江苏决胜新高考2023届高三年级12月大联考数学试题含答案

决胜新高考——2023届高三年级大联考
数学
本试卷共6页，22小题，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1．
已知z =i 为虚数单位，则z =
A ．1
2
B ．2
C
D
2．已知向量a ，b 满足==+a b a b ，则a 与b 的夹角为
A ．6
π
B ．3
π
C ．56
π
D ．23
π
3．给定空间中的直线l 和平面α，“直线l 与平面α垂直”是“直线l 与平面a 内无数条直线
都垂直”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
4．立德中学举行“学习党代会，奋进新征程”交流会，共有6位老师、4位学生进行发言．现用抽签的方式决定发言顺序，事件(110)k A k k ∈N ≤≤，表示“第k 位发言的是学生”，则A ．23
()5
P A =B ．123
()25
P A A =C ．1021
(|)3
P A A =D ．12(5
4
)P A A +=江苏
5．已知π1sin()cos 62αα-+=，则5πsin(2)6
α+=
A ．1
3
B ．3
4
C ．1
2
D ．3
4
-6．疫情防控期间，某单位把120个口罩全部分给5个人，使每人所得口罩个数成等差数列，
且较大的三份之和是较小的两份之和的3倍，则最小一份的口罩个数为
7．设3log 2a =，6log 4b =，3e log (2e)c =，则
A ．c b a
<<B ．a b c
<<C ．b a c
<<D ．a c b
<<8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点11()A x y ，，22()B x y ，在椭圆22:12
x C y +=上，且直线OA ，OB 的斜率之积为12-，则22221122x y x y -+-=
A ．1
B ．3
C ．2
D ．5
2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知32()29f x x x ax b =-++在1x =处取得极大值，若()f x 有三个零点，则
A ．2
a =B ．54
b -<<-C ．()f x 的极小值为4b
+D ．2()()
f b f b >-10．已知函数()2sin()1()3
f x x ωω*π=+-∈N 在区间[]0π，
上有且仅有2个零点，则A ．2
ω=B ．()f x 的图象关于(0)6π-，对称
C ．()f x 的图象关于直线12
x π=对称
D ．()f x 在区间5612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上单调递减11．正多面体统称为柏拉图体．若连接某正方体1111ABCD A B C D -的相邻面的中心，可以得
到一个新的体积为43的柏拉图体Ω．则
A ．Ω是正六面体
B ．正方体1111ABCD A B
C
D -的边长为2
C ．Ω与正方体1111ABC
D A B C D -
A ．6
B ．10
C ．12
D ．14
D ．平面
11ACC A 与Ω12．已知曲线22:1C x y xy --=，则
A ．曲线C 关于坐标原点对称
B ．曲线
C 关于y 轴对称
C ．x ≤或x
D ．224
25
x xy y -+≥四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

13．101(1)()x x x
+-展开式中4x 的系数是
．
14．写出一个同时满足下列性质①②的函数()f x =
．
①()()()f xy f x f y =+；②()f x 在定义域上单调递增．
15．已知抛物线2
1:4C y x =的焦点F 与双曲线22222:1(00)y x C a b a b
-=>>，的右焦点重合，1C 与2C 的公共点为M ，N ，且4MN =，则2C 的离心率是
．
16．已知半径为O 的表面上有
A ，
B ，
C ，
D 四点，且满足AD ⊥平面ABC ，
BC =
，AB BC ⊥，则四面体D ABC -的体积最大值为
；若M 为AD 的中点，当D 到平面MBC 的距离最大时，MBO △的面积为
．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必
要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）
在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，
c ．已知B 为锐角，且2sin b A =．（1）求B ；
（2）求sin sin A C +的最大值．
18．（12分）
甲、乙两台机床加工同一规格（直径20.0mm）的机器零件，为了比较这两台机床生产的机器零件精度的差异，随机选取了一个时间段，对该时间段内两台机床生产的所有机器零件直径的大小进行了统计，数据如下：
甲：19.7，19.8，19.8，19.9，19.9，19.9，20.0，20.0，20.0，20.0，20.1，20.1，20.1，20.1，20.2，20.2，20.2，20.3
乙：19.5，19.6，19.7，19.8，19.9，20.0，20.0，20.1，20.1，20.2，20.3，20.4
规定误差不超过0.2mm的零件为一级品，误差大于0.2mm的零件为二级品．
（1）根据以上数据完成下面的22
⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为甲、乙两台机床生产的机器零件的精度存在差异；
一级品二级品总计甲机床
乙机床
总计
（2）以该时间段内两台机床生产的产品的一级品和二级品的频率代替概率，从甲机床生产的零件中任取2个，从乙机床生产的零件中任取3个．比较甲、乙机床取到一级品个数的期望的大小．
附
2
2
()
()()()()
n ad bc
K a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n a b c d
=+++．
2
()
P K k0.1000.0500.0100.0050.001 0
k 2.706 3.841 6.6357.87910.828
19．（12分）
如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，O 是AD 的中点，点E 在PC 上，且AP ∥平面BOE ．
（1）求PE PC
的值；
（2）若OP ⊥平面ABCD ，OE ⊥PC ，2AB =，60BAD ∠= ，求直线OE 与平面PBC 所成角的正弦值．
20．（12分）
已知n T 为正项数列{}n a 的前n 项的乘积，且13a =，21n n n T a +=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若1(3)
4(1)(1)n n n n n a b a a ++=
++，求证：+1124()3
n n b b b +++< ．
E C
B
D
O A
P
21．（12分）
已知函数()ln ()a f x x a x
=+∈R ．
（1）若()f x 的最小值为1，求实数a 的值；
（2）若关于x 的方程()f x ax =有3个不同的实数根，求a 的取值范围．
22．（12分）
在直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线交抛物
线C 于A ，B 两点，且12OA OB ⋅=-
．
（1）求抛物线C 的方程；
（2）直线AO ，BO 分别交直线:(0)l x t t =<于A '，B '两点，圆1O 是以线段A B ''为直径
的圆．从下面①②中选取一个作为条件，证明另外一个成立．①直线l 是抛物线C 的准线；②直线AB 与圆1O 相切．
决胜新高考——2023届高三年级大联考
数学参考答案与评分细则
本试卷共6页，22小题，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1．已知z =i 为虚数单位，则z =
A ．1
2B ．2
C D 答案：B
【解析】2z =
=．
2．已知向量a ，b 满足==+a b a b ，则a 与b 的夹角为
A ．6π
B ．3
π
C ．56π
D ．23
π
答案：D
【解析】因为2
2222+=++=a b a ab b a ，所以2
12
=-ab a ，所以a 与b 的夹角为23π．
3．给定空间中的直线l 和平面α，“直线l 与平面α垂直”是“直线l 与平面a 内无数条直线
都垂直”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
答案：A
【解析】由“直线l 与平面α垂直”可知“直线l 与平面a 内任意直线都垂直”．由“直线l 与平面a 内无数条直线都垂直”得不到“直线l 与平面α垂直”．
4．立德中学举行“学习党代会，奋进新征程”交流会，共有6位老师、4位学生进行发言．现用抽签的方式决定发言顺序，事件(110)k A k k ∈N ≤≤，表示“第k 位发言的是学生”，则A ．23
()5P A =B ．123
()25P A A =C ．1021
(|)3P A A =D ．125
(4
)P A A +=答案：C
【解析】因为1949210102()5C A P A A ==，所以A 错误．因为2848121010
2()15A A
P A A A ==，所以B 错误．
因为1021022()1
(|)()3
P A A P A A P A =
=，所以C 正确．
因为28
68
12121010
2()1()13A A P A A P A A A =-+=-=，所以D 错误．
5．已知π1sin()cos 62αα-+=，则5πsin(2)6
α+=
A ．13
B ．3
4
C ．1
2
D ．3
4
-答案：C
【解析】解法一：因为π1sin()cos 62
αα-+=，
所以ππππ1sin()cos sin cos cos sin cos sin()66662αααααα-+=-+=+=．
令π6t α=+，则π6t α=-，1sin 2
t =，所以25ππ5ππ1sin(2sin(2()sin(2)cos 212sin 66622t t t t α+=-+=+==-=．
解法二：因为π1sin()cos 62αα-+=，不妨取0α=，则5π5π1sin(2)sin 662
α+==．
6．疫情防控期间，某单位把120个口罩全部分给5个人，使每人所得口罩个数成等差数列，
且较大的三份之和是较小的两份之和的3倍，则最小一份的口罩个数为【答案】C
【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为0d >，由条件可知，
A ．6
B ．10
C ．12
D ．14
5154
51202
S a d ⨯=+
=，()345123a a a a a ++=+，即()()113332a d a d +=+，即11
22420a d a d +=⎧⎨-=⎩，解得112a =，6d =，
所以最小一份的口罩个数为12个，故选C ．7．设3log 2a =，6log 4b =，3e log (2e)c =，则
A ．c b a <<
B ．a b c <<
C ．b a c <<
D ．a c b
<<答案：B 【解析】lg 2lg 3a =
，lg 4lg 2lg 2lg 6lg 3lg 2b +==+，lg(2e)lg 21
lg(3e)lg31
c +==+，解法一：因为(00)n n k k m n m m k
+<>>>+，，所以a b c <<．解法二：设lg 2lg 2lg 3
()+1lg 3lg 3x f x x x
+-=
=++，则(0)a f =，(lg 2)b f =，(1)c f =，
又因为()f x 在(0+)∞，上单调递增，所以a b c <<．
8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点11()A x y ，，22()B x y ，在椭圆2
2:12
x C y +=上，且直线OA ，OB 的斜率之积为12-，则22221122x y x y -+-=
A ．1
B ．3
C ．2
D ．5
2
答案：A
【解析】设11()A x y ，，22()B x y ，，则22
1112x y +=，222212
x y +=，所以22222
22
2
22
12121
1
221
233(1)(1)22222
x x x x x y x y x x -+-=--+--
=+-．因为121212
OA OB y y
k k x x =⨯=-，所以12122x x y y =-，所以222212124x x y y =，
所以22
22
2222212
1
21122
122114244(22
2x x y y x x x x x x ===---
-+，所以22122x x +=，所以222211221x y x y -+-=．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知32()29f x x x ax b =-++在1x =处取得极大值，若()f x 有三个零点，则
A ．2
a =B ．54
b -<<-
C ．()f x 的极小值为4b +
D ．2()()
f b f b >-答案：BCD
【解析】因为2()618f x x x a '=-+，所以(1)6180f a '=-+=，所以12a =．因为2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--，
所以()f x 在2x =处取得极小值，在1x =处取得极大值，
极小值为(2)4f b =+，极大值为(1)5f b =+，所以40b +<，40b +<，所以54b -<<-．因为54b -<<-，所以45b <-<，21625b <<，又因为()f x 在(2)+∞，上单调递增，所以2()()f b f b >-．
10．已知函数()2sin()1()3
f x x ωω*π=+-∈N 在区间[]0π，上有且仅有2个零点，则
A ．2
ω=B ．()f x 的图象关于(0)6π-，
对称C ．()f x 的图象关于直线12x π=对称
D ．()f x 在区间5612ππ⎡⎤⎢⎥⎣
⎦，上单调递减答案：ACD
【解析】令()0f x =，则1sin()32
x ωπ+=，所以236x k ωππ+=π+或2()36x k k ωπ5π+=π+∈Z ，
即26k x ωππ-=或22()k x k ω
π
π+=∈Z ．因为函数()f x 在区间[]0π，上有且仅有2个零
点，所以2ω=，所以A 正确．因为()2sin(2)13f x x π=+-，所以()f x 的图象关于(1)6π--，对称，关于直线12x π=对称，在区间5612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上单调递减，所以B 错误，C 正确，D 正确．
11．正多面体统称为柏拉图体．若连接某正方体1111ABCD A B C D -的相邻面的中心，可以得
到一个新的体积为43的柏拉图体Ω．则
A ．Ω是正六面体
B ．正方体1111ABCD A B
C
D -的边长为2
C ．Ω与正方体1111ABC
D A B C D -
D ．平面11ACC A 与Ω
答案：BCD
【解析】Ω是正八面体，所以A 错误．
设正方体1111ABCD A B C D -的边长为a ，则Ω的体积为31114232263a a a a ⨯⨯⨯⨯⨯==，
所以2a =，所以B 正确．
正方体1111ABCD A B C D -的表面积是62224⨯⨯=，
Ω的表面积是182⨯=，所以C 正确．
平面11ACC A 与Ω相交所得截面是菱形，其面积为122⨯=，所以D 正确．
12．已知曲线22:1C x y xy --=，则
A ．曲线C 关于坐标原点对称
B ．曲线
C 关于y 轴对称
C ．x ≤或x
D ．224
25
x xy y -+≥答案：ACD
【解析】因为点()P x y ，在曲线22:1C x y xy --=上，
所以点1()P x y --，满足2222()()()()1x y x y x y xy ------=--=，所以A 正确．若(21)P ，，因为点(21)P '-，不满足C 的方程，所以B 错误．因为221x y xy --=，所以2210y xy x ++-=，所以224(1)0x x --≥，
所以x ≤或x ，所以C 正确．设t x y =-，则x y t =+，所以22()()1y t y y t y +--+=，所以2210y ty t -+-=，所以224(1)0t t --≥，所以245t ≥，
所以22425
x xy y -+≥，所以D 正确．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．101(1)()x x x +-展开式中4x 的系数是
．
答案：120
-【解析】101()x x -展开式中10102110
101((1)r r r r r r r T C x C x x
--+=-=-．因为101(x x
-展开式中不含奇次项，3
344310(1)120T C x x =-=-，所以4x 的系数是120-．
14．写出一个同时满足下列性质①②的函数()f x =．
①()()()f xy f x f y =+；②()f x 在定义域上单调递增．答案：()log (1)
a f x x a =>【解析】log ()log log a a a MN M N =+，且()log (1)a f x x a =>单调递增．
15．已知抛物线2
1:4C y x =的焦点F 与双曲线22222:1(00)y x C a b a b
-=>>，的右焦点重合，1C 与2C 的公共点为M ，N ，且4MN =，则2C 的离心率是．
1
【解析】因为1C 与2C 交于点M ，N ，所以M ，N 关于x 轴对称，所以2M y =，所以1M x =．因为(1)F ，0，所以FM ⊥x 轴．记椭圆2C 的另一焦点为F '，
所以MF '==
所以22a =
，所以212c e a ===+．
16．
已知半径为的球O 的表面上有A ，B ，C ，D 四点，且满足AD ⊥平面ABC
，
BC =，AB BC ⊥，则四面体D ABC -的体积最大值为；若M 为AD 的中点，当D 到平面MBC 的距离最大时，MBO △的面积为
．
答案：4
【解析】在平面ABD 内过点D 向AM 作垂线，垂足为H ，则D 到平面MBC 的距离为DH ．设
AD h =
BC ==，球心O 即为CD 的中点，所以22432a h +=．四面体D ABC -
的体积2311)32V h h h =⨯=-
，所以'23)V h =-，令'0V =
，得h =
，当0h ⎛∈ ⎝时，V
单调递增；当+h ⎫∈∞⎪⎭
，时，V
单调递减，所以当h
时，max V =ABM HDM △∽△
，所以
DH =
．
因为2222
222222414141161((8)(88)323232a h a h h a h a h a
++=+=+++≥，当且仅当224a h =时等号成立，所以4h =，2a =
．此时MB OB ==，2OM =，所以MBO △
．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）
在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．
已知B 为锐角，且2sin b A =．（1）求B ；
（2）求sin sin A C +的最大值．
解：（1）因为2sin b A =，所以b a =
在ABC △中，由正弦定理sin sin a b A B
=，得sin sin B b A a =，所以sin sin B A =．
因为0πA <<，所以sin 0A ≠，所以sin B =……2分又因为B 为锐角，所以π3
B =．
……4分
（2）因为0πA <<，π3
B =，所以sin sin sin sin(π)sin sin()
A C A A
B A A B +=+--=++
πππ3sin sin()sin sin cos cos sin sin 3332A A A A A A A
=++=++=+……6分π)
6A =+，当且仅当π3
A C ==时等号成立，……8分
所以sin sin A C +……10分
18．（12分）
甲、乙两台机床加工同一规格（直径20.0mm ）的机器零件，为了比较这两台机床生产的机器零件精度的差异，随机选取了一个时间段，对该时间段内两台机床生产的所有机器零件直径的大小进行了统计，数据如下：
甲：19.7，19.8，19.8，19.9，19.9，19.9，20.0，20.0，20.0，20.0，20.1，20.1，20.1，20.1，20.2，20.2，20.2，20.3
乙：19.5，19.6，19.7，19.8，19.9，20.0，20.0，20.1，20.1，20.2，20.3，20.4规定误差不超过0.2mm 的零件为一级品，误差大于0.2mm 的零件为二级品．
（1）根据以上数据完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为甲、乙两台机床生产的机器零件的精度存在差异；
一级品
二级品
总计
甲机床乙机床总计
（2）以该时间段内两台机床生产的产品的一级品和二级品的频率代替概率，从甲机床生产
的零件中任取2个，从乙机床生产的零件中任取3个．比较甲、乙机床取到一级品个数的期望的大小．
附
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n a b c d
=+++．
2
()
P K k0.1000.0500.0100.0050.001 0
k 2.706 3.841 6.6357.87910.828
解：（1）22
⨯列联表如下：
一级品二级品总计
甲机床16218
乙机床7512
总计23730
……2分
根据列联表得
2
2
30(16527)605 3.758
2371812161
K⨯⨯-⨯
==≈
⨯⨯⨯
，
因为3.758 3.841
<，……5分所以没有95%的把握认为甲、乙两台机床生产的机器零件的精度存在差异．
答：没有95%的把握认为甲、乙两台机床生产的机器零件的精度存在差异．……6分（2）从甲机床生产的零件中任取2个，设这2个零件中一级品的个数为X，从乙机床生产的零件中任取3个，设这3个零件中一级品的个数为Y，
则随机变量X，Y服从二项分布，即
8
(29
X B
，，7
(312
Y B
，，……8分
所以
81664
()29936
E X=⨯==，7763
()312436
E Y=⨯==，……10分
所以甲的期望的大．
答：甲的期望的大．……12分19．（12分）
如图所示，在四棱锥P ABCD
-中，底面ABCD是菱形，O是AD的中点，点E在PC 上，且AP∥平面BOE．
（1）求PE
PC的值；
（2）若OP⊥平面ABCD，OE⊥PC，2
AB=，
E
C
B
D
O
A
P
60BAD ∠= ，求直线OE 与平面PBC 所成角的正弦值．
解：（1）连接AC 与BO 交于点F ，
因为底面ABCD 是菱形，O 是AD 的中点，所以AO ∥BC ，且12AO BC =，
所以12
AF FC =．
……2分
因为AP ∥平面BOE ，AP ⊂平面APC ，平面APC 平面BOE EF =，所以AP ∥EF ，
所以12AF PE FC EC ==，所以13
PE PC =．
……4分
（2）解法一：因为底面ABCD 是菱形，O 是AD 的中点，
60BAD ∠= ，所以BO ⊥AD ．
因为OP ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，
BO ⊂平面ABCD ，所以OP ⊥AD ，OP ⊥BO ，
建立如图所示的空间直角坐标系O—xyz ．……6分
则O (0，0，0)，A (1，0，0)，(00)B ，(20)C -．设(00)P h ，
，，则(2)PC h =--
，所以122(333h OE OP PE OP PC =+=+=- ，．
因为OE ⊥PC ，所以2
421033
h OE PC ⋅=+-= ，解得h =．
……8分所以2(3OE =- ，(200)BC =- ，，，(0)PB =- ．
设()x y z ，，n =为平面PBC 的法向量，
则0BC ⋅= n ，0PB ⋅=
n ，得0x =，0=，
取1z =(0)=n 为平面PBC 的一个法向量．……10分
因为cos OE =
，n ，
所以直线OE 与平面PAB 所成角的正弦值是
．……12分
E C
B
D O
A
P
F
E C
B D
O A
P
F
z y
x
解法二：因为底面ABCD 是菱形，O 是AD 的中点，2AB =，60BAD ∠= ，所以120CDO ∠= ，2CD =，1OD =．
在CDO △中，由余弦定理2222cos120OC CD OD CD OD =+-⨯⨯⨯ ，
得OC =．
……6分
因为OP ⊥平面ABCD ，OC ⊂平面ABCD ，所以OP ⊥OC ．
设PE a =，2CE a =，在直角CDO △中，由射影定理2OE PE CE =⨯，
得OE =．
在直角CEO △中，由勾股定理222OC OE CE =+，得276
a =，
所以22723OE a ==
，所以OE =
，OP ==在直角OBP △中，作斜边BP 上的高OH ，因为1122
OH BP OB OP ⨯⨯=⨯⨯
，所以OH =．
……8分
因为OP ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以OP ⊥BC ．
又因为OB ⊥BC ，OB ⊂平面OBP ，OP ⊂平面OBP ，OB OP P = ，所以BC ⊥平面OBP ，因为OH ⊂平面OBP ，所以BC ⊥OH ．又因为OH ⊥BP ，BC ⊂平面PBC ，BP ⊂平面PBC ，BC BP B = ，所以OH ⊥平面PBC ．……10分
因为OH OE ==所以直线OE 与平面PAB
所成角的正弦值是
．……12分
20．（12分）
已知n T 为正项数列{}n a 的前n 项的乘积，且13a =，21n n n T a +=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若1(3)
4(1)(1)
n n n n n a b a a ++=
++，求证：+1124(3n n b b b +++< ．
【解】（1）当2n ≥时，2211n n n T a +++=，21n n n T a +=，
所以222
11121n n n n n n n
T a a T a +++++==，所以11n n n n a a ++=，
……2分
所以11lg()lg()n n n n a a ++=，即1lg (1)lg n n n a n a +=+，所以
1lg lg (2)1n n
a a n n n
+=≥+，当2n =时，2322T a =，解得29a =，所以21
lg lg lg321a a ==，所以数列lg {}n a n 是常数列，
……4分
所以
1
lg lg lg31n a a n
==，所以lg lg 3lg 3n n a n ==，所以3n n a =．
……6分（2）因为1111(3)(33)4444(1)(1)(31)(31)3131
n n n n n n n n n n n n n a b a a ++++++===-++++++，……8分所以2321
12232144444
4313131313131
n n n n n b b b +++++=-+-++-++++++ …10分11111
11114444441(3133131313
n n n n n n n n n +++++++++=-=-<<=++++…12分
21．（12分）
已知函数()ln ()a f x x a x
=+∈R ．
（1）若()f x 的最小值为1，求实数a 的值；
（2）若关于x 的方程()f x ax =有3个不同的实数根，求a 的取值范围．解：（1）因为22
1()a x a f x x x x
-'=-=，所以若0a ≤，()0f x '>，()f x 单调递增，无最小值，不成立．……2分
若0a >，当(0)x a ∈，时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()x a ∈+∞，时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以min ()()ln 11f x f a a ==+=，1a =．
……4分
（2）设()ln a g x x ax x =-+，则2
221()a ax x a g x a x x x
-+-'=--=．
当0a ≤时，()0g x '≥，()g x 单调递增，所以()g x 至多一个零点．……5分
当12a ≥时，因为2140a -≤，所以20ax x a -+-≤，
所以()0g x '≤，()g x 单调递减，所以()g x 至多一个零点．
……6分
当102
a <<时，令()0g x '=
，得1x =
，2x =当12x x x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增，因为121x x <<，
且(1)0g =，又因为()g x 是不间断的函数，
所以1()0g x <，2()0g x >且()g x 在12()x x ，上只有一个零点．……8分
当2x x >时，()0g x '<，()g x 单调递减．因为33221111()ln 2ln g a a a a a a a =-+=--+，
设311()2ln (02
h a a a a a =--+<<，则4
222
21321()30a a h a a a a a -+'=-++=
>，所以()h a 单调递增，所以11()()ln 42028h a h <=-+<，得21(0g a
<．
因为2211x a a
=
<，又因为()g x 是不间断的函数，所以()g x 在22
1(x a ，上只有一个零点，可得()g x 在2()x +∞，上只有一个零点0x ．
……10分
因为00000000111()(ln ln 0a g x g x ax a ax x x x x +=-++-+=，所以01()0g x =,
且102110x x x <<=，又因为()g x 是不间断的函数，
所以()g x 在1(0,)x 上只有一个零点0
1x ．
综上可知，当102a <<时，()g x 在(0,)+∞上有且仅有三个零点，
即关于x 的方程()f x ax =有3个不同的实数根．
……12分
22．（12分）
在直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，且12OA OB ⋅=-
．
（1）求抛物线C 的方程；
（2）直线AO ，BO 分别交直线:(0)l x t t =<于A '，B '两点，圆1O 是以线段A B ''为直径的圆．从下面①②中选取一个作为条件，证明另外一个成立．
①直线l 是抛物线C 的准线；②直线AB 与圆1O 相切．
解：（1）设直线AB 的方程为2
p
x my =+
，
由222y px p x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩
，，，得2220y pmy p --=．
设211()2y A y p ，，2
22()2y B y p ，，所以212y y p =-．
……2分
因为22222
12123122244
y y p p OA OB y y p p p ⋅=⨯+=-=-=- ，
所以4p =，所以抛物线的方程为28y x =．
……4分
（2）因为211()8
y A y ，，所以直线AO 的方程为18y x y =，则18()t A t y '，
．因为1216y y =-，所以2(2ty A t '-
，．同理可得：1()2
ty
B t '-，，所以圆1O 的方程为：()(
)
2
2
2
1212()()
()44
t t x t y y y y y -+++=-．……6分
由（1）知：128y y m +=，1216y y =-．由①证明②．
因为直线l 是抛物线C 的准线，所以2t =-．
所以圆1O 的方程为：()(
)
2
2
2
121211(2)()
()2
2x y y y y y ++-+=-．……8分
所以圆心1O 到直线AB
=
= (10)
分
12
2
y y -，所以直线AB 与圆1O 相切．……12分
由②证明①．
直线AB 的方程为2
p
x my =+
，即128()160x y y y -+++=．因为直线AB 与圆1O
12()
4
t y y -=
，……8分
所以2
12221122()816(2)44
t y y t t y y y y --+-++=，所以2
122212()16()4
4
t y y t y y --+=，……10分
所以2222221212121
216()2()8444t t t y y y y y y y y t ⎡⎤-+=-+-=-+-⎣⎦，解得2t =-，所以直线l 是抛物线C 的准线． (12)。