认识方程知识点总结

认识方程知识点总结
方程是数学中的一个重要概念，它在解决实际问题和数学理论研究
中都有着广泛的应用。

下面我们来系统地总结一下方程的相关知识点。

一、方程的定义
方程是含有未知数的等式。

例如：2x ＋ 3 ＝ 7 ，其中 x 是未知数，
2x ＋ 3 ＝ 7 是一个等式。

二、方程的分类
1、按照未知数的个数分
（1）一元方程：只含有一个未知数的方程，如 x ＋ 2 ＝ 5 。

（2）二元方程：含有两个未知数的方程，如 x ＋ y ＝ 8 。

（3）多元方程：含有三个及以上未知数的方程。

2、按照未知数的次数分
（1）一次方程：未知数的最高次数是 1 的方程，形如 ax ＋ b ＝ 0 （a ≠ 0 ）。

（2）二次方程：未知数的最高次数是 2 的方程，如 ax²＋ bx ＋ c
＝ 0 （a ≠ 0 ）。

（3）高次方程：未知数的最高次数高于 2 的方程。

三、方程的解
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

例如，在方程 2x ＋ 3 ＝ 7 中，当 x ＝ 2 时，方程左边＝ 2×2 ＋ 3
＝ 7 ，方程右边＝ 7 ，左边＝右边，所以 x ＝ 2 是方程 2x ＋ 3 ＝ 7
的解。

四、解方程的步骤
1、去分母：如果方程中有分母，要通过乘以分母的最小公倍数去
掉分母。

2、去括号：运用乘法分配律去掉括号，注意符号的变化。

3、移项：把含未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另
一边，移项要变号。

4、合并同类项：将同类项合并，化简方程。

5、系数化为1：方程两边同时除以未知数的系数，得到方程的解。

五、一元一次方程
1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 1 ，等号两
边都是整式的方程。

2、一般形式：ax ＋ b ＝ 0 （a ≠ 0 ），其中 a 是未知数的系数，b
是常数。

3、解法示例
例如：解方程 3x 5 ＝ 7 。

移项得：3x ＝ 7 ＋ 5 ，即 3x ＝ 12 。

系数化为 1 得：x ＝ 12÷3 ，解得 x ＝ 4 。

六、二元一次方程
1、定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的
整式方程。

2、一般形式：ax ＋ by ＝ c （a 、b 、c 是常数，a ≠ 0 ，b ≠ 0 ）。

3、解法
（1）代入消元法：将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。

（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个
一元一次方程。

例如：解方程组
x ＋ y ＝ 5 ①
2x y ＝ 1 ②
用代入消元法，由①得 x ＝ 5 y ，将其代入②得 2(5 y) y ＝ 1 ，解
得 y ＝ 3 ，再将 y ＝ 3 代入①得 x ＝ 2 。

用加减消元法，①＋②得 3x ＝ 6 ，解得 x ＝ 2 ，将 x ＝ 2 代入①
得 y ＝ 3 。

七、一元二次方程
1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式
方程。

2、一般形式：ax²＋ bx ＋ c ＝ 0 （a ≠ 0 ）。

3、解法
（1）直接开平方法：对于形如 x²＝ p 或（mx ＋ n)²＝ p （p ≥ 0 ）的方程，可以用直接开平方法求解。

（2）配方法：通过配方将方程转化为完全平方式来求解。

（3）公式法：当b² 4ac ≥ 0 时，方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0 的解为 x
＝b ± √（b² 4ac) ／（2a）。

（4）因式分解法：将方程左边因式分解，转化为两个一次因式的
积等于 0 的形式来求解。

例如：解方程 x² 4x ＋ 3 ＝ 0
因式分解得：（x 3)（x 1) ＝ 0 ，所以 x 3 ＝ 0 或 x 1 ＝ 0 ，解得
x ＝ 3 或 x ＝ 1 。

4、根的判别式
对于一元二次方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0 （a ≠ 0 ），根的判别式为Δ ＝ b² 4ac 。

当Δ ＞ 0 时，方程有两个不相等的实数根；
当Δ ＝ 0 时，方程有两个相等的实数根；
当Δ ＜ 0 时，方程没有实数根。

八、实际应用
方程在实际生活中有广泛的应用，比如行程问题、工程问题、利润问题等。

例如，在行程问题中，速度×时间＝路程。

如果已知速度和时间，求路程，就可以列出方程来解决。

再比如，在利润问题中，利润＝售价成本，根据已知条件可以列出方程求出相关量。

总之，方程是数学中非常重要的工具，通过建立方程可以将实际问题转化为数学问题，从而解决问题。