最新湖南省郴州市高三上学期第一次教学质量监测数学(文)试题(解析版)10

高三上学期第一次教学质量监测数学（文）试题（解析版）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项
是符合题目要求的.
1.已知集合{1,0,1}A =-，{|11}B x x =-≤≤，则A B =I （ ）
A ．{1,0,1}-
B ．{|11}x x -≤≤
C ．{1,0}-
D ．{0,1} 【答案】A 【解析】
试题分析：{1,0,1}{|11}A B x x =--≤≤=I I {1,0,1}-，选A. 考点：集合运算 【方法点睛】
1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．
2.复数1
(1)z i i
=-在复平面上对应的点Z 位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】B
相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 、模为22+a b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi
3.设x R ∈，则“12x <<”是“|2|1x -<”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】
试题分析：|2|113x x -<⇒<<，所以“12x <<”是“|2|1x -<”的充分不必要条件，选A. 考点：充要关系
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．
2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．
4.从1,2,3,4,5中任取三个数， 则这三个数成递增的等差数列的概率为（ ） A ．
310 B ．25 C.12 D ．3
5
【答案】B
考点：古典概型概率
【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
5.ABCD Y 中，(1,2)AB =uu u r ，(1,4)AD =-uuu r ，则AC =uuu r
（ ） A ．(3,3)- B ．(2,2)- C. (2,2)- D ．(0,6) 【答案】D
【解析】
试题分析：(0,6)AC AB BC AB AD =+=+=uuu r uu u r uu u r uu u r uuu r
,选D. 考点：向量加减
6.已知双曲线22
221x y a b -=的离心率2e =，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．33y x =±
B ．22
y x =± C. 3y x =± D ．2y x =± 【答案】C
考点：双曲线渐近线
7.某几何体的三视图如图1所示（图中网格的边长为1个单位），其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）
A ．
23π B ．43π C. 143π D ．169
π 【答案】B 【解析】
试题分析：几何体的高为3，底面为扇形，面积为1244233ππ⨯⨯=，所以体积为1443333
ππ
⨯⨯=，选B. 考点：三视图
【思想点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求
解．
8.执行如图2所示的程序框图（其中||x表示不超过x的最大整数），则输出的S值为（）
A． 7 B．6 C. 5 D．4
【答案】
A
考点：循环结构流程图
【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
9.已知不等式组
1
1
x y
x y
y
+≤
⎧
⎪
-≥-
⎨
⎪≥
⎩
所表示的平面区域为D.若目标函数2
z ax y
=--在区域D上的最
大值为2，则实数a的值为（）
A．-2 B．4 C.-2或4 D．-4或4 【答案】
D
考点：线性规划
【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
10.在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，2CA CB ==，16AA =，120ACB ∠= .若三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．20π B ．42π C. 52π D ．56π 【答案】C 【解析】
试题分析：设三角形ABC 的外接圆圆心为D ，则外接圆半径为2，因此
22222(62)13,452R S R ππ=+÷===，选C. 考点：外接球
【思想点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，
PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解． 11.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-.若对任意正整数n 都有10n n S S λ+-<恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．1λ< B ．12λ< C. 13λ< D ．14
λ< 【答案】C 【解析】
试题分析：11112121(2)22(2)2(2)n n n n n n n n n S a S a n a a a n a a n ----=-⇒=-≥⇒=-≥⇒=≥，又
111211S a a =-⇒=，所以数列{}n a 为等比数列，122112
n
n n S -==--，
1112111
02122(21)
n n n n n S S λλ+++--<⇒<=---的最小值，而121111122(21)22(21)3n +-≥-=--，所以
13
λ<，选C.
考点：由和项求数列通项，不等式恒成立
【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题。

12.已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，若对于任意实数x 有()'()f x f x >，且
()1y f x =-为奇函数，则不等式()x f x e <的解集为（ ）
A ．(,0)-∞
B ．(0,)+∞ C. 4(,)e -∞ D ．4(,)e +∞ 【答案】
B
考点：利用导数解不等式
【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()
()x
f x
g x e =
，()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '<构造()
()f x g x x
=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.函数23,0()log ,0
x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则1
[()]4f f =__________.
【答案】1
9
【解析】
试题分析：2
2111[()](log )(2)3.449
f f f f -==-==
考点：分段函数求值
【名师点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检
验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
14.已知(,)2x ππ∈，3
sin 5x =，则tan(2)x π+=____________.
【答案】24
7
-
考点：二倍角公式
15.从点(1,3)P 向22:4O x y +=e 引切线PA ，PB ，其中A B ，为切点，则||AB =___________. 【答案】
415
5
【解析】
试题分析：1946PA =+-=，所以26415
||22510
PA OA AB OP ⋅=⨯=⨯= 考点：切线长
16.ABCD Y 中，60DAB ∠=
，4AB =，2AD =.若P 为CD 边上一点，则PA PB uu r uu r
g 的最小值为
______________. 【答案】-1 【解析】
试题分析：取AB 中点M,则222224()4(3)41D AB PA PB PM MA PM d -=-=-≥-=-=-uu r uu r
g 考点：向量数量积
【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法
(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.
(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）
已知不等式2(1)460a x x --+>的解集是{|31}x x -<<．
（I ）求a 的值；
（II ）若不等式210ax bx ++≥在R 上恒成立，求b 的取值范围. 【答案】（I ）3a =（II ）[23,23]-
（II ）由（I ）知3a =，代入210ax bx ++≥，得2310x bx ++≥.………………6分
考点：一元二次不等式解集，不等式恒成立
【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法. 18.（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，410a =，且3610a a a ，，成等比数列． （I ）求数列{}n a 的通项公式；
（II ）令(1)n n n b a =- ，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】（I ）6n a n =+（II ）,2
13,2
n n
n T n ⎧⎪⎪=⎨+⎪-⎪⎩为偶数为奇数
考点：等差数列通项公式，分组求和 【方法点睛】分组转化法求和的常见类型
(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和； (2)通项公式为a n ＝⎩⎨
⎧
b n ，n 为奇数，
c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数
列，可采用分组求和法求和. 19.（本小题满分12分） 已知函数2
()2cos 23sin cos 1222
x x x
f x =--，x R ∈． （I ）求使得取()f x 得最大值的x 的取值集合； （II ）若()()
g x x f x =+，求()g x 的单调递减区间． 【答案】（I ）{|2,}3
x x k k Z π
π=-∈（II ）[2,2]62
k k π
π
ππ-
+，k Z ∈.
【解析】
试题分析：（I ）先根据二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：()2cos()3
f x x π
=+，
再根据余弦函数性质求最值对应自变量：
23x k ππ+=（II ）()g x 为非初等函数，应用导数求函数单调区间：先求导数'()12sin()3g x x π=-+，再解不等式2sin()13
x π
+>，得
2262k x k π
π
ππ-<<+，k Z ∈
试题解析：（I ）∵()cos 3sin 2cos()3
f x x x x π=-=+.……………………3分 当23x k ππ+=，即23
x k ππ=-时，()f x 取得最大值2. 所以使得()f x 取得最大值的x 的取值集合为{|2,}3
x x k k Z ππ=-∈.………………6分
考点：二倍角公式，利用导数求函数单调区间
【思路点睛】导数与函数的单调性
(1)函数单调性的判定方法：设函数y ＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，则 y ＝f(x)在该区间为增函数；如果f′(x)＜0，则y ＝f(x)在该区间为减函数.
(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.
20.（本小题满分12分）
设ABC ∆的内角为A B C ，，，且sin sin sin()C B A B =+-．
（I ）求A 的大小；
（II ）若7a =，ABC ∆的面积332ABC S ∆=
，求ABC ∆的周长． 【答案】（I ）3A π
=（II ）57+
（II ）依题意得：222133sin 222cos ABC S bc A a b c bc A ∆⎧==⎪⎨⎪=+-⎩
，………………8分
∴22613bc b c =⎧⎨+=⎩
， ∴222()225b c b c bc +=++=，
∴5b c +=，………………11分 ∴57a b c ++=+，
∴ABC ∆的周长为57+.………………12分
考点：余弦定理，诱导公式
【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.
21.（本小题满分12分）
已知函数()x
x f x e =． （I ）求()f x 的极值；
（II ）求证：当1x <时，()(2)f x f x <-．
【答案】（I ）函数()f x 在1x =处取得极大值1(1)f e
=，无极小值.（II ）详见解析
（II ）证明：令()()(2)g x f x f x =--，1x <， 即2222()2
x x x x x x x x g x e e e ----=
-=+.………………7分 ∵221111'()(1)()02x x x x x x g x x e e e ----=+=-->，………………9分 ∴()g x 在(,1)-∞上是增函数.………………10分
∴()(1)0g x g <=，即()(2)f x f x <-.………………12分
考点：利用导数求函数极值，利用导数证明不等式
【思路点睛】导数在不等式问题中的应用问题的常见类型及解题策略
(1)利用导数证明不等式。

①证明f(x)<g(x)，x ∈(a ，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F ′(x)<0，则F(x)在(a ，b)上是减函数，同时若F(a)≤0，由减函数的定义可知，x ∈(a ，b)时，有F(x)<0，即证明了f(x)<g(x)。

②证明f(x)>g(x)，x ∈(a ，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F ′(x)>0，则F(x)在(a ，b)上是增函数，同时若F(a)≥0，由增函数的定义可知，x ∈(a ，b)时，有F(x)>0，即证明了f(x)>g(x)。

22.（本小题满分12分） 已知函数21()()ln ()2
f x a x x a R =-+∈． （I ）若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为20x y b ++=，求,a b 的值；
（II ）若在区间(1,)+∞上，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方，求a 的取值范围．
【答案】（I ）1a =-，12b =-（II ）11[,]22
a ∈-
考点：导数几何意义，利用导数研究参数取值问题
【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题。