由题意可得当[0x ∈，3
]2
时，()()g x h x ≥恒成立，即()0f x 恒成立，
此时n m -取得最大值32
. 故选：C .
【点睛】本题考查不等式恒成立问题，以及正弦函数和二次函数的图象和性质，考查转化思想和数形结合
思想，属于中档题.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13.若命题“[]01,2x ∃∈-，00x a ->”为假命题，则实数a 的最小值为_______. 【答案】2 【解析】 【分析】
根据命题为假得到[]1,2x ∀∈-，0x a -≤恒成立，简单计算，可得答案. 【详解】命题“0x R ∃∈，2
0020x x a --=”为假命题， 故[]1,2x ∀∈-，0x a -≤恒成立.
所以[]1,2x ∀∈-，a x ≥恒成立， 故2a ≥ 所以实数a 的最小值为2 故答案为：2.
【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数，掌握等价转化的思想，化繁为简，意在考查学生的推断能力，属基础题.
14.执行如图所示的程序框图，运行相应的程序.若输入的a ，b ，c 分别为0.61.5，1.50.6，0.6log 1.5，则输出的结果为________.（结果用a ，b ，c 表示）
【答案】b 【解析】 【分析】
模拟程序运算，确定变量值．
【详解】模拟程序运算，变量值变化如下：开始输入 1.50.6
0.60.6, 1.5,log 1.5a b c ===， 1.50.6x =，判断
0.6 1.51.510.6x >>=，0.61.5x =，判断0.6
0.61.5
0log 1.5x =>>，输出0.61.5x =，
故答案为：b ．
【点睛】本题考查程序框图，考查选择结构，模拟程序运行，观察变量值的变化，判断条件是否满足，可得结论．
15.已知点()A ，)
B ，动点P 满足APB θ∠=且2
cos 12
PA PB θ
⋅⋅=，则点P 的轨迹方程
为__________
【答案】2
213
x y +=
【解析】 【分析】
根据题意得||AB =由半角公式和余弦定理可得||||PA PB +的值为定值，且大于两个定点A ，B 的距离，由椭圆的定义可得P 的轨迹为椭圆，根据椭圆的几何性质求出a ，c ，b 的值，进而求出椭圆的方程．
【详解】解：根据题意，可知||AB = 由2
||||cos
12
PA PB θ
=，(0,)θπ∈，则1cos ||||
12
PA PB θ
+=， ||||||||cos 2PA PB PA PB θ∴+=，
在ABP △中22222||||||||||8
cos 2||||2||||PA PB AB PA PB PA PB PA PB θ+-+-==，
2
2
2||||cos 8PA PB PA PB θ∴=+-，
即22
||||cos 42
PA PB
PA PB θ+=
-，
2
2
||||||||cos ||||422
PA PB
PA PB PA PB PA PB θ+∴+=+
-=，
22
||||||||62
PA PB PA PB +∴+=，即222||||||||12PA PB PA PB ++=，
2(||||)12PA PB ∴+=，
所以||||PA PB +=为定值且大于||AB ， 可得P 的轨迹为椭圆，
且长轴长223a =，焦距222c =，焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆， 即3a =
，2c =，所以2221b a c =-=，
所以P 的轨迹方程为：2
213x y +=.
故答案为：2
213
x y +=.
【点睛】本题考查点的轨迹方程和椭圆的定义及性质的应用，还涉及半角公式及余弦定理的应用，考查化简和计算能力，属于中档题．
16.已知四棱锥S ABCD -，底面ABCD 是边长为6的菱形，AC
BD O =，SO ⊥底面ABCD 且8SO =.
若此四棱锥的内切球的表面积为16π，则该四棱锥的体积为_______. 【答案】642 【解析】 【分析】
利用数形结合，根据题意可知球心1O 在SO 上，作1,⊥⊥OE CD O F SE ，可知11,O F O O 为内切球的半径，然后计算SE ，利用等体积法，求得ABCD S ，最后根据体积公式可得结果. 【详解】由题可知：球心1O 在SO 上，作1,⊥⊥OE CD O F SE ，如图
由SO ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ，则SO CD ⊥
⋂=SO OE O ，所以，CD ⊥平面SOE ，又1,⊂O F SE 平面SOE
所以1,⊥⊥SE CD O F CD ，
又1⊥O F SE ，⋂=SE CD E ，所以1O F ⊥平面SCD 由此四棱锥的内切球的表面积为16π，可知半径为2 所以1112,6===O F O O SO ，
由111∠+∠=∠+∠SO F O SF O SF SEO ，所以1∠=∠SO F SEO
11121
cos cos 63∠=∠=
==O F SEO SO F O S
，则sin 3
∠=SEO
所以sin ∠=
=⇒=OS SEO SE SE
则
11142332⎛⎫
⋅=⋅⋅⋅⋅+⋅⇒= ⎪⎝⎭
ABCD ABCD ABCD S SO CD SE S S
所以1
3
-=
⋅=S ABCD ABCD V S SO
故答案为：【点睛】本题考查几何体内切球问题，本题关键在于找到球心，以及计算底面菱形的面积，考验分析能力以及计算能力，同时结合数形结合的方法，形象直观，便于理解与计算，属难题.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22、23题为选考题，考生根据要求做答 （一）必考题：共60分
17.已知等差数列{}n a 中，11a =且1a ，2a ，74a -成等比数列、数列{}n b 的前n 项和为n S ，满足
321n n b S -=.
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）将数列{}n a ，{}n b 的公共项12,,,n k k k a a a ⋅⋅⋅按原来的顺序组成新的数列，试求数列{}n k 的通项公式，并求该数列的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-；1
3n n b -=（2）131
22
n n k -=+；31424n n n T =+-
【解析】 【分析】
（1）根据等比数列的性质，可求等差数列{}n a 的公差，从而求得数列{}n a 的通项公式，由
()()1112n n
n S n b S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩，可求得数列{}n b 的通项公式； （2）由（1）得1
213
n n
k --=，所以可得131
22
n n k -=
+，再求和.
【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1a ，2a ，74a -成等比数列，
所以()212
74a a a -=，即()()112164a a d a d +-=+，()()2
1631d d -=+⨯，解得2d =.
所以21n a n =-.
当1n =时，111321b S b -==，
因为321n n b S -=，得11321n n b S ---=，（2n ≥） 所以()()1132320n n n n b S b S -----=，得13n n b b -=， 所以数列{}n b 是首项为1，公比3q =的等比数列，
所以1
3n n b -=.
（2）依题意，n k n a b =，由（1）得1
213
n n
k --=，113131222
n n n k --+==+，
所以()0121
1
313333
2
2424n n n n n T -=+++
++=+-.
【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式、求和等基础知识，考查运算求解能力，逻辑推理能力，化归与转化思想等，属于中档题.
18.如图，在ABC 中，AC BC ⊥，30BAC ∠=︒，4AB =，E ，F 分别为AC ，AB 的中点,PEF 是由AEF 绕直线EF 旋转得到，连结AP ，BP ，CP .
（1）证明：AP ⊥平面BPC ；
（2）若PC 与平面ABC 所成的角为60°，求二面角P CF B --的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）13
- 【解析】 【分析】
（1）要证AP ⊥平面BPC ，则证AP PC ⊥和BC AP ⊥；证AP PC ⊥由平面几何知识可得，证BC AP ⊥，只需证EF AP ⊥，即证EF ⊥平面APC ，利用线面垂直判定可得.
（2）建立空间直角坐标系，根据PC 与平面ABC 所成的角为60°
，可知PEC 为等边三角形，分别计算平面CFB 、平面PCF 的一个法向量，然后根据向量的夹角公式，可得结果. 【详解】解法一：
（1）因为PEF 由AEF 沿EF 旋转得到，且E 为AC 中点， 所以AE EC EP ==.所以AP PC ⊥ 又因为F 为AB 的中点，所以EF BC ∥， 又BC AC ⊥，所以EF AC ⊥， 从而EF EP ⊥，又AC
EP E =，所以EF ⊥平面ACP ，
即BC ⊥平面ACP ，又AP ⊂平面ACP ，所以BC AP ⊥， 又AP PC ⊥且PC BC C ⋂=，所以AP ⊥平面BPC （2）由（1）得EF ⊥平面AEP ，因为EF ⊂平面ABC ， 所以平面ABC ⊥平面ACP 过点P 作PM AC ⊥，交AC 于M 又平面ACP
平面ABC AC =，故PM ⊥平面ABC ，
所以PCM ∠为PC 与平面ABC 所成的角， 所以60PCM ∠=︒，
又EC EP =，所以PEC 为等边三角形， 得M
EC 中点，由BC ⊥平面ACP ，AC BC ⊥
分别以CA ，CB 为x ，y 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，
()0,0,0C ，()23,0,0A ，()0,2,0B ，)
3,1,0F
，
3M ⎫⎪⎪⎝⎭，332P ⎫⎪⎪⎝⎭
， 易得平面CFB 的一个法向量为()10,0,1n =，
(
)
3,1,0CF =
，332CP ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝
⎭ 设()2,,n x y z =为平面PCF 的一个法向量，则：
2
200n CF n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即30
3302x y x z +=+=， 令3x =，得(
)
23,3,1n =
--，
121212
13cos ,13
n n n n n n ⋅=
=
又因为二面角P CF B --的大小为钝角， 故二面角P CF B --的余弦值为1313
- 解法二：
（1）因为PEF 由AEF 沿EF 旋转得到，所以EP AE =，
又因为E 为AC 的中点，所以AE EC EP ==. 所以2
APC π
∠=
，即AP PC ⊥，
同理，AF BF PF ==，得AP BP ⊥， 又BP
CP P =，所以AP ⊥平面BPC
（2）由（1）得⊥AP BC ，又AC BC ⊥，
所以BC ⊥平面APC ，又因为BC ⊂平面ABC ， 所以平面ABC ⊥平面ACP . 过点P 作PM AC ⊥，垂足为M ， 因为平面ACP
平面ABC AC =，所以PM ⊥平面ABC ，
所以PCM ∠为PC 与平面ABC 所成的角，所以60PCM ∠=︒， 因为EC EP =，所以PEC 为等边三角形，所以M 为EC 中点， 取FB 的中点N ，连接MN ，所以MN EF ∥，所以MN ⊥平面PAC ， 分别以MN ，MC ，MP 为x ，y ，z 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -，
()0,0,0M ，330,2A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，32,2B ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭，30,2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，
31,2F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，30,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 易得平面CFB 的一个法向量为()10,0,1n =，
()
1,3,0CF =-，330,22CP ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
设()2,,n x y z =为平面PCF 的一个法向量，则：
2200n CF n CP ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪⎩，即30
33
02x x z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩， 令3x =，得()
23,3,1n =，
121212
13cos ,n n n n n n ⋅=
=
又因为二面角P CF B --的大小为钝角， 故二面角P CF B --
的余弦值为13
-
【点睛】本题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系，以及线面角，面面角知识，考查推理论证能力、运算求解能力，审清题意细心计算，属中档题.
19.某药业公司统计了2010-2019年这10年某种疾病的患者人数，结论如下：该疾病全国每年的患者人数都不低于100万，其中有3年的患者人数低于200万，有6年的患者人数不低于200万且低于300万，有1年的患者人数不低于300万.
（1）药业公司为了解一新药品对该疾病的疗效，选择了200名患者，随机平均分为两组作为实验组和对照组，实验结束时，有显著疗效的共110人，实验组中有显著疗效的比率为70％.请完成如下的2×2列联表，并根据列联表判断是否有99.9％把握认为该药品对该疾病有显著疗效；
（2）药业公司最多能引进3条新药品的
生产线，据测算，公司按如下条件运行生产线：
每运行一条生产线，可产生年利润6000万元，没运行的生产线毎条每年要亏损1000万元.根据该药业公司这10年的统计数据，将患者人数在以上三段的频率视为相应段的概率、假设各年的患者人数相互独立.欲使该药业公司年总利润的期望值达到最大，应引进多少条生产线？
附：参考公式：()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
【答案】（1）填表见解析；有99.9%的把握认为该药品对该疾病有显著疗效；（2）应引进2条生产线. 【解析】 【分析】
（1）通过计算，直接列出2×2列联表，根据公式计算2K ，即可判断出结果；
（2）分引进1条，2条，3条生产线三种情况，分别求解总利润的期望值，即可得出结论. 【详解】（1）列联表如下：
由于()2
22007060403020018.210.8281001001109011
K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，
所以有99.9%的把握认为该药品对该疾病有显著疗效； （2）根据提议：()31002000.310P x ≤<=
=，()6
2003000.610
P x ≤<==， ()1
3000.110
P x ≥=
=， 记药业公司年总利润为ξ（单位：万元）， ①引进1条生产线的情形：
由于每年的患者人数都在100万以上，因此运行1条生产线的概率为1，对应的年利润，
()600016000E ξ=⨯=；
②引进2条生产线的情形：
当100200x ≤<时，运行1条生产线，此时600010005000ξ=-=，
因此()()5000 1002000.3P P x ξ==≤<=）
， 当200x ≥时，运行2条生产线，此时6000212000ξ=⨯=， 因此()()12000200= 0.60.10.7P P x ξ==≥+=， 由此得ξ与的分布列如下：
所以()50000.3120000.79900E ξ=⨯+⨯=； ③引进3条生产线的情形：
当100200x ≤<时，运行1条生产，此时6000100024000ξ=-⨯=， 因此()()40001002000.3P P x ξ==<<=，
当200300x ≤<时，运行2条生产线，此时60002100011000ξ=⨯-=， 因此()()11000 2003000.6P P x ξ==<<=，
当300x ≥时，运行3条生产线，此时6000318000ζ=⨯=， 因此()()18000 3000.1P P x ξ==≥=， 由此得ξ与的分布列如下：
所以()40000.3110000.618000 0.19600E ξ=⨯+⨯+⨯=，
因为9900＞9600＞6000，
所以欲使该药业公司年总利润的期望值达到最大，应引进2条生产线.
【点睛】本题主要考查随机变量的分布列与期望的计算，考查了独立性检验的应用，考查学生的运算求解能力、数据处理能力与应用意识.
20.已知函数()()1ln 0x e f x a x a x x ⎛⎫
=++≤ ⎪⎝⎭
. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()()1ln 0xf x a x x +->，求a 的取值范围. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）0e a -<≤ 【解析】 【分析】
（1）求出导数后，对a 分类讨论，利用导数可求得函数的单调区间； （2）分离参数后得n 11l x
x a e +-
>在(0,)+∞上恒成立，再构造函数利用导数求出最大值即可得到答案. 【详解】（1）()222
(1)e e (1)11()x
x x a x f x a x x
x x -+-⎛⎫'=+-+= ⎪⎝⎭， 由定义域为()0,∞+，所以e 1x >.
当10a -≤≤时，0x e a +>，由()0f x '>，得1x >，由()0f x '<，得01x <<， 所以函数()f x 的单调递减区间为()0,1，递增区间为()1,+∞； 当1a <-时，令()0f x '=，则1x =或()ln x a =-， 当a e =-时，()ln 1a -=，()0f x '≥恒成立， 所以函数()f x 的递增区间为()0,∞+，无减区间；
当1e a -<<-时，()0ln 1a <-<，由()0f x '>，得0ln()x a <<-或1x >，由()0f x '<，得
ln()1a x -<<，
所以函数()f x 的单调递减区间为()()
ln ,1a -，递增区间为()()
0,ln a -和()1,+∞；
当a e <-时，()ln 1a ->，由()0f x '>，得01x <<或ln()x a >-，由()0f x '<，得1ln()x a <<-， 所以函数()f x 的单调递减区间为()()
1,ln a -，递增区间为()0,1和()()
ln ,a -+∞.
综上，当10a -≤≤时，函数()f x 的单调递减区间为()0,1，递增区间为()1,+∞； 当a e =-时，函数()f x 的递增区间为()0,∞+，无减区间；
当1e a -<<-时，函数()f x 的单调递减区间为()()
ln ,1a -，递增区间为()()
0,ln a -和()1,+∞； 当a e <-时，函数()f x 的单调递减区间为()()
1,ln a -，递增区间为()0,1和()()
ln ,a -+∞. （2）依题意得，()()1ln ln 0x
xf x a x x e a a x +-=++>在()0,∞+恒成立.
①当0a =时，不等式显然成立； ②当0a <时，()1ln x
a x e -+<，即n 11l x x a e
+-
>成立， 设()1ln x
x g x e +=，则()1
1ln x
x
x g x e --'=，
设()1
1ln h x x x
=--，则()h x 在()0,∞+单调递减，()10h =，
所以，当()0,1x ∈时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减. 所以()()max 11g x g e
== 所以11
a e
-
>，解得(),0a e ∈-. 综上，当0e a -<≤时，()()1ln 0xf x a x x +->.
【点睛】本题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等.属于中档题. 21.
平面直角坐标系xOy 中，动直线AB 交抛物线2
:4y x Γ=于A ，B 两点.
（1）若90AOB ∠=︒，证明直线AB 过定点，并求出该定点；
（2）点M 为AB 的中点，过点M 作与y 轴垂直的直线交抛物线2
:4y x Γ=于C 点；点N 为AC 的中点，过点N 作与y 轴垂直的直线交抛物线2
:4y x Γ=于点P .设△ABC 的面积1S ，△APC 的面积为2S . （i ）若AB 过定点()2,1，求使1S 取最小值时，直线AB 的方程；
（ii ）求1
2
S S 的值.
【答案】（1）证明见解析；定点()4,0（2）（i ）230x y --=（ii ）1
2
8S S = 【解析】 【分析】
（1）设直线AB 的方程，并代入抛物线方程，利用韦达定理和12120x x y y +=可解决；
（2）（i ）得到M 、C 的坐标，得到||CM ，进而得到31121211||232
S CM y y y y =
⋅-=-，再根据二次函数可求得最小值；（ii ）求出122112111||||||2222y y S PN y PN y y +=⋅⋅-=⋅-，求出2121
||||64
PN y y =
-代入12||
2||
S CM S PN =即可得到结果. 【详解】（1）证明：依题意可设直线AB 的方程为x ty m =+， 代入2
4y x =消去x 得：2
440y ty m --=，
216160t m ∆=+>，即20t m +>，
设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y m =-， 因为90AOB ∠=︒，所以12120x x y y +=， 又2
1114
x y =
，22214x y =，所以2212121016y y y y +=，故1216y y =-，（120y y =已舍去） 所以416m -=-，得4m =，
因此直线AB 的方程为4x ty =+，该直线过定点()4,0. （2）（i ）因为AB 过定点()2,1，所以由（1）得2t m =+，即2m
t ，
()2216161620t m t t ∆=+=-+>恒成立，124y y t +=，12448y y m t =-=-，
由题知得1212,22x x y y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2
1212,162y y y y C ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭
， 所以
()()()22
2
22
12121212121144||21621616
y y y y y y y y x x CM +++-+=-
=-=， 所以3
1121211||232
S CM y y y y =⋅-=
-， 因为
12y y -=
=
≥1
2
t =
时等号成立，
所以33
112
11
32324
S y y
=-≥=
当1S
取到最小值
4
时，
1
2
t=，
3
2
m=，
直线AB的方程为
13
22
x y
=+，即230
x y
--=.
（ii）依题知可得
112
1
||
2
S CM y y
=⋅-，12
2112
111
||||||
2222
y y
S PN y PN y y
+
=⋅⋅-=⋅-，
所以1
2
||
2
||
S CM
S PN
=，
由（2）（i）可知
2
12
||
16
y y
CM
-
=（此处12
y y
-可以理解为A，B两点的纵向高度差）
同理可得
2
2
12
12
12
12
1
()1
2
2
||
161664
y y y y
y
PN y y
⎛⎫
+-
- ⎪
⎝⎭
===-
，
所以
2
12
1
2
12
2
||
16
28
||
64
y y
S
y y
S
-
==
-
.
【点睛】本题主要考查直线、抛物线、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，属于中档题.
（二）选考题共10分・请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
cos
sin
x r
y r
θ
θ
=
⎧
⎨
=
⎩
（θ为参数，0
r>）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l
的圾坐标方cos
4
π
ρθ⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭
l与曲线C相交于A，B两点.
（1）求曲线C的普通方程和l的直角坐标方程；
（2）若4
r>，点()
4,0
P
满足
11
PA PB
-=r的值.
【答案】（1）222x y r +=，40x y --=（2
）r =【解析】 【分析】
（1）曲线C 的普通方程为222x y r +=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入直线l 的极坐标方程中，可得到l 的直角坐标方程.
（2）写出l
的参数方程可设为42
2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将l 的参数方程与曲线C
的普通方程联立，得
2
2
160t r ++-=，设点A 、B 对应的参数分别为1t 、2t
，则由韦达定理得122
12
16t t t t r ⎧+=-⎪⎨⋅=-⎪⎩得所求值.
【详解】（1）曲线C 的普通方程为2
2
2
x y r +=，
将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入直线l 的极坐标方程中，得到l 的直角坐标方程为40x y --=.
（2）点()4,0P 在直线l 上，则l
的参数方程可设为42
2x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），
将l 的参数方程与曲线C
的普通方程联立，得22160t r ++-=，
()()2232416432>4r r r ∆=--=->0，
设点A 、B 对应的参数分别为1t 、2t
，则由韦达定理得122
1216t t t t r
⎧+=-⎪⎨⋅=-⎪⎩4r >时，2
12160t t r =-<⋅.
所以21212212111616t t t t PA B t P t r r
----====--⋅
r =. 【点睛】本题主要考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程的应用，意在考查考生综合运用知识和运算求解能力，属于中档题.
[选修4-5：不等式选讲]
23.已知函数()1f x x a x =-+-.
（1）当0a =时，求不等式()1f x ≤的解集A .
（2）设()3
2
f x x ≤-
的解集为B ，若A B ⊆，求这数a 的值. 【答案】（1）{|01}A x x =≤≤（2）12
【解析】 【分析】
（1）将0a =代入，则|||1|1x x +-，再利用绝对值不等式的性质即可得解； （2）问题等价于11
22
x a -
-在[0x ∈，1]上恒成立，由此建立关于a 的不等式组，解出即可． 【详解】解：（1）当0a =时，()|||1|f x x x =+-，即解不等式|||1|1x x +-， 由绝对值不等式知，|||1|
|(1)|1x x x x +---=，当且仅当(1)0x x -时取等号，
因此()1f x 的解集{|01}A x x =；
（2）由A B ⊆，即[0x ∈，1]，不等式3()||2f x x -恒成立，即3
||12
x a x
x -+--，整理得1
||2
x a -， 故1122
x a -
-在[0x ∈，1]上恒成立， 则121
2a x a x ⎧-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩
在[0x ∈，1]上恒成立，得1
212
a a ⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩， 故12
a =
． 【点睛】本题考查含绝对值、参数的不等式有解问题与基本不等式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想等，属于中档题.。