【北师大版】2018-2019学年高中数学选修2-1同步练习全集(打包53份,含答案)资料合集

本文涵盖资料目录
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第1章章末综合检测 Word版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第2章章末综合检测 Word版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章章末综合检测 Word版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第1章 4.1-4.2 逻辑联结词“且” 逻辑联结词“或” 1 Word版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第1章 4.1-4.2 逻辑联结词“且” 逻辑联结词“或” 2 Word版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第1章1 命题 1 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第1章1 命题 2 Word版含解析2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第1章2.1-2.2 充分条件必要条件 2 Word版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第1章2.2 必要条件 1 Word 版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第1章2.3 充要条件 1 Word 版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第1章2.3 充要条件 2 Word 版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第1章3.1-3.2 全称量词与全称命题存在量词与特称命题 2 Word版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第1章3.2 存在量词与特称命题 1 Word版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第1章3.3 全称命题与特称命题的否定 1 Word版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第1章3.3 全称命题与特称命题的否定 2 Word版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第1章4.3 逻辑联结词“非” 2 Word版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第1章章末综合检测 Word版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第2章1 从平面向量到空间向量 2 Word版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第2章2 空间向量的运算 1 Word 版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第2章2 空间向量的运算 2 Word 版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第2章3.1-3.2 空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理 1 Word版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第2章3.1-3.2 空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理 2 Word版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第2章3.3 空间向量运算的坐标表示 1 Word版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第2章3.3 空间向量运算的坐标表示 2 Word版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第2章4 用向量讨论垂直与平行 1 Word版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第2章4 用向量讨论垂直与平行 2 Word版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第2章5 夹角的计算 1 Word
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2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第2章5 夹角的计算 2 Word
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2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第2章6 距离的计算 1 Word
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2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第2章6 距离的计算 2 Word
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2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第2章章末综合检测 Word版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章1.1 椭圆及其标准方程 1 Word版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章1.1 椭圆及其标准方程 2 Word版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章1.2 椭圆的简单性质（1）2 Word版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章1.2 椭圆的简单性质（1）1 Word版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章1.2 椭圆的简单性质（2）2 Word版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章1.2 椭圆的简单性质（2）1 Word版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章2.1 抛物线及其标准方程 1 Word版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章2.1 抛物线及其标准方程 2 Word版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章2.2 抛物线的简单性质（1） 1 Word版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章2.2 抛物线的简单性质（1） 2 Word版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章2.2 抛物线的简单性质（2） 2 Word版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章2.2 抛物线的简单性质（2）1 Word版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章3.1 双曲线及其标准方程 1 Word版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章3.1 双曲线及其标准方程 2 Word版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章3.2 双曲线的简单性质 1 Word版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章3.2.1 双曲线的简单几何性质 2 Word版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章3.2.2 直线与双曲线的位置关系 2 Word版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章4.1 曲线与方程 1 Word 版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章4.1 曲线与方程 2 Word 版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章4.2-4.3 圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点 1 Word版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章4.2-4.3 圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点 2 Word版含解析
2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第3章章末综合检测 Word版含解析
(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“任意x∈R，e x＞x2”的否定是()
A．存在x∈R，使得e x≤x2
B．任意x∈R，使得e x≤x2
C．存在x∈R，使得e x＞x2
D．不存在x∈R，使得e x＞x2
解析：选A.此命题是全称命题，其否定为：“存在x∈R，e x≤x2”．
2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是()
A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥β
C．aα，b⊥β，α∥βD．aα，b∥β，α⊥β
解析：选C.∵b⊥β，α∥β，∴b⊥α，又aα，∴a⊥b.
3．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是()
A．(非p)或q B．p且q
C．(非p)且(非q) D．(非p)或(非q)
解析：选D.∵p真q假，∴非p假，非q真，故选D.
4．命题“存在x∈R，2x＋x2≤1”的否定是()
A．对于任意的x∈R，2x＋x2＞1，假命题
B．对于任意的x∈R，2x＋x2＞1，真命题
C．存在x∈R，2x＋x2＞1，假命题
D．存在x∈R，2x＋x2＞1，真命题
解析：选A.因为x＝0时，20＋02＝1≤1，所以该命题的否定“对于任意的x∈R，2x＋x2＞1”是假命题．
5．已知平面α，直线lα，直线mα，则“直线l∥α”是“l∥m”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
解析：选B.l∥α，lα，mα，l与m可能平行或异面；反过来，若l∥m，lα，mα，则l∥α.
6．命题p：“若x2－3x＋2≠0，则x≠2”，若p为原命题，则p的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为()
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.∵p真，其逆否命题为真；逆命题为假，否命题也为假，故选B.
7．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m、n，则下列命题不正确的是() A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
C．若m⊥α，m∥n，nβ，则α⊥β
D．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
解析：选D.对D，m与n可能平行，也可能异面，D不正确，A、B、C中命题均正确．8．下列命题中，真命题是()
A．任意x∈R，x2≥x
B．命题“若x＝1，则x2＝1”的逆命题
C．存在x∈R，x2≥x
D．命题“若x≠y，则sin x≠sin y”的逆否命题
解析：选C.对A，当x∈(0，1)时，A为假命题；B的逆命题为：“若x2＝1，则x＝1”，此命题为假命题，B为假命题；对C，当x＝1时成立，C为真命题；对D，D的逆否命题为：“若sin x＝sin y，则x＝y”．此命题为假，例如sin 30°＝sin 150°，但30°≠150°，D为假命题，故选C.
9．已知a、b为非零向量，则“a⊥b”是“函数f(x)＝(x a＋b)·(x b－a)为一次函数”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选B.f(x)＝(x a＋b)·(x b－a)＝a·b x2＋(b2－a2)x－a·b，若“函数f(x)＝(x a＋b)·(x b－a)为一次函数”，则a·b＝0，即“a⊥b”；若“a⊥b”，当a2＝b2时，f(x)＝0，就不是一次函数，故“a⊥b”，是“函数f(x)＝(x a＋b)·(x b－a)为一次函数”的必要不充分条件．10．命题p：“任意x∈[1，2]，2x2－x－m＞0”，命题q：“存在x∈[1，2]，log2x＋m ＞0”，若“p且q”为真命题，则实数m的取值范围是()
A．m＜1 B．m＞－1
C．－1＜m＜1 D．－1≤m≤1
解析：选C.p为真时，m＜2x2－x，x∈[1，2]恒成立，2x2－x在x∈[1，2]上的最小值为1，∴m＜1；
q为真时，m＞－log2x，x∈[1，2]能成立，－log2x在[1，2]上的最小值为－1，∴m＞－1；
∵p且q为真命题，∴p和q都是真命题，故－1＜m＜1.
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)
11．若“x＝2”是“x2－2x＋c＝0”的充分条件，则c＝________．
解析：由题意x＝2⇒x2－2x＋c＝0，∴22－2×2＋c＝0，∴c＝0.
答案：0
12．若命题“存在x＜2 014，x＞a”是假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：∵“存在x＜2 014，x＞a”是假命题，∴其否定：“对任意x＜2 014，x≤a”为真命题，∴a≥2 014.
答案：[2 014，＋∞)
13．若a与b－c都是非零向量，则“a·b＝a·c”是“a⊥(b－c)”的________条件．解析：若a·b＝a·c，则a·b－a·c＝0，即a·(b－c)＝0，所以a⊥(b－c)；反之，若a⊥(b －c)，则a·(b－c)＝0，即a·b－a·c＝0，所以a·b＝a·c.从而有a·b＝a·c⇔a⊥(b－c)．答案：充要
14．已知p：存在x∈R，mx2＋1≤0；q：对任意x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p或q为假，则实数m的取值范围是________．
解析：p或q为假，则非p和非q均为真．
非p：对任意x∈R，mx2＋1＞0为真时，m≥0；非q：存在x∈R，x2＋m＋1≤0为真时，Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2，故m的取值范围是{m|m≥0}∩{m|m≤－2或m≥2}＝{m|m≥2}．
答案：[2，＋∞)
15．
如图，正方体ABCD－A1B1C1D1，则下列四个命题：
①P在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1PC的体积不变；
②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；
③P在直线BC1上运动时，二面角P-AD1­C的大小不变；
④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线D1A1.
其中真命题的编号是________．
解析：对①，P在直线BC1上运动时，S△AD1P为定值，C到底面AD1P的距离为定值，①为真命题；
对②，P在直线BC1上运动时，P到底面ACD1的距离PO(O为垂足)不变，但线段OA 的长是变化的；∴②是假命题；
对③，由于BC1∥AD1，③为真命题；
对④，由于直线D1A1上任一点到点D和C1距离相等，又D1A1平面A1B1C1D1，④为真命题．
答案：①③④
三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分10分)判断下列命题的真假：
(1)“π是无理数”，及其逆命题；
(2)“若实数a，b不都为0，则a2＋b2≠0”；
(3)命题“任意x∈(0，＋∞)，有x＜4且x2＋5x－24＝0”的否定．
解：(1)原命题为真命题，其逆命题为：无理数是π，为假命题；
(2)原命题的逆否命题为“若a2＋b2＝0，则实数a，b同时为0”，显然为真，故原命题
为真；
(3)原命题的否定为：存在x ∈(0，＋∞)，使x ≥4或x 2＋5x －24≠0显然为真命题．
17．(本小题满分10分)(2014·孝感市高二检测)设命题p ：(4x －3)2≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若非p 是非q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
解：设A ＝{x |(4x －3)2≤1}，
B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}，
易知A ＝{x |12
≤x ≤1}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}． 由非p 是非q 的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即A 是B 的真子集，
∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1.
(等号不同时成立) 故所求实数a 的取值范围是[0，12
]． 18．(本小题满分10分)已知命题p ：函数y ＝(a －1)x 在R 上单调递增，命题q ：不等式x ＋|x －3a |＞1的解集为R ，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．
解：若p 真，则a －1＞1⇒a ＞2，
q 真⇔x ＋|x －3a |＞1恒成立，设h (x )＝x ＋|x －3a |，则h (x )min ＞1.
∵h (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x －3a ，x ≥3a 3a ， x ＜3a ，易知h (x )min ＝3a ， ∴3a ＞1，即a ＞13
. ∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p ，q 一真一假．
①若p 真q 假，则a ＞2且a ≤13
，矛盾． ②若p 假q 真，则a ≤2且a ＞13⇒13
＜a ≤2， 综上可知，a 的取值范围是(13
，2]． 19．(本小题满分12分)已知集合M ＝{x |x ＜－3或x ＞5}，P ＝{x |(x －a )·(x －8)≤0}．
(1)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的充要条件．
(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个充分不必要条件．
解：(1)由M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}，结合集合M ，P 可得－3≤a ≤5.故－3≤a ≤5是M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的必要条件．下面证明这个条件也是充分的．
证明：当－3≤a ≤5时，集合P ＝{x |a ≤x ≤8}，集合M ＝{x |x ＜－3或x ＞5}，故M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}．
综上可知，－3≤a ≤5是M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的充要条件．
(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个充分不必要条件，就是在集合{a |－3≤a ≤5}中取一个值，如取a ＝0，此时必有M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}；反之，M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}未必有a ＝0，故a ＝0是M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个充分不必要条件．
20．(本小题满分13分)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像过点(－1，0)，是否存在常数a ，b ，
c 使不等式x ≤f (x )≤1＋x 22
对一切实数x 均成立？ 解：假设存在常数a ，b ，c 使题设命题成立．
∵f (x )图像过点(－1，0)，∴a －b ＋c ＝0，
∵x ≤f (x )≤1＋x 22
对一切x ∈R 均成立， ∴当x ＝1时，也成立，
即1≤a ＋b ＋c ≤1，
故有a ＋b ＋c ＝1.
∴b ＝12，c ＝12
－a . ∴f (x )＝ax 2＋12x ＋12
－a ， ∴x ≤ax 2＋12x ＋12－a ≤1＋x 22
对一切x ∈R 成立， 即⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－12x ＋12－a ≥0，（1－2a ）x 2－x ＋2a ≥0
恒成立 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧14－4a ⎝⎛⎭⎫12－a ≤0，1－8a （1－2a ）≤0，a ＞0，1－2a ＞0，
∴a ＝14.∴c ＝12－a ＝14
. ∴存在一组常数a ＝14，b ＝12，c ＝14，使不等式x ≤f (x )≤1＋x 22
对一切实数x 均成立．
(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →
＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )
A ．A 、
B 、D B ．A 、B 、
C C ．B 、C 、D
D ．A 、C 、D
解析：选A.∵BD →＝BC →＋CD →＝2(a ＋2b )＝2AB →
，B 为公共点， ∴A 、B 、D 三点共线．
2．化简PM →－PN →＋MN →
所得的结果是( ) A.PM → B ．NP → C ．0
D ．MN →
解析：选C.PM →－PN →＋MN →＝NM →＋MN →
＝0.
3．若向量MA →，MB →，MC →
的起点M 和终点A ，B ，C 互不重合且无三点共线，则能使向量MA →，MB →，MC →
成为空间一组基底的关系是( )
A.OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →
B.MA →＝MB →＋MC →
C.OM →＝OA →＋OB →＋OC →
D.MA →＝2MB →－MC →
解析：选C.对于选项A ，由结论OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →
(x ＋y ＋z ＝1)⇒M ，A ，B ，C 四点共面知，MA →，MB →，MC →共面；对于B ，D 选项，易知MA →，MB →，MC →
共面，故只有选项C 中MA →，MB →，MC →
不共面．
4．平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→＝xAB →＋2yBC →＋3zC 1C →
，则x ＋y ＋z 等于( )
A ．1
B ．7
6
C.56
D ．23
解析：选 B.在平行六面体中，AC 1→＝xAB →＋2yBC →＋3zC 1C →＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋BC →
－C 1C →.
比较系数知x ＝1，y ＝12，z ＝－1
3，
∴x ＋y ＋z ＝7
6
.
5．已知两个平面的一个法向量分别是m ＝(1，2，－1)，n ＝(1，－1，0)，则这两个平面所成的二面角的平面角的余弦值为( )
A ．－36
B ．
3
6 C ．－
36或36
D ．－
33或33
解析：选C.cos 〈m ，n 〉＝
m ·n |m ||n |＝－16×2
＝－3
6， 由于两平面所成角的二面角与〈m ，n 〉相等或互补．故选C.
6．已知a ＝(2，－1，2)，b ＝(2，2，1)，则以a 、b 为邻边的平行四边形的面积为( ) A.65 B ．
65
2
C ．4
D ．8
解析：选A.cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝43×3＝4
9，
sin 〈a ，b 〉＝
1－⎝⎛⎭⎫492＝659
，
∴S ＝|a ||b |sin 〈a ，b 〉＝9×
65
9
＝65. 7．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B ，AC 的中点，则MN 与平面B 1BCC 1的位置关系是( )
A ．相交
B ．平行
C ．垂直
D ．不能确定
解析：选B.
建立如图所示的空间直角坐标系，
C 1
D 1→
＝(0，a ，0)为平面B 1BCC 1的一个法向量， M (a ，12a ，1
2
a )，
N (12a ，1
2a ，a )， MN →
＝(－12a ，0，12
a )，
由于C 1D 1→·MN →
＝0，且M N ⃘平面B 1BCC 1， ∴MN ∥平面B 1BCC 1. 8．
如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝30°，AD 是边BC 上的高，则AD →·AC →
的值等于( )
A ．0
B ．94
C ．4
D ．－94
解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得，|AC |2＝42＋42－2×4×4cos 30°＝32－163， ∴|AC |＝2(6－2)，cos ∠CAD ＝cos 〈AD →，AC →〉＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝
6＋2
4
， 又AD ＝1
2
AB ＝2，
∴AD →·AC →＝|AD →||AC →|cos 〈AD →，AC →
〉＝4(6－2)×6＋24
＝4，故选C.
9．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值是( ) A.24 B ．23 C.63
D ．
32
解析：选C.
以D 为原点，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为1，则D (0，0，0)，A 1(1，0，1)，B (1，1，0)，C 1(0，1，1)．
∴DA 1→＝(1，0，1)，DB →＝(1，1，0)，BC 1→
＝(－1，0，1)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面DA 1B 的一个法向量，
则⎩⎪⎨⎪⎧DA 1→·n ＝0，DB →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0，
∴x ＝－y ＝－z .
令x ＝1，得n ＝(1，－1，－1)． 设直线BC 1与平面A 1BD 所成的角为θ，
则sin θ＝|cos 〈n ，BC 1→
〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·BC 1→|n ||BC 1→
|＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪－23·2＝63. 10．四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ＝2，E ，F 分别为PB ，PD 的中点，则P 到直线EF 的距离为( )
A ．1
B ．22 C.32
D ．
62
解析：选D.建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，
设AC 与BD 的交点为O ，∵|PB |＝|PD |， ∴PO ⊥BD ， 又O (1，1，0)，
∴P 点到BD 的距离为|PO |＝（1－0）2＋（1－0）2＋（0－2）2＝6， 又EF 綊1
2BD ，
∴P 到EF 的距离为
62
. 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．已知向量a ＝(0，－1，1)，b ＝(4，1，0)，|λa ＋b |＝29，且λ＞0，则λ＝________． 解析：λa ＋b ＝λ(0，－1，1)＋(4，1，0)＝(4，1－λ，λ)，由已知得|λa ＋b |＝42＋（1－λ）2＋λ2＝29，且λ＞0，解得λ＝3. 答案：3
12．若A (x ，5－x ，2x －1)，B (1，x ＋2，2－x )，当|AB →
|取最小值时，x 的值等于________． 解析：AB →
＝(1－x ，2x －3，－3x ＋3)，
所以|AB →
|＝（1－x ）2＋（2x －3）2＋（－3x ＋3）2 ＝14x 2－32x ＋19＝
14（x －87）2＋5
7
，
当x ＝87时，|AB →
|取得最小值．
答案：87
13．已知a ＝(3，－2，－3)，b ＝(－1，x －1，1)，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是________．
解析：a ·b ＝－3－2(x －1)－3＝－2x －4，由题意知cos 〈a ，b 〉∈(－1，0)，即－1≠
－2x －4
22×x 2－2x ＋3
＜0，解之得x ＞－2且x ≠5
3.
答案：(－2，53)∪(5
3
，＋∞)
14．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，各侧面均为正方形，侧面AA 1C 1C 的对角线相交于点M ，则BM 与平面AA 1C 1C 所成角的大小是________．
解析：法一：取AC 的中点D ，连接BD ，MD ，由于BD ⊥平面AA 1C 1C ，故∠BMD 即为所求直线与平面所成角，设三棱柱棱长为a ，其中BD ＝
32a ，DM ＝a 2
， 故tan ∠BMD ＝
BD
DM
＝3，解得∠BMD ＝60°. 法二：由题意知此三棱柱为各棱长均相等的正三棱柱，设棱长为2，建立如图所示的空
间直角坐标系，
则B (3，1，0)，M (0，1，1)，BM →
＝(－3，0，1)， 取平面ACC 1A 1的一个法向量n ＝(1，0，0)， cos 〈BM →
，n 〉＝－32×1＝－32，
设BM 与平面ACC 1A 1所成的角为θ， 则sin θ＝
3
2
，∴θ＝60°. 答案：60°
15.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G ＝λ(0≤λ≤1)，则点G 到平面D 1EF 的距离为________．
解析：∵A 1B 1∥平面D 1EF ，
∴G 到平面D 1EF 之距等于A 1点到平面D 1EF 之距，建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(1，0，1)，D 1(0，0，1)，F (1，1，12)，E (1，0，1
2)，设平面D 1EF 的法向量为n ＝(x ，y ，
z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·
EF →＝0n ·
ED 1→＝0，
易求得平面D 1
EF 的一个法向量n ＝(1，0，2)，A 1E →
＝(0，0，－12)，
∴d ＝|A 1E →
·n ||n |
＝55
. 答案：
55
三、解答题(本大题共5小题，共55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分)(2014·德州高二检测)已知空间三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5)，若向量a 分别与向量AB →，AC →
垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．
解：AB →＝(－2，－1，3)，AC →
＝(1，－3，2)，设a ＝(x ，y ，z )， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ·AB →＝0
a ·AC →＝0
x 2
＋y 2
＋z 2
＝3，即⎩⎪
⎨⎪
⎧－2x －y ＋3z ＝0x －3y ＋2z ＝0x 2
＋y 2
＋z 2
＝3
， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1z ＝－1
. ∴a ＝(1，1，1)或a ＝(－1，－1，－1)． 17．(本小题满分10分)
已知在空间四边形OABC 中，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在MN 上，且MG ＝2GN ，如图所示，记OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量OG →
.
解：ON →＝12(b ＋c )，OM →＝12a ，MN →＝12b ＋12c －12a ，
∵MG →＝2GN →，∴MG →＝23MN →＝13b ＋13c －1
3a ，
∴OG →＝OM →＋MG →＝12a ＋13b ＋13c －13a ＝16a ＋13b ＋1
3
c .
18．(本小题满分10分)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 是AB 的中点，点F 是AA 1
上靠近点A的三等分点，在线段DD1上是否存在一点G，使CG∥EF？若存在，求出点G 的位置，若不存在，说明理由．
解：存在．如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1
的棱长为1，则E(1，
1
2，0)，F(1，0，
1
3)，C(0，1，0)，假设在DD1上存
在一点G，使CG∥EF，则CG
→
∥EF
→
，由于点G在z轴上，设G(0，0，z)，
∴EF
→
＝(0，－
1
2，
1
3)，CG
→
＝(0，－1，z)．
∵CG
→
∥EF
→
，∴CG
→
＝λEF
→
，即(0，－1，z)＝λ(0，－
1
2，
1
3)，
∴
⎩⎪
⎨
⎪⎧
0＝λ×0，
－1＝－
1
2
λ，
z＝
1
3
λ，
解得
⎩⎪
⎨
⎪⎧λ＝2，
z＝
2
3.
由于z＝
2
3∈[0，1]，所以点G在线段DD1上，其坐标为(0，0，
2
3)，
故在线段DD1上存在一点G，使CG∥EF，点G是DD1上靠近点D1的三等分点．19．(本小题满分12分)
如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，且∠ACB＝90°，AC＝BC＝CP＝2.
(1)求二面角B-AP-C的余弦值；
(2)求点C到平面P AB的距离．
解：(1)如图，以C为原点建立空间直角坐标系．
则C(0，0，0)，A(0，2，0)，B(2，0，0)，P(0，0，2)．
易得面P AC的法向量为n1＝(1，0，0)，
P A
→
＝(0，2，－2)，PB
→
＝(2，0，－2)，
n2＝(x，y，z)为平面P AB的法向量，
∴
⎩⎪
⎨
⎪⎧n2·P A→＝0
n2·PB
→
＝0
，即
⎩⎪
⎨
⎪⎧2y－2z＝0
2x－2z＝0
.
可取n2＝(1，1，1)．
∴cos〈n1，n2〉＝
n1·n2
|n1||n2|＝
1
3
＝
3
3.
∴二面角B-AP-C的余弦值为
3
3.
(2)d＝
|CA
→
·n2|
|n2|＝
2
3
＝
23
3，
∴点C 到平面P AB 的距离为23
3.
20．(本小题满分13分)
已知在几何体A -BCED 中，∠ACB ＝90°，CE ⊥平面ABC ，平面BCED 为梯形，且AC ＝CE ＝BC ＝4，DB ＝1.
(1)求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值；
(2)试探究在DE 上是否存在点Q ，使得AQ ⊥BQ ，并说明理由．
解：(1)由题知，CA ，CB ，CE 两两垂直，以C 为原点，以CA ，CB ，CE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．
则A (4，0，0)，B (0，4，0)，D (0，4，1)，E (0，0，4)， ∴DE →＝(0，－4，3)，AB →
＝(－4，4，0)， ∴cos 〈DE →，AB →
〉＝－225
，
∴异面直线DE 与AB 所成角的余弦值为22
5
.
(2)设满足题设的点Q 存在，其坐标为(0，m ，n )，则AQ →
＝(－4，m ，n )， BQ →＝(0，m －4，n )，EQ →＝(0，m ，n －4)，QD →
＝(0，4－m ，1－n )． ∵AQ ⊥BQ ，∴m (m －4)＋n 2＝0，①
∵点Q 在ED 上，∴存在λ∈R (λ＞0)使得EQ →＝λQD →
， ∴(0，m ，n －4)＝λ(0，4－m ，1－n )，∴m ＝4λ
1＋λ，②
n ＝4＋λ1＋λ
.③ 由①②③得⎝ ⎛⎭⎪
⎫λ＋41＋λ2
＝16λ（1＋λ）2
，
∴λ2－8λ＋16＝0，解得λ＝4. ∴m ＝165，n ＝85
.
∴满足题设的点Q 存在，其坐标为⎝
⎛⎭⎫0，165，8
5.
(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知椭圆x 225＋y 2
16＝1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点的距
离为( )
A ．2
B ．3
C ．5
D ．7
解析：选D.设另一个焦点为F ，由椭圆定义知3＋|PF |＝10，∴|PF |＝7.
2．抛物线y ＝－x 2的焦点坐标为( ) A ．(0，－1
8)
B ．(－1
4，0)
C ．(0，－1
4
)
D ．(0，－1
2)
解析：选C.方程化为标准形式为x 2＝－y ，故其焦点坐标为(0，－1
4)．
3．双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.12 B ．
22
C ．1
D ． 2
解析：选B.双曲线x 2－y 2＝1的顶点坐标为(±1，0)，渐近线为y ＝±x ，∴x ±y ＝0，∴顶点到渐近线的距离为d ＝
|±1±0|2
＝2
2. 4．已知抛物线y ＝2px 2(p >0)的准线与圆x 2＋y 2－4y －5＝0相切，则p 的值为( ) A ．10 B ．6 C.18
D ．1
24
解析：选C.抛物线方程可化为x 2＝1
2p y (p >0)，由于圆x 2＋(y －2)2＝9与抛物线的准线y
＝－18p 相切，∴3－2＝18p ，∴p ＝18
.
5．已知中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的离心率为5，则它的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±5
2x
C ．y ＝±12
x
D ．y ＝±6x
解析：选C.由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±a
b x ，
e 2＝
c 2a 2＝1＋(b a )2＝5，∴b a ＝2，故渐近线方程为y ＝±12
x . 6．若直线l 过点(3，0)与双曲线4x 2－9y 2＝36只有一个公共点，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条
D ．4条
解析：选C.双曲线方程可化为x 29－y 2
4＝1，知(3，0)为双曲线的右顶点，故符合要求的直
线l 有3条，其中一条是切线，另两条是交线(分别与两渐近线平行)．
7．已知定直线l 与平面α成60°角，点P 是平面α内的一动点，且点P 到直线l 的距离为3，则动点P 的轨迹是( )
A ．圆
B ．椭圆的一部分
C ．抛物线的一部分
D ．椭圆
解析：选D.以l 为轴底面半径为3的圆柱被与l 成60°的平面α所截，截线为椭圆． 8．设P 为双曲线
x 2－
y 2
3
＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝5∶3，则△PF 1F 2的面积是( )
A ．4 2
B ．6
C ．7
D ．8
解析：选B.a ＝1，c ＝2，|PF 1|－|PF 2|＝2①，|PF 1||PF 2|＝5
3，②
由①②得|PF 1|＝5，|PF 2|＝3，又|F 1F 2|＝4， ∴∠PF 2F 1＝90°，
故S △PF 1F 2＝12|PF 2||F 1F 2|＝1
2
×3×4＝6.
9．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0，2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A.
17
2
B ．3 C. 5
D ．92
解析：选A.如图所示，由抛物线的定义知，点P 到准线x ＝－1
2的距离d 等于点P 到焦
点的距离|PF |.因此点P 到点M (0，2)的距离与点P 到准线的距离之和可转化为点P 到点M (0，2)的距离与点P 到点F 的距离之和，其最小值为点M (0，2)到点F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离，则距离之和的最小值为
4＋14＝17
2
.
10．椭圆x 2
a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的内接矩形的最大面积的取值范围是[3b 2，4b 2]，则该椭圆的
离心率e 的取值范围是( )
A ．[33，22]
B ．[53，3
2] C ．[
22，53
] D ．[
33，32
] 解析：选B.由对称性知矩形中心在原点，且两组对边平行x 轴，y 轴，设矩形在第一象限的顶点坐标为(x ，y )(x >0，y >0)，
S 矩形＝4xy ＝2ab (2x a ·y b )≤2ab (x 2a 2＋y 2
b 2)＝2ab ∈[3b 2，4b 2]，
∴3b 2≤2ab ≤4b 2，即
12≤b a ≤23，e 2＝c 2a 2＝1－(b a )2∈[59，34]，故e ∈[53，3
2
]． 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上) 11．椭圆x 2m 2＋y 2
3－m
＝1的一个焦点为(0，1)，则m ＝________．
解析：由题意a 2＝3－m ，b 2＝m 2，又c ＝1，∴12＝a 2－b 2＝3－m －m 2，即m 2＋m －2＝0，
∴m ＝－2或m ＝1，均满足3－m >m 2. 答案：－2或1
12．如图，共顶点的椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为e 1，e 2，e 3，e 4，其大小关系为________．
解析：对椭圆，离心率越小，椭圆越圆，∴0<e 1<e 2<1； 对双曲线，离心率越大，张口越大，∴1<e 4<e 3，故e 1<e 2<e 4<e 3. 答案：e 1<e 2<e 4<e 3
13．在平面直角坐标系xOy 中，焦点为F (5，0)的抛物线的标准方程是________． 解析：由题意p
2＝5，p ＝10，故焦点为(5，0)的抛物线的标准方程为y 2＝20x .
答案：y 2＝20x
14．若椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，
则该椭圆的方程为________．
解析：y 2＝8x 的焦点为(2，0)，∴a ＝2.又双曲线的焦点为(±2，0)， ∴c ＝
2，∴b 2＝a 2－c 2＝4－2＝2，椭圆方程为
x 24＋y 2
2
＝1. 答案：x 24＋y 2
2
＝1
15．抛物线y 2＝2x 上距点M (m ，0)(m >0)最近的点恰好是抛物线的顶点，则m 的取值范围是________．
解析：设P (x ，y )为抛物线上任一点，则|PM |2＝(x －m )2＋y 2＝x 2－2(m －1)x ＋m 2 ＝[x －(m －1)]2＋2m －1. ∵m >0，∴m －1>－1.
由于x ≥0，且由题意知当x ＝0时，|PM |最小． 则对称轴x ＝m －1应满足－1<m －1≤0，∴0<m ≤1. 答案：(0，1]
三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分．求椭圆的标准方程及其离心率．
解：设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，由题意知：2a ＝18，2a ＝6
c ，所以解得a ＝9，
c ＝3，故
b 2＝a 2－
c 2＝72，所以椭圆
C 的方程是x 281＋y 272＝1，离心率e ＝c a ＝39＝1
3
.
17．(本小题满分10分) k 代表实数，讨论方程kx 2＋2y 2－8＝0所表示的曲线． 解：当k <0时，曲线y 24－x 2
－8
k
＝1为焦点在y 轴上的双曲线；
当k ＝0时，曲线2y 2－8＝0为两条平行于x 轴的直线y ＝2或y ＝－2； 当0<k <2时，曲线x 28k ＋y 2
4＝1为焦点在x 轴上的椭圆；
当k ＝2时，曲线x 2＋y 2＝4为一个圆；
当k >2时，曲线y 24＋x 2
8
k
＝1为焦点在y 轴上的椭圆．
18．(本小题满分10分)已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点． (1)求证：OA ⊥OB ；
(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．
解：(1)证明：如图所示，由方程组⎩
⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，
y ＝k （x ＋1）消去x 后，整理，得
ky 2＋y －k ＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得y 1·y 2＝－1. ∵A ，B 在抛物线y 2＝－x 上，
∴y 21＝－x 1，y 22＝－x 2.∴y 21·y 22＝x 1x 2
. ∴k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1
y 1y 2＝－1，
∴OA ⊥OB .
(2)设直线AB 与x 轴交于点N ，显然k ≠0. 令y ＝0，则x ＝－1，即N (－1，0)． ∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋1
2|ON ||y 2| ＝1
2
|ON |·|y 1－y 2|， ∴S △OAB ＝1
2·1·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2
＝12
⎝⎛⎭
⎫－1k 2
＋4. ∵S △OAB ＝10，
∴10＝1
2
1
k 2
＋4， 解得k ＝±1
6
.
19．(本小题满分12分)已知：双曲线x 2－2y 2＝2的左、右焦点分别为F 1、F 2，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝4.
(1)求：动点P 的轨迹E 的方程；
(2)若M 是曲线E 上的一个动点，求|MF 2|的最小值．并说明理由． 解：(1)F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 且|PF 1|＋|PF 2|＝4>23，
∴P 点的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，
且a ＝2，c ＝3，从而b ＝1.∴动点P 的轨迹方程为x 24＋y 2
＝1.
(2)设M (x ，y )，则|MF 2|＝（x －3）2＋y 2， ∵x 24＋y 2＝1，∴y 2
＝1－x 2
4，∴|MF 2|＝34
x 2
－23x ＋4＝（
32x －2）2＝⎪⎪⎪
⎪3
2x －2. ∵M ∈E ，∴x ∈[－2，2]， ∴|MF 2|＝2－
3
2
x ，x ∈[－2，2]． 显然|MF 2|在[－2，2]上为减函数， ∴|MF 2|有最小值2－ 3.
20．(本小题满分13分)如图，F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)
的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.
(1)求椭圆C 的离心率；
(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．
解：(1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝1
2.
(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2， 直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )，
将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝⎛⎭⎫
85c ，－335c ，
所以|AB |＝1＋3·⎪⎪⎪⎪85c －0＝16
5
c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |·sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2
＝403，
解得a ＝10，b ＝5 3.
法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ，
再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得，t ＝8
5
a .
由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235
a 2
＝403知，a ＝10，b ＝5 3.
[基础达标]
1.“若x 2－7x ＋12≠0，则x ≠3且x ≠4”的否定为( ) A ．若x 2－7x ＋12＝0，则x ＝3或x ＝4 B ．若x 2－7x ＋12＝0，则x ＝3且x ＝4 C ．若x 2－7x ＋12≠0，则x ＝3或x ＝4 D ．若x 2－7x ＋12≠0，则x ≠3且x ≠4
解析：选C.不否定条件“x 2－7x ＋12≠0”，只否定结论“x ≠3且x ≠4”，此结论的否定为：“x ＝3或x ＝4”，故选C.
2.若p 、q 是两个简单命题，“p 或q ”的否定是真命题，则必有( ) A ．p 真q 真 B ．p 假q 假 C ．p 真q 假
D ．p 假q 真
解析：选B.“p 或q ”的否定是真命题，故“p 或q ”为假命题，所以p 假q 假． 3.若命题“p 且q ”为假，且非p 为假，则( ) A ．“p 或q ”为假 B ．q 为假 C ．p 为假
D ．q 为真
解析：选B.∵非p 为假，∴p 为真，又“p 且q ”为假，∴q 必为假，故选B. 4.设命题p ：方程x 2＋3x －1＝0的两根符号不同；命题q ：方程x 2＋3x －1＝0的两根之和为3，判断命题“非p ”、“非q ”、“p 且q ”、“p 或q ”为假命题的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选C.由于Δ＞0，且两根⎩
⎪⎨⎪⎧x 1x 2＝－1，x 1＋x 2＝－3，p 为真命题，q 为假，∴非p 为假命题，
非q 为真命题；p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，故选C.
5.已知全集U ＝R ，A ⊆U ，B ⊆U ，若命题p ：a ∈A ∪B ，则命题“非p ”是( ) A ．a ∈A B ．a ∈∁U B
C ．a ∉A ∩B
D ．a ∈(∁U A )∩(∁U B )
解析：选D.因为(∁U A )∩(∁U B )正好是A ∪B 的补集，所以a ∉A ∪B ⇔a ∈(∁U A )∩(∁U B )． 6.若“x ∈[2，5]或x ∈{x |x ＜1或x ＞4}”是假命题，则x 的取值范围是________． 解析：∵原命题为假命题，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧x ＞5或x ＜2，
1≤x ≤4，∴1≤x ＜2.故x 的取值范围是[1，2)． 答案：[1，2)
7.已知命题p ：不等式|x |≥m 的解集是R ，命题q ：f (x )＝2－m
x
在区间(0，＋∞)上是减函数，若命题“p 或q ”为真，则实数m 的范围是________．
解析：p 为真，则m ≤0；q 为真，则2－m ＞0，即m ＜2.
由于“p 或q ”为真，∴p 为真或q 为真，故m 的取值范围是(－∞，0]∪(－∞，2)＝(－∞，2)．
答案：(－∞，2)
8.已知p ：x ＞1或x ＜－15，q ：1
x 2＋4x －5＞0，则非p 是非q 的________条件．
解析：由1
x 2＋4x －5
＞0得，x 2＋4x －5＞0，∴x ＜－5或x ＞1，
由于{x |x ＞1或x ＜－1
5}{x |x ＞1或x ＜－5}, ∴p 是q 的必要不充分条件，即p ⇐,⇒/)q ，
∴非q ⇐,⇒/)非p ，即非p 是非q 的充分不必要条件．
答案：充分不必要
9.写出下列各组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”以及“非p ”形式的命题，并判断它们的真假．
(1)p ：5是有理数，q ：5是整数；
(2)p ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(－∞，－1)，q ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(3，＋∞)．
解：(1)p 或q ：5是有理数或5是整数； p 且q ：5是有理数且5是整数； 非p ：5不是有理数．
因为p 假，q 假，所以p 或q 为假，p 且q 为假，非p 为真．
(2)p 或q ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(－∞，－1)或不等式x 2－2x －3＞0的解集是(3，＋∞)；
p 且q ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(－∞，－1)且不等式x 2－2x －3＞0的解集是(3，＋∞)；
非p ：不等式x 2－2x －3＞0的解集不是(－∞，－1)． 因为p 假，q 假，所以p 或q 假，p 且q 假，非p 为真．
10.已知p ：|x －4|≤6，q ：x 2＋3x ≥0，若命题“p 且q ”和“非p ”都为假，求x 的取值范围．
解：p ：－2≤x ≤10，q ：x ≤－3或x ≥0.
若命题“p 且q ”和“非p ”都为假，则p 为真q 为假，∴⎩
⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤10
－3＜x ＜0.
∴－2≤x ＜0.故x 的取值范围是{x |－2≤x ＜0}．
[能力提升]
1.已知命题p 1：函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x
－⎝⎛⎭⎫12－x
在R 上为减函数，p 2：函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x
＋⎝⎛⎭⎫1
2－x
在R 上
为增函数，则在命题q 1：p 1或p 2，q 2：p 1且p 2，q 3：p 2或非p 1，q 4：p 1且非p 2中，真命题是( )
A ．q 1，q 3
B ．q 2，q 3
C ．q 1，q 4
D ．q 2，q 4
解析：选C.因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x
－2x
是R 上的减函数，所以命题p 1是真命题；因为x ＝1和x ＝－1时，都有y ＝12＋2＝52，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋2x 不是R 上的增函数，故p 2是假命题，
所以p 1或p 2是真命题，p 1且p 2是假命题，p 2或非p 1是假命题，p 1且非p 2是真命题，所以真命题是q 1，q 4，故选C.
2.命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立；命题q ：函数y ＝－(5－2a )x 是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围为________．
解析：先求出命题p ，q 为真命题时实数a 的取值范围，x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立，则Δ＝(2a )2－4×1×4＜0，解得－2＜a ＜2，即命题p ：－2＜a ＜2；函数y ＝－(5－2a )x 是减函数，则5－2a ＞1，得a ＜2，即命题q ：a ＜2.p 或q 为真命题，则p 和q 至少有一个为真，p 且q 为假命题，则p 和q 至少有一个为假，所以p 和q 一真一假，但本题中p 为真时，q 一定为真，故p 假且q 真，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2]．
答案：(－∞，－2]
3.已知命题p ：任意的x ∈[1，2]，x 2－a ≥0，命题q ：存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围．
解：∵p 且q 为真命题，∴p 和q 均为真命题，
由命题p 为真命题，得a ≤x 2，x ∈[1，2]，当x ∈[1，2]，x 2的最小值为1，∴a ≤1； 由命题q 为真命题，得Δ＝(2a )2－4(2－a )≥0，即a 2＋a －2≥0，∴a ≤－2或a ≥1， 故a 的取值范围是{a |a ≤1}∩{a |a ≤－2或a ≥1}＝{a |a ≤－2或a ＝1}．
4．设命题p ：函数f (x )＝(a －3
2)x 是R 上的减函数；命题q ：函数f (x )＝x 2－4x ＋3在[0，
a ]上的值域是[－1，3]．若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围．
解：若命题p 为真，则0＜a －32＜1，得32＜a ＜5
2
，
若命题q 为真，即f (x )＝(x －2)2－1在[0，a ]上的值域是[－1，3]，得2≤a ≤4. ∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p ，q 中一真一假． 若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧32＜a ＜52，a ＜2或a ＞4，得3
2
＜a ＜2；
若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤32或a ≥52，2≤a ≤4，得5
2
≤a ≤4.
综上：实数a 的取值范围为32＜a ＜2或5
2≤a ≤4.
[A.基础达标]
1．若“p或q”是假命题，则()
A．p是真命题，q是假命题
B．p，q均为假命题
C．p，q至少有一个是假命题
D．p，q至少有一个是真命题
解析：选B.“p或q”为假命题⇔p，q均为假命题．
2．已知命题p：2＋2＝5，命题q：3>2，则下列判断正确的是()
A．“p或q”为假，“q”为真
B．“p或q”为真，“q”为真
C．“p且q”为假，“p”为真
D．“p且q”为真，“p或q”为假
解析：选B.易知p为假命题，q为真命题，可得“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，故选B.
3．若“x∈[1，5]或x∈{x|x<3或x>6}”是假命题，则x的取值范围是()
A．5≤x≤6B．5<x≤6
C．5<x<6 D．x<5或x>6
解析：选B.因为x∈[1，5]或x∈{x|x<3或x>6}，即x∈(－∞，5]∪(6，＋∞)，因为该命题是假命题，所以x的取值范围是(5，6]．
4．命题p：“x>0”是“x2>0”的必要不充分条件，命题q：在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件，则()
A．p真q假B．p且q为真
C．p或q为假D．p假q真
解析：选D.命题p：x>0⇒x2>0，但x2>0⇒/ x>0，故p为假命题；
命题q：在△ABC中，A>B⇔a>b⇔2R sin A>2R sin B，即sin A>sin B，
故q为真命题，易得“p或q”为真命题，“p且q”为假命题．
5．命题p：“方程x2＋2x＋a＝0有实数根”；命题q：“函数f(x)＝(a2－a)x是增函数”，若“p且q”为假命题，且“p或q”为真命题，则实数a的取值范围是() A．a>0 B．a≥0
C．a>1 D．a≥1
解析：选B.若p为真⇔Δ＝4－4a≥0，即a≤1；若q为真⇔a2－a>0，即a∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．由题意可得p，q一真一假．
若p真q假，a∈[0，1]；若p假q真，a∈(1，＋∞)，综上所述，a∈[0，＋∞)．
6．给定下列命题：p：0不是自然数，q：2是无理数，在命题“p且q”“p或q”中，真命题是________．
解析：因为0是自然数，2是无理数，所以p是假命题，q是真命题，故“p且q”为假命题，“p或q”为真命题．
答案：p或q
7．已知命题p：不等式|x|≥m的解集是R，命题q：f(x)＝2－m
x在区间(0，＋∞)上是减
函数，若命题“p或q”为真，则实数m的范围是________．
解析：p为真，则m≤0；q为真，则2－m＞0，即m＜2.
由于“p或q”为真，所以p为真或q为真，或p、q都为真，故m的取值范围是(－∞，2)．
答案：(－∞，2)
8．对于命题p和命题q，给出下列说法，其中正确说法的序号是________(填序号)．。