概率论论文

概率论与数理统计总结（1-5章节）

第一章&第二章概率论引论& 条件概率

本章知识点：

1．随机事件及其运算（随机试验，随机事件与样本空间，事件之间的关系及其运算）

2．概率的定义、性质及其运算（频率，概率的统计定义，古典概率，概率的公理化定义，概率的性质）

3．条件概率及三个重要公式（乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式）4．事件的独立性及贝努里(Bernoulli)概型

理解重点：

1.理解随机事件的概念，了解样本空间的概念，掌握事件的关系与基本运算；

2.理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性，理解概率的公理化定义和概率的其它性质；

3.理解古典概率的定义，掌握古典概率的计算，了解几何概率的定义及计算；

4.掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；

5.理解条件概率的概念，熟练掌握条件概率的计算，熟练掌握乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式以及应用这些公式进行概率计算；

6.理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算，理解贝努利试验的概念，熟练掌握二项概率公式（贝努利概型）及其

应用。

第一节随机事件

一、概率论序言

二、随机试验与随机事件

（一）随机试验

1．试验可在相同条件下重复进行；

2．每次试验的可能结果不止一个，而究竟会出现哪一个结果，在试验前不能准确地预言；

3．试验所有可能结果在试验前是明确(已知)的，而每次试验必有其中的一个结果出现，并且也仅有一个结果出现。

满足上述三个特性的试验，叫做随机试验，简称试验，并用字母E 等表示。

（二）随机事件

随机试验的结果称为随机事件，简称事件。

1．必然事件：在试验中一定出现的结果，记作Ω；

2．不可能事件：在试验中一定不会出现的结果，记作Φ；

3．随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的结果，常用大写拉丁字母A、B、C…表示；

4．基本事件(样本点)：试验最基本的结果，记作ω；

5．样本空间(基本事件空间)：所有基本事件的集合，常用Ω表示；样本空间Ω中的元素是随机试验的可能结果。样本空间的任一子集称作随机事件。在一次试验中，当且仅当子集A 中的一个样本点出现

时，称事件A 发生。显然Ω为必然事件，Φ为不可能事件。

三、随机事件间的关系与运算

（一）随机事件间的关系

1．包含：若事件A 发生必导致事件B 发生，则称事件B 包含事件A，或称A 是B 的子事件，记作。A⊂ B，或B⊃ A。

2．相等：若B ⊂A 且A ⊃B，则称事件A 与B 相等，记作A=B 。其直观意义是事件A 与B的样本点完全相同。

（二）随机事件的运算

1．事件的和（并）

若事件A和事件B 至少有一个发生，则称这样的事件为事件A与B 的和事件，记作B ∪A或B + A。事件B ∪A 是属于A或属于B 的样本点组成的集合。

2．事件的差

若事件A发生而事件B不发生，则称这样的事件为事件A与事件B 的差，记作A-B。

3．事件的积（交）

若事件A与事件B 同时发生，则称这样的事件为事件A与事件B 的积，记作AB 或A∩B。

4. 互不相容事件(或互斥事件)

若事件A与事件B不能同时发生，即Φ= AB (即A与B 同时发生是不可能事件)，则称事件

A与B 是互不相容(互)事件。其直观意义是事件A与B 没有公共

样本点。

5．对立事件（或互逆事件）

在每次试验中，若事件 A 与事件 B 必有一个发生，且仅有一个发生，则称事件 A 与 B 为对立

事件或互为逆事件。即有： Φ = AB ，且 Ω = B+ A 。事件 A 的对立事件记为A 。

6．完备事件组：若事件A1,A2··An 两两互不相容，且每次试验必出现且只出现一个，则称A1,A2··An 构成一个完备事件组。完备事件组中事件个数可以是有限个，也可以是可数个。 （三）随机事件的运算规律 对于任意事件 A,B,C 有： 1．交换律：A+B=B+A ；AB=BA

2．结合律：A+B+C=A+(B+C)=(A+B)+C ；ABC=A(BC)=(AB)C 3．分配律：A(B+C)=AB+AC ；A(B-C)=AB-AC 4．对偶律(德摩根律)：B A B A =+,B A AB +=

交换律、结合律、分配律、对偶律都可推广到任意多个事件的情形。 第二节 概率的定义 一、概率的统计定义 （一）频率的稳定性

考虑在相同条件下进行的 S 轮试验，事件 A 在各轮试验中的频率形成一个数列 M1/N1,M2/N2```Ms/Ns.

当各轮试验次数N1,N2```Ns 充分大时，在各轮试验中事件 A 出现

的频率之间、或者它们某个平均值相差甚微. （二）概率的统计定义

在实际中，当概率不易求出时，人们常取实验次数很大时事件的频率作为概率的估计值，这种确定概率的方法称为频率方法。 二、概率的古典定义 （一）古典概型

若一个随机试验的结果只有有限个，且每个结果出现的概率都相同，则称这样的试验为古典型 随机试验(或称古典概型)。 （二）古典概率定义

对于古典概型试验中的事件A ，其概率为： 样本空间中样本数 中包含的样本点数样本空间中的样本点数

中包含的样本点数

A A P

)(

（三）古典概型中事件概率的计算 1．一次抽取试验中事件概率的计算 2．不放回试验中事件概率的计算 3．有放回试验中事件概率的计算 三、概率的公理化定义与性质 （一）概率的公理化定义

公理 1：任一事件的概率介于 0 和1之间 公理 2：样本事件空间的概率为 1

公理 3：若可列个事件A1,A2```An 两两互不相容，则和事件的概率