(整理)正交试验结果的方差分析方法

正交试验结果的方差分析方法
计算公式和项目
试验指标的加和值=
,
试验指标的平均值与表4-13一样，第j列的
(1) I j”水平所对应的试验指标的数值之和
(2) II j——“ 2”水平所对应的试验指标的数值之和
(3)……
(4) k j——同一水平出现的次数。

等于试验的次数除以第j列的水平数.
(5)I j/k j——“水平所对应的试验指标的平均”
(6)II j/k j——“2”水平所对应的试验指标的平均值
(7)……以上各项的计算方法，与“极差法”同，见4.1.7节
(8)偏差平方和
(4-1)
(9) f
j ——自由度.f
j
第j列的水平数－1.
(10）V
j
——方差.
Vj =S
j
/f
j
(4-2)
（11）V
e
——误差列的方差。

(4-3)
（12）F
j
——方差之比
(4-4)
（13）查F分布数值表（见附录6），做显著性检验。

显著性检验结果的具体表示方法与第3章相同。

（14）总的偏差平方和
(4-5) （15）总的偏差平方和等于各列的偏差平方和之和。

即
(4-6) 式中，m为正交表的列数。

若误差列由5个单列组成，则误差列的偏差平方和S e等于5个单列的偏差平方和之和,即：S e=S e1+S e2+S e3+S e4+S e5；也可用S e= S总－S’来计算，其中：S’为安排有因素或交互作用的各列的偏差平方和之和
应引出的结论。

与极差法相比，方差分析方法可以多引出一个结论：各列对试验指标的影响是否显著，在什么水平上显著。

在数理统计上，这是一个很重要的问题。

显著性检验强调试验误差在分析每列对指标影响中所起的作用。

如果某列对指标的影响不显著，那么，讨论试验指标随它的变化趋势是毫无意义的。

因为在某列对指标的影响不显著时，即使从表中的数据可以看出该列水平变化时，对应的试验指标的数值也在以某种“规律”发生变化，但那很可能是由于实验误差所致，将它作为客观规律是不可靠的。

有了各列的显著性检验之后，最后应将影响不显著的交互作用列与原来的“误差列”合并起来，组成新的“误差列”，重新检验各列的显著性。

方差分析方法应用举例
例4-6为了提高猪发酵饲料的营养和猪爱吃的程度，选择了四个因素进行正交试验，其因素水平见表4-18。

表4-18例4-6的因素水平表
试验指标（y）为成品的总酸度。

要求写出应用正交试验设计方法的全过程，用方差分析方法分析正交试验的结果。

解：
试验的目的：为改善猪发酵饲料的品质，寻找适宜的发酵条件。

试验指标（y）：成品的总酸度
因素水平表：见表4-18。

理论和经验都不知道有应该考虑的交互作用。

四个因素的水平数不完全相同，所以应选择混合水平正交表。

因为3个因素是4
（43×26）正交表，见表4-19（a）
水平，1个因素是2水平，所以选L
16
表头设计：见表4-19（a）
表中数据的计算举例：（以第3列为例）
=y1+y6+y11+y16=6.36+5.39+8.03+16.54=36.32
I
3
II
=y2+y5+y12+y15=7.43+8.66+12.45+9.80=38.34
3
=y3+y8+y9+y14=10.36+19.53+12.08+10.77=52.74
III
3
IV
=y4+y7+y10+y13=11.56+15.50+13.13+13.49=53.68
3
k
=4
3
I
/k3=36.32/4=9.08
3
/k3=38.34/4=9.59
II
3
III
/k3=52.74/4=13.19
3
/k3=53.68/4=13.42
IV
3
极差D3=13.42－9.08=4.34
218.35
（43×26）的正交试验数据表表4-19(a)使用正交表L
16
偏差平方和
=4(9.08－11.32)2+4(9.59－11.32)2+4(13.19－11.32)2+4(13.42－11.32)2 =63.67
自由度f 3=4－1=3
方差
S e = S 总－(S 1+S 2+ S 3+ S 9)=218.35－(33.57+79.19+63.67+11.02)=30.9 f e =(16-1)－(3+3+3+1)=5
查F 分布数据值表得：
F (α=0.01, f 1=3, f 2=5)=12.06> F 3 F (α=0.05, f 1=3, f 2=5)=5.41> F 3 F (α=0.10, f 1=3, f 2=5)=3.62> F 3
F(α=0.25, f
=3, f2=5)=1.88< F3
1
所以，第3列对试验指标的影响在α=0.25水平上显著。

其它列的计算结果见表4-19(b)。

用方差分析方法分析正交试验结果，应该引出如下几点结论：
（1）关于显著性的结论
发酵时间（x2）对指标的影响在α=0.10水平上显著；初始的PH值（x3）和投曲量（x4）在α=0.25水平上显著；发酵温度(x1)在α=0.25水平上仍不显著。

(2)试验指标随各因素的变化趋势：见图4-6
图4-6是用表4-18及表4-19（b）中的Ⅰj/k j, Ⅱj/k j, Ⅲj/k j, Ⅳj/k j值来标绘的。

（3）适宜的操作条件
在确定适宜操作条件时，对于F检验中α=0.25不显著的因素，如本例中的因素x
, 一方面因为图4-6 (a) 所示的“规律”不可靠，不能作为确定x1适宜水平1
的依据。

另一方面，F检验不显著，F j太小，可能是因为V e太大，误差太大；也可能是因为V j太小，该因素对指标影响太小。

所以，对于F检验不显著的因素，适宜的水平可以是任意的。

如本例，可认为x1=（20~50）℃即可，不必非50℃不可。

所以在本例中为提高总酸度，适宜的操作条件为：x1=（20~50）℃，x2=72 h, x3=4, x4=10%。

（4）对所得结论及进一步研究方向的讨论。

① 由图4-6(d)可见，投曲量x4这个水平为试验范围的边上（最大值或最小值）所以x4增大，成品的总酸度也增大的结论尚需作进一步的研究。

应研究投曲量大于10%时试验指标随投曲量的变化规律。

② 从图4-6（c）可见，初始PH值等于5时的总酸度与初始PH值等于4时的总酸度差不多。

但与令PH=4相比较，令PH=5，比较容易实现。

所以进一步研究的方向之一，是研究令PH=5的好处和问题。

③ 从图4-6（b）可见，发酵时间愈长，成品的总酸度愈大，所以进一步研究的方向之一，是研究为提高总酸度而增长发酵时间的优缺点。

例4-7为了提高某种产品的产量,寻求较好的工艺条件。

考虑三个因素：反应温度、反应压力和溶液浓度。

它们都取三个水平[见表4-20（a）]。

表4-20（a）例4-7的因素水平表
（313），依该表为考察3个因素间所有的两因素交互作用的影响，选正交表L
27
的表头设计表得到的表头设计如表4-20（b）所示。

表4-20（b）例4-7正交表表头设计
可见，3水平两因素的交互作用占两列。

试验结果见表4- 20（c）
试验结果的方差分析计算见表4-20（d）
①
总的偏差平方和161.02
② 两个三水平因素的交互作用占两列，它的S、f、V如何计算？以交互作用B×C为例。

B×C占第8和第11列。

偏差平方和S B
×C =S
8
+S
11
=0.09187465+0.08907423=0.18095
表4-20（c）正交表L
27
（313）的试验设计计算表
表4-20（d）方差分析计算表=
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