全国中考数学真题专项强化练习专题：图形的平移(含解析)

全国中考数学真题专项强化练习专题：
图形的平移
1．将图1中的矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到图2中的△A′BC′．
（1）在图2中，除△ADC与△C′BA′全等外，请写出其他2组全等三角形；①△AA′E≌△C′CF；②△A′DF≌△CBE；
（2）请选择（1）中的一组全等三角形加以证明．
解：（1）由图可得，①△AA′E≌△C′CF；②△A′DF≌△CBE；
故答案为：△AA′E≌△C′CF；△A′DF≌△CBE；
（2）选△AA′E≌△C′CF，证明如下：
由平移性质，得AA′＝C′C，
由矩形性质，得∠A＝∠C′，∠AA′E＝∠C′CF＝90°，
∴△AA′E≌△C′CF（ASA）．
2．已知A（α，0）、B（b，0），点C在y轴上，且由|a+4|+（b﹣2）2＝0．
＝6，求C点的坐标；
（1）若S
△ABC
（2）将C向右平移，使OC平分∠ACB，点P是x轴上B点右边的一动点，PQ⊥OC于Q点．当∠ABC﹣∠BAC＝60°时，求∠APQ的度数；
（3）在（2）的条件下，将线段AC平移，使经过P点得线段EF，作∠APE的角平分线交OC的延长线于点M．当P点在x轴上运动时，求∠M﹣∠ABC的值．
解：（1）设C（0，m）．
∵|a+4|+（b﹣2）2＝0，
又∵|a+4|≥0，（b﹣2）2≥0，
∴a+4＝0，b﹣2＝0，
∴a＝﹣4，b＝2，
∴A（﹣4，0），B（2，0），
∵S
＝6，
△ABC
∴•6•|m|＝6，
∴m＝±2
∴C（0，2）或（0，﹣2）．
（2）∵∠COB＝∠CAO+∠ACB，
又∵∠COB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB
∴2∠COB＝180°+∠BAC﹣∠ABC，∠ABC﹣∠BAC＝60°
∴∠COB＝60°，
∴∠APQ＝30°．
（3）在△OMP中，∠M+∠MOP+∠MPO＝180°，∠M+∠MPO＝120°∵EF∥AC，
∴∠BAC＝∠EPx，
∴∠MPO＝90°﹣∠BAC，∠BAC＝∠ABC﹣60°
∴∠MPO＝120°﹣∠ABC
∴∠M+120°﹣∠ABC＝120°，
∴∠M﹣∠ABC＝0
3．操作与探究：对数轴上的任意一点P．
①作出点N使得N和P表示的数互为相反数，再把N对应的点向右平移1个单位，得
到点P的对应点P′．我们称P′是P的N变换点；
②把P点向右平移1个单位，得到点M，作出点P′′使得P′′和M表示的数互为相
反数，我们称P′′是P的M变换点．
（1）如图，若点P表示的数是﹣4，则P的N变换点P′表示的数是5；
（2）若P的M变换点P′′表示的数是2，则点P表示的数是﹣3；
（3）若P′，P′′分别为P的N变换点和M变换点，且OP′＝2OP′′，求点P表示的数．
解：（1）如图，由题意点P′表示的数为5，
故答案为5．
（2）由题意点M表示的数是﹣2，点P表示的数为﹣3，
故答案为﹣3．
（3）设点P表示的数为x，则点P′表示的数为﹣x+1，点P″表示的数为﹣x﹣1，由题意得|﹣x+1|＝2|﹣x﹣1|，
解之得x＝﹣或x＝﹣3，
∴点P表示的数为﹣或﹣3．
4．（1）如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，D在PQ上，点E在两平行线之间，求证：∠BED＝∠PDE+∠MBE；
（2）如图2，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN＝100°．
①若∠ADQ＝130°，求∠BED的度数；
②将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，如图3所示．若
∠ADQ＝n°，则∠BED的度数是220°﹣n°度（用关于n的代数式表示）．解：（1）如图1中，作EH∥PQ．
∵EH∥PQ，PQ∥MN，
∴EH∥MN，
∴∠PDE＝∠DEH，∠MBE＝∠BEH，
∴∠DEB＝∠DEH+∠BEH＝∠PDE+∠MBE．
（2）①如图2中，
∵∠CBN＝100°，
∴∠MBC＝80°，
∵BE平分∠MBC，
∴∠MBE＝∠MBC＝40°，
∵∠ADQ＝130°，
∴∠PDA＝50°，
∵ED平分∠PDA，
∴∠PDE＝∠PDA＝25°，
∴∠BED＝∠PDE+∠MBE＝25°+40°＝65°．
②如图3中，
∵∠ADQ＝n°，ED平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADQ＝n°，
∴∠PDE＝180°﹣n°，
∵∠ABE＝40°，
∴∠BED＝∠PDE+∠ABE＝180°﹣n°+40°＝220°﹣n°．
故答案为220°﹣n°．
5．已知AB∥CD．
（1）如图1，EOF是直线AB、CD间的一条折线，猜想∠1、∠2、∠3的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若点C在点D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DF所在直线交于点E，若∠ADC＝α，∠ABC＝β，求∠BED的度数（用含有α、β的式子表示）；
（3）在（2）的前提下将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，若∠ADC＝α，∠ABC＝β，求∠BED的度数（用含有α、β的式子表示）．
解：（1）如图1，过O作OM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥0M，
∴∠1＝∠EOM，∠3＝∠FOM，
∵∠EOF＝∠EOM+∠FOM，
∴∠2＝∠1+∠3，
（2）如图2，过E作EN∥AB，则EN∥AB∥CD，
∴∠BEN＝∠ABE，∠DEN＝∠CDE
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠EBC＝∠ABC，∠ADE＝∠CDE＝∠ADC，∴∠BED＝∠ABE+∠CDE＝α+β，
答：∠BED＝α+β，
（3）如图3，过E作EP∥AB，则EP∥AB∥CD，
∴∠PED＝∠EDC，∠PEB+∠ABE＝180°，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠EBC＝∠ABC，∠ADE＝∠CDE＝∠ADC，∴∠BED＝∠PED+∠PEB＝α+（180°﹣β）
＝α﹣β+180°，
答：∠BED＝α﹣β+180°．
6．如图1，已知直线a∥b，点A、E在直线a上，点B、F在直线b上，∠ABC＝100°，BD平分∠ABC交直线a于点D，线段EF在线段AB的左侧．若将线段EF沿射线AD的方向平移，在平移的过程中BD所在的直线与EF所在的直线交于点P．试探索∠1的度数与∠EPB的度数有怎样的关系？
为了解决以上问题，我们不妨从EF的某些特殊位置研究，最后再进行一般化．
【特殊化】
（1）如图2，当∠1＝40°，且点P在直线a、b之间时，求∠EPB的度数；
（2）当∠1＝70°时，求∠EPB的度数；
【一般化】
（3）当∠1＝n°时，求∠EPB的度数．（直接用含n的代数式表示）
解：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝50°，
∵∠EPB是△PFB的外角，
∴∠EPB＝∠PFB+∠PBF＝∠1+（180°﹣50°）＝170°；
（3）①当交点P在直线a，b之间时：∠EPB＝180°﹣|n°﹣50°|；
②当交点P在直线a上方或直线b下方时：∠EPB＝|n°﹣50°|；
解：（1）如图2，作PG∥a，
∴∠EPG＝∠EFC＝40°
∵a∥b
∴PG∥b
∴∠GPB+∠CBD＝180°，
又∵BD是∠ABC平分线，且∠ABC＝100°，∴∠GPB＝180°﹣2（1）∠ABC＝130°
∴∠EPB＝∠EPG+∠GPB＝170°，
（2）①当交点P在直线b的下方时：
∠EPB＝∠1﹣50°＝20°；
②当交点P在直线a，b之间时：
∠EPB＝50°+（180°﹣∠1）＝160°；
③当交点P在直线a的上方时：
∠EPB＝∠1﹣50°＝20°；
（3）①当n＞50°时，
交点P在直线a上方，∠EPB＝n﹣50°，
交点P在直线a、b之间，∠EPB＝230°﹣n
交点P在直线b下方，∠EPB＝n﹣50°，
②当n＜50°时，
交点P在直线a上方，∠EPB＝50°﹣n
交点P在直线a、b之间，∠EPB＝130°+n
交点P在直线b下方，∠EPB＝50°﹣n．
7．如图，已知射线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．
（1）求∠EOB的度数．（直接写出结果，无需解答过程）∠EOB＝40°
（2）若在OC右侧左右平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，请找出变化规律；若不变，请求出这个比值．
（3）在OC右侧左右平行移动AB的过程中，是否存在使∠OEC＝∠OBA的情况？若存在，请直接写出∠OEC度数；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵∠FOB＝∠AOB，
∴OB平分∠AOF，
又∵OE平分∠COF，
∴∠EOB＝∠EOF+∠FOB＝∠COA＝×80°＝40°；
故答案为：40°；
（2）不变
因为∠FOB＝∠AOB
所以∠AOB＝∠FOA，
因为CB∥OA
所以∠OBC＝∠AOB，∠OFC＝∠FOA
所以∠OBC＝∠OFC，即∠OBC：∠OFC＝；
（3）存在，
∠OEC＝60°
8．图，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A'B'C′，图中标出了点B的对应点B′．利用网格点和直尺，完成下列各题：
（1）补全△A′B'C’；
（2）画出BC边长的高线AE；
（3）连接AA′，BB′，则这两条线段之间的关系是平行且相等；
（4）点Q为格点（点Q不与点B重合），且△ACQ的面积等于△ABC的面积，则图中满足要求的Q点共有7个．
解：（1）如图所示，△A′B'C'即为所求；
（2）如图所示，AE即为所求；
（3）由平移可得，AA′，BB′这两条线段之间的关系是平行且相等；
故答案为：平行且相等；
（4）如图所示，满足要求的Q点共有7个，
故答案为：7．
9．综合与实践
操作发现
如图，在平面直角坐标系中，已知线段AB两端点的坐标分别为A（2，6），B（5，2），点M的坐标为（﹣3，6），将线段AB沿AM方向平移，平移的距离为AM的长度．（1）画出AB平移后的线段MN，直接写出点B对应点N的坐标；
（2）连接MA，NB，AN，已知AN平分∠MAB，求证：∠MNA＝∠BNA；
拓展探索
（3）若点P为线段AB上一动点（不含端点），连接PM，PN，试猜想∠AMP，∠MPN 和∠BNP之间的关系，并说明理由．
解：（1）所作线段MN如图所示．
点N的坐标为（0，2）．
（2）证明：根据平移的性质，可知，MA∥NB，MN∥AB，
∴∠BNA＝∠MAN，∠MNA＝∠BAN，
∵AN平分∠MAB，
∴∠MAN＝∠BAN，
∴∠MNA＝∠BNA．
（3）结论：∠AMP+∠BNP＝∠MPN．理由如下：
如图，过点P作PH∥MA交MN于点H，
又∵MA∥NB，
∴MA∥HP∥NB，
∴∠AMP＝∠MPH，∠BNP＝∠NPH，
∴∠AMP+∠BNP＝∠MPH+∠NPH＝∠MPN．
10．如图，已知点A（6，0），B（8，5），将线段OA平移至CB，点D（x，0）在x轴正半轴上（不与点A重合），连接OC，AB，CD，BD．
（1）求对角线AC的长；
（2）△ODC与△ABD的面积分别记为S1，S2，设S＝S1﹣S2，求S关于x的函数解析式，并探究是否存在点D使S与△DBC的面积相等，如果存在，请求出x的值（或取值范围）；
如果不存在，请说明理由．
解：（1）由题意知，将线段OA平移至CB，
∴四边形OABC为平行四边形，
又∵A（6，0），B（8，5），
∴点C（2，5）．
过点C作CE⊥OA于E，在Rt△CEA中，
AC＝＝＝；
（2）∵点D的坐标为（x，0），
若点D在线段OA上，即当0＜x＜6时，
S1＝S
△ODC ＝，S2＝S
△AED
＝，
∴S＝S1﹣S2＝5x﹣15，
若点D在OA的延长线上，即当x＞6时，
S1＝S
△ODC ＝，S2＝S
△AED
＝，
∴S＝S1﹣S2＝15，
由上可得，S＝，
∵S
△DBC
＝＝15，
当0＜x＜6时，S
△DBC
＝S时，x＝6（与A重合，不合题意，舍去）；
当x＞6时，S
△DBC
＝S，点D在OA延长线上的任意一点处都可满足条件，∴点D所在位置为D（x，0）（x＞6）．
11．如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，三角形ABC三个顶点与方格纸中小正方形的顶点重合，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，具体要求如下：
（1）在图①中平移三角形ABC，点A移动到点P，画出平移后的三角形PMN；
（2）在图②中将三角形ABC三个顶点的横、纵坐标都减去2，画出得到的三角形A1B1C1；
（3）在图③中建立适当的平面直角坐标系，且A点的坐标为（0，2），C点的坐标为（1，5）．
解：（1）如图①所示；
（2）如图②所示：
（3）如图③所示：
12．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）直接写出点C，D的坐标，求出四边形ABDC的面积；
（2）在x轴上是否存在一点F，使得三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）C（0，2），D（4，2）
S
四边形ABDC
＝AB•OC＝4×2＝8；
（2）存在，当BF＝CD时，三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍．
∵C（0，2），D（4，2），
∴CD＝4，BF＝CD＝2．
∵B（3，0），
∴F（1，0）或（5，0）．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC，点A的坐标是（4，0），点B的坐标是（2，3），点C在x轴的负半轴上，且AC＝6．
（1）直接写出点C的坐标；
（2）在y轴上是否存在点P，使得S
△POB ＝S
△ABC
若存在，求出点P的坐标；若不存
在，请说明理由；
（3）把点C往上平移3个单位得到点H，作射线CH，连接BH，点M在射线CH上运动（不与点C、H重合）．试探究∠HBM，∠BMA，∠MAC之间的数量关系，并证明你的结论．
解：（1）∵A（4，0），
∴OA＝4，
∵AC＝6，
∴OC＝2，
∴C（﹣2，0）．
（2）设P（0，m），
由题意：•|m|•2＝××6×3，
解得m＝±6，
∴P（0，6）或（0，﹣6）．
（3）①当点M在点H的上方时，∠MAC＝∠AMB+∠HBM．
理由：设AM交BH于J．
∵BH∥AC，
∴∠CAM＝∠HJM，
∵∠HJM＝∠AMB+∠HBM，
∴∠MAC＝∠AMB+∠HBM．
②当点M在线段CH上（不与C，H重合）时，∠AMB＝∠CAM+∠HBM．
理由：作MK ∥HB ．
∵HB ∥AC ，
∴MK ∥AC ，
∴∠HBM ＝∠BMK ，∠CAM ＝∠KMA ，
∴∠AMB ＝∠BMK +∠AMK ＝∠CAM +∠HBM ．
14．已知点A 在平面直角坐标系中第一象限内，将线段AO 平移至线段BC ，其中点A 与点B 对应．
（1）如图1，若A （1，3），B （3，0），连接AB ，AC ，在坐标轴上存在一点D ，使得S △AOD ＝2S △ABC ，
求点D 的坐标；
（2）如图2，若∠AOB ＝60°，点P 为y 轴上一动点（点P 不与原点重合），请直接写出∠CPO 与∠BCP 之间的数量关系（不用证明）．
解：（1）由线段平移，A （1，3）平移到B （3，0），
即向右平移2个单位，再向下平移3个单位，
点O （0，0）平移后的坐标为（2，﹣3），
可得出C （2，﹣3），
所以S △ABC ＝，
∴S
＝9，而△AOD的高是1，
△AOD
∴△AOD的底为18．
∴D（6，0）或D（﹣6，0）或（0，﹣18）或（0，18）；
（2）延长BC交y轴于E点，利用OA∥BC及∠AOB＝60°，
∴∠AOY＝∠BEY＝30°，再用三角形的内角和为180°，
分三种情况可求：
①当P在y轴的正半轴上时：∠BCP＝∠CPO+30°．
②当P在y轴的负半轴上时：
ⅰ：若P在E点上方（含与E点重合）时，∠BCP+∠CPO＝210°．
ⅱ：若P在E点下方时，∠BCP＝∠CPO+150°．
综合可得：∠CPO与∠BCP的数量关系是：∠BCP＝∠CPO+30°或∠BCP+∠CPO＝210°或∠BCP＝∠CPO+150°．
15．先阅读然后解决问题：
【阅读】如图（1），在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E沿DE线将△DEA剪切下来，并平移△DEA，使其拼接在△CE′B处这样，原来ABCD就变成一个矩形EE′CD．【问题解决】如图（2），将△ABC通过剪切和拼接，得到一个矩形．
要求：
（1）剪切线用实线，拼接图用虚线；
（2）说明剪下的图形是怎样运动拼接的；
（3）加注必要的字母，拼接后的非重合字母在原字母的右上角标注“′”，如：E′
解：如图，矩形EGG′E′即为所求．。