20182019学年甘肃省白银市会宁县高下学期期末数学试题解析版

甘肃省白银市会宁县高一下学期期末数学试题
一、单项选择题 1．设会合 A x 1 x 2 ， B x x 1 ，则 A I B
（ ） A ． x 1 x 2
B ． x 1 x 1
C ． x x
2 D ． x x
1
【答案】 A
【分析】 依据交集的定义直接计算即可得解 .
【详解】
Q 会合 A x 1 x 2 ， B x x 1 ，
A I B
x 1 x 2 .
应选： A. 【点睛】
此题考察了会合的交集运算，属于基础题 .
2．以下各角中，与 126 °角终边同样的角是（
）
A
． 126 o
B
． 486 o
C
．
o
D
o
244
． 574
【答案】 B
【分析】 写出与 126°的角终边同样的角的会合，取 k=1 得答案．
【详解】
解：与 126°的角终边同样的角的会合为 { α| α=126°+k?360，°k ∈ Z} ．
取 k=1 ，可得 α=486°．
∴ 与 126°的角终边同样的角是 486°．
应选 B ． 【点睛】
此题考察终边同样角的计算，是基础题．
3．已知样本数据为
3， 1， 3， 2， 3， 2，则这个样本的中位数与众数分别为（
）
A ． 2， 3
B ． 3， 3
C ． 2.5， 3
D ． 2.5， 2
【答案】 C
【分析】 将样本数据从小到大摆列即可求得中位数， 再找出出现次数最多的数即为众数 .
【详解】
将样本数据从小到大摆列：1， 2， 2，3， 3， 3，中位数为23
2.5 ，众数为
3. 2
应选： C.
【点睛】
此题考察了中位数和众数的观点，属于基础题.
4．以下函数，是偶函数的为（）
A ．y cos x B．y sin x C．y sin x D ．y tan 2x
22 4
【答案】 B
【分析】逐项判断各项的定义域能否对于原点对称，再判断能否知足 f x f x 即可得解 .
【详解】
易知各选项的定义域均对于原点对称.
y cos x sin x sin x ，故A错误；
2
y sin x cos x cos x ，故B正确；
2
y sin x
4 cos x cos x sin x ，故C错误；
2 4 4 4
y tan2x tan 2x ，故D错误.
应选： B.
【点睛】
此题考察了引诱公式的应用和函数奇偶性的判断，属于基础题.
sin 5．已知tan3，则
2cos
等于（）sin
1 2
C．3 D ． 3 A ．B．
3 3
【答案】 C
【分析】等式分子分母同时除以cos即可得解.
【详解】
由 tan 3 可得sin tan 3
3.
【点睛】
此题考察了三角函数商数关系的应用，属于基础题
.
6．在会合 x x 6 且 x N 中任取一个元素，所取元素
x 恰巧知足方程
x
11的
概率是（
）
3 B ．
4 1 D ．
2 A ．
7
C ．
5
7
2
【答案】 B
【分析】 写出会合中的元素，分别判断能否知足 1 x 1即可得解 .
【详解】
会合 x x 6 且 x N 的元素 0 ， 1, 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 .基本领件总数为
7
，知足方程
x
的基本领件数为
4 11
4 .故所求概率 P .
7
应选： B.
【点睛】
此题考察了古典概型概率的求解，属于基础题 .
r
r r
r r
r r
7．已知向量 a
a b ， b
2 a ，则 a ， b 的夹角为（
）
2
3
C ．
5
D ．
A ．
B ．
6
3
4
【答案】 A
r r r
r r
r 2 r r
【分析】 由题意得 a a b
0 ，即可得 a b a ，再联合 b 2 a 即可得解 .
【详解】
r r r
r 2 r r r 2 r r r r r 由题意知 a
a b
a
a b a
a b
，则
a b
a
r r r 2
r r a b a 1 r
r
2 .
cos a,b
r r r 2 2 ，则 a ， b 的夹角为
a b
2 a
3
2
.
应选： A.
【点睛】
此题考察了向量数目积的应用，属于基础题
.
8．一个几何体的三视图如图（图中尺寸单位：
m ），则该几何体的体积为（
）
A ．3 m3 B．4 m3 C．m3 D ．3
m3 4
【答案】 C
【分析】依据三视图判断几何体的形状，计算即可得解.
【详解】
该几何体是一个半径为 1 的球体削去四分之一，体积为 3 4 r 3 .
4 3
应选： C.
【点睛】
此题考察了三视图的辨别和球的体积计算，属于基础题.
2x , x 0
x f 2x 的 x 的取值范围是（
9．设函数f x ，则知足 f ）
1,x 0
A ．,0 B．0, C．0,1 D ． 1,
【答案】 B
【分析】分别解 x 0 和 x 0 时条件对应的不等式即可.
【详解】
①当 x 0 时， 2x 0 ，此时 f x f 2x 1 ，不合题意；
②当 x 0 时， 2x 0 ， f x f 2x 可化为
2x 22x即 x 2x ，解得 x 0 . 综上， f x f 2x 的 x 的取值范围是0, .
应选： B.
【点睛】
此题考察了分段函数不等式的解法，考察了分类议论思想，属于基础题.
10．已知函数 f x Asin x A 0,0, 的部分图象如下图，则
2
函数 y f x 的表达式是（）
A ． f
x 2sin x
B ． f
x
2sin 2x
12
3
C ． f
x 2sin 2
D ． f x
2sin
2x
2x
3
3
【答案】 D
【分析】 依据函数的最值求得
A ，依据函数的周祈求得
，依据函数图像上一点的坐
标求得 ，由此求得函数的分析式 .
【详解】
由题图可知 A 2 ，且
T
11
5
2 即 T
，因此
22 2，
2
2 12
T
将点
5
, 2 的坐标代入函数 f x
2sin 2x
，
12
得
5
2k
k Z ，即2k k Z ，
6
2
3
由于
2 ，因此
3 ，
因此函数 f
x 的表达式为
f x
2sin 2x
．应选 D.
3
【点睛】
本小题主要考察依据三角函数图像求三角函数的分析式，属于基础题 .
11．在面积为 S 的平行四边形
ABCD 内任取一点 P ，则三角形 PBD 的面积大于
S
的概
3
率为（ ）
A ．
1
B ．
2
C ．
1
D ．
4
9
9
3
9
【答案】 A
【分析】 转变条件求出知足要求的 P 点的范围，求出头积比即可得解
.
如图，设 P 到 BD 距离为 h，A 到 BD 距离为 H ，则S V PBD 1
BD h S
1
BD H ，2 3 3
h 2
H ，知足条件的点 P 在VAGH和△CEF 中，3
1 S
所求概率P 2S
VAGH9
1
.
S S9
应选： A.
【点睛】
此题考察了几何概型的概率计算，属于基础题.
12．对于x的方程sin x2m 在 [0, ] 内有相异两实根，则实数m的取值范围为
6
（）
A ． 3 , 1 B． 3 , 1 C．1
,
1
D ．
1
,
1
4 2 4 2 4 2 4 2 【答案】 C
【分析】将问题转变为y 2m 与 y sin
x有两个不一样的交点；依据0x可6
7
得 x,，比较sin x的图象可结构出不等式求得结果.
66 6
【详解】
方程有两个相异实根等价于y 2m 与 y sin x 有两个不一样的交点
6
当 0 x 时， x ,
7
6 6 6
由 sin x 图象可知：1
2m 1，解得：
m
1 , 1
2 4 2
此题考察正弦型函数的图象应用，主假如依据方程根的个数确立参数范围，重点是可以将问题转变为交点个数问题，利用数形联合来进行求解.
二、填空题
r
x,2 r
1,x 1
r r
13．已知a ， b ，若a / /b，则实数 x ________. 【答案】 2 或1
【分析】依据向量平行的充要条件x1 y2 x2 y1 0 代入即可得解. 【详解】
由r r
有：x x 1 2 0 ，解得x 2 或
a / /b
.
1
故答案为： 2 或 1 .
【点睛】
此题考察了向量平行的应用，属于基础题.
14．依据如下图的程序框图，若输入的x 值挨次为1，0，1，运转后，输出的y 值挨次为 y1， y2， y3，则 y1 y2 y3 ________.
【答案】 5
【分析】依据程序框图挨次计算出y1、 y2、 y3后即可得解.
【详解】
由程序框图可知x1 1 ， y1 3 1 4 ； 1 x20 0 ，y2 1 0 1 ；
x3 1 0 ，y3 log 2 1 0 .
因此 y1 y2 y3 4 1 0 5 .
此题考察了程序框图的应用，属于基础题
.
15．圆 x 2
y 2 10x 10 y 0 与圆 x 2 y 2 6x 2y 40 0 的公共弦长为 ________.
【答案】 4 10
【分析】 先求出公共弦方程为
x 3y 10 0 ，再求出弦心距后即可求解
.
【详解】
两圆方程相减可得公共弦直线方程
l 为 x 3y
10 0 ，
圆 x 2
y 2 10 x 10 y 0 的圆心为 5, 5 ，半径为 5 2
，
5 15 10
2
4 10
.
圆心到 l 的距离为
10
10
， 公共弦长为 2 5 2( 10) 2
故答案为： 4 10 .
【点睛】
此题考察了圆的一般方程以及直线与圆地点关系的应用，属于基础题
.
16．把函数 y
sin x
4 0 个单位长度，所得图象正好关
的图象向左平移
3
于原点对称，则 的最小值为 ________.
【答案】
2
3
【分析】依据条件先求出平移后的函数表达式为
y sin x
4 4 ，令
k
3
3
即可得解 .
【详解】
由题意可得平移后的函数表达式为
y sin x
4 ，
3
Q 图象正好对于原点对称，
4 k Z 即k
4
k
k Z ，
3
的最小值为
2
3
又
0 ，
.
3
故答案为：
2
.
3
此题考察了函数图像的平移以及三角函数y A sin ωxφ 的图像与性质，属于基础题.
三、解答题
17．已知函数 f x2sin 2x 1 .求：
4
（1）函数f x的最大值、最小值及最小正周期；
（2）函数f x的单一递加区间 .
1 ）最大值 1，最小值为 3 ，最小正周期
2 , k 3
【答案】（；（） k k Z
8 8
【分析】（ 1）依据2sin 2x 2,2 即可求出最值，利用
2
即可求出最小T
4
正周期；
（ 2）依据复合函数的单一性，令 2 k 2 x 2 k Z 即可得解 .
2 k
4 2
【详解】
（ 1）Q 2sin 2 x 2, 2 ，
4
函数 f x 的最大值为 2 1 1 ，最小值为 2 1 3 ；
函数 f x 的最小正周期为T 2 2
.
2
（2）令故函数
k
2
x
2
k k Z
，得：
k x k k Z
，2
4 2 8
3
2 8
f x 的增区间为k , k 3 k Z .
8
8
【点睛】
此题考察了三角函数y Asin ωx φ 的性质以及单一区间的求解，属于基础题.
18．如图，在三棱锥A BCD
中，E
F BC CD
上的三等份点，
DF 2FC
，，分别为棱，
BE 2EC .
（ 1）求证：BD / / 平面AEF ；
（ 2）若BD CD ，AE 平面 BCD ，求证：平面AEF 平面 ACD . 【答案】 (1)目睹明； (2)目睹明
【分析】（1）由DF 2FC ， BE 2EC ，得CF
CE 1 ，从而得 AD / /EF 即可FD BE 2
证明 BD / / 平面AEF.（2）AE 平面 BCD 得 BD CD ，由 BD CD ，BD / / EF ，得 CD EF ，从而证明 CD 平面 AEF ，则平面 AEF 平面 ACD
【详解】
证明：（ 1）由于DF 2FC ， BE 2EC ，因此CF
CE 1 ，FD BE 2
因此 AD / / EF ，
由于 EF 平面 AEF ，BD 平面 AEF ，
因此 BD / / 平面AEF.
（ 2）由于AE平面BCD，CD 平面 BCD ，
因此由于AE CD .
BD CD ， BD / / EF ，因此 CD EF ，
又 AE EF E ，因此CD平面AEF.
又 CD平面ACD，因此平面AEF平面ACD.
【点睛】
此题考察线面平行的判断，面面垂直的判断，考察空间想象及推理能力，熟记判断定理
是重点，是基础题
19．某小型公司甲产品生产的投入成本x（单位：万元）与产品销售收入y（单位：万元）存在较好的线性关系，下表记录了近来 5 次该产品的有关数据.
x（万元） 3 5 7 9 11
y（万元）8 10 13 17 22
（ 1）求 y 对于 x 的线性回归方程；
（ 2）依据（ 1）中的回归方程，判断该公司甲产品投入成本
12 万元的毛利率更大仍是
投入成本
15 万元的毛利率更大（毛利率
收入 成本
100% ）？
收入
n
n
?
i 1 x i
x y i
y
i 1 x i y i
nx y
? .
有关公式：
=
，
b
n
n
?
y bx
x i 2
x i 2
2
a
x
nx
i 1
i
1
【答案】（ 1） y 1.75x 1.75 ；（ 2） 12 万元的毛利率更大 ?
【分析】（ 1）依据题意代入数值分别算出
b a ?与 ?即可得解；
（ 2）分别把 x 12 与 x 15 代入线性回归方程算出
?
y 再算出毛利率即可得解 .
【详解】
（ 1）由题意 x
7 ， y
14 .
5
i 1
x i x y i y 3 7 8 14 5 7 10 14
7 7 13 14
9 7 17 14
11 7 22 14
70 ，
5
2
2
2
2
2
2
x i x
40 ，
i 1
3 7
5 7
7 7
9 7
11 7
5
?
i 1 x i x y i y
1.75 ，
b
5
2
x i
x
i 1
a? 14 7 1.75 1.75
故 y 对于 x 的线性回归方程为 y 1.75x 1.75 . ?
（ 2）当 x
12 时， ?
22.75 12
y 22.75，对应的毛利率为
100% 47.3% ，
22.75
当 x 15 时， ?
28 ，对应的毛利率为 28 15 100%
46.4% ，
y 28
故投入成本 12 万元的毛利率更大 .
【点睛】
此题考察了线性回归方程的求解和应用，考察了计算能力，属于基础题 .
r
3,cos
r
sin x, 1 .函数 f x
r r
20 ．已知向量 a
x ， b
a b 的图象对于直线
x
对称，且
1,3 .
6
（ 1）求函数 f x 的表达式：
（ ）求函数 f x 在区间
, 上的值域
. 2
12 6
【答案】（ 1） f x
2sin 2x
；（ 2）
3,1
6
【分析】（ 1）转变条件得 f x
2sin
x
6 ，由对称轴可得
k
k Z ，再联合
1,3 6 6
2
（ 2）依据自变量的范围可得 2x 3
6
6
【详解】
即可得解；
，利用整体法即可得解 .
（ 1）由题意 f x
r r 3 sin x cos
x
2sin x
a b
，
6
Q 函数 f x 的图象对于直线 x
对称，
sin
1 .
6
6
6
6
6 k
2 k Z 即
6k
4 k Z .
1,3 ， 1
6k 4 3 ，得
7 k
5 Z 得 k
1 ，故
2 .
又
6
，由 k
6
则函数 f
x 的表达式为 f x
2sin 2x
6
（ ）Q
x
，
2x
.
2
12 6
3 6
6
3 sin 2x 6 1 ， 3 f
x 1 ，
2
2
则函数 f
x 在区间
12 , 上的值域为
3,1 .
6
【点睛】
此题考察了向量数目积的坐标运算、函数
查了整体意识，属于基础题.
y A sin ωxφ 表达式和值域确实定，考
21．有 n 名学生，在一次数学测试后，老师将他们的分数（得分取正整数，满分为100 分），依据50,60 ， 60,70 ， 70,80 ， 80,90 ， 90,100 的分组作出频次散布直方图（如图1），并作出样安分数的茎叶图（如图2）（图中仅列出了得分在60,70 ，90,100 的数据）.
（ 1）求样本容量n 和频次散布直方图中x、 y 的值；
（ 2）分数在80,100 的学生中，男生有 2 人，现从该组抽取三人“会谈”，求起码有两
名女生的概率 .
【答案】（ 1）n 25 ， x 0.024 ， y 0.012 ；（2）
7
10
【分析】（ 1）利用90,100 之间的人数和频次即可求出n ，从而可求出x 、y；
（ 2）列出全部基本领件，再找到切合要求的基本领件即可得解.
【详解】
（ 1）由题意可知，样本容量n
2 6 1
，
10
25 ，x 0.024 0.008 25 10
y 0.100 0.008 0.016 0.024 0.040 0.012.
（2）由题意知，分数在80,100 的学生共有5 人，此中男生 2 人，女生3 人，分别设编号为 b1， b2和 a1， a2，a3，则从该组抽取三人“会谈”包括的基本领件：a1, a2 , a3 ，a1, a2 , b1 ， a1, a3 ,b1 ， a2 , a3 , b1 ， a1 , a2, b2， a1 , a3, b2 ， a2 , a3 , b2 ， b1, b2 , a1 ，b1,b2 , a2 ， b1 ,b2 , a3 ，合计 10 个 .记事件 A“起码有两名女生”，则事件 A 包括的基本领件有：a1, a2 , a3 ， a1 , a2 , b1 ， a1, a3 ,b1 ， a2 ,a3 , b1 ， a1 , a2 , b2 ， a1, a3 , b2 ，
a 2 , a 3 ,
b 2 ，合计 7 个 .因此起码有两名女生的概率为P A
7
.
10
【点睛】
此题考察了频次散布直方图和古典概型概率的求法，属于基础题 .
22．已知函数 f x
1 2x 1 2x .
（ 1）证明函数 f x 在定义域上单一递加；
（ 2）求函数 f x 的值域；
（ 3）令 g
x 2m 1 4x
f x m R ，议论函数
g x 零点的个数 .
【答案】（ 1）证明看法析； （ 2） 0, 2 ；（3）当 m 0 时， g x 没有零点；当 m 0
时， g x
有且仅有一个零点
【分析】（ 1）求出函数定义域后直接用定义法即可证明；
（ 2）由题意得
f x
0 ，对 f x 两边同时平方得 f x
2
2 2 1 4x ，求出
1 4x
的取值范围即可得解；
（ 3）转变条件得 g x
m
f x 2
x 2m ，令 f x
t 0 t
2
f
，利用
二次函数的性质分类议论即可得解 .
【详解】
（ 1）证明：令 1 2x 0
0 ，故函数的定义域为 ,0
1 2x ，解得 x
令 x 1 x 2
0， f x 2
f x 1
12
x
2
12
x
2
12
x
1
12
x
1
12x
2
12
x
1
12x
1
12
x
2
由 x 2 x 1
，可得 2x
2
2
x
1
，因此 1
2
x
2
1
2
x
1
， 1
2
x
1
1
2
x
2
，
故 f
x 2 f x 1
0即 f x 2
f x 1 ，因此函数 f x 在定义域上单一递加 .
2 1 2 x
1
，
1 2 x
1，故 f x 0 ， （ ）由
2
2 2 1 2x 1 2x
2 2 1 4x ，
f x
当 x 0 时， 0
4
x
1，有 0
1 4x 1，可得： 0
4x 1，故 0
2
1
f x
2 ，
由 f
x 0 ，可得 0 f x
2 ，故函数 f x 的值域为
0, 2 ，
（ 3）由（ 2）知2 1 4x 2 f x 2 ，
则 g x m 2 f x 2
f x
2
f x 2m ，
m f x
令 f x t 0 t 2 ，则 g x mt 2 t 2m ，
令 h t mt2 t 2m 0 t 2 ，
①当 m 0 时， h t t 0, 2 ，此时函数h t没有零点，故函数g x也没有零点；
②当 m 0 时，二次函数 h t 的对称轴为 t
1 1
，则函数 h t 在区2 m
2m
间 0, 2 单一递加，而 h 0 2m 0 ， h 2 2 0 ，故函数h t 有一个零点，又由函数 f x 单一递加，可得函数g x 也只有一个零点；
③当 m 0 时，m 0 ，二次函数 h t 张口向下，对称轴
1
0 ，t
2m
又 h 0 2m 0 ， h 2 2 0 ，此时函数h t 没有零点，故函数g x 也没有零点 .
综上，当 m 0 时，函数g x 没有零点；当m 0 时，函数 g x 有且仅有一个零点. 【点睛】
此题考察了函数单一性的证明、值域的求解和零点问题，考察了转变化归思想和分类议论
思想，属于中档题 .。