概率论论文
概率论论文-用概率论知识解决实际问题 -
用概率论知识解决实际问题概率论是一门与生活联系紧密的学科， 它的起源与赌博有关，随着科学的发展，人们注意到社会科学与自然科学中许多随机现象与机会游戏之间十分相似，如人口统计、误差分析、产品检验、质量控制等，从而机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中。
下面看两个用概率论解决实际问题的例子：一、合理配置维修工人问题 设有同类型仪器300台，他们的工作是相互独立的，且发生故障的概率均为0.01.一台仪器发生了故障，一个工人可以排除。
（1）问至少配置多少个维修工人，才能保证仪器发生故障但不能及时排除的概率小于0.01？ 解：仪器发生故障不能及时排除事件用A 表示，设配置x 个维修工人，则A 等价于事件“同时发生故障的仪器数>x ”由于300台仪器在同一时间内是否正常工作可看成是300重的伯努利试验，成功（发生故障）的概率p=0.01，故(A P =)(3001300k x k P∑+==k k x k k C -+=∑3003001300)99.0()01.0(, 因为n 很大，p 很小，且λ=np=300×0.01=3,超几何分布可近似为泊松分布， )(A P ≈∑∑∞+=-+=-≈1330013!3!3x k k x k k k e k e 由次式应有∑∞+=-13!3x k k k e < 0.01 查表知∑∞=-83!3k k k e =0.01191 ， ∑∞=-93!3k k k e =0.00380 于是x+1=9, x=8故只需配8个维修工人就可达到要求（2）若一个人包干20台仪器，求仪器发生故障而不能及时排除的概率。
解：设仪器发生故障而不能及时排除的事件为B,则B 等价于事件“在20台仪器中，同一时间发生故障的仪器数>1”。
由于20台仪器在同一时间内是否发生故障可看成是20重的伯努利试验，成功（发生故障）的概率p=0.01.故k k k k k C k PB P -==∑∑==202022020220)99.0()01.0()()( 01752.0!2.0!2.022.02022.0=≈≈∑∑∞=-=-k k k k k e k e本题中，我们可以看出，当一个人包干20台仪器的维修任务时，仪器发生故障而不能及时维修的概率大于0.01；而8个工人共同负责300台仪器的维修任务时（平均每人37.5台），仪器发生故障而不能及时排除的概率却小于0.01，故一个人单干不如8个工人合作好。
概率论在生活中的应用 毕业论文
学号：1001114119概率论在生活中的应用学院名称：数学与信息科学学院专业名称：数学与应用数学年级班别： 10级二班姓名：指导教师：2014年3月概率论在生活中的应用摘要概率论作为数学的一个重要部分，在现实生活中的应用越来越广泛，同样也发挥着越来越重要的作用。
加强数学的应用性，让学生学用数学的知识和思维方法去看待，分析，解决实际生活的问题，在数学活动中获得生活经验。
这是当前数学课程改革的大势所趋。
加强应用概率的意识，不仅是学习的需要，更是工作生活必不可少的。
人类认识到随机现象的存在是很早的，但书上讲得都是理论知识，我们不仅仅要学习好理论知识，应用理论来实践才是重中之重。
学好概率论，并应用概率知识解决现实问题已是我们必要的一种生活素养。
（宋体，小四，1.5倍行距）关键词随机现象；条件概率；极限定理；古典概率The applyment of the theory of probability in daily life Abstract Probability theory as an important part of mathematics,in the life of the sue more and more widely, also play an increasingly important role. Strengthen mathematics applied, lets the student with mathematical knowledge andmathematical thinking method to treat, analysis, solve practical life in mathematics activity, gain life experience. This is the current trend of curriculum reform. Strengthen the consciousness of the application of probability, not only learning, but working life is indispensable. People realize the existence of random phenomenon is early, but telling the theory knowledge, we should not only study the theory knowledge well, the application of theory to practice is more important. Learn probability theory, and using probability knowledge to solve realiticl problems is already a life we necessary accomplishment.Keywords Random phenomenon; Conditional probability; Limit theorem. The classical probability前 言概率论与我的生活息息相关。
概率论研究方法毕业论文
概率论研究方法毕业论文概论：概率论作为数学的一个分支，研究的是随机现象的规律性和统计规律。
概率论研究方法是概率论研究过程中所运用的方法，旨在帮助研究者进行科学地、系统地研究和分析概率论问题。
一、概率论研究方法的基本原理1.随机试验与样本空间：概率论研究方法首先要建立合适的数学模型，用来描述相应随机现象。
随机试验是概率论研究的基本方法之一，通过随机试验来研究事件的概率。
样本空间是随机试验中所有可能的结果的集合，对于每个结果都可以进行概率分析。
2.事件与概率：事件是样本空间的子集，是随机试验中我们关心的某些结果的集合。
事件的概率是衡量这个事件发生可能性大小的数值，它是从样本空间到实数集合的映射，满足一些基本性质，如非负性、规范化等。
3.概率公理与概率计算：概率公理是概率论的基础，包括可数可加性、非负性、规范性等。
通过概率计算方法，我们可以根据已知信息计算出事件的概率。
二、概率论研究方法的具体应用1.概率分布：概率分布是描述随机变量取值的概率规律的函数。
常见的概率分布有离散型概率分布和连续型概率分布。
概率分布的研究方法包括概率密度函数、累积分布函数、期望、方差等统计性质的计算和分析。
2.随机变量的分类与性质：随机变量是在一次随机试验中依赖于试验结果而取不同值的变量。
根据随机变量的性质和取值范围的不同，可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。
对不同类型的随机变量进行分类和性质的研究是概率论研究方法的重要内容。
3.多维概率分析：多维概率分析研究的是多个随机变量之间的相互关系。
通过多维概率分析可以研究多个随机变量的联合分布、边缘分布、条件分布等。
多维概率分析在金融、统计建模等领域有广泛应用。
三、概率论研究方法的实例以投掷硬币为例，说明概率论研究方法的应用过程：1.确定样本空间：投掷硬币一次的结果可能为正面或反面，所以样本空间为S={正,反}。
2.确定事件与概率：事件可以是“出现正面”和“出现反面”，对应的概率分别为P(正)=0.5和P(反)=0.5。
概率论总结论文
概率论总结论文第一篇：概率论总结论文概率论与数理统计在生活中的应用摘要：随机现象无处不在，渗透于日常生活的方方面面和科学技术的各个领域，概率论就是通过研究随机现象及其规律从而指导人们从事物表象看到其本质的一门科学。
生活中买彩票显示了小概率事件发生的几率之小，抽签与体育比赛赛制的选择用概率体现了公平与不公平，用概率来指导决策，减少错误与失败等等，显示了概率在人们日常生活中越来越重要。
数理统计在人们的生活中也不断的发挥重要的作用，如果没有统计学，人们在收集资料和进行各项的大型的数据收集工作是非常困难的，通过对统计方法的研究，使得我们处理各种数据更加简便，所以统计也是一门很实用的科学，应该受到大家的重视。
关键字：概率、保险、彩票、统计、数据、应用概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门数学学科，是对随机现象的统计规律进行演绎和归纳的科学。
随着社会的不断发展，概率论与数理统计的知识越来越重要,运用抽样数据进行推断已经成为现代社会一种普遍适用并且强有力的思考方式。
目前，概率论与数理统计的很多原理方法已被越来越多地应用到交通、经济、医学、气象等各种与人们生活息息相关的领域。
本文将就概率论与数理统计的方法与思想，在日常生活中的应用展开一些讨论，,推导出某些表面上并非直观的结论，从中可以看出概率方法与数理统计的思想在解决问题中的高效性、简捷性和实用性。
一、彩票问题“下一个赢家就是你！”这句响亮的具有极大蛊惑性的话是大英帝国彩票的广告词。
买一张大英帝国彩票的诱惑有多大呢？只要你花上1英镑，就有可能获得2200万英镑！一点小小的投资竟然可能得到天文数字般的奖金，这没办法不让人动心，很多人都会想：也许真如广告所说，下一个赢家就是我呢！因此，自从1994年9月开始发行到现在，英国已有超过90%的成年人购买过这种彩票，并且也真的有数以百计的人成为百万富翁。
如今在世界各地都流行着类似的游戏，在我国各省各市也发行了各种福利彩票、体育彩票，各地充满诱惑的广告满天飞，而报纸、电视上关于中大奖的幸运儿的报道也热闹非凡，因此吸引了不计其数的人踊跃购买。
毕业论文概率论中有关独立性的研究.doc
摘要概率论是研究随机性或不确定性等现象的学科，而独立性的研究是其中重要内容之一，由于实际需要，对概率论中独立性的研究也较为重要，并且独立性对解决一些实际问题具有理论意义。
论文关于独立性的研究做了如下分析：首先，本文研究了随机事件独立性的概念、两个和多个事件的独立性、事件独立性与互不相容，互斥的关系以及在生活中的应用，并通过实例进行了分析。
另外，研究了随机变量独立性的概念，性质以及判定方法，也都给出了实例加以论证。
关键词:随机事件；随机变量；独立性AbstractProbability theory is the subject of studying randomness or uncertainty phenomenon such as discipline, and the study of independence is one of its important contents. Due to the actual need, it is very important to study the theory of probability, besides, the study of independence has theoretical significance to solve some practical problems.This thesis has done the following analysis on the research of independence:First of all, this paper has studies the concept of the independence of random event, the independence of two or more events , the independence of event , the relationship of incompatibility and the mutual exclusion as well as the application in the life, and these are analyzed through examples.Besides, this paper has studied the concept, the properties and methods of independent random variabilities, and also demonstrating them by examples.Key words: Random events; A random variability; Independence目录引言 (2)1 随机事件的独立性 (3)1.1事件独立性的概念 (3)1.1.1 两个随机事件的独立性 (3)1.1.2 多个事件的独立性 (4)1.1.3 事件独立与互不相容的区别与联系 (6)1.2 随机事件的独立性的应用 (8)1.2.1 用于判别两个事件是否独立 (8)1.2.2 用于分析系统的可靠性 (8)2 随机变量的独立性 (10)2.1 随机变量独立性的概念 (10)2.2 随机变量独立性的性质 (11)2.2.1 随机变量独立性没有传递性 (11)2.2.2 )g独立而X与Y不独立 (12)(y(xf与)2.3 随机变量相互独立的判定 (13)总结 (19)参考文献 (20)致谢 (21)引言概率论的研究对生产生活都有着密不可分的联系，在概率论的研究中，研究随机现象的独立性，尤其显得重要。
概率论毕业论文
概率论毕业论文;引 言概率论是一门与现实生活紧密相连的学科，不过大多数人对这门学科的理解还是很平凡的：投一枚硬币，0.5的概率正面朝上，0.5的概率反面朝上，这就是概率论嘛．学过概率论的人又多以为这门课较为理论化，特别是像母函数，极限定理等内容与现实脱节很大，专业性很强．其实如果我们用概率论的方法对日常生活中的一些看起来比较平凡的内容做些分析，常常会得到深刻的结果．在谈及应用之前，先澄清一下多数人在概率方面的一个误解．大部分人认为一件事概率为0，即为不可能事件．这是不对的，比如甲乙玩一个游戏，甲随机地写出一个大于0小于1的数，乙来猜．①乙一次猜中这个数②乙每秒猜一次，一直猜下去，“最终”猜中这个数．这两件事发生的概率都是0，但显然它们都有可能发生，甚至可以“直观”的讲②发生的可能性大些．这说明概率为0的事也是有可能发生的．不过在我看来，这样的可能性实在是太小了，在实际的操作中认为不可能也是有道理的，但不管怎么说，它们确是可能事件．来看一个应用：[1]在12只金属球中，混有一只假球，并且不知道它是比真球重或轻，用没有砝码的天平来称这些球，试问至少需要多少次称量才能找出这个假球，并确定它是比真球轻或重为了讲清概率论在这个问题中的应用，先讲一下熵的概念．熵是概率论的分支学科--信息论中的概念，它是一个实验不确定程度的量度，熵越大，说明该实验的不确定性越高．比方说，扔一枚硬币是一个实验，扔一枚色子也是一个实验，直观地讲，我们说前者的不确定性要小些；计算结果，前者的熵为lg 2，后者的熵为lg 6，与直观吻合．同样，判断12个球的真假和轻重也是一个实验，它的熵为lg 24，我们要在若干次称量后将其不确定性降为0，也就是要其熵降为0．每用天平称量一次（随便怎样称），天平都有3种结果，于是最多获得lg 3的信息，所以k 次称量最多可得lg 3k ⨯,也就是lg3k 的信息．令2lg3lg24lg3k k -<<得3k =，至少进行3次实验才能完成要求．当然，这是理论上最少的结果，我们还要找到一个现实可行的方案，实际上，这样的方案也是有的，所以说得到的解是正确的结果．这种方法将看似是智力测验的题目用数学方法解决了．其实用这种方法还可解决4次使用天平，能判断最多多少个球的真假轻重情况的问题．关于这点，可以这样考虑：第一次称量时，所有的球只有两种可能：要么在天平上，要么没有在天平上，且在天平上的球数须是偶数，否则进行的称量是得不到有用的信息的．设在天平上的球数为2u ，不在天平上的球数为v ，若天平平衡，下面要3次使用天平在个球中找到假球并判其轻重，由前面的结果知的最大值为12；若天平不平，当荷兰数学家惠更斯到巴黎的时候，听说帕斯卡与费马在研究概率问题，便也参与进来，并于1657年出版了《论赌博中的计算》一书．书中给出了第一批概率论概念和定理（如加法定理、乘法定理）．在概率论的现代表述中，概率是基本概念，数学期望则是第二级的概念，但在历史上，顺序却相反，先有“期望”概念，而古典概型的概率定义，完全可以从期望概念中导出来．因此，可以认为概率论从此诞生了．[3]1．2成熟中的概率论最早对概率论来严格化进行尝试的，是俄国数学家伯恩斯坦和奥地利数学家冯·米西斯．他们都提出了一些公理来作为概率论的前提，但他们的公理理论都是不完善的．作为测度论的奠基人，博雷尔在1905年指出概率论理论如果采用测度论术语来表述将会方便许多，并首先将测度论方法引入概率论重要问题的研究，特别是1909年他提出并在特殊情形下解决了随机变量序列，服从强大数定律的条件问题．博雷尔的工作激起了数学家们沿这一崭新方向的一系列探索，其中尤以原苏联数学家科尔莫戈罗夫的研究最为卓著．从二十世纪二十年代中期起，科尔莫戈罗夫开始从测度论途径探讨整个概率论理论的严格表述．1926年，他推导了弱大数定律成立的主要条件，后又对博雷尔提出的强大数定律问题给出了一般的结果，推广了切比雪夫不等式，提出了科尔莫戈罗夫不等式，创立了可数集马尔可夫链理论，他最著名的工作是1933年以德文出版的经典性著作《概率论基础》．科尔莫戈罗夫是莫斯科函数论学派领导人鲁金的学生，对实际函数论的运用可以说是炉火纯青．他在这部著作中建立起集合测度与事件概率的类比、积分与数学期望的类比、函数正交性与随机变量独立性的类比……，等等．这种广泛的类比终于赋予了概率论以演绎数学的特征．科尔莫戈罗夫的公理系统逐渐获得了数学家们的普遍承认，由于公理化，概率论成为一门严格的演绎科学，取得了与其他数学分支同等的地位．科尔莫戈罗夫热爱教育事业，经常在大学生和进修生中挑选人才，参加讨论班．1934年，他与概率论另一位创始人辛钦共同主持概率论讨论班．在他们培养的学生中有6位成为前苏联科学院院士或通信院士．1980年科尔莫戈罗夫荣获沃尔夫奖．[4] 公理化概率论首先使随机过程的研究获得了新的起点，随机过程作为随时间变化的偶然量的数学模型，是现代概率论研究的重要主题．莱维从1938年开始创立研究随机过程的新方法，即着眼于轨道性质的概率方法．1948年出版的《随机过程与布朗运动》，提出了独立增量过程的一般理论，并以其为基础极大地推进了对作为一类特殊马尔可夫过程的布朗运动的研究．1939年维尔引进“鞅”这个名称，但鞅论的奠基人是美国概率论学派的代表人物杜布．杜布从1950年开始对鞅概念进行了系统的研究而使鞅论成为一门独立的分支．鞅论使随机过程的研究进一步抽象化,不仅丰富了概率论的内容,而且为其他数学分支如调和分析、复变函数、位势理论等提供了有力的工具．从1942年开始,日本数学家伊藤清引进了随机积分与随机微分方程,为一门意义深远的数学新分支——随机分析的创立与发展奠定了基础．[5]概率论不仅是“数学之树”的一庞大支条，而且还有若干强壮的根（如下表），直接扎在实际应用环境的大地上．“芳草有情皆碍马，好云无处不遮楼”．正如英国的逻辑学家和经济学家杰文斯所说，概率论是“生活真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，我们就寸步难行，无所作为．”2 概率统计在实际生活中的应用2．1关于男女色盲比例的问题例1[6]从随机抽取的467名男性中发现有8名色盲，而433名女性中发现1人色盲，在01.0=α水平上能否认为女性色盲的比例比男性低？解 设男性色盲的比例为1p ,女性色盲的比例为2p ，那么要检验的假设为210:p p H ≥ 211:p p H <由备择假设，利用大样本的正态近似得，在0.01α=水平的拒绝域为{}33.2-≤u由样本得到的结果知：433,467==m n1.043346718ˆ,00231.04331ˆ,01713.04678ˆ21=++=====p p p 则 ()2326.2ˆ1ˆ11ˆˆ21=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=p p m n p pu未落在拒绝域中，因此在0.01α=水平上可以认为女性色盲的比例低于男性．2．2我国出生人口性别比出生人口性别比，通常是为了便于观察与比较所定义的每出生百名女婴相对的出生男婴数．20世纪50年代中期，联合国在其出版的《用于总体估计的基本数据质量鉴定方法》（手册Ⅱ）认为：出生性别比偏向于男性．一般来说，每出生100名女婴，其男婴出生数置于107102-之间．此分析明确认定了出生性别比的通常值域为107102-之间．从此出生性别比值下限不低于102、上限不超过107的值域一直被国际社会公认为通常理论值，其他值域则被视为异常．例2近年来，越来越多的话题围绕着我国的人口性别比例而展开．下图（表1）所示的是我国2005年到2010年的出生人口性别比例的变化情况．2005-2010年中国人口性别比由图可以看出，在2005年到2010年之间，我国的人口性别比一直都保持在118到121之间，超出了国际社会公认为通常理论值102107-很多．3．3电影院的座位问题定理1 设2σ=i DX ，则对任意R x ∈,有()x du e x n a X P x u n Φ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-⎰∞--∞→2221lim πσ 记为().1,0~N n aX σ-这一结果称为Lindeberg-Levy 定理，是这两位学者在20世纪20年代证明的．历史上最早的中心极限定理是1716年建立的De Moivre-Laplace 定理，它是前一个结果的特例，具体为lim )()x p x x →∞≤=Φ．[7] 例3设某地扩建电影院，据分析平均每场观众数1600=n 人，预计扩建后，平均34的观众仍然会去该电影院，在设计座位时，要求座位数尽可能多，但空座达到200或更多的概率不能超过0.1，问应该设多少座位？解 把每日看电影的人编号为1600,,2,1 ，且令11216000i i X i ⎧==⎨⎩，第个观众还去电影院，，，不然． 则由题意31(1)(0)44i i p X p X ====，．又假定各观众去电影院是独立选择，则 ,,21X X 是独立随机变量，现设座位数为m ，则按要求121600(2000.1p X X X m +++≤-≤）．在这个条件下取m 最大．当上式取等号时，m 取最大，因为3160012004np =⨯=，=m 应满足0.1Φ=． 查正态分布表即可确定1377≈m ，所以，应该设1377个座位．3 总结兴趣是最好的老师，可以激发学生的学习热情，更可以引导学生成为学习的主人，学习数学需要死记硬背熟能生巧，但并不排除用兴趣引导和激励．将兴趣转化为志趣，转化为学习的动力，将其带到数学学习的每一个部分．本文我们主要通过讲解三个生活中遇到的悖论问题，使人们在生活与学习中，能更好的理解悖论给我们带来的困惑，解决了人们在意识上的一些错误观点．对于这些因为意识的错觉而存在的悖论问题，我们仍有待于进一步研究．上面列举了概率统计在实际生活中的一些简单应用，其实日常生活中到处都有概率统计的影子．通过统计我们可以了解一些指数的变化趋势等，通过概率计算我们了解了彩票、摸奖等的中奖率等．概率统计的足迹可以说是已经深入到每一个领域，在实际问题的应用随处可见．相信人类能够更好的应用好概率统计，使之更好的为人类的发展做贡献．参考文献[1]梅长林,周家良.实用统计方法[M].北京：科学出版社,2002.[2]杨虎,钟波,刘琼荪.应用数理统计[M].北京：清华大学出版社,2006.[3]张国权.应用概率统计[M]. 北京：科学出版社,2003.[4]吴传志.应用概率统计[M].重庆：重庆大学出版社,2004.[5]郑长波.生活中的概率问题举例[J].沈阳师范大学学报,2007,7(5):23-26.[6]魏宗舒,等.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社,2008.[7]王梓坤.概率论基础及其应用[M].北京：科学出版社,1976.。
概率论毕业论文：概率论起源_毕业论文范文_
概率论毕业论文：概率论起源概率论是一门应用非常广泛的学科。
在数学史上,它的产生是以帕斯卡和费马在1654 年的七封通信为标志的。
由于这些信件中所解决的问题多是与赌博有关的点数问题,因此人们总是把概率论的产生归功于赌博这项机遇游戏。
但考古学发现告诉我们,赌博游戏早在文明初期就已经存在了,迄今已有几千年的历史,而概率论从诞生至今不过三百余年,这说明赌博并不是概率论产生的决定性条件。
在从赌博出现到概率论产生之间的这段“空白”期,必定还有一些十分关键的因素正在孕育之中。
那么这些因素是什么? 换句话说,需要具备哪些先决条件,概率论才能得以形成?一独立随机过程的出现对概率论而言,两个最主要的概念就是独立性和随机性[1 ] 。
概率论是从研究古典概型开始的,它所涉及的研究对象是大量的独立随机过程。
通过对这些过程中出现的问题的解决,概率理论体系才逐渐地建立起来。
因此要考察概率论的产生条件,我们首先应当对独立随机过程的产生有充分的了解。
事实上,这种过程的雏形早在原始社会就已经存在了,那时的占卜师们使用动物的趾骨作为占卜工具,将一个或多个趾骨投掷出去,趾骨落地后的不同形状指示神对人事的不同意见。
由于投掷趾骨这个过程所产生的结果具有不可预测性,而每次投掷的结果也互不影响,这与我们今天投掷骰子的基本原理相当,因此趾骨可以被看作是骰子的雏形。
但是由于趾骨形状的规则性较差,各种结果出现的机率不完全相同(即不具备等可能性) ,所以趾骨产生的随机过程还不是我们今天意义上的独立随机过程。
加之趾骨作为一种占卜工具,其本身具有神圣的地位,普通人不可能轻易使用,这也在某种程度上阻碍了人们对随机过程的认识。
随着社会的进步和文明的发展,骰子变得越来越普遍,不仅数量增多,规则性也日益精良,此时它已不再是一件神圣的器具而逐渐成为普通大众的日常用具。
从原理上看,只要一枚骰子是质地均匀的,它就可以产生一系列标准的独立随机过程。
这些过程具备良好的性质(独立性、随机性、等可能性) ,是进行概率研究的理想对象。
概率论论文模板(1)
概率论与数理统计课程论文课程名称：概率论与数理统计院系：计算机科学与信息工程学院学生姓名：张磊学号： 14031110129 专业班级：网络工程（一）班指导教师：张庆丰2016 年 6 月 13 日目录.摘要，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，3一、对概率论与数理统计的认识，，，，，41.1概率论的起源和发展，，，，，，，，，，，，，，，，，，4 1.2数理统计的起源和发展，，，，，，，，，，，，，41.3两者的结合，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，4二、生活实例与其数学解析，，，，，，，，，，，，，42.1对于彩票行业的应用，，，，，，，，，，，，，，，52.2对于进货问题的应用，，，，，，，，，，，，，，，，62.3在防范金融风险中的应用，，，，，，，，，，，，，，62.4．小概率原理在工业生产中的应用，，，，，，，，7三、收获与致谢，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，7四、参考文献，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，8概率论与数理统计的认识与应用摘要：概率论是对随机现象的统计规律进行演绎归纳的一门科学，是从数量上研究随机现象的客观规律的一门数学科学。
概率论的理论基础基于数理统计与分析。
如今，概率论已经广泛应用于自然科学、社会科学、工程技术、工农业生产等诸多领域。
成为近代经济管理、科学研究、工业生产等方面的重要工具。
总之，概率论与数理统计已经和我们的生活息息相关，也成为我们大学课程里面不可或缺的一门基础课。
关键词：概率论、数理统计、随机现象、演绎归纳、一、概率论与数理统计的起源和发展1.1概率论起源与发展概率论的研究始于意大利文艺复兴时期，当时赌博盛行，而且赌法复杂，赌注量大，一些职业赌徒，为求增加获胜机会，迫切需要计算取胜的思路，研究不输的方法，十七世纪中叶，帕斯卡和当时一流的数学家费尔马一起，研究了德·美黑提出的关于骰子赌博的问题，这就是概率论的萌芽。
论文题目：概率论在生活中的
文献研究： 文献研究：通过 研究方法： 在中国期刊网查 阅有关资料， 阅有关资料，在 图书馆及网上查 阅相关资料， 阅相关资料，为 本文的研究提供 理论支持和方法 指导。 指导。
概率论的定义
概率论
概率论的起源于发展 概率论在生活中的应用
主 要 内 容
小概率事件的定义 小概率原理
小概率事件
日常生活 中小概率 事件举例
彩票 医学 商业 个人生活 工厂生产 灾难预测 其它方面Leabharlann 小概率事件： 小概率事件：
看似不起眼的小概率事件， 看似不起眼的小概率事件，往往 会对生活造成很大的影响，我们 会对生活造成很大的影响， 要努力学好它， 要努力学好它，把它更好地应用 于实际生活。 于实际生活。尽量避免看似不起 眼的小概率事件带来的不便。 眼的小概率事件带来的不便。
应用： 应用：
把理论应用于实际， 把理论应用于实际，让知识更好的 指导生活， 指导生活，学以致用才是学习的目 标。
选题目的：
概率论与我们的生活是密切联系， 概率论与我们的生活是密切联系， 概率论来源于生活， 概率论来源于生活，同时有服务 于生活，尤其是小概率原理。 于生活，尤其是小概率原理。小 概率原理是概率论中一个虽简单 但却颇有实用意义的原理， 但却颇有实用意义的原理，充分 的理解并掌握小概率事件原理， 的理解并掌握小概率事件原理， 尽量避免不起眼的不利小概率事 件给生活带来的不便。 件给生活带来的不便。同时初步 理解学以致用的过程。 理解学以致用的过程。
论文题目： 论文题目：概率论在生活 中的应用— 中的应用 以小概率事件为
例
关键词 创新点 研究方法
主要内容 选题目的 结论
关键词： 关键词：
关键词
概率论： 概率论：
概率论论文10篇完美版
《概率论论文》概率论论文（一）：《概率论与数理统计》论文摘要概率论的发展具有很长的历史，多位数学家对概率论的构成做出了巨大贡献。
纵观其发展史，在实际生活中具有很强的应用好处。
正是有了前人的努力，才有了现代的概率论体系。
本文将从概率论的研究好处、定义，以及发展历程进行叙述。
概率论的发展与起源1.1概率论的定义概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。
随机现象是相对于决定性现象而言的，随机现象是指在基本条件不变的状况下，一系列或观察会得到不同结果的现象。
每一次实验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。
例如，抛一枚硬币，可能会出现正面或者反面；在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐等等。
随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。
随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或者一组基本事件统称为随机事件，或者简称为事件。
事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度。
虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下超多重复的随机实验却往往呈现出明显的数量规律。
例如，连续多次抛一枚硬币，出现正面的频率随着抛次数的增加逐渐趋近于1/2；犹如，多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加，逐渐稳定于一常数，并且测量值大多落在此常数的附近，其分布状况呈现中间多，两头少及某种程度的对称性。
大数定律和中心极限定律就是描述和论证这些规律的。
在实际生活中，人们往往还需要研究某一特定随机现象的演变状况。
例如，微小粒子在液体中受周围分子的随机碰撞而构成不规则的运动，即布朗运动，这就是随机过程。
随机过程的统计特征、计算与随机过程有关的某些事件的概率，个性是研究与随机过程样本轨道（及过程的一次实现）有关的问题，是现代概率论的主要课题。
在当代，随着概率论本身的发展和学科之间的交叉融合，囊括了概率理论和统计理论两大部分的广义概率论已经成为一门应用十分广泛的学科，概率方法与统计方法逐渐渗透到了其它学科的研究工作当中。
浅析概率论在生活中的应用毕业论文(一)
浅析概率论在生活中的应用毕业论文(一)概率论作为一门研究随机事件概率规律的学科，不仅在理论研究中有着广泛的应用，也逐渐渗透到我们的日常生活中，无论是从商业、医疗、技术等方面，都得到了广泛应用。
本文就从以下几个方面简要探讨概率论在生活中的应用。
1. 保险行业保险行业一直是概率统计学的应用领域之一。
在保险业中，保险公司要根据统计数据和概率论的知识对客户进行风险分析并制定相应的保险方案。
比如，在车险中，保险公司会根据客户的性别、年龄、车型等信息计算出客户的出险概率，从而制定出相应的保险费用。
这种保险费用制定方式不仅使保险公司能够更加科学地进行风险评估，降低了客户的保险成本，也使得保险公司更加准确地控制保险赔付率，保证了公司的盈利能力。
2. 医学概率论在医学领域中应用广泛。
例如在病人诊断中，一系列试验和检查结果需要根据概率理论进行分析和判断。
医学研究还涉及到新药的测试。
在这种情况下，概率统计学的方法被用来评估患者使用新药的风险，以及新药的作用和副作用。
此外，在流行病学中，概率统计学方法被用来分析疾病的传播和预测未来的疫情。
3. 投资股票交易也是概率论的应用领域之一。
投资者需要了解股票价格变动的概率规律，并且基于概率统计学方法进行分析和预测未来股票价格的趋势。
这需要投资者利用历史数据和统计模型来模拟和预测股票价格。
这种预测方法具有一定的误差，但也给投资者提供了一定的参考信息。
4. 体育竞技体育竞技也是概率论的应用领域。
在足球比赛中，根据球队近期表现、场地、天气等因素，可以利用概率理论来预测哪个球队有更大的获胜概率。
此外，在比赛中，也需要根据概率理论来决定是否采用进攻或者防守策略等。
总结而言，概率论在我们的生活中扮演着重要的角色。
可以帮助我们做出明智的决策，减少我们所面临的风险，并提升我们的成功概率。
因此，概率论的知识对于每个人来说都是十分必要的。
生活中的概率论文
概率的认识过程摘要：概率论渗透到现代生活的方方面面。
正如19世纪法国著名数学家拉普拉斯所说：“对于生活中的大部分，最重要的问题实际上只是概率问题。
你可以说几乎我们所掌握的所有知识都是不确定的，只有一小部分我们能确定地了解。
甚至数学科学本身，归纳法、类推法和发现真理的首要手段都是建立在概率论的基础之上。
因此，整个人类知识系统是与这一理论相联系的……”引言：1.婴儿出生时的男女比例一般人或许认为：生男生女的可能性是相等的，因而推测出男婴和女婴的出生数的比应当是1:1，可事实并非如此．1.1 艾滋病的传染概率有多大艾滋病病毒是一种十分脆弱的病毒，它对热和干燥十分敏感。
在干燥的环境中，艾滋病毒10分钟死亡，在60摄氏度的环境中30分钟灭活。
如果一支刚接触病人身体带有血液的注射器，马上刺入正常人体内，其感染的概率小于0.3%。
蚊虫叮咬不会传染艾滋病就是因为这个原因。
1.1.1幸运七星及足彩中奖概率体彩“幸运七星”则属于数字型玩法，即从0000000~9999999共1000万个号码中任选一个七位数号码组成，每个号码均从0~9共10个数字中开出，“幸运七星”头奖的理论中奖概率为1/10000000。
目前最受彩民欢迎的足彩实际上也是一种数字组合型玩法，不过计算方法相对比较简单，13场比赛均选“3、1、0”可组合出3的13次方1594323注单式号码，一等奖的中奖概率为1/1594323，换句话说，每销售320万元的足彩，平均就可能诞生一个一等奖。
而如果将足彩竞猜的场次增加到14场，足彩的头奖中奖概率则降低为1/4782969，难度增加了3倍。
一、什么是小概率事件？ (3)二、基本的概率计算方法 (3)三、有意义和无意义的小概率事件 (4)四、小概率事件和不可能事件的分辨 (5)五、我们是不是该相信小概率事件？ (6)六、参考文献 (6)一、什么是小概率事件？小概率事件，字面意义就是发生的可能性极小的事件。
比如，北京地区出现日全食；山西洪洞发生里氏5级地震，新疆吐鲁番地区下了一场暴雨，小行星撞地球等等。
概率论课程小论文
概率论与数理统计课程设计关于正态分布的几点讨论经过一个学期的学习，我对概率论有了更为深刻地理解，高中阶段的概率只是简单的古典概型和几何概型，而这个学期，我们对概率论有了进一步的认识，接触了泊松分布、贝努力分布、超几何分布、正态分布等等。
纵观全书，我感觉到正态分布在概率论这门课程中有很高的地位，而且正态分布在我们的日常生活中也有着非常广泛的应用，进而我也对正态分布产生了浓厚的兴趣。
所以在课程设计中，我想讨论一下正态分布的有关问题。
一、正太分布的由来、发展及重要性正态分布是最重要的一种概率分布。
正态分布概念是由德国的数学家和天文学家德莫佛于1733年首次提出的，但由于德国数学家高斯率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布。
在随机变量的各种分布中，正态分布占有特殊重要的地位，在高斯以后，人们又发现在实际问题中，许多随机变量都近似服从正态分布。
20世纪前半期，概率论研究的中心课题之一就是寻求独立随机变量和的极限分布式正态分布的条件。
因此，把这一方面的定理统称为中心极限定理。
较一般的中心极限定理表明：若被研究的随机变量是大量独立随机变量的和，其中每一个随机变量对于总和只起微小作用，则可以认为这个随机变量近似于正态分布。
这就揭示了正太分布的重要性。
因为现实中许多随机变量都具有上述性质，例如测量误差、射击弹着点的横坐标、人的身高等都是由大量随机因素综合影响的结果，因而是近似服从正态分布的。
数理统计中有常用的三大分布占有极重要的地位，分别是2χ分布，t 分布和F 分布，这三大分布都与正态分布有着密切的关系，由此更能看出正态分布的重要性。
二、正态分布的含义正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N (μ，σ2)。
服从正态分布的随机变量的概率规律为：取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大分布越分散。
概率论与数理统计论文
概率论与数理统计论文•相关推荐概率论与数理统计论文（精选16篇）在学习、工作生活中，大家最不陌生的就是论文了吧，借助论文可以有效训练我们运用理论和技能解决实际问题的的能力。
那么，怎么去写论文呢？下面是小编为大家收集的概率论与数理统计论文，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。
概率论与数理统计论文篇1摘要：在现实世界中，随着科学的发展，数学在生活中的应用越来越广，无处不在。
而概率统作为数学的一个重要分支，同样也在发挥着越来越广泛的用处。
概率统计正广泛地应用到各行各业：买保险、排队问题、患遗传病、天气预报、经济预测、交通管理、医疗诊断等问题，成为我们认识世界、了解世界和改造世界的工具，它与我们的实际生活更是息息相关，密不可分。
关键词：概率论,概率论的发展与应用正文一、概率论的起源说起概率论起源的故事，就要提到法国的两个数学家。
一个叫做帕斯卡，一个叫做费马。
帕斯卡是17世纪有名的“神童”数学家。
费马是一位业余的大数学家，许多故事都与他有关。
1651年，法国一位贵族梅累向法国数学家、物理学家帕斯卡提出了一个十分有趣的“分赌注”问题。
这两个赌徒说，他俩下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。
赌了半天，A赢了4局，B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。
那么，这个钱应该怎么分？是不是把钱分成7份，赢了4局的就拿4份，赢了3局的就拿3份呢？或者，因为最早说的是满5局，而谁也没达到，所以就一人分一半呢？这个问题可把他难住了，他苦苦思考了两三年，到1654年才算有了点眉目。
于是他写信给的好友费马，两人讨论结果，取得了一致的意见：赌友应得64金币的。
通过这次讨论，开始形成了概率论当中一个重要的概念——数学期望。
这时有位荷兰的数学家惠更斯在巴黎听到这件新闻，也参加了他们的讨论。
讨论结果，惠更斯把它写成一本书叫《论赌博中的计算》（1657年），这就是概率论最早的一部著作。
二、概率论的发展概率论的应用在他们之后，对概率论这一学科做出贡献的是瑞士数学家族——贝努利家族的几位成员。
概率论结课论文
条件期望的性质和应用1 条件期望的几种定义1.1 条件分布角度出发的条件期望定义从条件分布的角度出发，条件分布的数学期望称为条件期望。
由离散随机变量和连续随机变量条件分布的定义，引出条件期望的定义。
定义1 离散随机变量的条件期望设二维离散随机变量(X,Y)的联合分布列为(),ij j i p P X x Y y ===，1,2,,1,2,.i j =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，对一切使()10j j ij i P Y y p p +∞⋅====>∑的j y ，称()()|,(),1,2,j ij i i j i j j j P X x Y y p p P X x Y y i p P Y y ⋅========⋅⋅⋅=为给定j Y y =条件下X 的条件分布列。
此时条件分布函数为 ()()i i j i j i j x x x x F x y P X x Y y p ≤≤====∑∑；同理，对一切使()10i i ij j P X x p p +∞⋅====>∑的i x ，称()()()j|i ,,1,2,j ij i j i i j P X x Y y p p P Y y X x j p P X x ⋅========⋅⋅⋅=为给定i X x =条件下Y 的条件分布列。
此时条件分布函数为 ()()j j i j i j i y y y y F y x P Y y X x p ≤≤====∑∑。
故条件分布的数学期望（若存在）称为条件期望，定义如下()()i i i E X Y y x P X x Y y ====∑或()()j j jE Y X x y P Y y X x ====∑。
定义2 连续随机变量的条件期望设二维连续随机变量（X,Y ）的联合密度函数为(,)p x y ，边际密度函数为 ()X p x 和()Y p y 。
对一切使()Y p y >0的y ，给定Y y =条件下X 的条件分布函数和条件密度函数 分别为(,)()()xY p u y F x y du p y -∞=⎰，()()(),Y p x y p x y p y =； 同理对一切使()X p x >0的x ，给定X=x 条件下Y 的条件分布函数和条件密度函数分别为(,)()()yX p x v F y x dv p x -∞=⎰，()()(),X p x y p y x p x =。
论文-概率论论文
论文-概率论论文标题：概率论在实际应用中的研究摘要：概率论是数学中的重要分支，广泛应用于科学、工程、金融等领域。
本论文旨在探讨概率论在实际应用中的研究，包括统计推断、风险评估、模式识别等方面。
通过详细分析概率论在各个领域的应用案例，揭示其在实际问题中的作用和价值，并提出未来研究的方向和挑战。
引言：概率论是描述随机事件发生概率的数学分支，它在现实生活中的应用越来越广泛。
通过概率论的方法，我们能够对随机事件进行建模和分析，从而为决策提供有力支持。
本论文将重点介绍概率论在统计推断、风险评估和模式识别等方面的应用，并探讨其在实际问题中的作用。
主体：1.统计推断：概率论是统计学中最重要的工具之一。
通过概率论的方法，我们可以对现有数据进行分析，从而推断出总体的未知特征。
例如，通过对抽样数据进行统计推断，我们可以估计总体的均值、方差等参数，并对总体的区间估计进行评估。
此外，概率论还可以用于假设检验，判断不同样本之间是否存在显著差异。
2.风险评估：概率论在风险评估领域的应用十分重要。
通过对风险事件进行概率建模和分析，我们可以评估风险事件发生的可能性和影响程度。
这种风险评估的方法被广泛应用于金融、保险、项目管理等领域。
例如，在金融领域，我们可以使用概率论来评估投资组合的风险和收益，并进行资产配置的决策。
3.模式识别：概率论在模式识别中的应用也十分重要。
模式识别是指通过对数据的建模和分类，识别出数据中的特定模式。
概率论为模式识别提供了一种强大的工具。
例如，在图像识别中，我们可以使用概率论的方法来建立分类模型，并通过概率计算判断图像属于某一类别的可能性。
结论：本论文对概率论在实际应用中的研究进行了综述。
通过在统计推断、风险评估和模式识别等方面的应用案例分析，我们可以看到概率论在各个领域中的作用和价值。
然而，概率论在实际应用中仍面临一些挑战，如大样本问题、高维问题等。
未来，我们需要继续研究概率论在实际问题中的应用，并探索解决这些挑战的方法。
探索概率论在日常决策中的作用作文
探索概率论在日常决策中的作用作文探索概率论在日常决策中的作用概率论作为一门重要的数学分支，被广泛地运用于各个领域，包括日常生活中的决策过程。
在这篇文章中，我们将探究概率论在日常决策中的作用，并通过几个实际例子来阐述其重要性。
第一部分：概率论的基本概念概率论是研究随机现象的规律性、不确定性及其数学方法的学科。
它包括了事件的概率、随机变量以及概率分布等概念。
在日常决策中，我们可以借助概率论的基本概念来提高决策的准确性和可靠性。
第二部分：概率论在日常决策中的应用1. 投资决策假设你有一笔钱要进行投资，你可以运用概率论来计算不同投资方案的预期收益和风险。
通过构建概率模型和使用概率分布，你可以计算出不同投资方案的预期回报率和标准差，从而辅助你做出更明智的投资决策。
2. 保险购买在购买保险时，我们也可以借助概率论的知识来衡量风险和确定保险金额。
通过分析过去的数据和当前的风险情况，我们可以计算出不同风险事件发生的概率，并据此选择合适的保险产品和保额，以降低风险并保护自己的利益。
3. 疾病诊断概率论在医学领域的应用也十分重要。
在疾病诊断中，医生可以结合患者的病史、体征和检查结果，利用概率模型和贝叶斯定理等方法来计算出不同疾病的可能性。
这样，医生可以更准确地判断患者的疾病类型，并制定相应的治疗方案。
第三部分：概率论的局限性与潜在问题尽管概率论在日常决策中发挥着重要的作用，但它也存在一些局限性和潜在的问题。
例如，概率计算往往基于过去的数据和假设的前提条件，而未来的情况可能会发生变化，导致预测结果出现偏差。
此外，概率计算也往往需要大量的数据和复杂的运算，对于一些特殊情况或数据不足的情况下可能无法准确预测。
但是，尽管存在这些局限性，概率论依然是一种强大的工具，在日常决策中能够提供有价值的参考和辅助。
我们需要根据实际情况和对决策的重要性进行权衡，并在决策过程中合理运用概率论的方法。
结论概率论在日常决策中发挥着重要的作用，可以帮助我们准确评估风险、制定合理的决策方案。
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概率论与数理统计总结（1-5章节）第一章&第二章概率论引论& 条件概率本章知识点：1．随机事件及其运算（随机试验，随机事件与样本空间，事件之间的关系及其运算）2．概率的定义、性质及其运算（频率，概率的统计定义，古典概率，概率的公理化定义，概率的性质）3．条件概率及三个重要公式（乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式）4．事件的独立性及贝努里(Bernoulli)概型理解重点：1.理解随机事件的概念，了解样本空间的概念，掌握事件的关系与基本运算；2.理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性，理解概率的公理化定义和概率的其它性质；3.理解古典概率的定义，掌握古典概率的计算，了解几何概率的定义及计算；4.掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；5.理解条件概率的概念，熟练掌握条件概率的计算，熟练掌握乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式以及应用这些公式进行概率计算；6.理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算，理解贝努利试验的概念，熟练掌握二项概率公式（贝努利概型）及其应用。
第一节随机事件一、概率论序言二、随机试验与随机事件（一）随机试验1．试验可在相同条件下重复进行；2．每次试验的可能结果不止一个，而究竟会出现哪一个结果，在试验前不能准确地预言；3．试验所有可能结果在试验前是明确(已知)的，而每次试验必有其中的一个结果出现，并且也仅有一个结果出现。
满足上述三个特性的试验，叫做随机试验，简称试验，并用字母E 等表示。
（二）随机事件随机试验的结果称为随机事件，简称事件。
1．必然事件：在试验中一定出现的结果，记作Ω；2．不可能事件：在试验中一定不会出现的结果，记作Φ；3．随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的结果，常用大写拉丁字母A、B、C…表示；4．基本事件(样本点)：试验最基本的结果，记作ω；5．样本空间(基本事件空间)：所有基本事件的集合，常用Ω表示；样本空间Ω中的元素是随机试验的可能结果。
样本空间的任一子集称作随机事件。
在一次试验中，当且仅当子集A 中的一个样本点出现时，称事件A 发生。
显然Ω为必然事件，Φ为不可能事件。
三、随机事件间的关系与运算（一）随机事件间的关系1．包含：若事件A 发生必导致事件B 发生，则称事件B 包含事件A，或称A 是B 的子事件，记作。
A⊂ B，或B⊃ A。
2．相等：若B ⊂A 且A ⊃B，则称事件A 与B 相等，记作A=B 。
其直观意义是事件A 与B的样本点完全相同。
（二）随机事件的运算1．事件的和（并）若事件A和事件B 至少有一个发生，则称这样的事件为事件A与B 的和事件，记作B ∪A或B + A。
事件B ∪A 是属于A或属于B 的样本点组成的集合。
2．事件的差若事件A发生而事件B不发生，则称这样的事件为事件A与事件B 的差，记作A-B。
3．事件的积（交）若事件A与事件B 同时发生，则称这样的事件为事件A与事件B 的积，记作AB 或A∩B。
4. 互不相容事件(或互斥事件)若事件A与事件B不能同时发生，即Φ= AB (即A与B 同时发生是不可能事件)，则称事件A与B 是互不相容(互)事件。
其直观意义是事件A与B 没有公共样本点。
5．对立事件（或互逆事件）在每次试验中，若事件 A 与事件 B 必有一个发生，且仅有一个发生，则称事件 A 与 B 为对立事件或互为逆事件。
即有： Φ = AB ，且 Ω = B+ A 。
事件 A 的对立事件记为A 。
6．完备事件组：若事件A1,A2··An 两两互不相容，且每次试验必出现且只出现一个，则称A1,A2··An 构成一个完备事件组。
完备事件组中事件个数可以是有限个，也可以是可数个。
（三）随机事件的运算规律 对于任意事件 A,B,C 有： 1．交换律：A+B=B+A ；AB=BA2．结合律：A+B+C=A+(B+C)=(A+B)+C ；ABC=A(BC)=(AB)C 3．分配律：A(B+C)=AB+AC ；A(B-C)=AB-AC 4．对偶律(德摩根律)：B A B A =+,B A AB +=交换律、结合律、分配律、对偶律都可推广到任意多个事件的情形。
第二节 概率的定义 一、概率的统计定义 （一）频率的稳定性考虑在相同条件下进行的 S 轮试验，事件 A 在各轮试验中的频率形成一个数列 M1/N1,M2/N2```Ms/Ns.当各轮试验次数N1,N2```Ns 充分大时，在各轮试验中事件 A 出现的频率之间、或者它们某个平均值相差甚微. （二）概率的统计定义在实际中，当概率不易求出时，人们常取实验次数很大时事件的频率作为概率的估计值，这种确定概率的方法称为频率方法。
二、概率的古典定义 （一）古典概型若一个随机试验的结果只有有限个，且每个结果出现的概率都相同，则称这样的试验为古典型 随机试验(或称古典概型)。
（二）古典概率定义对于古典概型试验中的事件A ，其概率为： 样本空间中样本数 中包含的样本点数样本空间中的样本点数中包含的样本点数A A P)(（三）古典概型中事件概率的计算 1．一次抽取试验中事件概率的计算 2．不放回试验中事件概率的计算 3．有放回试验中事件概率的计算 三、概率的公理化定义与性质 （一）概率的公理化定义公理 1：任一事件的概率介于 0 和1之间 公理 2：样本事件空间的概率为 1公理 3：若可列个事件A1,A2```An 两两互不相容，则和事件的概率等于各事件的概率之和这里事件个数可以是有限或无限的.（二）概率的性质性质1：对任一事件A ，有)(P-A=)1(AP性质2：不可能事件的概率为0，即P(Φ)=0性质3：设Ａ、B 是两个事件，若B⊂A ，则有P(A)≤P(B),P(B-A)=P(B)-P(A).性质4：概率具有有限可加性，即若A1,A2```An两两互斥，则性质5：对任意两个事件A、B，第三节条件概率与全概公式一、条件概率（一）条件概率的概念在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.如在事件B 发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B)，称作条件概率.一般P(A|B) ≠P(A)。
（二）条件概率的定义对于任意两个事件A与B，其中P(A)>0 ，则事件B 在事件A发生的条件下的条件概率为：（三）条件概率的性质设B 是一事件，且P(B)>0,则1.对任一事件A，0≤P(A|B)≤1；2.P(S|B) =1；3.设A1,…,An 互不相容，则P[(A1+…+An )|B] = P(A1|B)+ …+P(An|B)。
（四）条件概率的计算二．乘法公式三）乘法公式应用实例三、全概公式与贝叶斯公式（一）全概公式设是一个完备事件组，且，则对任一事件B(P(B)＞0)，有（二）贝叶斯公式(逆概公式)设是一个完备事件组，且，则对于任一事件B(P(B)＞0) ，有（三）全概公式与贝叶斯公式综合应用第四节贝努利概型一、随机事件的独立性（一）两事件的独立对于两个事件A与B，若P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与B独立。
若事件A与事件B 独立，则事件A与B ，A 与B，A 与B 也相互独立。
（二）多个事件的独立对于任意n个事件，若其中任两个事件均相互独立，即对于任意整数)和任意k 个整数都有成立，则称这n 个事件相互独立。
注意：若相互独立，则其中任意的) 个事件也相互独立。
特别当k＝2 时，它们中的任意两个事件都相互独立(称为两两独立)。
但n 个事件两两独立不能保证这n 个事件相互独立。
实际问题中，往往根据问题的实际意义来判定独立性。
（三）事件独立在概率计算中的应用二、贝努利概型（一）独立重复试验在两个或多个独立试验中，若同一事件在各个试验中出现的概率相同，则称它们是独立重复试验。
二）贝努利概型满足以下三个条件的随机试验，称为n 重贝努利试验。
1．试验可以独立重复的进行n 次；2．试验只有A与两个结果；3．每次试验中，试验A出现的概率不变，即为常数；在n 重贝努利试验中，事件A出现k (0≤k≤n)次的概率为此公式称为二项概率公式。
（三）贝努利概型应用第三章随机变量&第五章分布本章知识点：1．随机变量的概念，随机变量的分布函数概念及其性质；2．离散型随机变量及其概率分布，离散型随机变量常见分布；3．连续性随机变量及其概率密度函数，连续性随机变量常见的分布；4．随机变量的函数的分布。
第一节随机变量与分布函数一、随机变量的概念（一）随机变量的定义设E 为随机试验，它的样本空间为Ω={ ω}。
若对于每一个样本点ω∈Ω，都有唯一确定的实数X ( ω)与之对应，则称X( ω)是一个随机变量(可简记为X) 。
常用大写字母X，Y，Z 等表示。
（二）引入随机变量的意义（三）随机变量的分类1．离散型随机变量与非离散型随机变量（主要是连续型随机变量）2．一元随机变量与多元随机变量二、随机变量的分布函数（一）随机变量分布函数的定义对于随机变量X 和任意实数x，称函数F (x) P(X ≤x) 为随机变量X 的分布函数。
它在点x 处的值是事件{X≤x}的概率。
（二）分布函数的性质F (x)1.F (x) 是单调不减函数；2．F (x) 右连续，即对任意的第二节离散型随机变量及其概率分布一、离散型随机变量的概率分布（一）离散型随机变量概率分布的定义1．一个随机变量的一切可能的取值为有限个或可列无穷多个，则称它为离散型随机变量。
2．X 是一个离散型随机变量，其一切可能值为，且X 取各值时的概率为其中，且，则称上式为X 的概率分布。
记为3．对于任意实数a <b ，有（二）离散型随机变量概率分布的表示方法1．列表法2．图示法3．公式法（三）离散型随机变量的分布函数二、几种重要的离散型随机变量（一）超几何分布：如果随机变量X 的概率分布为其中N,M,n 均为正整数，且M ≤N ,n ≤N ,则称X 服从参数为N,M,n 的超几何分布。
（二）几何分布如果随机变量X 的概率分布为则称X 服从几何分布。
（三）二项分布值为0,1,2，…,n,且它的概率分布为则称X 服从参数为n,p 的二项分布，记为X ～B(n,p )（四）泊松分布如果随机变量X 的概率分布为则称X 服从参数为λ的泊松分布。
三、几个分布之间的关系（一）二项分布与超几何分布当N,M 充分大，而n 相对N 充分小时，超几何分布与二项分布有如下的近似：（二）二项分布与0—1 分布如果随机变量相互独立，且都服从0—1 分布，则服从二项分布B(n,p)（三）二项分布与泊松分布如果X 服从二项分布B(n,p)，且n 充分大（n≥100）,p 充分小，而np适中，则满足以下近似公式：第三节连续型随机变量及其概率密度一、连续型随机变量的概率密度（1）连续型随机变量及其密度函数的定义对于随机变量X，其分布函数为F (x) ，如存在非负可积函数f (x) ,使得对于任意实数x，有，则称X 为连续型随机变量，f (x) 称为X 的概率密度函数。