广东省佛山市实验学校高三数学9月模拟考试试题 理

佛山市实验学校2016届高三9月模拟考试题
数学（理科）
(考试用时：120分钟 总分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合{}0,1A ＝，2
3
1{|}B y y x x A ∈＝＝－，，则A B ⋃的子集的个数为 ( )
A. 4
B. 7
C. 8
D. 16
2.复数
2212i
i ++-的共轭复数是 ( ) A ．325i - B ．3
25i + C ．2i + D ． 2i -
3.函数|1|y lg x ＝－的图象大致为 ( )
4.已知命题p ：(,0)x ∀∈-∞，23x
x
>，命题q ：()0,1x ∃∈，lg 0x >，则下列命题为真命题的
是 ( )
A.
p ∧q B. p ∧(q ⌝) C. (p ⌝)∧q D. p ⌝∨q
5.若变量x y 、满足2040x y x y y a ++≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
，且2x y -的最大值为－1，则a 的值为 ( )
A.0
B.－1
C. 1
D.2
6.若函数()()f x x R ∈是奇函数，函数g()()x x R ∈是偶函数，则 ( ) A. 函数(g())f x 是奇函数 B. 函数g(())f x 是奇函数 C. 函数()g()f x x 是奇函数 D. 函数()g()f x x +是奇函数
7.若曲线()cos f x a x =与曲线2
()1g x x bx =++在交点(0,)m 处有公切线，则a b +=( ) A. 1 B. 0 C. －1 D. 2
8.设函数()1()7,0
2,0x
x f x x x ⎧-<⎪⎨⎪≥⎩
＝,若()1f a <，则实数a 的取值范围是 ( )
A. (),3∞-－
B. (1,)+∞
C. ()3,1－
D. ,3()1,()∞-⋃+∞－
9. 要制作一个容积为3
4 m ，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20
元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 ( )
A ．80元
B ．120元
C ．160元
D ．240元
10.若函数()2
2f x x lnx ＝－在其定义域的一个子区间1()1k k －，＋内不是单调函数，则实数k 的
取值范围是 ( )
A. 3[1,)2
B. 3(,)2+∞
C. 1[1,)2
D. 1
(,)2
+∞
11. 在R 上可导的函数()f x 的图象如图，则关于x 的不等式()0xf x '<的解集( )
A. () ,1()0,1∞-⋃－
B. 1,0),()(1⋃+∞－
C. () 2,112(),-⋃－
D. ,2()2,()∞-⋃+∞－
12. 已知()f x 是定义在R 上周期为2的偶函数，且当1[]0,x ∈时，()21x
f x ＝－，则函数
()()5g x f x log x ＝－的零点个数是 ( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分；将正确答案填在题中的横线上)
13．函数()12
log (1)f x x -＝的定义域为 ．
14. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 . 15. 设n 为正整数，()111
231f n n
+
++•••+=，计算得()()()()5
2428632132
f f f f >>>，，，=.观察上述结果，按照
上面规律，可推测()128f > .
16. 若函数y m =与函数1
1
x y x -=
-的图象无公共点，则实数m 的取值范围是 .
三、解答题(本大题共8小题，17～21每小题12分，22～24为选做题，每小题10分任选一题作答，共70分；解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)
17．(本小题满分12分)
已知m ∈R ，命题p ：对任意1[]0,x ∈，不等式2223x m m ≥－－恒成立；命题q ：存在,1[]1x ∈－，使得m ax ≤成立．
(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；
(2)当1a =，若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围.
18．(本小题满分12分)
已知函数()x
f x e ＝，当1[]0,x ∈时，求证：
(1)()1f x x ≥＋； (2)()(11)x f x x ≤－＋.
19．(本小题满分12分)
如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中=4AE 米，=6CD 米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM ，使点P 在边DE 上．
(1)设=MP x 米，=PN y 米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域； (2)求矩形BNPM 面积的最大值．
20．(本小题满分12分)
已知函数()(1)
.1
a x f x lnx a x -∈+R ＝－
， (1)若2x =是函数()f x 的极值点，求曲线()y f x ＝在点()(1)1f ，处的切线方程；
(2)若函数()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，求a 的取值范围．
21．(本小题满分12分)
已知函数()2
8f x x x ＝－＋，()6g x lnx m ＝＋.
(1)求()f x 在区间[]1t t ，＋上的最大值()h t ；
(2)是否存在实数m 使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．
请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

（22）（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，AB 是圆O 的直径，AC 是弦，BAC ∠的平分线AD 交圆O 于点D ，DE AC ⊥，交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F ．
(1)求证：DE 是圆O 的切线；
(2)若25AC AB =，求
AF
DF
的值．
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线11cos sin x t C y t αα=+⎧⎨=⎩： (t 为参数)，圆2cos sin x C y θ
θ
=⎧⎨
=⎩： (θ为参数)． (1)当3
π
α=
时，求1C 与2C 的交点坐标；
(2)过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为,A P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线？
（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数()32f x x =--, ()14g x x =-++. (1)若函数()f x 的值不大于1,求x 的取值范围.
(2)若不等式()()1f x g x m -≥+的解集为R ,求m 的取值范围.
佛山市实验学校2016届高三9月模拟考参考答案
数学（理科）
一、1-6CDBBBC 7-12ACCAAD 二、13. (1,2] 14.7 15.
9
2
16. (,1)(1,)-∞-⋃+∞ 三、17.解：(1)∵对任意x ∈[0，1]，不等式2x －2≥m 2
－3m 恒成立，∴(2x －2)min ≥m 2
－3m ，即m 2
－3m
≤－2，解得1≤m ≤2.
因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[1，2]．
(2)∵a ＝1，且存在x ∈[－1，1]，使得m ≤ax 成立，∴m ≤1. 因此，命题q 为真时，m ≤1. ∵p 且q 为假，p 或q 为真，
∴p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．
当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧1≤m ≤2，
m ＞1， 得1＜m ≤2；
当p 假q 真时，由⎩
⎪⎨⎪⎧m ＜1或m ＞2，
m ≤1， 得m ＜1.
综上所述，m 的取值范围为(－∞，1)∪(1，2]
18.证明：(1)设g (x )＝e x
－x －1，x ∈[0，1]．
∵g ′(x )＝e x
－1≥0，∴g (x )在[0，1]上是增函数， g (x )≥g (0)＝1－0－1＝0.
∴e x
≥1＋x ，即f (x )≥1＋x .
(2)设h (x )＝(1－x )e x
－x －1，x ∈[0，1]．
∵h ′(x )＝－xe x
－1＜0，∴h (x )在[0，1]上是减函数， h (x )≤h (0)＝1－0－1＝0.
∴(1－x )e x
－x －1≤0，即(1－x )f (x )≤1＋x .
19. 解：(1)作PQ ⊥AF 于Q ，所以PQ ＝(8－y )米，EQ ＝(x －4)米． 又△EPQ ∽△EDF ，所以EQ PQ ＝EF
FD ，即x －48－y ＝42.所以y ＝－1
2
x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤
8}．
(2)设矩形BNPM 的面积为S 平方米，则S (x )＝xy ＝x ⎝
⎛⎭⎪⎫10－x 2＝－12(x －10)2
＋50，
S (x )是关于x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x ＝10，所以当x ∈[4,8]时，S (x )单调递增．
所以当x ＝8米时，矩形BNPM 的面积取得最大值，为48平方米．
20.解：(1)f ′(x )＝1x －a （x ＋1）－a （x －1）
（x ＋1）
2
＝（x ＋1）2－2ax x （x ＋1）2＝x 2
＋（2－2a ）x ＋1x （x ＋1）2
.
由题意知f ′(2)＝0，代入得a ＝9
4，经检验，符合题意．
从而切线斜率k ＝f ′(1)＝－1
8
，切点为(1，0)，故切线方程为x ＋8y －1＝0.
(2)f ′(x )＝x 2＋（2－2a ）x ＋1
x （x ＋1）2
.
因为f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数， 所以f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立．
即x 2
＋(2－2a )x ＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立．
当x ∈(0，＋∞)时，由x 2
＋(2－2a )x ＋1≥0，得2a －2≤x ＋1x
.
设g (x )＝x ＋1x ，x ∈(0，＋∞)．g (x )＝x ＋1
x
≥2
x ·1
x
＝2. 所以当且仅当x ＝1
x
，即x ＝1时，g (x )有最小值2.
所以2a －2≤2，所以a ≤2.故a 的取值范围是(－∞，2]．
21.解：(1)f (x )＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2
＋16.
当t ＋1<4，即t <3时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递增， h (t )＝f (t ＋1)＝－(t ＋1)2＋8(t ＋1)＝－t 2＋6t ＋7； 当t ≤4≤t ＋1，即3≤t ≤4时，h (t )＝f (4)＝16； 当t >4时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递减， h (t )＝f (t )＝－t 2＋8t .
综上，h (t )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－t 2
＋6t ＋7，t <3，16，3≤t ≤4，
－t 2＋8t ，t >4.
(2)函数y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且只有三个不同的交点，即函数φ(x )＝g (x )－f (x )的图象
与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点．
∵φ(x )＝x 2
－8x ＋6ln x ＋m ，
∴φ′(x )＝2x －8＋6x
＝2x 2
－8x ＋6x ＝2(x －1)(x －3)
x (x >0)，
当x ∈(0,1)时，φ′(x )>0，φ(x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，φ′(x )<0，φ(x )是减函数； 当x ∈(3，＋∞)时，φ′(x )>0，φ(x )是增函数； 当x ＝1或x ＝3时，φ′(x )＝0. ∴φ(x )极大值＝φ(1)＝m －7， φ(x )极小值＝φ(3)＝m ＋6ln3－15. ∵当x 充分接近0时，φ(x )<0， 当x 充分大时，φ(x )>0.
∴要使φ(x )的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只需 ⎩
⎪⎨
⎪⎧
φ(x )极大值＝m －7>0，
φ(x )极小值＝m ＋6ln3－15<0，
即7<m <15－6ln3.
所以存在实数m ，使得函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为(7,15－6ln3)．
22.解：(1)证明：连结OD ，可得∠ODA ＝∠OAD ＝∠DAC ， ∴OD ∥AE ．又AE ⊥DE ，∴DE ⊥O D ． 又OD 为半径，∴DE 是圆O 的切线．
(2)过D 作DH ⊥AB 于点H ，连结BC ，则有∠DOH ＝∠CAB ，
cos ∠DOH ＝OH OD ＝cos ∠CAB ＝AC AB ＝2
5
，
设OD ＝5x ，则AB ＝10x ，OH ＝2x ，∴AH ＝7x ． 由△AED ≌△AHD 可得AE ＝AH ＝7x ．
又由△AEF ∽△DOF 可得AF DF ＝AE OD ＝7
5．
23.解：(1)当α＝π3
时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2
＝1．联立方程组
⎩⎨⎧y ＝3（x －1），x 2＋y 2
＝1
解得C 1与C 2的交点坐标为(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，－32． (2)C 1的普通方程为x sinα－y cosα－sinα＝0，过原点的C 1的垂线方程为x cosα＋y sinα＝0，
所以A 点的坐标为(sin 2
α，－cosαsinα)，
故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1
2
sin 2α，y ＝－1
2
sinαcosα
(α为参数)．
∴P 点轨迹的普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142
＋y 2
＝116，表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，半径为14的圆．
24.(1)由题意得f(x)≤1,即|x-3|-2≤1,得|x-3|≤3,
因为|x-3|≤3⇔-3≤x-3≤3⇔0≤x ≤6,所以x 的取值范围是[0,6].
(2)f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6,因为对于任意实数x,由绝对值的三角不等式得 f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6=|3-x|+|x+1|-6≥|(3-x)+(x+1)|-6=4-6=-2, 于是有m+1≤-2,得m ≤-3,即m 的取值范围是(-∞,-3].。