2023—2024学年江西省临川第一中学高二上学期期末数学试卷

2023—2024学年江西省临川第一中学高二上学期期
末数学试卷
一、单选题
(★★) 1. “向量是直线的一个方向向量”是“直线倾斜角为”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要
(★★) 2. 公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：
，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称
为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.小明是个数学迷，他在设置手机的数字密
码时，打算将圆周率的前5位数字3，1，4，1，5进行某种排列得到密码.如果
排列时要求两个1不相邻，那么小明可以设置的不同密码有（）
A．24个B．36个C．72个D．60个
(★★★) 3. 已知直线、和平面，则下列命题正确的是（）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
(★★) 4. 已知且，则二次曲线与必有（）A．不同的顶点B．不同的焦距C．相同的离心率D．相同的焦点
(★★★) 5. 在平面直角坐标系中，坐标原点到过点，
的直线距离为（）
A．B．C．D．
(★★★) 6. 如图，在菱形中，，线段、的中点分别为、．现将沿对角线翻折，当二面角的余弦值为时，
异面直线与所成角的正弦值是（）
A．B．C．D．
(★★★) 7. 已知中心在原点的椭圆和双曲线有共同的左、右焦点、，两曲
线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
(★★★★) 8. 如图，在矩形中，，，、分别为边、的中点，沿将折起，点折至处（与不重合），若，
分别为线段、的中点，则在折起过程中，下列选项正确的是
（）
A．可以与垂直
B．不能同时做到平面且平面
C．当时，平面
D．直线、与平面所成角分别、，、能够同时取得最大值
二、多选题
(★) 9. 已知直线，则（）
A．若，则
B．若，则
C．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则
D．当时，不经过第一象限
(★★) 10. 已知空间中三点，，，则（）A．向量与互相垂直
B．与方向相反的单位向量的坐标是
C．与夹角的余弦值是
D．在上的投影向量的模为
(★★★★) 11. 在的展开式中（）
A．常数项为B．项的系数为
C．系数最大项为第3项D．有理项共有5项
(★★★★) 12. 如图，P是椭圆与双曲线
在第一象限的交点，且共焦点
的离心率分别为，则下列结论不正确的是
（）
A．B．若，则
C．若，则的最小值为2D．
三、填空题
(★★) 13. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 ____________ (★★★) 14. 已知抛物线的准线方程为，则 ______ ，若过点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小
值为 ______ ．
(★★★)15. 如图，菱形和矩形所在的平面互相垂直，，和交于点，，点为线段上任意一点，直线与平面
所成角为，则的取值范围 ______ ．
(★★★) 16. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上两点，且
，若线段的垂直平分线与轴的交点为，则
______ ．
四、解答题
(★★★) 17. 已知点，圆．
（1）若直线过点且在两坐标轴上截距之和等于，求直线的方程；
（2）设是圆上的动点，求（为坐标原点）的取值范围．
(★★★★) 18. 求的常数项．
(★★★) 19. 某班组织投篮比赛，比赛分为两个项目.比赛规则是：①选手在每个项目中投篮5次，每个项目投中3次及以上为合格；②第一个项目投完5次并且合格后才可以进入下一个项目，否则该选手结束比赛；③选手进入第二个项目后，投篮5次，无论投中与否均结束比赛.已知选手甲在项目比赛中每次投中的概率都是0.5.
(1)求选手甲参加项目合格的概率；
(2)已知选手甲参加项目合格的概率为0.6.比赛规定每个项目合格得5分，不合格得0分.设累计得分为，为使累计得分的期望最大，选手甲应选择先进行哪个项目的比赛（每个项目合格的概率与次序无关）？请说明理由.
(★★★) 20. 如图，在三棱柱中，侧面是菱形，，．
（1）若是线段的中点，求证：平面平面；
（2）若、、分别是线段、、的中点，求证：直线平面．
(★★★) 21. 已知四棱锥，，，，点在底面上的射影是的中点，．
（1）求证：直线平面；
（2）若，、分别为、的中点，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）当四棱锥的体积最大时，求二面角的大小．
(★★★★) 22. 已知、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明
理由；
（3）设为椭圆上非长轴顶点的任意一点，为线段上一点，若与的内切圆面积相等，求证：线段的长度为定值．。