[小初高学习]2018年秋九年级数学上册 第1章 二次函数 1.2 二次函数的图象 第3课时 二次函

第1章二次函数
1．2 二次函数的图象
第3课时二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象及其特征
知识点1 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象及
特征
1．将二次函数y＝x2－2x＋4化为y＝a(x－h)2＋k的形式，下列正确的是( ) A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x－1)2＋3
C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2＋4
2．抛物线y＝x2＋2x＋3的对称轴是( )
A．直线x＝1 B．直线x＝－1
C．直线x＝－2 D．直线x＝2
3．抛物线y＝x2＋2x－3的开口方向、顶点坐标分别是( )
A．开口向上，顶点坐标为(－1，－4)
B．开口向下，顶点坐标为(1，4)
C．开口向上，顶点坐标为(1，4)
D．开口向下，顶点坐标为(－1，－4)
4．下列图象为二次函数y＝2x2－8x＋6的图象的是( )
图1－2－15
5．抛物线y＝2x2－bx＋3的对称轴是直线x＝1，则b的值为________．
6．二次函数y＝(k＋2)x2的图象开口向下，则k的取值范围是________．
7．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
y＝x2＋3x－2，y＝1－6x－x2，y＝3x2－2x＋4.
知识点2 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的平移
8．如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的函数表达式是( )
A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2
C．y＝x2＋1 D．y＝x2＋3
9．已知下列函数：①y＝x2；②y＝－x2；③y＝(x－1)2＋2.其中，图象通过平移可以得到函数y＝x2＋2x－3的图象的有________(填写所有正确选项的序号)．
10．如果将抛物线y＝x2－4平移到抛物线y＝x2－4x的位置，那么平移的方向和距离是__________________．
知识点3 求二次函数的表达式
11．根据已知条件，求二次函数表达式：
(1)抛物线的顶点是(3，－1)，且过点(2，3)；
(2)抛物线过(0，1)，(－1，0)，(1，0)三点；
(3)抛物线的对称轴是直线x＝2，且过点(1，4)和(5，0)．
12．2017·贵港将如图1－2－16所示的抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的函数表达式是( )
图1－2－16
A．y＝(x－1)2＋1 B．y＝(x＋1)2＋1
C．y＝2(x－1)2＋1 D．y＝2(x＋1)2＋1
13．将抛物线y＝x2＋bx＋c先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数表达式为y＝(x－1)2－4，则b，c的值为( )
A．b＝2，c＝－6 B．b＝2，c＝0
C．b＝－6，c＝8 D．b＝－6，c＝2
14．2017·遵义如图1－2－17，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，0)，对称轴l如图所示．则下列结论：①abc＞0；②a－b＋c＝0；③2a＋c＜0；④a＋b＜0，其中所有正确的结论是( )
图1－2－17
A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④
15．已知点A(a－2b，2－4ab)在抛物线y＝x2＋4x＋10上，则点A关于抛物线的对称轴对称的点的坐标为( )
A．(－3，7) B．(－1，7)
C ．(－4，10)
D ．(0，10)
16．2017·广东改编如图1－2－18，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝－x 2
＋ax ＋b 交
x 轴于A (1，0)，B (3，0)两点，P 是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP 与y 轴相交于
点C .
(1)求抛物线y ＝－x 2
＋ax ＋b 的函数表达式； (2)当P 是线段BC 的中点时，求点P 的坐标．
图1－2－18
17．2017·东阳模拟我们知道，对于二次函数y ＝a (x ＋m )2
＋k 的图象，可由二次函数y ＝ax 2
的图象进行向左或向右平移一次、再向上或向下平移一次得到，我们称二次函数y ＝
ax 2为“基本函数”，而称由它平移得到的二次函数y ＝a (x ＋m )2＋k 为“基本函数”y ＝ax 2
的“朋友函数”．左右、上下平移的路径称为“朋友路径”，对应点之间的线段长度m 2
＋k 2
称为“朋友距离”．
由此，我们所学的函数：二次函数y ＝ax 2
，正比例函数y ＝kx 和反比例函数y ＝k
x
都可以作为“基本函数”，并进行向左或向右平移一次、再向上或向下平移一次得到相应的“朋友函数”．
如一次函数y ＝2x －5是“基本函数”y ＝2x 的“朋友函数”，由y ＝2x －5＝2(x －1)－3可知“朋友路径”可以是向右平移1个单位，再向下平移3个单位，“朋友距离”＝12
＋32
＝10.
(1)探究一：小明同学经过思考后，为函数y ＝2x －5又找到了一条“朋友路径”：由“基本函数”y ＝2x 先向________，再向下平移7单位，相应的“朋友距离”为________；
(2)探究二：已知函数y ＝x 2
－6x ＋5，求它的“基本函数”“朋友路径”和相应的“朋友距离”；
(3)探究三：为函数y ＝3x ＋4x ＋1和它的“基本函数”y ＝1
x 找到“朋友路径”，并求相应的
“朋友距离”．
详解详析
1．B 2.B
3．A [解析] ∵二次函数y ＝x 2
＋2x －3的二次项系数为a ＝1＞0， ∴抛物线开口向上．
∵y ＝x 2
＋2x －3＝(x ＋1)2
－4， ∴顶点坐标为(－1，－4)． 4．A
5．4 6.k <－2
7．解：(1)y ＝x 2＋3x －2＝x 2
＋3x ＋(32)2－(32)2－2＝(x ＋32)2－174，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝－32，顶点坐标为(－32，－17
4)．
(2)y ＝1－6x －x 2
＝－x 2
－6x ＋1 ＝－(x 2＋6x ＋9－9)＋1 ＝－(x ＋3)2
＋10，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x ＝－3，顶点坐标为(－3，10)． (3)y ＝3x 2
－2x ＋4 ＝3(x 2
－23x ＋19－19)＋4
＝3(x －13)2－1
3＋4
＝3(x －13)2＋11
3
，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝13，顶点坐标为(13，11
3)．
8．C
9．①③ [解析] 函数y ＝x 2
＋2x －3可化为y ＝(x ＋1)2
－4，由函数图象平移的法则可知，将函数y ＝x 2
的图象先向左平移1个单位，再向下平移4个单位即可得到函数y ＝(x ＋1)2
－4的图象，故①正确；函数y ＝(x ＋1)2
－4的图象开口向上，函数y ＝－x 2
的图象开口向下，故不能通过平移得到，故②错误；将y ＝(x －1)2
＋2的图象向左平移2个单位，再向下平移6个单位即可得到函数y ＝(x ＋1)2
－4的图象，故③正确．
10．向右平移2个单位 [解析] ∵抛物线y ＝x 2
－4的顶点坐标是(0，－4)，抛物线y ＝x 2
－4x ＝(x －2)2
－4的顶点坐标是(2，－4)，
而把点(0，－4)向右平移2个单位得到点(2，－4)， ∴平移方法是向右平移2个单位．
11．解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(3，－1)， ∴设表达式为y ＝a (x －3)2
－1. 把(2，3)代入，得a ＝4，
∴二次函数表达式为y ＝4(x －3)2
－1. (2)设二次函数表达式为y ＝ax 2
＋bx ＋c . 将(0，1)，(－1，0)，(1，0)代入，得
⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a －b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪
⎧a ＝－1，b ＝0，c ＝1，
∴二次函数表达式为y ＝－x 2
＋1. (3)设二次函数表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，
由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－b
2a
＝2，a ＋b ＋c ＝4，25a ＋5b ＋c ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1
2
，
b ＝2，
c ＝52，
∴二次函数表达式为y ＝－12x 2＋2x ＋5
2
.
12．C [解析] 设原抛物线的函数表达式为y ＝ax 2
－2，把(1，0)代入，得a －2＝0，解得a ＝2，所以抛物线的函数表达式为y ＝2x 2
－2，抛物线y ＝2x 2
－2向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，得y ＝2(x －1)2
－2＋3，即y ＝2(x －1)2
＋1.故选C.
13．B
14．D [解析] ∵开口向下，∴a ＜0.∵对称轴在y 轴右侧，∴a ，b 异号，即b ＞0.∵抛物线与y 轴正半轴相交，∴c ＞0，即abc ＜0，结论①错误；∵抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 经过点(－1，0)，∴a －b ＋c ＝0，结论②正确；∵当x ＝2时，y ＜0，即4a ＋2b ＋c ＜0，又b ＝a ＋c ，∴4a ＋2(a ＋c )＋c ＜0，即2a ＋c ＜0，结论③正确；∵a －b ＋c ＝0，∴c ＝b －a .又∵4a ＋2b ＋c ＜0，∴4a ＋2b ＋b －a ＜0，∴3a ＋3b ＜0，∴a ＋b ＜0，结论④正确．
15．D [解析] ∵点A (a －2b ，2－4ab )在抛物线y ＝x 2
＋4x ＋10上，
∴2－4ab ＝(a －2b )2
＋4(a －2b )＋10，化简得a 2
＋4b 2
＋4a －8b ＋8＝0，(a ＋2)2
＋4(b －1)2
＝0，∴a ＋2＝0且b －1＝0，∴a ＝－2，b ＝1，∴A (－4，10)．
∵抛物线y ＝x 2
＋4x ＋10的对称轴为直线x ＝－2，则点A 关于抛物线对称轴的对称点的坐标为(0，10)．故选D.
16．解：(1)将点A ，B 的坐标代入抛物线的函数表达式y ＝－x 2
＋ax ＋b ，得
⎩
⎪⎨⎪⎧0＝－12
＋a ＋b ，
0＝－32
＋3a ＋b ， 解得a ＝4，b ＝－3，
∴抛物线的函数表达式为y ＝－x 2
＋4x －3. (2)∵点C 在y 轴上， ∴点C 的横坐标为0. ∵P 是线段BC 的中点， ∴点P 的横坐标x P ＝0＋32＝3
2.
∵点P 在抛物线y ＝－x 2
＋4x －3上， ∴y P ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫322
＋4×32－3＝34，
∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，34. 17．解：(1)左平移1个单位 5 2 (2)“基本函数”为y ＝x 2
.
∵原抛物线的顶点坐标为(0，0)，新抛物线的顶点坐标为(3，－4)， ∴“朋友路径”为先向右平移3个单位，再向下平移4个单位， 相应的“朋友距离”为32
＋42
＝5. (3)∵函数y ＝3x ＋4x ＋1可化为y ＝1
x ＋1
＋3，
∴“朋友路径”为先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，相应的“朋友距离”为＝12
＋32
＝10.。