高中数学 必修2(人教版)7.1.2复数的几何意义

题型二 复数的模的计算——自主完成 例3 (1)已知复数z＝3＋4i(i为虚数单位)，则| z |＝________.
解析：(方法一)因为复数z＝3＋4i，所以 z ＝3－4i，故| z |＝ 32＋－42＝5.
(方法二)：| z |＝|z|＝ 32＋42＝5. 答案：5
(2)已知i为虚数单位，(1＋i)x＝2＋yi，其中x，y∈R，则|x＋yi| ＝( )
方法归纳
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点 在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复 数对应的点确定后，从原引出的指向该点的有向线段，即为复 数对应的向量．
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复 平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之 间的转化．
跟踪训练1 (1)已知a为实数，若复数z＝a2－3a－4＋(a－4)i 为纯虚数，则复数a－ai在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析：∵复数z＝a2－3a－4＋(a－4)i为纯虚数 ∴aa2－－43≠a－0 4＝0 ∴aa＝ ≠44或a＝－1 ∴a＝－1 ∴z＝a－ai＝－1＋i在复平面内对应的点的坐标为(－1,1)，位 于第二象限． 答案：B
4．设复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝________.
解析：由z＝1＋2i得|z|＝ 12＋22＝ 5. 答案： 5
题型一 复数的几何意义——微点探究
微点1 复数与复平面内点的位置关系
例1
(1)当
2 3
<m<1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内对
应的点所在象限为( )
7.1.2 复数的几何意义
[教材要点]
要点一 复平面的定义 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x轴叫做 ___实__轴___，y轴叫做__虚__轴____，实轴上的点都表示___实__数___；除 __原__点____外，虚轴上的点都表示纯虚数．
状元随笔 复平面上的点的坐标与复数的关系
(1)复平面上点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复 数的虚部．
(2)在▱ABCD中，点A，B，C分别对应复数4＋i,3＋4i,3－5i， 则点D对应的复数是( )
A．2－3i B．4＋8i C．4－8i D．1＋4i
解析：由复数的几何意义知A(4,1)，B(3,4)，C(3，－5) 设D点坐标为(x，y)
则由A→B＝D→C 得：－ 3＝1－ ＝35－ －xy 解得：x＝4，y＝－8 故点D对应的复数为z＝4－8i. 答案：C
(2)表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们 是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都 表示纯虚数，如原点表示实数0.
要点二 复数的几何意义
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R) _Z__(a_，__b_)_；
2．复数z＝a＋bi(a，b∈R) 要点三 复数的模
复平面内的点 平面向量_O→_Z_＝__(_a_，_．b)
要点四 共轭复数的概念 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫 做互为_共__轭__复__数_，即复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数 z ＝ __a_－__b_i __，虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数．
[教材答疑]
1．教材P70思考 根据复数相等的定义，任何一个复数z＝a＋bi都可以由一个有 序实数对(a，b)唯一确定；反之也对．由此你能想到复数的几何表 示方法吗？ 提示：因为任何一个复数z＝a＋bi都可以由一个有序实数对 (a，b)唯一确定，并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数 对，所以复数z＝a＋bi与有序实数对(a，b)是一一对应的．而有序 实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以复数集 与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系．
如下一一对应关系(实数0与零向量对应)，即复数z＝a＋bi 平面向量O→Z.
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)原点是实轴和虚轴的交点．( √ ) (2)实轴和虚轴的单位都是1.( × ) (3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数．( × ) (4)复数与复平面内的无数多个向量对应．( √ ) (5)复数的模一定是正实数．( × ) (6)若两个复数互为共轭复数，则这两个复数的模相 等．( √ )
(2)根据复数与复平面内的点Z一一对应的关系可通过点Z的位 置来求参数的取值．点的横坐标对应复数的实部，点的纵坐标对 应复数的虚部．
微点2 复数与复平面内向量的对应关系 例2 (1)向量O→A对应的复数为1＋4i，向量O→B对应的复数为－ 3＋6i，则向量O→A＋O→B对应的复数为( ) A．－3＋2i B．－2＋10i C．4－2i D．－12i
跟踪训练2 已知复数z＝3＋ai(a∈R)且|z|<4，则实数a的取值 范围是________．
解析：解法一：∵z＝3＋ai(a∈R，i为虚数单位)， ∴|z|＝ 32＋a2. 由已知得32＋a2<42，∴a2<7，∴a∈(－ 7， 7)． 解法二：利用复数的几何意义，由|z|<4知，z在复平面内对应 的点在以原点为圆心，4为半径的圆内(不包括边界)．
2．教材P71思考 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实 数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的．你能用平面向 量来表示复数吗？ 提示：如图，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ， 显然向量O→Z由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量O→Z唯一确 定．因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了
解析：(1)方法一 |z|＝2说明复数z在复平面内对应的点Z到原 点的距离为2，这样的点Z的集合是以原点O为圆心，2为半径的 圆．
方法二 设z＝a＋bi，由|z|＝2，得a2＋b2＝4. 故点Z对应的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆．
(2)不等式1≤|z|≤2可以转化为不等式组||zz||≤ ≥21.， 不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2及该圆内部所有点的集合． 不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1及该圆外部所有点的集合．
这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合． 如图中的阴影部分， 所求点的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的 圆环，并且包括圆环的边界．
方法归纳
解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是|z| 表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示 的图形；二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题 来解决．
A．2 2 B．2 C．4 D. 2
解析：由题意可得x＋xi＝2＋yi，结合复数相等的充要条件可
知xx＝ ＝2y，， 则x＝y＝2. 故|x＋yi|＝|2＋2i|＝ 4＋4＝2 2.故选A. 答案：A
(3)已知复数z＝a＋ 3 i在复平面内对应的点位于第二象限， 且|z|＝2，则复数z等于________．
解析：记O为复平面的原点，由题意得 O→A ＝(2,3)， O→B ＝ (3,2)，O→C＝(－2，－3)．
设O→D＝(x，y)，则A→D＝(x－2，y－3)， B→C＝(－5，－5)． 由题知，A→D＝B→C，
所以xy－ －23＝ ＝－ －55， ， 即xy＝ ＝－ －32， ， 故点D对应的复数为－3－2i.
由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，所以线段AB(除去端点) 为动点Z的集合．由图可知－ 7<a< 7.
易错辨析 对复数与复平面中的向量的一一对应关系理解不 到位致错例5 在复平面内，向量 O→A 表示的复数为1＋i，将向量 O→A 向右平移1个单位长度后，再向上平移2个单位长度，得到向量 O′→A′，则向量O′→A′对应的复数是________．
复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为O→Z，则O→Z的模叫做复数 z的模，记作|z|，且|z|＝___a_2＋__b_2_.
状元随笔 巧用复数的几何意义解题
(1)复平面内|z |的意义 我们知道，在实数集中，实数a的绝对值，即|a |是表示实数a 的点与原点O间的距离．那么在复数集中，类似地，|z |是表示复 数z的点到坐标原点间的距离，也就是向量O→Z的模，|z |＝|O→Z|. (2)复平面内任意两点间的距离 设复平面内任意两点P、Q所对应的复数分别为z1、z2，则|PQ| ＝|z2－z1|. 运用以上性质，可以通过数形结合的方法解决有关问题．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析：∵23<m<1,∴2<3m<3,∴3m－2>0，m－1<0 ∴z在复平面内对应的点的坐标在第四象限． 答案：D
(2)实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－ 3a＋2)i的点
①位于第二象限？ ②位于直线y＝x上？
解析：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝a2＋a －2＋(a2－3a＋2)i的点为Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)．
解析：∵z＝a＋ 3 i在复平面内对应的点位于第二象限， ∴a<0. 由|z|＝2，得 3＋a2＝2，解得a＝－1或1(舍去)， ∴z＝－1＋ 3 i. 答案：－1＋ 3 i
方法归纳
若复数z＝a＋bi，(a，b∈R)，则|z|＝ a2＋b2 ，已知复数的模 求复数，只需套用模长公式的方程即可．
题型三 复数模的几何意义——师生共研 例4 设z∈C，在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的 点Z的集合是什么图形． (1)|z|＝2； (2)1≤|z|≤2.
解析：由复数的几何意义知：O→A＝(1,4)，O→B＝(－3,6) ∴O→A＋O→B＝(1,4)＋(－3,6)＝(－2,10) ∴向量O→A＋O→B对应的复数为－2＋10i. 答案：B
(2)在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应 的复数分别是2＋3i,3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数．
①由点Z位于第二象限得aa22－＋3aa－＋22<>00，， 解得－2<a<1. 故满足条件的实数a的取值范围为(－2,1)． ②由点Z位于直线y＝x上得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1. 故满足条件的实数a的值为1.
方法归纳
(1)判断复数对应的点所在的象限，应先判断复数的实部、虚 部的符号，再类比平面直角坐标系进行判断．
解析：向量O→A平移后得到向量O′→A′，则O→A＝O′→A′，因 而向量O′→A′所对应的复数是1＋i.
答案：1＋i
易错警示
易错原因
纠错心得
容易忽视向量作平移变换 (1)向量平移后，所得向量的坐标
后，两个向量仍然相等，误 不变．
认为O′→A′＝2＋3i.
(2)向量的横坐标、纵坐标分别是 其对应复数的实部与虚部.
2．复数1－2i在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析：复数1－2i在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，位 于第四象限．
答案：D
3．在复平面内，若O→Z＝(0，－5)，则O→Z对应的复数为( ) A．0 B．－5 C．－5i D．5
解析：O→Z对应的复数z＝0－5i＝－5i. 答案：C