四川省成都四、七、九中高2007级联考(数学文)

成都四、七、九中高07级联考试卷
数 学（文科）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．全卷满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题，共60分）
注意事项：
1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．
一、选择题（满分60分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的字母涂在机读卡上） 1．函数()lg(21)
=
-f x x 的定义域为
A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
B ．1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．(,2)-∞
2．已知α为第二象限的角，则2
α
所在的象限是 A ．I ，II B ．I ，III
C ．II ，IV
D ．II ，III
3．已知22
610
n a n n =-+，则{a n }的最大项是
A ．a 1
B ．a 2
C ．a 3
D ．a 4
4．若p , q ∈R ，则1p
q
<成立的一个充分不必要条件是 A ．q ＞p ＞0
B ．p ＞q ＞0
C ．p ＜q ＜0
D ．p =q≠0
5．把函数y =2x −2+3的图象按向量a 平移，得到函数y =2x +1−1的图象，则向量a = A ．(−3, −4)
B ．(3, 4)
C ．(−3, 4)
D ．(3, −4)
6．在ΔABC 中，a =5，b =8，C =60°，则BC CA ⋅=
A ．20
B ．−20
C ．
D ．-7．各项均不为零的等差数列{a n }中，若2
110(2)n n
n a a a n +--+=≥则20062006S -= A ．0 B ．−2006 C ．2006 D ．4012
8．已知函数sin(),0,||,2y A x x R πωϕωϕ⎛⎫
=+><∈ ⎪⎝⎭
的部分图象如图，则函数关系式为
A ．4sin 8
4y x π
π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
B ．4sin 8
4y x π
π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
C ．4sin 8
4y x π
π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
D ．4sin 84y x π
π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
9．集合P ={1, 4, 9, 16…}，若a ∈P , b ∈P 则a ⊕b ∈P ，则运算⊕可能是
A ．加法
B ．减法
C ．除法
D ．乘法
10．在ΔABC
中，1tan ,cos 2A B =，若ΔABC
A ．2
B
C ．32
D ．1
11．{a n }为等差数列，若
11
10
1a a <-，且它的前n 项和S n 有最小值，那么当S n 取得最小正值时，n = A ．11
B ．17
C ．19
D ．21
12．设对任意实数x ∈[−1, 1]，不等式x 2+ax −3a ＜0总成立，则实数a 的取值范围是 A ．a ＞0
B ．a ＞0或a ＜−12
C ．12
a >
D ．14
a >
5 6 10 x
y
4
2
−2
−2 −4
第II 卷（非选择题
共90分）
注意事项：1. 用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。

2. 答题前将密封线内的项目填写清楚。

二、填空题（满分16分，每小题4分）
13．{a n }为等比数列，a 1=1，a 5=9，则a 3= 。

14．已知22()12,[()]2x g x x f g x x =-=
-，则12f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭。

15．函数y =x 2−3(x ≤−1)的反函数为
16．设函数f (x )=lg(x 2+ax −a −1)，给出下列命题①f (x )有最小值；②当a =0时，f (x )的值域为R ；
③当a ＞0时，f (x )在[2, +∞)上有反函数；④若f (x )在[2, +∞)上单增，则a ≥−4。

其中正确命题的序号为 。

三、解答题（满分74分）
17．（12分）一个口袋内装有大小相同且已编有不同号码的6个黑球和4个红球，某人一次
从中摸出2个球
（I ）如果摸到的球中含有红球就中奖，那么此人中奖的概率是多少？
（II ）如果摸到的2个球都是红球，那么就中大奖，在有放回的3次摸球中，此人恰好两次中大奖的概率是多少？
18．（12分）函数22()sin 2sin cos 3cos ()f x x x x x x R =-++∈，
（I ）求f (x )的最小正周期
（II ）若,44x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，求f (x )的最小值
（III ）设有不相等的实数x 1, x 2∈(0, π)且f (x 1)=f (x 2)=1，求f (x 1+x 2)的值
19．（12分）已知两个不共线的向量,a b 的夹角为θ，且||3,||1,0a b x ==> （I ）若24a b a b +-与垂直，求cos θ的值 （II ）若6
πθ=，求||xa b -的最小值及对应的x 的值，并指出向量a xa b -与的位置关系
20．（12分）已知数列{log 2(a n −1)} n ∈N *为等差数列，且a 1=3, a 3=9
（I ）求a n （II ）求证2132
111
1
1n n
a a a a a a ++++
<---
21．（12分）某公司生产的A 型商品通过租赁柜台进入某商场销售，第一年，商场为吸引厂
家，决定免收该年管理费，因此，该年A 型商品定价为每件70元，年销售量为11.8万件，第二年商场开始对该商品征收比率为p %的管理费，（即销售100元要征收p 元），于是该商品的定价上升为每件
70
1%
p -元，预计年销售量将减少p 万件 （I ）将第二年商场对该商品征收的管理费y （万元）表示成p 的函数，并指出这个函数的定义域。

（II ）要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于14万元，则商场对该商品征收管理费的比率p %的范围是多少？
22．（14分）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，当x＜0时，f(x)＜0 （I）求证f(x)为R上的增函数
（II）当a＞2时，解关于x的不等式f(ax2)−2f(x)＞f(a2x)−2f(a)
数学（文科）参考答案
一、选择题 1．选B 解：201
2210
2->⎧⇒<<⎨
->⎩x x x 2．选B 解：∵222
k k k Z π
παππ+<<+∈ ∴4
2
2
k k k Z π
α
π
ππ+
<
<+
∈
令k =0得
2α在I 象限，k =1得2
α
在III 象限 3．选C 解：22
2(3)1
n a n =
≤-+，当n =3时等号成立
4．选A 解：当q ＞p ＞0时，01p
q
<
< ∴1p q < 若1p q <，则q ＞p ＞0或0＞p ＞q 5．选A 解：设(,)a h k =，由题意有2131x h x k --=+⎧⎨
+=-⎩ ∴3
4
h k =-⎧⎨=-⎩
6．选B 解：由题意可知,120||||cos ,20BC CA BC CA BC CA BC CA =︒∴⋅=⋅=-
7．选C 解：设公差为d ，则a n +1=a n +d , a n −1=a n −d ，∴2
200620220062006n n n a a a S -=∴=∴-=
8．选A 解：由图象可知函数过(−2, 0), (6, 0), T =16, 8
π
ω=
，将函数4sin
8
y x π
=向右平移6
个单位得到314sin (6)4sin 4sin 8848
4y x x x πππ
ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭
或用排除法，令x =−2, y =0，排除B 、C ，令x =8，则y ＞0，排除D 9．选D 解：由a ∈P , b ∈P 可设a =x 2, b =y 2， ∴ab =
x 2y 2=(xy )2∈P
10．选
D 解：由cos B 得13sin tan ,tan()1,,344
B B A B A B
C ππ
==+=∴+
==， ∴∠C 的对边
AB 为最长边，∠B 的对边AC 为最短边，由正弦定理得：
1sin sin AB
AB AC AC AB C B ====即 11．选C 解：∵S n 有最小值，∴d ＜0则a 10＞a 11，又
11
10
1a a <-，∴a 11＜0＜a 10 ∴a 10+a 11＜0， S 20=10(a 1+a 20)=10(a 10+a 11)＜0, S 19=19a 10＞0又a 1＞a 2＞…＞a 10＞0＞a 11＞a 12＞… ∴S 10＞S 9＞…＞S 2＞S 1＞0, S 10＞S 11＞…＞S 19＞0＞S 20＞S 21＞… 又∵S 19−S 1=a 2+a 3+…+a 19=9(a 10+a 11)＜0 ∴S 19为最小正值
12．选C 解：由不等式x 2
+ax −3a ＜0, x ∈[−1, 1]时恒成立，可得不等式2
3x a x
>-，x ∈[−1, 1]
时恒成立，令29
()3633x f x x x x
==-+---，由x ∈[−1, 1]得3−x ∈[2, 4]，当3−x =3即x =0
时，函数f (x )有最小值0，又1111
(1),(1),()0,
,4222f f f x a ⎡
⎤-==∴∈∴>
⎢⎥⎣⎦
二、填空题
13．解：2
331993a a =⨯=⇒=±，又a 1, a 3, a 5应同号，所以a 3=3
14．解：令1122x -=得14x =, ∴11
218421
3123121616
f ⨯
⎛⎫=
== ⎪⎝⎭- 15
．解：∵23x y x =+∴=
∴[2,)y x =∈-+∞
16．解：①a =0，f (x )∈R 无最小值 ②正确 ③若使f (x )在[2, +∞)上有反函数，设
u =g (x )=x 2+ax −a −1＞0，对称轴2
a
x =-
，当x ∈[2, +∞)时要使u ＞0，即g (2)＞2 则22+2a −a −1＞0即a ＞−3又242
a a -≤⇒≥- ∵a ＞0 ∴符合题意要求
又∵u 在,2a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
上递增，lg u 也为增函数 ∴f (x )当a ＞0时，在[2, +∞)上有反函数 ④
由f (x )在[2, +∞)上单增得2
2(2)0
a
g ⎧-≤⎪⎨⎪>⎩，∴a ＞−3，∴a ≥−4不能保证f (x )在[2, +∞)上递增，
故填②③
三、解答题 17．解：（1）记“从袋中摸出的2个球中含有红球”为事件A
则2
6210
152
()11453C P A C =-=-=
……4分
（II ）记“从袋中摸出的2个球都是红球”为事件B
则2
421062
()4515
C P B C ===
……8分
3次摸球恰好有两次中大奖相当于作了3次独立重复实验
则2
2
33
2241352(2)131515225151125P C ⎛⎫⎛
⎫=-=⋅⋅=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ……12分 18
．解：1cos 23(1cos 2)()sin 22cos 2sin 222224x x f x x x x x π-+⎛
⎫=-+=+-++ ⎪⎝
⎭…3分
（I ）T =π
（II ）当,44x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，32,cos 214444x x ππππ⎡⎤⎛⎫-≤+≤+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ ∴当4
x π
=
时，min ()1f x =
……9分
（III ）x ∈(0, π)时，92,444x π
ππ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭ 由f (x )=1
得cos 24x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ∴244
x π
π
π+
=±
∴12,42
x x π
π
=
=
∴123
4
x x π+=
∴1233
()2342
4f x x f πππ⎛⎫⎛⎫+==++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
……12分
19．解：1）由题意得：()()
240a b a b +⋅-=即22280a a b b -⋅-=
∴32−2·3·1·cos θ−8·12=0 ∴1
cos 6
θ=
……5分
2
）2
2
2
2
296
xa b x a xa b b x x -=-⋅+=-
∴当x =
时，xa b -有最小值为12
……10分
此时23()9310a xa b xa a b ⋅-=-⋅=
⋅-⋅= ∴a 与xa b -垂直
……12分
20．解：（I ）设等差数列{log 2(a n −1)}的公差为d
第一项为 log 2(a 1−1)=1 第三项为 log 2(a 3−1)=3 ∴公差d =1
……3分 ∴log 2(a n −1)=1+(n −1)·1=n ∴a n −1=2n ∴a n =2n +1
……6分 （II ）∵11111
222
n n n n n a a ++==--
……8分 ∴
122132
111111
11
1122
22
n n n n a a a a a a ++++
=++
+
=-<--- ……12分 21．解：（I ）由题意：第二年该商品年销售量为(11.8−p )万件，年销售收入为
70
(11.8)1%
p p --万元，则商场该年对该商品征收的总管理费为70
(11.8)%1%
p p p --万元，故所求函数为：
11.807
59
(118
10),001005p y p p p p p
->⎧=
-⇒<<⎨>-⎩ ……6分
（II ）由y ≥14得7(11810)14100p p p
-≥-，即p 2
−12p +20≤0即(p −2)(p −10)≤0
∴2≤p ≤10
故当比率为[2%, 10%]内时商场收取的管理费将不少于14万元 ……12分 22．（I ）证明：任取x 1, x 2∈R 且x 1＜x 2，则x 1−x 2＜0，由已知得f (x 1−x 2)＜0
……3分 又f (x 1)=f [(x 1−x 2)+x 2]=f (x 1−x 2)+f (x 2) ∴f (x 1−x 2)=f (x 1)−f (x 2)＜0 ∴f (x 1)＜f (x 2) ∴f (x )为R 上的增函数
……6分
（II ）解：原不等式化为f (ax )2+2f (a )＞f (a 2x )+2f (x )
即 f (ax 2)+f (2a )＞f (a 2x )+f (2x ) ∴f (ax 2+2a )＞f (a 2x +2x ) ∵f (x )为R 上的增函数 ∴ax 2+2a ＞a 2x +2x ……9分 即 ax 2−(a 2+2)x +2a ＞0
2()0x a x a ⎛
⎫--> ⎪⎝⎭ 又a ＞2 ∴2x x a x a ⎧⎫><⎨⎬⎩
⎭或
……12分。