勾股定理知识点+对应类型

第二章勾股定理、平方根专题
第_节勾股定理
-、勾股定理：
1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a, b,斜边长为c,那么
勾：直角三角形较短的直角边
股：直角三角形较长的直角边
弦：斜边
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a, b, c有下面关系：a2+ b2= c2,那么这个
三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a2+ b2= c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a, b, c、为勾股数，那么
ka, kb, kc同样也是勾股数组。

）
* 附：常见勾股数: 3,4,5 ; 6,8,10 ; 9,12,15 ; 5,12,13
3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角
三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：
（1）确定最大边（不妨设为c）;
(2) 若c2= a2+ b2,则^ ABC是以Z C为直角的三角形；
若a2 + b2v c2,则此三角形为钝角三角形(其中c为最大边)；
若a2 + b2> c2,则此三角形为锐角三角形(其中c为最大边)
4. 注意：(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的
(3) 在直角三角形中，如果一条直
角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：
(1) 已知直角三角形的两边求第三边。

(2) 已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

(3) 用于证明线段平方关系的问题。

(4) 利用勾股定理，作出长为际的线段
二、平方根：(11——19的平方)
1、平方根定义：如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根。

(也称为二次方
根)，也就是说如果x2=a,那么x就叫做a的平方根。

2、平方根的性质：
①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
一个正数a的正的平方根，记作“炳”，又叫做算术平方根，它负的平方根，记作“一炳”, 这两个平方根合起来记作“土7'a”。

( a叫被开方数，“了”是二次根号，这里“厂, 亦可写成“专”)
②0只有一个平方根，就是0本身。

算术平方根是0。

③负数没有平方根。

3、开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方和平方运算互为逆运算。

4、(1)平方根是它本身的数是零。

(2) 算术平方根是它本身的数是0和1。

(3) 、a a a 0 ,、a2a a 0 , . a2 a a 0 .
(4) 一个数的两个平方根之和为0
三、立方根：(1—— 9的立方)
1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根。

(也称为二次
方根)，也就是说如果x3=a,那么x就叫做a的立方根。

记作“ Va ”。

2、立方根的性质：
①任何数都有立方根，并且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，
0的立方根是0.
②互为相反数的数的立方根也互为相反数，即矿项=Va
③(3a)3 3a3a
3、开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方运算为互逆运算，开立方的运算结
果是立方根。

4、立方根是它本身的数是1, 0, -1。

5、平方根和立方根的区别：
(1) 被开方数的取值范围不同：在Ja中，a 0,在寺a中，a 可以为任意数值。

(2) 正数的平方根有两个，而它的立方根只有一个；负数没有平方根，而它有一个立方根。

6、立方根和平方根：
不同点：
(1)任何数都有立方根，正数和0有平方根，负数没有平方根；即被开方数的取值范围不
同：土<a中的被开方数a是非负数；3&中的被开方数可以是任何数.
(2)正数有两个平方根，任何数都有惟一的立方根；
(3)立方根等于本身的数有0、1、一1,平方根等于本身的数只有0.
共同点：0的立方根和平方根都是0.
四、实数：
1、定义：有理数和无理数统称为实数
无理数：无限不循环小数称(包括所有开方开不尽的数，ID 。

有理数：有限小数或无限循环小数
注意：分数都是有理数，因为任何一个分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式
2、实数的分类：
正有理数
有理数零有限小数或无限循环小数
实数负有理数
一正无理数—
无理数无限不循环小数
负无理数
I 无理数 (无限不循环小数)
实数的性质：①实数的相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内的意义是一样的。

②实数同有理数一样，可用数轴上的点表示，且实数和数轴上的点对应。

③两个实数可以按有理数比较大小的法则比较大小。

④实数可以按有理数的运算法则和运算律进行运算。

3、近似数：由于实际中常常不需要用精确的数描述一个量，甚至在更多情况下不可能得到精确的
数，用以描述所研究的量，这样的数就叫近似数。

取近似值的方法一一四舍五入法
4、肩效数字：对一个近似数，从左边第一个不是0的数子起，到末位数子止，所有的数
都称为这个近似数的有效数字
5、科学记数法：
把一个数记为a 10n(其中1 a 10, n是整数)的形式，就叫做科学记数法。

6、实数和数轴：
每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上每一个点都表示一个实数。

实数与数轴上的点是对应的。

勾股定理：
(一)结合三角形：
1. 已知ABC的三边a、b、c满足(a b)2 (b c)2 0 ,贝U ABC为三角形
2. 在ABC 中，若a2=( b+c) (b-c)，贝u ABC 是 _______________ 三角形，且90
3. 在ABC 中，AB=13 , AC=15，高AD=12，贝U BC 的长为
1.已知x 12x y 25与z2 10z 25互为相反数，试判断以x、y、z为三边的三
角形的形状。

2.已知：在ABC 中，三条边长分别为a、b、c , a = n2 1, b=2 n , c = n2 1( n>1)
试说明：C=90 。

3.若 ABC 的三边a 、b 、c 满足条件a 2 b 2
2
c 338 10a 24b 26c ，试判断
ABC
的形状。

4.已知 Ja 6 2b 8 (c 10)2 0,则以 a 、b 、c 为边的三角形是
(二)、实际应用: 1.梯子滑动问题：
(1) 一架长2.5 m 的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底 梯子的顶端沿墙下滑 (2) 如图，一个长为 如果梯子的顶端下滑 于”，或“小于”) (3) 如图，梯子AB 0.7 m (如图) 0.4 m ，那么梯子底端将向左滑动 米 10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为
1米，那么，梯子底端的滑动距离 1米，(填“大于 8米, ”，“等
斜靠在墙面上，AC ± BC, AC=BC ，当梯子的顶端 A 沿AC 方向下滑 ) 不能确定 1 m,当他把绳子 米 x 米时，梯足B 沿CB 方向滑动y 米，则x 与y 的大小关系是( A. x y
B. x y
C. x y
D. (4) 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多 2.直角边与斜边和斜边上的高的关系: 直角三角形两直角边长为 . 2 _ 2 A. ab b B. a a, b,斜边上的高为 1
C.— a 2 . 2
b 2h h, 1 b 则下列式子总能成立的是 1 D A ± h . a 2 b 2 h 变： 如图, 在 Rt △ ABC 中,
Z ACB=90 ,CD ± AB 于 D ,设 AB=c , AC=b , BC=a, CD=h。

求证: 1 1
1
2
,2
,2
a b
h
a b c h
以a
b, h, c
h 为三边的三角形是直角三角
形
(2) (3)
, 2 ...........
、、 .一 .
c h ，汪意面积美系 ab ch 的应用
3.爬行距离最短问题: 1.
如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为 10cm ，得到
C 1处有一只昆虫甲，在盒子的内部有
一只昆虫乙(盒壁的 忽略不计)
(1)假设昆虫甲在顶点 C 1处静止不动，如图 a,在盒子的内部我们先取棱 BB 1的中点E, 再连结AE 、EC 1，昆虫乙如果沿途径 A E C 1爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到 昆虫甲，仔细体会其中的道理，并在图 b 中画一条路径，使昆虫乙从顶点 A 沿这条路爬行,
同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。

(2)如图b,假设昆虫甲从点 C 1以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿 C 1C 向下爬行，同时 昆虫乙从顶点A 以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕捉 到昆虫甲？
试一试：对于(2)，当昆虫甲从顶点 C 1沿棱C 1C 向顶点C 爬行的同时，昆虫乙可以沿不同 的路径爬行，利用勾股定理建立时间方程，通过比较得出昆虫乙捕捉到昆虫甲的最短时间
是这个台阶两相对的端点， A 点有一只昆虫想到 B 点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到
B 点的最短路程是 分米？
4.
如
图，一只蚂蚁沿边长为 a 的正方体表面从点 A 爬到点B ，则它走过的路程最短为（
C
试一试：(1) 只需证明 h 2
3
(W a
1、』 ...... .......... =)1 ,从左边推到到右边 b 2
(2)
(3)
h 2
图a 图b
） A. . 3a
B. 1
2 a C. 3a D. . 5a
1. 小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着 45度的坡路走
了 500米，看到了一棵红叶树，这 棵红叶树离地面的高度是 米。

2. 如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是 4把米,则这两株树之间的垂直距离是
米，水平距离是 __________ 米。

3.
如图，一根12米高的电线杆两侧各用 15米的铁丝固
定，两个固定点之间的距离
1. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 重合，折痕为DE,则CD 等于（AC=6 , BC=8，将△ ABC 折叠，使点 B 与点A
25 A.—— 4 22 B.—
3
7 C.—
4
D.
4.折叠问题:
（三）求边长:
（五）方向问题:
1.
有一次，小明坐着轮船由 A 点出发沿正东方向 AN 航行，在A 点望湖中小岛M,测得Z
MAN = 30° ,当他到B 点时，测得Z MBN = 45° , AB = 100米，你能算出 AM 的长吗？
2.
一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行 米.
⑴ 此时轮船离开出发点多少 km?
⑵若轮船每航行1km ，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升
1. (1)在 R t ABC 中，a 、b 、 ①已知：a =6, c =10,求b ；
C 分别是 A 、
②已知： C 的对边， C= 90 a
=40, b =9，求 c ；
B 、
2.如图所示，在四边形 ABCD43, CD 。

BAD= 90 , DBC= 90 , AD=3 , AB=4 , BC=12 ,求
8 km ,
（六）利用三角形面积相等：
1.如图，小正方形边长为1 ,连接小正方形的三个得到，可得△ ABC，则边AC上的高为（）
A. 3.2
B. 35
C. 35
D. 4 5
2 10 5 5
（七）旋转问题：
1.如图，点P是正△ ABC内的点，且PA=6, PB=8, PC=10,若将△ PAC绕点A旋转后，得到^
P'AB，则点P与点P'之间的距离为, Z APB=
2. 如图，ABC为等腰直角三角形，BAC= 90，将ABH绕点A逆时针旋转到AC H
处，若AH=3cm,试求出H、H两点之间的距离。

3. 如图所示，P为正方形ABC纳一点，将ABP绕B顺时针旋转90至V CBE的位置，若
BP=a，求：以PE为边长的正方形的面积
已知Z AOB=90。

，在Z AOB 的平分线 OM 上有一点C,将一个三角板的直角顶点与点 C
重合，它的两条直角边分别与 OA 、OB （或它们的反向延长线）相交于点
D 、
E 。

当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时，如图①，易证： OD OE V2OC ；当三角板 绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时，如图②、③这两种情况下，上述结论还是否成立？若成 立，请给与证明；若不成立，线段OE 、OC 、OD 之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想， 不需证明。

2
试一试：对于第 1 I 可，OD=CE, I 可题的实质是 2OE 2 OC 2, OE ——OC ,对于第二
2
问，通过作辅助线，将问题转化为第 1问可解决。

已知直角三角形 ABC 中,
绕点C 旋转，且直线 的内部旋转时，如图, 如图所示，已知在 BD 2 CD 2
ACB= 90 , CA=CB ，圆心角为45，半径长为CA 的扇形CEF
CE 、CF 分别与直线 AB 交于点M 、N,当扇形 CEF 绕点C 在 ACB 试说明
2AD 2。

ABC MN 2 AM 2
BN 2的理由。

中，AB=AC ,
BAC=90 , D 是 BC 上任一点，
求证:
C
4.
如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm, BC=8cm ，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与AE 重合，你能求出 CD 的长吗？
(八)折叠问题：
1.如图，矩形纸片 ABCD 勺长AD=9cm,宽AB=3cm,
叠后DE 的长是多少？ 将其折叠，使点 D 与点B 重合，那么折
2.如图，在长方形 ABCD 中，将 ABC 沿AC 对折至
(1)试说明：AF=FC ; (2)如果 AB=3 , BC=4，求 AF 的长
3. 如图，在长方形 ABCD 中，DC=5，在DC 边上存在一点 E, 使点D 恰好在BC 边上，设此点为 F,若^ ABF 的面积为30,
沿直线AE 把^ ABC 折叠,
求折叠的^ AED 的面积
5. 如图，Z B=90° , AB=BC=4 , AD=2 , CD=6
(1) △ ACD是什么三角形？为什么？
(2) 把^ ACD沿直线AC向下翻折，CD交AB于点E,若重叠部分面积为4,求D'E的长。

C'
2. 如图，一块砖宽AN=5cm,长ND=10cm, CD上的点F距地面的高FD=8cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，要爬行的最短路线是cm
3. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm、3 dm、2dm , A和B
4. 如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸, 测得BC = 50米，Z B = 60°,则江面的宽度为。