函数级数和
级数求和与函数展开习题课
一、数项级数的审敛法√ 二、求幂级数收敛域的方法
4、5、7节
三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和付式级数
展开法
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三、幂级数和函数的求法
• 求部分和式极限
• 利用幂级数性质，借用已知幂级数的和函数求解 （在收敛区间内）
anxn
n0
难
逐项求导或求积分
an xn
n0
求和
S(x)
对和式积分或求导
S * ( x)
• 数项级数 直接求和: 求部分和等 求和 间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值
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常用函数的幂级数（或常用幂级数的展开式）
ex 1 x 1 x2 1 xn ,
2!
n!
x (, )
ln(1 x)
x
1x2 2
1 x3 1 x4 34
(1)n n 1
xn1
x (1, 1]
sin x x x3 x5 x7 (1)n x2n1
3! 5! 7!
(2n 1)!
x (, )
cos x 1 x2 x4 x6 (1)n x2n
2! 4! 6!
(2n)!
x (, )
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(1 x)m 1 mx m(m 1) x2 2!
m(m 1)(m n 1) xn x (1, 1) n!
当 m = –1 时
1 1 x x2 x3 (1)n xn , 1 x
x (1, 1)
函数项级数收敛和一致收敛的判别
函数项级数收敛和一致收敛的判别函数项级数收敛和一致收敛的判别函数项级数是指将一列函数相加得到的级数，例如：$%sum%limits_{n=1}^%infty f_n(x)$。
如果该级数在某个区间内收敛，则称该级数在该区间内收敛，否则称该级数在该区间内发散。
函数项级数的收敛性可以分为点态收敛和一致收敛两种。
点态收敛是指对于每一个$x$，级数$%sum%limits_{n=1}^%inftyf_n(x)$都收敛，而一致收敛则是指存在一个收敛的函数$S(x)$，使得对于任意$%epsilon>0$，存在一个正整数$N$，使得当$n>N$时，对于所有$x$都有$|%sum%limits_{k=1}^n f_k(x)-S(x)|<%epsilon$。
下面将介绍函数项级数的一致收敛的判别方法：一、Weierstrass判别法Weierstrass判别法是判定函数项级数一致收敛的最常用方法之一。
其基本思想是将原函数项级数中的每一项$f_n(x)$都用一个上界函数$M_n(x)$来代替，并且要求这个上界函数满足以下两个条件：1. 对于任意$n$和$x$，都有$|f_n(x)|%leq M_n(x)$。
2. 上界函数$M_n(x)$的函数项级数$%sum%limits_{n=1}^%infty M_n(x)$在该区间内收敛。
如果满足上述条件，则原函数项级数在该区间内一致收敛。
二、Abel判别法Abel判别法是另一种判定函数项级数一致收敛的方法。
其基本思想是将原函数项级数表示为两个部分的乘积：$%sum%limits_{n=1}^%infty a_n(x)b_n(x)$，其中$a_n(x)=%sum%limits_{k=1}^n f_k(x)$，$b_n(x)$是一个单调有界函数。
如果满足以下两个条件，则原函数项级数在该区间内一致收敛：1. 函数$a_n(x)$在该区间内一致有界。
2. 函数$b_n(x)$在该区间内一致收敛到某个函数$B(x)$。
高等数学中的级数及解题方法
高等数学中的级数及解题方法在数学学科中，级数是一个综合性较强的概念，是指由无穷多项组成的无穷级数。
其可以说是数学研究中最重要的一类问题之一，其中又分为数列级数和函数级数两种。
在解题时，我们通常采用求和的方法，将求和问题转化为极限问题，再通过已知的数列或函数列求其极限值，从而求出级数的和。
下面，本文将就高等数学中的级数及解题方法进行详细的介绍。
一、数列级数的概念数列级数是指由数列的无穷项组成的和。
当数列的项在无限增加时，其和也就趋向于无限大或无限小。
例如，以下为一个数列级数的示例：$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$其中，$\frac{1}{n}$ 为数列的通项公式，$\sum$ 符号表示求和，$n$ 为变量，表示从 $1$ 到无穷大的所有自然数。
针对此类数列级数的求和问题，我们通常采用以下两种方法：1.求极限法当数列级数的通项公式为一个有界数列时，可以采用直接求和的方法，例如：$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$在此类情况下，我们可以通过变换数列项得到一个几何级数形式：$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$其中，$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$ 为几何级数的求和公式。
2.比较法当数列级数的通项公式无法直接求出其和的时候，我们可以采用比较法进行求解。
具体来讲，我们需要构造一个同类比较数列或级数，从而比较其大小关系，进而得到数列级数的极限值。
例如：$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$其中，$p\geq 1$，$n$ 为变量，表示从 $1$ 到无穷大的所有自然数。
针对此类数列级数的求和问题，我们可以采用以下的比较系列：$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \leq\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$其中，两个级数在极限时均为无穷大。
函数项级数的收敛和一致收敛的区别
函数项级数的收敛和一致收敛的区别哎呀，今天咱们聊聊函数项级数的收敛和一致收敛这俩家伙。
听起来是不是有点晦涩？别担心，我会尽量把这话说得简单明了，让你轻松理解。
想象一下，你正在参加一个聚会，有两个小伙伴，一个是收敛，另一个是一致收敛。
他们俩虽然都挺靠谱，但性格上可是有不少区别哦。
收敛这位小伙伴，乍一看还真让人觉得亲切。
他就是那种比较随和的家伙，时不时就能让你心里觉得舒服。
他的主要特点就是，随着某个参数不断变化，他的表现会慢慢趋向一个特定的值。
比方说，你想让他表演个节目，他就会努力地调整自己的表演，直到最终达到你想要的效果，嘿，听起来不错吧？但问题来了，收敛有时候也挺慢吞吞的，尤其在某些情况下，可能需要耐心等待好久才能看到效果，真是有点让人抓狂。
而一致收敛就不同了，这小子可是行动迅速！他是那种一上场就能让你眼前一亮的角色。
他的特点就是不管参数怎么变，他始终能保持一致，给你一个稳定的表现。
就好像你在看一个魔术表演，无论观众坐在哪个位置，魔术师的表演总是一样精彩。
这种一致性让人觉得特别安心，就像一个老朋友，让你可以随时依赖。
要是收敛是个温柔的慢人，那么一致收敛就是个干脆利落的快手。
有意思的是，虽然这俩家伙都能让你看到最终的结果，但过程却大相径庭。
收敛就像在走一条蜿蜒的小路，时不时还有点坑坑洼洼的，需要你小心翼翼地迈步。
而一致收敛则像是在一条平坦的大道上，走起来畅通无阻，真是爽快！不过，得注意的是，收敛有时候会让你看到一些奇怪的现象，可能你明明在等着他趋向一个值，他却在某个点上停下来，让你有点摸不着头脑。
再说了，收敛和一致收敛之间的区别在于他们的“友情”。
收敛可能会和你保持一种“各自为政”的关系，在某个点上，你的结果和他们的行为可以有点距离。
而一致收敛则是“齐心协力”的完美配合，真是一拍即合。
想象一下，大家在一起玩游戏，一致收敛总是能让所有人同步快乐，而收敛就可能有些人跟不上节奏，变得有点尴尬。
还要提一句，这两位小伙伴在数学界可是非常重要的，大家都想和他们建立良好的关系。
函数项级数的应用
函数项级数的应用函数项级数是数学中的一个重要概念，它在实际问题的求解中有着广泛的应用。
本文将介绍函数项级数的定义及其应用领域，并通过具体例子展示其解决问题的能力。
一、函数项级数的定义函数项级数是指由一系列函数项按特定规律排列而成的级数。
形式上，函数项级数可以表示为：S(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) + ...其中，f1(x)，f2(x)，f3(x)等为函数项，x为自变量，S(x)为级数的和。
函数项级数的求和可以通过数列的部分和逐渐逼近的方式进行。
二、函数项级数的应用函数项级数在数学的各个分支以及其他领域中都有着广泛的应用。
以下是函数项级数在实际问题中的几个应用领域。
1. 近似计算函数项级数可以用来近似计算某些复杂函数的值。
例如，我们可以利用泰勒级数来近似计算指数函数、三角函数等。
通过截取级数的前几项，可以得到函数在某个点附近的近似值，从而简化计算过程。
2. 物理问题的建模与求解函数项级数在物理问题的建模与求解中有着广泛的应用。
例如，某个物理问题可以通过级数展开的形式进行描述，进而通过求和得到问题的解析解。
函数项级数的求和性质可以帮助我们解决各种物理问题，如天体力学、电磁场分布等。
3. 信号处理函数项级数在信号处理领域也有着重要的应用。
例如，傅里叶级数是一种将周期信号拆解为基本频率的级数展开形式，通过傅里叶级数可以实现信号的频域分析、滤波和合成等操作。
4. 统计学函数项级数在统计学中也有一定的应用。
例如，通过泊松级数可以描述在给定时间间隔中某个事件发生的概率。
通过控制级数的求和次数，我们可以得到不同精度的概率估计，用于解决统计学问题。
5. 金融学在金融学中，函数项级数常常用于建立金融模型，对金融市场进行预测和分析。
例如，布莱克-斯科尔斯期权定价模型就是基于波动率的函数项级数展开，用于计算期权的价格。
三、函数项级数的实例下面通过几个具体的例子来展示函数项级数的应用。
1. 求解三角函数可以将三角函数利用泰勒级数展开，从而实现对三角函数的近似求解。
级数求和的八种方法
级数求和的八种方法一、列方程法：列方程法是通过将级数的部分项与一些已知的函数进行比较，然后列出方程，并求解得到级数的和。
常用的列方程法有以下几种：1.等差级数：等差级数是指级数的每一项与前一项之间的差都相等的级数。
求等差级数和的方法有两种常用的方式：（1）利用等差级数的通项公式：对于等差级数来说，其通项公式可以表示为：an = a1 + (n - 1)d，其中a1是首项，d是公差，n是项数。
利用这个通项公式，可以列出等差级数的部分和Sn的表达式，然后求解得到 Sn 的值。
（2）利用等差级数的求和公式：等差级数的求和公式是 Sn = (a1 + an)n/2，其中n表示级数的项数，a1表示首项，an表示末项。
将对应的值代入公式，即可求得等差级数的和。
2.等比级数：等比级数是指级数的每一项与前一项之间的比例都相等的级数。
求等比级数和的方法有以下两种常见的方式：（1）利用等比级数的通项公式：对于等比级数来说，其通项公式可以表示为：an = a1 * q^(n-1)，其中a1是首项，q是公比，n是项数。
利用这个通项公式，可以列出等比级数的部分和Sn的表达式，然后求解得到 Sn 的值。
（2）利用等比级数的求和公式：等比级数的求和公式是Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)，其中a1表示首项，q表示公比，n表示级数的项数。
将对应的值代入公式，即可求得等比级数的和。
二、借助公式法：由于有些级数的部分和难以直接计算，可以利用已知的级数求和公式，借助一些已知级数的和，表示成新的级数的和。
常见的借助公式法有以下几种：1.幂级数的求和公式：幂级数是指级数的每一项都是幂函数的项。
对于幂级数来说，有一些常用的求和公式，可以将一个复杂的幂级数表示成一个已知幂级数的和，从而利用已知的幂级数求和公式得到级数的和。
2.三角函数级数的求和公式：三角函数级数是指级数的每一项都是一个三角函数的项。
对于三角函数级数来说，有一些常用的求和公式，可以将一个复杂的三角函数级数表示成一个已知三角函数级数的和，从而利用已知的三角函数级数求和公式得到级数的和。
函数项级数的收敛域与和函数
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(3) 定义3 若{ f n ( x )}在D上收敛,则可确定一个新的 函数f ( x ),x D. 则称f ( x )为函数列{ f n ( x )}的极限函数. 记为: lim f n ( x ) f ( x ), x D或x D, f n ( x ) f ( x ), n n
0,| x | 1 从而 f n ( x ) f ( x) , x (1,1] 1, x 1 fn ( x) f ( x ),(n ), x D 0 0,N N, n0 N , x0 D,有 fn0 ( x0 ) f ( x0 ) 0
1. 函数列的定义: (1) 定义1 设函数f1 ( x ), f 2 ( x ),, f n ( x ),是定义在同 一个数集E上,则称其为E上的函数列. 记为: { f n ( x )}或f n ( x ), n 1,2, 特别地取定x x0 ,则函数列{ f n ( x )}为一个数列 { f n ( x0 )}.
k 1 k 1 1 n n 1
1 un ( x )dx 0[lim u ( x ) ] dx 0 n s k 0[lim n ( x )]dx n k 1 1 n
1
1
n
uk ( x )dx lim [0 uk ( x )dx] [0 un ( x )dx] lim 0 n n n1
三角函数的级数展开与级数和计算
三角函数的级数展开与级数和计算三角函数是数学中重要的函数之一，可以通过级数展开的方式进行求解和计算。
在本文中，将介绍三角函数的级数展开方法以及如何计算级数和。
注意，本文的格式将以说明文的形式展示，并提供示例来帮助读者理解。
一、正弦函数的级数展开与级数和计算正弦函数可以用无穷级数展开，其级数展开形式如下：sin x = x - (x^3/3!) + (x^5/5!) - (x^7/7!) + ...其中，x为角度（弧度制），!表示阶乘。
根据该级数展开形式，我们可以计算正弦函数的级数和。
例如，给定角度为π/4，我们可以通过计算前n项的和来近似计算sin(π/4)的值。
具体计算过程如下：sin(π/4) ≈ π/4 - (π/4)^3/3! + (π/4)^5/5! - (π/4)^7/7! + ...二、余弦函数的级数展开与级数和计算余弦函数也可以用无穷级数展开，其级数展开形式如下：cos x = 1 - (x^2/2!) + (x^4/4!) - (x^6/6!) + ...同样地，我们可以根据该级数展开形式计算余弦函数的级数和。
例如，给定角度为π/3，我们可以通过计算前n项的和来近似计算cos(π/3)的值。
具体计算过程如下：cos(π/3) ≈ 1 - (π/3)^2/2! + (π/3)^4/4! - (π/3)^6/6! + ...三、正切函数的级数展开与级数和计算正切函数同样可以用无穷级数展开，其级数展开形式如下：tan x = x + (x^3/3) + (2x^5/15) + (17x^7/315) + ...根据该级数展开形式，我们可以计算正切函数的级数和。
例如，给定角度为π/6，我们可以通过计算前n项的和来近似计算tan(π/6)的值。
具体计算过程如下：tan(π/6) ≈ π/6 + (π/6)^3/3 + (2(π/6)^5/15) + (17(π/6)^7/315) + ...四、级数展开与级数和计算的应用三角函数的级数展开与级数和计算在数学和工程等领域中有着广泛的应用。
级数求和的常用方法
1.7方程式法 (3)1.8原级数转化为子序列求和 (3)1.9数项级数化为函数项级数求和 (3)1.10化数项级数为积分函数求原级数和 (4)1.11三角型数项级数转化为复数系级数 (4)1.12构造函数计算级数和 (5)1.13级数讨论其子序列 (5)1.14裂项法求级数和 (6)1.15裂项+分拆组合法 (7)1.16夹逼法求解级数和 (7)2函数项级数求和 (8)2.1方程式法 (8)2.2积分型级数求和 (8)2.3逐项求导求级数和 (9)2.4逐项积分求级数和 (9)2.5将原级数分解转化为已知级数 (10)2.6利用傅里叶级数求级数和 (10)2.7三角级数对应复数求级数和 (11)2.8利用三角公式化简级数 (12)2.9针对2.7的延伸 (12)2.10添加项处理系数 (12)2.11应用留数定理计算级数和 (13)2.12利用Beta函数求级数和 (14)参考文献 (15)级数求和的常用方法级数要首先考虑敛散性，但本文以级数求和为中心，故涉及的级数均收敛且不过多讨论级数敛散性问题.由于无穷级数求和是个无穷问题，我们只能得到一个n →∞的极限和.加之级数能求和的本身就困难，故本文只做一些特殊情况的讨论，而无级数求和的一般通用方法，各种方法主要以例题形式给出，以期达到较高的事实性.1数项级数求和1.1等差级数求和等差级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公差，并运用公式可求和.11((1)22n n a a n n s na d +-=+=），其中1a 为首项，d 为公差 证明：12=++...+n s a a a ①，21s=+...++n a a a ② ①+②得：()12-112(+++...+(+)n n n s a a a a a a =+） 因为等差级数11...+n n a a a a +==所以1(2n n a a s +=）此证明可导出一个方法“首尾相加法”见1.2. 1.2首尾相加法此类型级数将级数各项逆置后与原级数四则运算由首尾各项四则运算的结果相同，便化为一简易级数求和. 例1:求01235...(21)n n n n n c c c n c +++++.解：01235...(21)n n n n n s c c c n c =+++++，210(21)...53n n n n n s n c c c c =++++，两式相加得：21012(22)(...)(1)2n n n n n n s n c c c c n +=++++=+⋅，即： 01235...(21)(1)2n n n n n n c c c n c n +++++=+.1.3等比级数求和等比级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公比并运用公式可求和.当q =1，1s na =；当q ≠1，1(1)1n a q s q-=-，其中1a 为首项，q 为公比.证明：当q =1，易得1s na =，当q ≠1，11111=++...+n s a a q a q - ①， 2111=++...+n qs a q a q a q ②， ①-②得11(1)n q s a a q -=-.可以导出一种方法“错位相减”见下1.4 1.4错位相减法此方法通常适用于等差与等比级数混合型，通过乘以等比级数公比q ，再与原级数四则运算后化为等差或等比级数求和.例2：计算212n n -∑.解： 2313521...2222n n s -=++++ ①，21352121 (222)n n s --=++++ ②， ②-①得： 121121************n n n k k k n k k k k k n s s s -===---=-=+-=+-=∑∑∑111121121213122212n n n n n n -----+-=---，lim n s →∞=3.1.5蕴含型级数相消法此类型级数本身各项之间有蕴含关系，通过观察可知多项展开会相互之间相消部分项，从而化简级数求和.例3：计算1ni =∑.解：将各项展开可得：(1...s =-+++++11==lim n s →∞= 1.6有理化法求级数和对于一些级数通项含有分式根式的级数，我们可以仿照数学中经常使用的方法“有理化”处理，以期达到能使得级数通项化简，最后整个级数都较容易求和.例4：计算1n ∞=.解：可以看出此级数含根式较多，因此尝试运用有理化的方法去处理，即通项n a =对其分母有理化得：−−−−=−分母有理化，则原级数可以采用本文中的1.5“蕴含型级数相消法”，则可以快速求得级数和的极限为1. 1.7方程式法此型级数通过一系列运算能建立级数和的方程式，通过解方程求解级数和.准确建立方程是关键问题，方程类型不固定，有类似与微分方程之类的，故要视具体情况建立方程，解方程也要准确，才能求出级数和.例5：计算2cos cos 2...cos n q q n q θθθ+++，其中1q <. 解：记2cos cos 2...cos =nq q n s q θθθ+++= =1cos nk k k q θ∑两边同时乘以cos 2q θ得即：+1222cos cos+1cos )(cos )2=n n n n q s q s q q q s q θθθθ+•++-+-（）（ 解此方程得：2122cos cos(1)cos =12cos n n q n q n q q s q q θθθθ++-++-+-22lim cos 12cos n q q s q q θθ→∞-=+-. 1.8原级数转化为子序列求和若下列条件成立[1]:（1）当n →∞时级数的通项0n a →（2）级数各项没有破坏次序的情况而得新序列n 1n b ∞=∑收敛于原级数 .例6：计算11111111111++-1+++-+++-+ (2345627893)（）（）（）.解：lim 0n n a →∞=Q ，应用欧拉公式1111++...ln 23n c n e n++=++，其中c 为欧拉常数，0()n e n →→∞111111+++...+-1--...-2332s n n=3ln 3ln n n n n e e =-+-，lim ln3n s →∞=.1.9数项级数化为函数项级数求和数项级数化为相应函数项级数，再通过函数项级数求和，并赋予函数未知数相应未知数后记得相应原级数的和.例7：求级数和11135...n n ∞=••••∑（2-1）.解：建立函数项级数2111()135...n n s x x n ∞-==••••∑（2-1）由函数敛散性知识可知其收敛域为(,)-∞+∞，将函数项级数逐项求导可得：'2211()1135...n n s x x n ∞-==+••••∑（2-3）=211111()135...n n x x xs x n ∞-=+=+••••∑（2-1），由此可知()s x 满足微分方程'()()1s x xs x -=，且易知(0)0s =，解此常微分方程得：221122()xx t dt s x ee-=⎰，令1x =则可以求出原级数和：211122s t eedt =⎰.1.10化数项级数为积分函数求原级数和将原级数通过化简，构造积分极限式，从而转化为积分求原级数和也不失为一种好方法，构造积分式子是关键，一般原级数中通过四则运算将n 与积分中的分割相联系从而构造分割，建立级数与积分式子的桥梁.例8：计算11k n k ∞=+∑，其中()n →∞. 解：记1011111lim =ln21+1n n n k k dx s k n k n x n∞→∞==−−−−−−−−→==←−−−−−−−−++∑∑⎰分子分母同时除以构造分割建立级数与积分的桥梁. 1.11三角型数项级数转化为复数系级数将三角型数项级数转化为复数域上的级数，由于复数的实部对应于数项级数，从而转化为求复数系级数进而求原级数和.例9[7]：设2cos cos 2...cos = n s q q n q θθθ+++，求s .解：由于1cos =nk k s q k θ=∑，令(cos sin )i z qe q i θθθ==+为复数，其中0,1,2...k =(cos sin )k k ik k z q e q k i k θθθ==+，其中1,2...k =，得：2...+cos (sin )sin 2...sin nn q n i q qq n θθθθ++++而另一方面1111(cos(+1)sin(+1))11(cos sin )n n z q n i n z q i θθθθ++--+=--+=211-2cos q q θ+ ｛1221cos cos(1)cos(1)cos sin(1)sin n n n q q n q n q n θθθθθθ+++⎡⎤--+++++⎣⎦+ 212sin cos(1)sin sin(1)sin(1)cos n n n i q q n q n q n θθθθθθ+++⎡⎤-+-+++⎣⎦g g ｝取实部对应原级数和即得：12211(1cos cos(1)cos )1-2cos n n q qs q q n q n θθθθ+++=--+++即： 当n →∞，且1q <时22lim cos 12cos n q q s q q θθ→∞-=+-.1.12构造函数计算级数和将级数各项转化为其它函数式子化简级数并求原级数和，关键在于各项的化简函数是否基本统一，如何选择函数式子才能有效化简，将级数参数化为函数式子中的未知数，并无一般的通用函数，选择函数视具体情况而定，下面我们先看一个例子感受这种方法，并从中体会这种方法.例10[7]：请计算下面的级数式子：记2323=1-+......)1111nn t t t t s t t t t t ++++++++（）(，其中1t →-.解：构造函数式子：1()11x x xe f x e e --==++,此函数在[0,)+∞单调递减. 由于000(1)ln(1)|ln 211x xx x x e d e dx dx e e e--+∞+∞-+∞---+==-+=++⎰⎰， 令ln h t =-，满足11lim limln t t h t →→==0ln 1111hthe t eeh h----=-=-=g ，ln ln ()()1()11k t k hk kt k hk t e e f kh t e e ----===+++. 代入题目中的级数式子得：23231lim 1-+......)111n n t t t t t t t t t t -→+++++++（）(+1= 011lim ()h h k e h f kh h -∞→=-∑=0011lim ()ln 21h xx h k e e h f kh dx h e --∞+∞-→=-==+∑⎰.1.13级数讨论其子序列引理[1]：数列}{n s 收敛的充分必要条件是}{n s 的任一子序列都收敛且有相同的极限.特别的：数列}{n s 收敛于s 的充分必要条件是两个互补的子列}{2n s ,}{12-n s ,收敛于同一极限.推广可得：定理[1]：若级数∑∞=1n n a 通项满足当n →∞时， 0→n a （收敛判别的必要条件），∑∞=1n n a 收敛于s 的充分必要条件是：部分和}{n s 的一个子序列}{np s 收敛于s ，其中p 满足：p 是某个正整数p =1，2，…将级数分情况讨论，化为多个子序列之和，利用原级数收敛则级数任意添加括号得到的级数和收敛于原级数和原理，通过求各个子序列之和求解原级数和，关键在于如何分解原级数为不同子序列，然而子序列相对于原级数来说易求些，这样方法才行之有效，这和1.6的“原级数转化为子序列求和”是不同的.分情况讨论在三角中讨论角的大小我们已不陌生，下面我们就看一个这样讨论角的幅度的例题.例11[6]：计算：12cos32nn n π∞=∑. 解：记12cos32n n n s π∞==∑，由级数敛散性知识可知，该级数绝对收敛.按幅度角的讨论将级数分解为：1{|3,0,1,2...}A n n k k ===，2{|31,0,1,2...}A n n k k ==+=，3{|32,0,1,2...}A n n k k ==+=.则：1232222coscos cos cos 3333=++2222n n n n n n A n A n A n n n n ππππ∞∞∞∞=∈∈∈∑∑∑∑1115(1)148718=--=-g ，所以：12cos23127n n n s π∞==-=-∑. 1.14裂项法求级数和针对级数是分数形式，且满足分母为多项乘积形式，且各项之间相差一个相同的整数，裂项后各项就独立出来，而原来各项之间相差整数则裂项后新级数等价于求解某一个级数，其余新级数照此可求出，从而原级数和可以求出. 裂项一般形式：1111()()(+)x m x n n m x m x n=-+-++，此处m n >.例12：计算111...123234(1)(2)s n n n =+++++g g g g g g . 解:记1(1)(2)n a n n n =++g g ，111[]2(1)(1)(2)n a n n n n =-+++ 针对11(1)nk k k =⋅+∑同理采用裂项法记111(1)1n b n n n n ==-++则11(1)nk k k =+∑=11-1n +，111lim lim[1-]1(1)1nn n k k k n →∞→∞===++∑，所以 111111lim lim [](1)(2)2(1)(1)(2)nnn n k k k k k k k k k →∞→∞===++++++∑∑= 11111111lim lim()2(1)2(1)2n n n n k k k k k k +→∞→∞==--++∑∑=1111(1)2224--=. 1.15裂项+分拆组合法将裂项与分拆组合法合用在一起，运用裂项法分拆级数，再将分拆重新组合级数，由新级数返回求原级数和.例13：计算1(+1)(+2)n nn n n ∞=∑（+3）.解：11235+1+2+3(+1)(+2)n n n n n n n ++-=Q（+3）111111251()(+1)(+2)3+1+2+33(+1)(+2)n n n n n n n n n n n n n ∞∞∞===∴=+--∑∑∑（+3）（+3）=1125111()()3233464+--=. 1.16夹逼法求解级数和在数学分析中运用夹逼法则求解极限，在求极限和中我们也可以借鉴此方法，运用两个级数逼近原级数，最后两逼近级数和等于原级数和.例14[8]：设m 为一给定的正整数，求221,1n m nm n ∞=≠-∑. 解：12222221,11111m Nm m Nm Nn m n n n m s m n m n m n+-++=≠==+==+---∑∑∑ 1111111111[ (21122121)m Nn m m m m m m m m n m n +=+=++++++++-+-+--+∑] 21112...2122+1m m N m N N N m N +++++++Q<<且∞→N 时，2lim 0+1N mN →∞=，且2lim 0+2N m N m →∞=，所以23lim 04m N N s m +→∞=-，即2221,134n m n m nm ∞=≠=--∑ 2 函数项级数求和函数项级数和依据未知数x 的而定，因此在收敛域内寻找一个新函数去刻画级数和.2.1方程式法类似于数项级数，函数项级数建立方程，通过方程求解求函数项级数和.例15：计算函数项级数23456()1 (21324135246)x x x x x s x x =+++++++g g g g g g 解：由函数项级数收敛性知识可知题中函数项级数收敛半径为+∞，逐项求导得3'2()1 (2)x s x x x =++++即：'()1()s x xs x =+(0)1s =Q解此微分方程得：2222()(1)x t x s x e e dt -=+⎰.2.2积分型级数求和积分型级数求和显然直接求和会带来困难，通常积分也积不出来，所以要转化，将积分式子化简是个想法，通过变量替换等积分技术化简积分式子，再求级数和，所以关键在于处理积分式子，下面我们看个例题.例16：计算级数(21)220x k k k eππ∞+-=∑⎰.解：因为(2,(21x k k ππ∈+）），作变量替换t k x +=π2得：再根据：'22tt ee dt --=⎰⎰C +得：(422204tt tk ee e πππππ-+--=-+⎰⎰⎰）=4042|2eeπππ--=84042|24eeec ππππ---=.所以原级数=8211t k k eee ππππ∞----==-∑⎰. 2.3逐项求导求级数和根据幂级数逐项求导收敛半径不变原理，对原级数逐项求导后化为一些易求和的幂级数，再往回求积分，从而求原级数和.易知的级数往往是通过泰勒展式或者麦克劳林展式获得的。
级数求和常用方法
级数求和的常用方法摘要级数理论及应用无论对数学学科本身还是在其他科学技术及理论的发展中都有极为重要的影响和作用，而级数求和是级数理论及应用的主要内容之一.由于级数求和的方法比较多，技巧性很强，一般很难掌握其规律，是学习的一个难点，因此掌握一些常用的级数求和方法就显得尤为重要.通过例题，分别针对常用的数项级数和函数项级数求和进行分析和讨论，试图通过对例题的分析和解决，展示级数求和的常用方法和思想，进而探索级数求和的规律，理解级数理论即合理应用，打下良好的基础，为学习者起到抛砖引玉的方法.关键词：数项级数；函数项级数；求和；常用方法Summation of series method in common useAbstractProgression theory and application still are having the most important effect and function on the development of science and technology and theory disregarding logarithmic discipline per se, but summation of series is one of progression theory and applicative main content. Method of summation of series is comparatively many, the dexterity is very strong, in general very difficult to have its law in hand, be a difficult point studying, have some summation of series in common use method in hand therefore appearing especially important right away. Carry out analysis and discuss that by the fact that the example , difference are aimed at several progression and function item summation of series in common use, try to pass the analysis checking an example and solve, show summation of series method and thought in common use , probe and then the summation of series law , understand that progression theory is that reasonableness applies , lays down fine basis, in order the learner gets the method arriving at a modest spur to induce someone to come forward with his valuable contributions.Key words: Count progression; function series; Sue for peace; Method in common use目录引言................................................ 错误!未定义书签。
级数求和的若干方法
级数求和的若干方法级数求和是高等数学中的一个重要内容。
本文主要分为数项级数求和与函数项级数求和两部分。
在数项级数求和的若干方法中，主要讨论了级数收敛定义求和法，傅里叶级数求和法，阿贝耳定理法，利用幂级数求数项级数的和。
其中，用级数收敛定义法是基础，包括裂项相消，错位相减等九种常见方法。
在函数项级数求和的若干方法中，则选取特殊的幂级数与三角函数项级数，讨论了幂级数性质法，逐项求导法与逐项积分法，转换成微分方程法等。
并采用讲述和举例相结合的方式，选取一些典型题目进行分析，体会理解方法。
无穷级数理论是高等数学中的一个重要组成部分。
它是研究函数的性质，函数的表达，进行数值计算的有力工具，其应用是随着微积分理论的发展而发展起来的，无论是在数学学科还是在其他科学技术中都有广泛的应用，其理论的发展也起到了极其重要的影响和作用。
求收敛级数的和是研究级数的任务之一。
无穷级数求和是一个综合性的问题，涉及到的数学理论知识和方法很多，技巧性也比较强，一般很难掌握遵循的规律和解题的要领，是学习的重点也是难点，所以归纳总结一些级数求和的常用方法显得尤为重要。
在大多数教材或者其他数学书籍中，大量的介绍了级数的有关概念以及判断级数敛散性的定理，级数求和的常用方法，并且很多文献对级数求和进行了深层的探讨，数项级数求和法一般归纳为三类：一是基本方法，包括利用等比数列的求和公式，裂项，组合及错位相减等方法；二是常用方法，包括逐项微分和逐项积分法，利用初等函数的幂级数展开式，利用函数的傅里叶级数展开式等；三是特殊方法，包括交换求和顺序等；幂级数求和法归纳为两类：一是利用幂级数的性质法，包括幂级数的运算，逐项微分与逐项积分；二是把幂级数转化成微分方程法。
这些方法之间是相互联系的。
例如，待定系数法中，把待定的系数求出后再用裂项相消法。
多数方法所解决的一类题目都是有共同特点的，比如说求部分和子序列法对非正项级数常常是行之有效的。
但并不是每一道题目，只能用那一种方法，很多题目可以有多种不同的解法。
无穷级数求和函数
无穷级数求和函数1.无穷级数求和函数在收敛域内，可以如图两次应用求积求导法及等比级数求和公式求出这个和函数。
2.高等数学，无穷级数，幂级数，求和函数根据几何级数的求和公式：所以这和划线部分是一样的。
3.无穷级数，求和函数这个是利用逐项求导后求级数和，再求积分。
把原来的级数每一项都求导，这个级数很好求和，就是等比数列求和了:Σx^(4n)=Σ(x^4)^n=lim(n->正无穷) x^4(1-(x^4)^n)/(1-x^4)因为上面求了一次导数。
4.常用的全面的幂级数展开公式可以写开分别求，利用1＋x＋x²＋x³＋........＝1/(1-x)，＝x /(1-x)²/n＝- ln(1-x);5.高数无穷级数，求和函数可以写开分别求，利用1＋x＋x²＋x³＋........＝1/(1-x)，得∑nxⁿ＝x / (1-x)²，∑xⁿ/n＝- ln(1-x)，所以和函数为x/(1-x)²- ln(1-x) 。
6.无穷级数求和∑1/n21＋1/22＋1/32＋…＋1/n2→π2/6这个首先是由欧拉推出来的，将sinx按泰勒级数展开：sinx＝x－x^3/3!＋…于是sinx/x＝1－x^2/3!＋…令y＝x^2，有sin√y/√y＝1－y/3!＋…而方程sinx＝0的根为0,…故方程sin√y/√y＝0的根为π2,＋…＝0的根为π2,根的倒数和＝一次项系数的相反数即1/π2＋1/(2π)2＋…＝1/3!无穷级数是研究有次序的可数或者无穷个数函数的和的收敛性及和的数值的方法，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别。
只有无穷级数收敛时有一个和，发散的无穷级数没有和。
用解析的形式来逼近函数，一般就是利用比较简单的函数形式。
级数求和的八种方法
级数求和的八种方法级数求和是高等数学课程中经常出现的一个重要问题。
求和的方法因级数的性质和特点而异，下面介绍了八种方法，帮助我们更好地解决求和问题。
一、部分分式分解法部分分式分解是可用于求解一般有理函数的技术，可以将一个消去精度高的有理函数转换为单项式之和。
则，若级数为$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}$，那么就有因此原级数可以改写为用局部熟知来代替繁琐的求和，求和得到$\sum_{k=1}^{n}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} -\frac{1}{3}+……+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}$二、递推法定义$a_n$表示级数前n项总和，即则有$S_{1}=a_{1}$$S_{2}=a_{1}+a_{2}=S_{1}+a_{2}$……若能求出$a_n$的通项公式，则可以利用递推计算出$S_n$。
三、换序法如果知道级数的其中一项的值，那么就可以通过改变级数项的序列来大大简化求和问题。
换序法不影响级数的总和，因此只要找到如下的项$a_{n1},a_{n2},a_{n3},……,a_{nm}$，其中每一个$m$都满足那么原级数就可以换为$S_n=(a_1+a_2+a_3+……+a_{n_1-1})+(a_{n_1}+a_{n_2}+……+a_{n_m})+(a_{n_{m+1}}+……+a_n)$四、差分法对于一个级数，有时候会出现一个有规律的序列。
我们可以使用差分法来求解这个序列。
定义级数的前$n$项的差分序列为其中，$\Delta{a_k}=a_{k+1}-a_k$对于单调不降（单调不增）的数列，通过差分可以得到一个常数序列。
因此，级数前$n$项和可以表示为：$S_n=\frac{1}{2}a_1+\sum_{k=2}^{n}(\Delta{a_1}+\Delta{a_2}+……+\Delta{a_{k-1} })$五、Euler变换在求解级数之前，我们可以将级数转化为某个未知函数的级数，再进行求解。
幂级数求和的八个公式
幂级数求和的八个公式
求幂级数求和公式是在数学中求解级数和的一种重要方法。
通过求幂级数求和公式，我们能够准确、快速地求解级数和。
由于幂级数种类繁多，我们将其分为8种类型的求和公式，即：
1.一般级数的求和公式：Sn=a1+a2+a3+…+an；
2.指数级数的求和公式：Sn=a1+a1.q+a1.q2+…+a1.qn-1；
3.等比数列求和公式：Sn=a1.（1-qn）/（1-q）；
4.等差数列求和公式：Sn=n（a1+an）/2；
5.平方数级数求和公式：Sn=（2a1+（n-1）d）（n/2）；
6.立方数级数求和公式：Sn=（2a1+（n-1）d）（n/2）；
7.求和前n项的二次方成比数列的和的公式：Sn=n（2a1+（n-1）d）/2；
8.求和前n项的立方方成比数列的和的公式：Sn=n2（2a1+（n-1）d）/6；
上述代表着不同的求幂级数求和公式，主要包括了一般级数求和公式、指数级数求和公式、等比数列求和公式、等比数列求和公式、等差数列求和公式，以及各种反比数列级数求和公式，这些公式都有自身的特定使用场合，当然，为了使自身学习成果前台更灵活，我们还需要本质上对各种求和公式有深入的了解。
高等数学级数的求和、函数（精品）
一、某些级数的部分和（小孩小孩，，像下面的要证明的话像下面的要证明的话，，就用数学归纳法就用数学归纳法！！） )1(21321+=++++n n n L)12)(1(613212222++=++++n n n n L223333)1(41321+=++++n n n L)133)(12)(1(30132124444−+++=++++n n n n n n L )122()1(1213212225555−++=++++n n n n n L )1363)(12)(1(421321346666+−+++=++++n n n n n n n L )2463()1(241321234227777+−−++=++++n n n n n n n L−+=−+−+−−为偶数为奇数n n n n n n ,2),1(21)1(3211L)1(21)1()1(321121222+−=−+−+−−−n n n n n L+−+−=−+−+−−为偶数为奇数n n n n n n n n ),32(41,)1)(12(41)1(3212231333L)1)(1(21)1()1(3212141444−++−=−+−+−−−n n n n n n n L)1(2642+=++++n n n L 2)12(531n n =−++++L)14(31)12(53122222−=−++++n n n L)12()12(531223333−=−++++n n n L)2)(1(31)1(433221++=+++⋅+⋅+⋅n n n n n L)3)(2)(1(41)2)(1(543432321+++=++++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅n n n n n n n L)4)(3)(2)(1(51)3)(2)(1(54324321++++=+++++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅n n n n n n n n n L)!1()!1(21)()1(1−+++=++∑=n k n k k j j j nj L)53)(2)(1(121)1(12+++=+∑=n n n n j j nj)32)(3)(2)(1(101)2()1(12++++=++∑=n n n n n j j j nj)1(41)(22122−=−∑=n n j nj nj4)2(2)1(2211−+−=++=∑n n j j n nj j1111)1(1431321211+=+−=+++⋅+⋅+⋅n n n n n L)2)(1(2141)2)(1(1543143213211++−=++++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅n n n n n L )3)(2)(1(31181)3)(2)(1(1654315432143211+++−=+++++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅n n n n n n n L)1(21214311)1)(1(1222+−−=−=−+∑∑==n n j j j nj nj12)12)(12(11+=+−∑=n nj j n j13)13)(23(11+=+−∑=n nj j nj)32)(12(41121)32)(12)(12(11++−=++−∑=n n j j j nj)43)(13(61241)43)(13)(23(11++−=++−∑=n n j j j nj)2)(1(212243)2)(1(121++++−=++−∑=n n n j j j j nj)3)(2)(1(34)3)(2(23313629)3)(1(21+++−++−+−=+++∑=n n n n n n j j j j nj2122)2)(1(211−+=++∑=−n j j j n nj j)2(34)1(32)2)(1(4112+−+=+++=∑n n j j j n nj jnnj jn j j j 2)1(112)1(21+−=++∑=nnj j n j j j 3)1(113)1(321+−=++∑=−+−+=−+−+−+++=++−∑1111111)1(2)1(131])1(2][)1(2[2)1(n n n nj j j j jj j−−+++++−=−++−++∑=b n a a a n b b b a b j a a a j b b b nj )1()1()()1(11)1()1()1()1(1L L L L二、乘法与因式分解公式（容易推导）ab x b a x b x a x +++=++)())((2 2222)(b ab a b a +±=± 3223333)(b ab b a a b a ±+±=± ))((22b a b a b a +−=− ))((2233b ab a b a b a +±=±m)())((122321为正整数n b ab b a b a a b a b a n n n n n n n −−−−−+++++−=−L )())((122321为偶数n b ab b a b a a b a b a n n n n n n n −−−−−−+−+−+=−L )())((122321为奇数n b ab b a b a a b a b a n n n n n n n −−−−−+−−+−+=+Lca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a −−−++++=−++三、有关三角函数、指数函数、对数函数的不等式)0,1()1ln(1)0,1(1)0,1(11)0(11)0 为自然数，(!!21)0,1(11)0(121,104)1(sin 2031tan )0(61sin )0,(211cos 222sin )0(1sin cos 20tan sin 112332≠−><+<+≠−>+<≠−>−<+≠−>>++++>≠<−<≠+>≠<<<−<<<+>>−>≠∞<<−∞−><<−><<<<<<<<+−−x x x x xxx x x ex x e x xx x e x n n x x x e x x xe x x e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x xx x x x x xx x x xn xxx L ππππππππ 特别取)(1为自然数n nx =，有 nn n 111ln 11< +<+)0,1(1)1(210tan sin 21sec ln )0,0()1(ln )0,1(1)1ln()0(1ln 1>>+>+<<⋅<>>−≤≠<−<−−<>−≤x x x x xx x x n x n x x x xx x x x x x nααα四、组合公式C n k C k n C k n k C n n k C C C C C C C C C C CC C n k n k n k n k n k n k n n kn k n k n k n k n j k jj kn k n n jnj km nk m jn k jj k ==++=+−=−==+===−−+++−−+−+−−=++++=+−=∑∑∑1111111111100111五、、函数的概念与分类[函数与反函数] 设D 是给定的一个数集.若有两个变量x 和y ，当变量x 在D 中取某个特定值时，变量y 依确定的关系f 也有一个确定的值，则称y 是x 的函数，f 称为D 上的一个函数关系上的一个函数关系，，记为y =f (x )，x 称为自变量称为自变量，，y 称为因变量.当x 取遍D 中各数，对应的y 构成一数集R ，D 称为定义域或自变数域，R 称为值域或因变数域.反过来，若把y 视为自变量，x 视为因变量，用y 写出x 的表达式：x =ϕ(y )，则称y =f (x )与x =ϕ(y )互为反函数.例如例如：：y = x + sin(x+3)[实变函数与复变函数] 当自变数域为实数域时，函数称为实变函数.当自变数域为复数域时，函数称为复变函数.[一元函数与多元函数] 只有一个自变量的函数称为一元函数.有两个或两个以上自变量的函数称为多元函数.[显函数与隐函数] 因变量可以由自变量用数学式子直接表示出来的函数称为显函数.例如例如：：y = x + 3, 这就叫显式表示这就叫显式表示，，显函数若函数关系包含在一个方程式或一组方程式中，自变量与因变量无明显区分，则称为隐函数.例如例如：：sin(x) + tg(2y) = 5, 这就叫隐式表示这就叫隐式表示，，隐函数[简单函数与复合函数] 若y 是u 的函数y =f (u )，而u 又是x 的函数，u =ϕ(x )，则y 称为x 的复合函数，u 称为中间变量，记作y =f [ϕ(x )]，无中间变量的函数称为简单函数.例如例如：：y = sin[exp(cos(x+2))][有界函数与无界函数] 若存在两个数m , M (m ≤M )，使m ≤f (x )≤M ，对定义域上的任意x 都成立，则称f (x )为定义域上的有界函数，m 为其下界，M 为其上界.若这样的数m 和M 至少有一个不存在，则称f (x )为定义域上的无界函数.例如例如：：sin(x)就是有界函数就是有界函数，，{-1，1}[单调函数与非单调函数] 若对于区间[a , b ]中的任意x 1>x 2有f (x 1)≥f (x 2)[或f (x 1)≤f (x 2)]，则称f (x )为[a , b ]中的递增函数(或递减函数).递增函数和递减函数通称为单调函数.不是递增(或递减)的函数称为非单调函数.换句话说换句话说：：对于区间[a , b ]，f’(x)>0，则为单调递增函数则为单调递增函数；；而f’(x)<0,递减函数[奇函数与偶函数] 若对于定义域中的任意x 恒有()()x f x f −=−，则称f (x )为奇函数；若对于定义域中的任意x 恒有()()x f x f =−，则称f (x )为偶函数.例如例如：：sin(x)，tg(x), ctg(x)是奇函数是奇函数、、而cos(x)是偶函数[周期函数与非周期函数] 若有一实数T ≠0，使对定义域中的任意x 恒有f (x +T )=f (x )，则f (x )称为以T 为周期的周期函数；否则称f (x )为非周期函数.孩子，注意周期的求法：按照定义来（保持T 为最小！！！） 例如：sin(x)=sin(2PI +x),所以，2PI 是函数sin(x)的周期Sin^2(x)=1/2[1-cos(2x)]=1/2[1-cos(2PI+2x)]=1/2[1-cos2(PI+x)]=sin^2(PI+x)所以，PI 是sin 平方的周期[单值函数与多值函数] 若对于自变量x 的一个值，因变量y 有一个而且只有一个值与其对应，则称y 为x 的单值函数.若对于自变量x 的一个值，与其对应的y 值不止一个，则称y 为x 的多值函数.[初等函数] 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数通称为“基本初等函数”，凡是由基本初等函数经过有限次四则运算以及有限次的复合步骤而构成，并能用一个数学式子表示的函数都属于初等函数.[幂函数的图形与特征]方程与图形 特 征曲线通过点(0,0)和(1,1)；当x >1时，α越大曲线上升越快.当α为偶数，函数为偶函数，在区间(0,∞)中为递增函数，在区间(-∞,0)中为递减函数.当α为奇数，函数为奇函数和递增函数.曲线通过点(1,1).当α为负偶数，函数为偶函数，在区间(-∞,0)中为递增函数，在区间(0, ∞)中为递减函数.当α为负奇数，函数为奇函数和递减函数.方程与图形 特 征指数函数曲线与y 轴相交于点A(0,1). 渐近线为y=0.曲线与x 轴相交于点A(1,0). 渐近线为x=0.[三角函数的图形与特征] 标准正弦曲线周期：π2=T与x 轴交点（同拐点）：L ,2,1,0),0,(±±=k k B k π极值点（极大点或极小点）：L ,2,1,0,)1(,21(±±=−+k k A k k π余弦曲线周期：π2=T与x 轴交点（同拐点）：L ,2,1,0,0,)21(±±=+k k B k π极值点：L ,2,1,0),)1(,(±±=−k k A k k π 一般正弦曲线)sin(0ϕω+=x A y 周期：ωπ2=T式中A >0为振幅，ω为角频率，0ϕ为初相 与x 轴交点（同拐点）：L ,2,1,0,0,0±±=−k k B k ωϕπ极值点：,)1(,21(0−−+A k A k k ωϕπL ,2,1,0±±=k 同时，)cos(1ϕω+=x A y 也属于一般正弦曲 它是将标准正弦曲线在y 轴方向上伸线(设210πϕϕ+=，可化为))2sin(1πϕω++x A 长A 倍，在x 轴方向上压缩ω倍，并向左平移ωϕ0一段距离而得到.正切曲线周期：π=T与x 轴交点（同拐点）：L ,2,1,0),0,(±±=k k A k π，该点切线斜率为1.渐近线：π21(+=k x余切曲线周期：π=T与x 轴交点（同拐点）： L ,2,1,0,0,)21(±±=+k k A k π，该点切线斜率为－1.渐近线：πk x =y =tan x正割曲线周 期：π2=T极大点：)1,)12((−+πk A k 极小点：L ,2,1,0),1,2(±±=k k B k π渐近线：π)21(+=k x余割曲线周 期：π2=T极大点：−+1,232(πk A k极小点：+1,)212(πk B kL ,2,1,0±±=k渐近线：πk x =反三角函数的图形与特征]反正弦曲线 反余弦曲线拐点（同曲线对称中心）： 拐点（同曲线对称中心）：)0,0(O ，该点切线斜率为12,0(πA ，该点切线斜率为－1反正切曲线 反余切曲线拐点（同曲线对称中心）： 拐点：)0,0(O ，该点切线斜率为1 )2,0(πA ，该点切线斜率为－1渐进线：2π±=y曲线对称中心：)2,0(πA渐近线：π==y y ,0反正割曲线反余割曲线顶点：),1(),0,1(π−B A 顶点：)2,1(),2,1(ππ−−B A渐近线：2π=y渐近线：0=y六、双曲函数1. 双曲函数的定义、图形与特征[双曲函数的图形与特征]双曲正弦曲线 双曲余弦曲线x y sh =x y ch =曲线关于原点对称. 曲线关于y 轴对称. 拐点（同曲线对称中心）： 顶点（同极小值点）：)1,0(A )0,0(O ，该点切线斜率为1双曲正切曲线 双曲余切曲线 x y th =x y cth =曲线关于原点对称.曲线关于原点对称. 拐点（同曲线对称中心）： 不连续点：0=x)0,0(O ，该点切线斜率为1 渐近线：1,0±==y x 渐近线：1±=y双曲正割曲线 双曲余割曲线 x y sech =x y csch =曲线关于y 轴对称. 曲线关于原点对称.顶点（同极大点）：)1,0(A 不连续点：0=x拐点：22,22th Ar B 渐近线：0,0==y x−22,22th Ar C 渐近线：0=y1csch cth ,1th sech ,1sh ch 1cth th ,cth sh ch ,th ch sh 222222=−=+=−===x x x x x x x x x xxx x x [双曲函数基本公式]和差的双曲函数y x yx y x y x y x y x y x y x y x yx y x y x cth cth cth cth 1)cth(th th 1th th )th(sh sh ch ch )ch(sh ch ch sh )sh(±±=±±±=±±=±±=±双曲函数的和差yx y x y x y x y x y x yx y x y x yx y x y x yx y x y x sh sh )sh(cth cth ch ch )sh(th th 2sh2sh 2ch ch 2ch2ch 2ch ch 2ch 2sh2sh sh ±±=±±=±−+=−−+=+±=±m倍 元 公 式 x xx x x x x x x x x x x x x x x x cth 2cth 12cth th 1th 22th ch 3ch 43ch ch sh 2ch sh 4sh 33sh ch sh 22sh 223223+=+=−=+=+== 半 元 公 式xx x x x x x x x x x x x x x x sh 1ch 1ch sh 2cth 1ch sh sh 1ch 2th 21ch 2ch,0,021ch 2sh +=−=+=−=+=<>−±=取负号取正号[反双曲函数的图形与特征] 反双曲正弦曲线 反双曲余弦曲线 x y sh Ar =x y ch Ar =曲线关于原点对称. 曲线关于x 轴对称. 拐点（同曲线对称中心）：顶点：)0,1(A)0,0(O ，该点切线斜率为1反双曲正切曲线 反双曲余切曲线 x y th Ar =x y cth Ar =曲线关于原点对称. 曲线关于原点对称. 拐点（同曲线对称中心）： 不连续点：1±=x )0,0(O ，该点切线斜率为1 渐近线：1,0±==x y反双曲正割曲线 反双曲余割曲线 x y sech Ar =x y csch Ar =曲线关于x 轴对称. 曲线关于原点对称.顶点：)0,1(A不连续点：0=x拐点： 22th Ar ,22B 渐近线：0,0==y x和−22th Ar ,22C4. 反双曲函数的相互关系与基本公式[基本公式]xyy x y x y x xy y x x y y x y x ±±=±−−±=±+±+=±1thAr th Ar th Ar ])1)(1(ch[Ar ch Ar ch Ar )11sh(Ar sh Ar sh Ar 2222。
复变函数二重级数和
复变函数二重级数和复变函数中的二重级数和是一个重要的概念，它在数学分析领域扮演着举足轻重的角色。
在本文中，我将从浅入深地介绍复变函数二重级数和的概念、性质和应用，并分享我的个人观点和理解。
一、复变函数二重级数和的定义复变函数是指定义在复数集合上的函数，它将一个复数映射到另一个复数。
在复变函数中，二重级数和是指形如∑∑f(n,m)的无穷级数。
其中，n和m是整数，f(n,m)是复变函数在复平面上的取值。
复变函数二重级数和可以理解为一个通过对复平面上的点进行横纵坐标离散化后得到的序列，这个序列的求和结果就是二重级数和。
二、复变函数二重级数和的性质1. 收敛性：复变函数二重级数和可能收敛，也可能发散。
当级数收敛时，它表示了函数在复平面上的某种特性或性质。
如果二重级数和收敛到一个有限的数值，那么它可能表示该函数在某点上的解析性质。
2. 收敛域：复变函数二重级数和的收敛域可以是复平面上的一个区域，也可以是整个复平面。
收敛域的确定需要考虑函数本身的性质以及级数的收敛性。
3. 非齐次性：复变函数二重级数和可能在某些点上是非齐次的，即不同横纵坐标所对应的函数值不相等。
这反映了函数在复平面上的某种非均匀性。
三、复变函数二重级数和的应用复变函数二重级数和在许多应用领域有着广泛的应用。
这里列举几个典型的应用：1. 物理学：复变函数二重级数和可以用于描述电场、磁场、流体力学等领域的数学模型。
通过对不同坐标点上的函数值进行求和，可以得到这些物理量在空间上的分布和变化规律。
2. 信号处理：在信号处理领域，复变函数二重级数和可以用于分析和合成信号的频谱特性。
通过将信号看作在复平面上的函数，可以对其频域特性进行分析和处理。
3. 图像处理：复变函数二重级数和可以用于对图像进行压缩和重建。
通过将图像看作一个二维函数，可以对其进行级数和分析和重构，从而实现图像的编码和解码。
四、个人观点和理解复变函数二重级数和作为一种数学工具，对于我来说既是挑战又是机遇。
级数和函数
级数和函数级数和函数是数学中的两个重要概念，二者的关系十分密切。
在这篇文章中，我将分步骤阐述级数和函数的含义，以及它们之间的联系。
一、级数级数是数学中的一种数列求和形式。
它由一系列实数或复数按照一定的规律相加组成。
形式化地，级数可以表示成以下形式：$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n+...$$其中 $a_n$ 是第 $n$ 个数。
当级数的和存在时，称其为可和级数；否则称其为发散级数。
二、函数函数是数学中最基本的概念之一。
它是一种将输入值映射为输出值的映射关系。
形式化地，函数可以表示成以下形式：$$f:X\rightarrow Y$$其中 $X$ 表示输入值的集合，$Y$ 表示输出值的集合。
函数$f$ 将 $X$ 中的每个元素映射到唯一的一个 $Y$ 中元素，我们通常用 $y=f(x)$ 表示 $x$ 在 $f$ 中的映射。
其中，$x$ 称为自变量，$y$ 称为因变量。
三、级数和函数的关系在某些情况下，级数和函数之间会建立起映射关系。
具体地说，当一个级数的部分和数列 $\{S_n\}$ 收敛于一个实数 $S$ 时，我们可以定义其和函数 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，其中 $x$ 是定义域中的变量。
这里需要特别注意的是，和函数在定义时必须指定其定义域，否则该函数可能不存在。
显然，和函数的值取决于级数 $a_n$ 是否收敛，以及收敛的值是多少。
例如，当级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ 收敛时，我们可以定义 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$，其中 $x$ 属于定义域。
这里的定义域可以是任意区间，但不能包含 $0$，因为级数在 $x=0$ 处发散。
需要指出的是，并不是所有的级数都可以建立起对应的函数关系。
例如，级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n$ 的部分和数列$\{S_n\}$ 不收敛，所以我们不能定义其和函数。
和函数和收敛域的关系
和函数和收敛域的关系
和函数是数学中常见的一类函数，它的定义是将一组数加起来得到的结果。
而收敛域则是对于一组数列，在某种条件下求得的极限值所在的范围。
那么和函数和收敛域之间有什么关系呢？
首先，我们考虑一个简单的和函数：级数。
级数是一种无限求和的形式，比如说：$sum_{n=1}^infty frac{1}{n^2}$。
我们知道，这个级数的和是无限接近于 $frac{pi^2}{6}$ 的。
而这个和的收敛域
就是 $n>1$，也就是说，当 $n$ 从 $1$ 开始取值时，这个级数会收敛到一个极限值，而这个极限值所在的范围就是收敛域。
对于一般的和函数而言，其收敛域也是与其收敛性质紧密相关的。
例如，在一些情况下，如果一个和函数的收敛域是无穷大，那么这个和函数就是发散的。
而如果一个和函数的收敛域是有限的，则其一定是收敛的。
总之，和函数和收敛域之间是有着非常紧密的联系的。
我们可以通过研究一个和函数的收敛域来了解其收敛性质，从而进行更深入的研究和应用。
- 1 -。
级数x的2n次方的和函数
级数x的2n次方的和函数我曾经听说过一个关于级数的有趣的故事，它是和数学家高斯有关的。
高斯在他还是小学生的时候，就展示出了他非凡的数学才能。
有一天，高斯的老师给他们出了一个题目，要求求解级数x的2n次方的和。
这个题目对于其他同学来说可能很难，但是对于高斯来说却是小菜一碟。
高斯迅速地思考了一下，然后他就开始写下了答案。
其他同学都很好奇，纷纷围过去看他的答案。
他们惊讶地发现，高斯的答案居然是一个简单的公式：当n为奇数时，级数的和等于0；当n为偶数时，级数的和等于1+2+3+...+n，即等差数列的和。
其他同学都不敢相信自己的眼睛，他们开始验证高斯的答案，结果发现高斯的答案是正确的。
大家都对高斯刮目相看，觉得他是一个数学天才。
高斯的解答引起了老师的兴趣，老师很想知道高斯是如何得出这个公式的。
于是，老师请高斯上台讲解。
高斯站在黑板前，他用生动的语言和形象的比喻向同学们解释了他的思路。
他说：“当我们计算级数的和时，我们可以把它看作是不断增大的矩形的面积之和。
当n为奇数时，我们可以发现，这些矩形的面积都是负的，而且它们的面积都是相等的，所以最终的和就等于0。
而当n为偶数时，我们可以发现，这些矩形的面积都是正的，而且它们的面积也是相等的，所以最终的和就等于等差数列的和。
”高斯的解释让同学们恍然大悟，他们都觉得这个解法非常巧妙。
从此以后，高斯的名字开始在数学界传播开来，他也因为这个问题而成为了数学界的一颗耀眼的星星。
这个故事告诉我们，数学是一门充满惊喜和乐趣的学科。
通过观察和思考，我们可以发现其中隐藏的规律和奥秘。
而且，数学不仅仅是一堆冰冷的数字和公式，它也可以给我们带来美的享受和思维的乐趣。
希望这个故事能够给大家带来一些启发，让我们更加热爱数学，探索数学的奥秘。
让我们用心去感受数学的美，用智慧去解读数学的谜题，让数学成为我们生活的一部分。
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1
函数级数和连续性定理的注记
定义在某区间上的函数, 有限个连续函数和仍然是连续函数. 有限个不连续函数的和,既可以是连续函数,也可以是不连续函数 而无限个函数的和呢? 即所谓函数级数和的连续性问题.
定理:
现对于定理的两个条件分别进行讨论:
注一:定理中的第一条是充分的,而不是必要的.
研究例1:[2]
该级数在区间[0,1]上非一致收敛.而和函数S(x)=0却是连续的.请注意:•该级数的每一项在[0,1]上是连续的.
注二: 定理中的第二条也是充分的,而不是必要的.
不连续函数序列可否一致收敛于连续函数?
研究 f n (x)=Ψ(X)/n (n=1,2,...)
其中
显然 f n (x)在 -∞<x<+∞ 上每一点均不连续, 但是由于∣f n (x)∣≤1/n (n=1,2,…-∞<x<+∞) 故当n →∞时f n (x), 在 -∞<x<+∞ 上一致趋于0,而f(x)
≡0在-∞<x<+∞上显然是连续函数.
此例说明不连续函数序列仍可以收敛于连续函数.[3]
现在我们根据这个例子构造一个函数级数;
]
1.[],[)()(,
],[)(2.,
],[)(1.
],[)(),(111上是连续的在区间那末上连续在区间 上一致收敛在区间如果上的函数是定义在区间函数级数b a x u x S b a x u b a x u b a x u x u n n n n n n n n ∑∑∑∞
=∞
=∞
==><><)
()[(22112--∞=----∑n n n n n x x x x
.........
0.......1)(⎩⎨⎧=是无理数是有理数x x x ψ
2 研究例2:
它的前n 项和是: f n (x)=ψ(x)/n
前n-1项和是: f n-1(x)=ψ(x)/(n-1)
级数的第一项是: u 1(x)=ψ(x)
第二项是: u 2(x)=ψ(x)/2
第三项是: u 3(x)=ψ(x)/6
…………………………………..
第n 项是: u n (x)=f n (x)-f n-1(x)
=ψ(x)/n-ψ(x)/(n-1)
=[1/n-1/(n-1)]ψ(x)
=ψ(x)/n(n-1).
u n (x)在 -∞<x<+∞ 上每一点均不连续,但该级数部分和,即前n 项和
S n (x )=f n (x)=ψ(x)/n
由上面的例题知该级数在 -∞<x<+∞上一致收敛于连续函数
这个级数满足定理的第一条,不满足定理的第二条,在 -∞<x<+∞上一致收敛于连续函数,当然在[0,1]上也一致收敛于连续函数
注三:从以上两点可以看出, 定理中的两个条件有一个成立,•而另一个条件不成立函数级数的和可以是连续的.
自然要产生这样的问题:定理中两个条件都不成立的函数级数的和是不是也可以是连续的呢?换句话,是不是有这样的函数级数,u n (x)不全是连续函数,
又不一致收敛.而和函数s(x)却是连续的.
我们构造这样一个函数级数,例3:
这个级数的第2k 项是例1中的级数的第k 项,而第2k+1项是例2中级数的第k 项.
易知这个级数在[0,1]上不是一致收敛的. 而u n (x)在区间[0,1]上有无限
多个项不连续.但是它的和函数S(x)=0 却是连续的.
∑∞=1)
(n n x u
)
(1x u
n n ∑∞=
综上所述, 定理中的两个条件是和函数连续的充分条件,而不是必要条件.单独看一个条件是这样,两个条件一齐看也是如此.
参考文献:
[1] 北京大学数学力学系编《数学分析》下册人民教育出版社 1961年版 •第406页.
[2] 同上第407页.
[3] Б.П.吉米多维奇李荣冻译《数学分析习题集》商务印书馆 1958年六月新一版第五章第2783题第260页.
说明:本文主要内容曾在全国第六届MPMH会议上宣读,这次发表又作了些补充修改,使其完善.
3。