平面问题中一点的应力状态

⑶ 它是在边界上物体保持连续性的条 件，或位移保持连续性的条件。
应力边界条件－－设在 s 上给定了面力分 量
fx (s), f y (s).
通过三角形微分体的平衡条件，导出坐标面应力 与斜面应力的关系式，
p l σ m , p m σ l , x x y x y y x y
x y 2 2 xy
2
σ1+σ2=σx+σy
③任一点主应力值是过该点各截面上正应力中的极值。 2 ④最大剪应力所在平面与主 x y 1 2 平面相交45°，其值为 2
m ax
2
⑤主平面上剪应力等于零，但τmax
yx
A
y
x
x l l m p l m l l xy m xy x x x x y x l xy p xyl m m l y ym y xy m xy m l px m y xy l y
问题
§2－ 5
平面问题中一点的 应力状态
空间问题有 6 个独立的应力分量，平面问题有 3 个 不为0的应力分量，可决定一点的应力状态。即， 可求出过该点任意斜截面上的正应力与剪应力。
问题的提出：
,xy 已知任一点P处坐标面上应力 σx, σy，
求经过该点的任何斜面上的应力。
问题
斜面应力表示：p ( p ,p ), p ( σ , ). x y n n 求解：取出一个三角形微分体（包含 x 面，
小结： （1）斜面上的应力
p l m yx x x p m l y y x y
（2-3） （2-4）
2 2 l m 2 l m N x y x y （2-5） 2 2 l m ( ) ( l m ) （2-6） N y x x y
§2-6 边界条件
1. 弹性力学平面问题的基本方程
（1）平衡方程： x yx X 0 x y （3）物理方程：
xy x

y
y
Y 0
（2-2）
1 x (x y) E 1 y (y x) （2-15） E
（2）几何方程：
y 面）， 面， n
边长
AB ds , PB lds , PA md .
平面问题中一点的应力状态 x
yx yx
y
y
y
几何参数：
xx
xy xy
P P
A
c o s ( n ,) x l , c o s ( n ,) y m ,
设 AB 面面积 = ds ， PB 面积 = lds ， px σN x PA面积=mds。
⑵ 它是函数方程，要求在边界上每一点s 上均满足，这是精确的条件； ⑶ 式（c）在A中每一点均成立，而 式（d）只能在边界 s上成立；
说明
⑷ 式（d）中，
σx, σ－－按应力符号规定， y ,xy
， fy f x －－按面力符号规定；
⑸ 位移,应力边界条件均为每个边界两
个，分别表示 ， x向的条件； y
例
列出边界条件：
σ

yx
y
q
o
h/2 h/2
σ

y
yx
x
σ
xy
x
q1
y
l
如图所示，试写出其边界条件。 v u s 0 u 0 , 0 (1) x 0, x v 0 y
q
h h x
1 ,m 0 , l (2) xa X0 ,Y 0
(d)
说明：以上均应用弹力符号规定导出。
最大、最小剪应力 lm ( ) N 2 1 由 2 ( 1 l2) l2 m 1 m
O
P

x
2
l1 l( ) N 2 1 2 4 l l ( ) N 2 1
2
1
y
dx dy ds
（3）若AB面为物体的边界S，则
l(x )s m(xy )s X m(y )s l(xy )s Y
px X
py Y
（2-18） —— 平面问题的应力边界条件
主平面主应力：剪应力等于零的平面叫主平面 主平面上的应力叫主应力。 px l py m x y m
xyP
已知X=q， y=0， xy = -2q， 求： 1 ， 2 ，α1 1=2.562q 2=-1.562q tgα1=-0.781 α1=-37.99o=-37o59`
问题：
平面问题中，
(a)已知一点的应力为 方向的正应力n为 （b）已知 那么
，那么任一 1 2 n 为 ; a , b x y ? 1 2
（ σ2 ）成45°。
1 与 2 的符号规定（主应力方向逆时针转到x轴为正） 注意：
1 0 M P a , 2 M P a , 例：已知平面一点的应力状态为 x y
xy 3MPa 。求该点的主应力和主平面方向。
解： 1 0 2 1 0 22 2 1 x y x y 2 2 ( ) ( ) 3 x y 2 2 2 2 2 1 M P a 1 1
xy

τN
B py
p
n
y 斜面上应力分解为：
x x
yx
p p p x y
xy x
X p d s lds md f ldsmd s / 2 0
由∑Y=0得：
p l xy m x x
p m l y y xy
斜面应力
(1)求（ p x , p y ） 由平衡条件，并略去高阶分量体力项，得
A
N
B
N
1 1 2 l ( ) N 2 1 4 2
2
s
N
1 显然，当 1l2 0 (l ) 时，τN为最大、最小值： 2 2
max 1 2 min 2
由 l
1 得， τmax、 τmin 的方向与σ1 2
（ σ2 ）成45°。
px lσx mτ yx, py mσ y lτxy,
其中：l=cos(n,x), m=cos(n,y)。
平面问题中一点的应力状态 x y y
P xyP
yx yx
斜面上应力分解为：
A
y xx

px
p
xy
τN
B
py
σN x
p N N
2 2
n
l m 2 lm N x y xy （2-4） N x y 2 2 ( 23) N lp mp ( ) ( l m ) （2-5） y x y x xy N lm
( 23)
yx y mp lp
x y x y 1 2 x y 2 2 2
2
（2-7）
1 ta n 1 xy
ta n 2
x
（2-8） 表明：σ1 与 σ2 互相垂直。

xy y
2
max 1 2 min 2
τmax、 τmin 的方向与σ1
( u ) u ( s ),( v ) v ( s ), （在 s上 u )。（a） s s
位移边界条件的说明： ⑴ 它是函数方程，要求在 s 上每一点 ， s u 位移与对应的约束位移相等。
⑵ 若为简单的固定边， 则有 u v 0 ,
( u ) 0 ,( v ) 0 , （在 s u 上）。（b） s s
fy
xy
y
fy
若x=-b为负x 面，l = -1, m = 0 , 则式(d)成为
( σ ) f ,() f . x x b x x y y x b
b a x
( f )
fx
σ
xy
x
σ
x
fx
fy
xy
y
fy
两种表达式
应力边界条件的两种表达式： ⑴ 在边界点取出微分体，考虑其平衡条 件，得式（d）或（e），（f ）；
11 0 1 x t g 3 1 3 x y 3 1 x y t g 2 1 1 2 3 2 y
1 71.57
2 1 8 .4 3
试证明：在发生最大和最小剪应力的面上,正应力的
数值都等于两个主应力的平均值。
例题
⑹ 所有边界均应满足，无面力的边界
（自由边） fx f也必须满足。 , y 0
坐标面
当边界面为坐标面时， 若x=a为正x 面，l = 1, m = 0, 则式(d)成为
() σ f ,() f . x x a x x y y x a
b a x

( e )
fx
xy
σ
x
σ
x
fx
2 2 l m N 1 2
2 l ( ) 1 2 2
l m ( ) N 2 1
l(x )s m(xy )s X m(y )s l(xy )s Y
（2-18）
—— 平面问题的应力边界条件
（2）一点的主应力、应力主向、最 大最小应力
已知P点应力σxσyτxy 可求出过P点任意斜面上的
•正应力和剪应力（σNτN） 利用（2-4）（2-5） •应力在x，y轴上的投影（px，py） 利用（2-3）
px lσx mτ yx, py mσ y lτxy,
l m ( ) ( l m )
2 2 N y x
y xx
P xyP
yx yx
y
x
y
A

px
p
xy
l m 2 l m N x y x y
2 2
x y
τN
B py
σN x
n

y
yx
（1）运用了剪应力互等定理： 说明： （2） N 的正负号规定：
xy yx
将 N 转动90°而到达 N 的方向是顺时针的， N 则该 为正；反之为负。
n
B
py
xy
2
x

xy

y
σ2－(σx+σy)σ+(σxσy－τ2xy)=0
1
2
x y
2

x y
2
2 xy
xyP px
1
2
x y
2
y
x
B
py
注意:①平面应力状态下,任一点一般都存在 n 两个主应力。二者方向互相垂直。 ②
作用面上正应力一般不为零。而是：

2

xy

x y
2
最大，最小应力
求最大，最小应力 将x，y放在 σ1 , σ 方向，列出任一斜面上 2 σ 应力公式，可以得出（设 σ ）
1 2
max min
σ1 σn , σ2
max min
σ1 σ 2 n , 发生在与主 2 应力成45的斜面上.
（在A中）。（c）
将此三角形移到边界上，并使斜面与边界面
重合，则得应力边界条件:
( l σ m ) f () s, x y x s x 在 s 上 ） . ( d ) （ σ ( m σ l ) f () s, y x y s y
说明
应力边界条件的说明：
⑴ 它是边界上微分体的静力平衡条件；
⑵ 在同一边界面上，应力分量应等于对
应的面力分量（数值相等，方向一
致）。即在同一边界面上,应力数值应
等于面力数值(给定),应力方向应同面 力方向(给定)。
两种表达式
例如： 在斜面上，
( p ) f ,( p ) f . x s x y y s
在±坐标面上，由于应力与面力的符
号规定不同，故式（e），（f ）有区别。
u x x v y y v u xy x y
2( 1) xy xy E
（2-9）
未知量数：
方程数：
, , , , , , u , v x y xy x y xy
8个 8个
结论： 在适当的边界条件下，上述8个方程可解。
边界条件 －－表示在边界上位移与约束， 或应力与面力之间的关系。 位移边界条件 －－设在 部分边界上给 su 定位移分量 和u ( s,)则有 v ( s)