专题7.32：圆锥曲线中弦张直角问题的研究与拓展

专题7.32：圆锥曲线中弦张直角问题的研究与拓展
【课本溯源】
（1）直线与抛物线相交于，两点，求证：.
2y x =-22y x =A B OA OB ⊥（2）已知直线与抛物线交于，两点，且（为坐标原点），求的值.y x b =+22x y =A B OA OB ⊥O b 【问题提出】
问题1：直角顶点为坐标原点的圆锥曲线中弦张直角问题问题2：直角顶点为曲线顶点的圆锥曲线中弦张直角问题
问题3：直角顶点为曲线上不同于顶点的任一点的圆锥曲线中弦张直角问题【探究拓展】
探究1 假设过点的直线与抛物线相交于，两点，则.()20p,l 22y px =A B OA OB ⊥证明：设直线的方程为：，由题意显然.联立直线与抛物线得：
l x my t =+0t ≠l .由韦达定理有：，.
2220y pmy pt --=122y y pm +=122y y pt =-()()()()221212*********OA OB x x y y my t my t y y m y y mt y y t ⋅=+=+++=++++
又点在直线上，故，从而
()20p,l 2t p =. 所以，()()()2
22212222220OA OB m pt mt pm t t pt p p p ⋅=+⋅-+⋅+=-=-⋅= OA OB
⊥探究2 直线与抛物线相交于，两点，则的充要条件为直线过点.l 22y px =A B OA OB ⊥l ()20p,变式2.1 直线与椭圆相交于，两点，则的充要条件是椭圆中心到直
l ()22
2210x y a b a b +=>>A B OA OB ⊥O 线的距离l
d =变式2.2 直线与双曲线相交于，两点，则
l ()22
22100x y a ,b a b
-=>>A B （1）当时，的充要条件是双曲线中心到直线的距离；
0b a >>OA OB ⊥O l
d =（2）当时，不可能有.
0a b ≥>OA OB ⊥探究3 直线与抛物线交于，两点，当（为坐标原点）时，作，l ()220y px p =>A B OA OB ⊥O OM AB ⊥则点的轨迹是一个圆（去掉原点），轨迹方程为.
M O ()()2
220x p y p x -+=≠
变式3.1直线: 与椭圆交于，两点，则（为坐标原点），
l y kx m =+()22
2210x y a b a b
+=>>A B OA OB ⊥O
作，则点的轨迹是一个以为圆心，轨迹方程为.OM AB ⊥M O 2222
22
a b x y a b
+=+
变式3.2 直线: 与双曲线交于，两点，则（为坐标原
l y kx m =+()22
2210x y b a a b
-=>>A B OA OB ⊥O
点），作，则点的轨迹是一个以OM AB ⊥M O .22
2
2
2
2
a b x y b a +=-探究4 直线与椭圆相交于，两点，是其右顶点，当时，直线过定
l ()22
2210x y a b a b
+=>>A B P PA PB ⊥l 点.()22220a a b ,a b ⎛⎫
- ⎪ ⎪+⎝⎭
变式4.1 直线与椭圆相交于，两点，是其右顶点，当时，直
l ()22
22100x y a ,b ,a b a b
-=>>≠A B P PA PB ⊥线过定点.
l ()22220a a b ,a b ⎛⎫
+ ⎪ ⎪-⎝⎭
注：对于是左顶点时，同样有相似结论.该问题留给有兴趣的读者自己去研究.
P
探究5 设直线交椭圆于，两点，点是椭圆上不同于，两点的一
l ()22
2210x y a b a b
+=>>A B ()00P x ,y A B 个定点，则 的充要条件是直线过定点.PA PB ⊥l ()()2222002222x a b y b a Q ,
a b a b ⎛⎫
-- ⎪ ⎪++⎝⎭
变式5.1设直线交双曲线于，两点，点是双曲线上不同于，
l ()22
22100x y a ,b ,a b a b
-=>>≠A B ()00P x ,y A 两点的一个定点，则 的充要条件是直线过定点.B PA PB ⊥l ()()2222002222
x a b y b a Q ,b a a b ⎛⎫
+- ⎪ ⎪-+⎝⎭
变式5.2 设直线交抛物线于，两点，点是抛物线上不同于，两点的一l ()220y px p =>A B ()00P x ,y A B 个定点，则 的充要条件是直线过定点.
PA PB ⊥l 2
0022y Q p ,y p ⎛⎫+- ⎪⎝⎭
试题解答
方法一：设，联立直线与抛物线得：.()11A x ,y ()22B x ,y 2640x x -+=由韦达定理有：，.
126x x +=124x x =又()()()12121212121222224OA OB x x y y x x x x x x x x ⋅=+=+--=-++
所以，从而.
()1212224242640OA OB x x x x ⋅=-++=⋅-⋅+=
OA OB ⊥方法二：设，，假设线段的中点为，联立直线与抛物线得：()11A x ,y ()22B x ,y AB ()00M x ,y . 由韦达定理有：，.
2640x x -+=126x x +=124x x =
所以，，， ，故.12032x x x +=
=121204
122
y y x x y ++-===()31M ,OM =
又，所以，AB ===1
2
OM AB =
所以，即.
90AOB ∠=︒OA OB ⊥
观察上题直线与轴交点坐标为，而抛物线，自然的我们有如下推广AB x ()20,22y x =【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。