专题04 概率(知识点串讲)解析版

专题04 概率（知识点串讲）
知识网络
重难点突破
知识点一有关随机事件的概率
(1)任何两个基本事件是互斥的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸
到红球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为1
11，而白球有5个，
故一次摸球摸到白球的可能性为5
11，同理可知摸到黑球、红球的可能性均为3
11，
显然这三个基本事件出现的可能性不相等，故以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型.
【变式训练1-1】、（浙江台州中学2019届模拟）甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽1张.
(1)写出甲、乙抽到牌的所有情况.
【解析】(1)设(i ，j )表示(甲抽到的牌的数字，乙抽到的牌的数字)，则甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4′表示)为(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种.
(2)由(1)可知甲抽到的牌的牌面数字比乙大有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种情况，∴甲
胜的概率p ＝512，∵512≠12
，∴此游戏不公平. 知识点二 有关古典概型的概率
1.古典概型-具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型.
(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果.
(2)每一个试验结果出现的可能性相同.
2.如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率
都是1n ；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝m n
. 3. 古典概型的概率公式-P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数
. 例2．（2020届安徽省“江南十校”高三综合素质检测）“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ）
A ．15
B ．13
C ．35
D ．23
【答案】A
【解析】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1，5)，(2，4)，(3，3)， (4，2)，(5，1)，
而加数全为质数的有(3，3)，根据古典概型知，所求概率为15
P ，故选A 。

【变式训练2-1】、（湖北孝感高级中学2019届模拟）同学聚会上，某同学从《爱你一万年》《十年》《父亲》《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未被选取的概率为( )
A.13
B.12
C.23
D.56
【答案】B
【解析】从四首歌中任选两首共有C 24＝6种选法，不选取《爱你一万年》的方法有C 23＝3种，故所求的概率为p ＝36＝12
.
知识点三 有关长度的几何概率
1.几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型. 2. 几何概型的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；
(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性.
3.几何概型的概率公式
P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
. 例3．（2020届湖南省岳阳市高三第二次教学质量检测）在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆22
1x y +=相交的概率为（ ） A ．12 B ．13 C 2 D ．23
【答案】C
【解析】因为圆心(0,0)，半径1r =，直线与圆相交，所以
211d k =≤+，解得2244k -≤≤ 所以相交的概率22224P ==，故选C 。

【变式训练3-1】、（吉林省四平一中2019届期中）在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12
⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为( )
A.34
B.23
C.13
D.14
【答案】A
【解析】由－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1，得12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，所以事件“－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的 概率为322＝34
. 知识点四 有关面积的几何概率
例4．（2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三二联）一个陶瓷圆盘的半径为10cm ，中间有一个边长为
4cm 的正方形花纹，
向盘中投入1000粒米后，发现落在正方形花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率π的
值为（精确到0.001）（）
A．3.132 B．3.137 C．3.142 D．3.147 【答案】B
【解析】
如图，由几何概型公式可知：2
2
451
3.137
101000
S
S
π
π
=≈⇒≈
⋅
正
圆
，故选B。

【变式训练4-1】．（2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第一次调研）如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732
≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）
A．20 B．27 C．54 D．64
【答案】B
【解析】设大正方体的边长为x，
31
2
x x
-，设落在小正方形内的米粒数大约为N，则
2
2
31
2
200
x x
N
x
⎫
-⎪
⎝⎭=，解得：27
N≈。

知识点五有关体积的几何概率
例5. （江西省宜春一中2019届期中）有一底面半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()
A.
1
3 B.
2
3 C.
3
4 D.
1
4
【答案】B
【解析】设点P 到点O 的距离小于等于1的概率为P 1，由几何概型，则p 1＝V 半球V 圆柱
＝2π3×13π×12×
2＝13. 故点P 到点O 的距离大于1的概率p ＝1－13＝23
. 【变式训练5-1】．（云南省丽江一中2019届模拟）如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________.
【答案】16
【解析】因为V A －A 1BD ＝V A 1－ABD ＝13AA 1×S △ABD ＝16×AA 1×S 矩形ABCD ＝16V 长方体，故所求概率为V A －A 1BD V 长方体＝16
.。