017-从函数的角度看一元二次方程

§3.3从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
3.3.1从函数观点看一元二次方程
学习目标 1.正确理解二次函数零点的概念.2.理解一元二次方程与二次函数的关系.3.掌握图象法解一元二次方程．
知识点一二次函数的零点
1．定义：一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的，也称为二次函数y＝ax2＋bx ＋c(a≠0)的零点．
2．关系：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的．
提醒零点不是点，指的是一个实数．
知识点二一元二次方程的根与二次函数的图象、零点间的关系
1．所有的二次函数都有零点．()
2．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等实根x1，x2，则函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点为(x1,0)，(x2,0)．()
3．二次函数y＝x2－1的零点为－1,1.()
4．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当Δ>0时有两个零点．( )
一、求二次函数的零点 例1 求下列函数的零点：
(1)y ＝3x 2－x －4； (2)y ＝－4x 2＋4x －1. 解：
跟踪训练1 若x 1，x 2是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则x 1x 2＋x 2
x 1的值为( )
A ．6
B ．4
C ．3 D.3
2
二、由二次函数的零点求参数的值
例2 若二次函数y ＝x 2＋ax ＋b 的两个零点分别是2和3，则2a ＋b 的值为________． 延伸探究
函数y ＝x 2＋mx ＋4m 2－3的两个零点分别为x 1，x 2且满足x 1＋x 2＝x 1x 2，则m 的值为________．
反思感悟 由函数的零点求参数的值主要是转化为方程的根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确的运用判别式及根与系数的关系．
跟踪训练2 若二次函数y ＝x 2＋(p －2)x －21的图象与x 轴的交点为A (α，0)，B (β，0)，与y 轴的交点为C . (1)若α2＋β2＝51，求p 的值；(2)若△ABC 的面积为105，求p 的值． 解：
三、由二次函数的零点求参数的范围
例3 函数y ＝x 2－5x ＋1－m 的两个零点均大于2，则实数m 的取值范围是( ) A.[−214
,+∞) B ．(－∞，5) C.[−
214
,−3) D.(−
214
,−3)
反思感悟 二次函数的零点分布问题，一般要结合二次函数图象得出开口方向、对称轴、判别式以及端点函数值符号(此端点指的是与方程的根比较大小的数)，由此列出不等式组进行求解．
1．函数y ＝2x 2－3x ＋1的零点是( )
A ．－12，－1
B ．－12，1 C.1
2，－1
D.1
2
，1
2．若函数y ＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1] D ．[1，＋∞)
3．二次函数y ＝2x 2＋bx －3(b ∈R )的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定
4．若x 1，x 2是函数y ＝x 2－3x －4的两个零点，则x 1＋x 2的值是( ) A ．1 B ．－3 C ．3 D ．－4
5．已知函数y ＝x 2－ax －3a 的一个零点是－2，则它的另一个零点是________．
1．知识清单：
(1)二次函数零点的概念．
(2)一元二次方程的根、二次函数零点以及二次函数图象间的关系． 2．方法归纳：参数分离的方法，转化思想．
3．常见误区：二次函数的零点是一个实数，误认为是点的坐标导致出错．
1．函数y＝x2－8x＋16的零点是()
A．(0,4) B．(4,0)
C．4 D．8
2．函数y＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为－3，则它的另一个零点是() A．－1 B．1 C．－2 D．2
3．若函数y＝x2－4x＋2m没有零点，则m的取值范围为()
A．m<4 B．m>2
C．m>6 D．m<8
4．函数y＝(x＋1)x＋x(x－1)＋(x－1)(x＋1)的两个零点分别位于区间() A．(－1,0)和(0,1)内B．(－∞，－1)和(－1,0)内
C．(0,1)和(1，＋∞)内D．(－∞，－1)和(1，＋∞)内
5．已知方程x2＋(m＋2)x＋m＋5＝0有两个正根，则实数m的取值范围是() A．m≤－2 B．m≤－4
C．m>－5 D．－5＜m≤－4
6．设x1，x2是函数y＝5x2－3x－2的两个零点，则1
x1＋1
x2的值为________．
7．函数y＝2x2－3x－7的两个零点为a，b，则a2＋b2＝________.
8．已知y＝x2＋ax＋b，集合{x|y＝x}＝{4}，将集合M＝{x|y＝4}用列举法表示为________．
9．已知函数y ＝x 2－x －2.求： (1)y ＝x 2－x －2的零点； (2)y <0时,求x 的取值范围．
10．若函数y ＝x 2－ax ＋b 的两个零点是2和3，则y ＝bx 2－ax －1的零点是( ) A ．－1和1
6
B ．1和－1
6
C.12和13 D ．－12和－13
11．若x 1，x 2是函数y ＝x 2－2mx ＋m 2－m －1的零点，且x 1＋x 2＝1－x 1x 2，则m 的值为( ) A ．－1或2 B ．1或－2 C ．－2 D ．1
12．函数y ＝(1－k )x 2－2x －1有两个不相等的零点，则实数k 的取值范围是________．
13．已知y ＝(x －a )(x －b )－2(a <b )，并且α，β是方程y ＝0的两根(α<β)，则实数a ，b ，α，β的大小关系是( ) A ．a <α<b <β B ．a <α<β<b C ．α<a <b <β D ．α<a <β<b。