2001年江苏省常州市中考数学试卷

2001年江苏省常州市中考数学试卷
一、填空题（共13小题，满分24分）
TI
1.（1分）sin30°,cos45°,-V4,这四个实数中，有理数是
3.（2分）8的立方根是______；；的算术平方根是________.
9
4.（2分）己知方程是X2-?,x+m=Q的一个根是1,则它的另一个根是,m的值
是.
5.（2分）写出下列函数中自变量x的取值范围：（l）y=;（2）y=土.
6.（2分）用计算器计算：（1）sin32°«；（2）V135«（结果保留4个有
效数字）.
/八、一.」m p2…,m+p
7.（1分）己知：一=一=-（n+q 球0）,则----=
n q3n+q
8.（3分）已知：如图，四边形ABCD内接于OO,若ZBOD=120°,OB=1,则ZBAD=
度，ZBCD=度，弧BCD的长=.
9.（3分）已知：如图，FC切。

于点C,割线E43经过圆心O,弦CD1AB于点E,PC
=4,PB=8,则PA=,sinZP=,CD=
10.（2分）为了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级学生进行跳绳测试，将所得数
据整理后，画出如图所示的频数分布直方图，已知图中从左到右前三个小组的频率分别是0.1,0.3,0.4,第一小组的频数为5.则第四小组的频率是,参加这次测试的
学生是人.
49.574.599.51745149.5
11.（1分）1：1000000的地图上，常州市的面积大约为43.75cm2,则常州市的实际面积大
约为平方公里，
12.（1分）写出一个你熟悉的既是轴对称又是中心对称的图形名称
13.（1分）己知x+y=l,则代数式x3+3xy+_y3的值是.
二、选择题（共12小题，每小题2分，满分24分）
14.（2分）和数轴上的点成---对应关系的数是（）
A.自然数
B.有理数
C.无理数
D.实数
15.（2分）己知OO的半径为5厘米，A为线段OF的中点，当OP=6厘米时，点A与。

的位置关系是（）
A.点A在。

内
B.点A在上
C.点A在。

外
D.不能确定
16.（2分）一元二次方程J+x+2=0的根的情况是（）
A.有两个不相等的正根
B.有两个不相等的负根
C.没有实数根
D.有两个相等的实数根
17.（2分）两根分别为—音的一元二次方程是（）
3乙
A.6X2 - 5%- 6=0
B.6x2+5x- 6=0
C.6x2 - 5x-1=0
D.6j T+5x-1=0
18.（2分）己知XI,X2是一元二次方程x2+3x-1=。

的两个根，则xi2+x22的值为（）
101
A.11
B.—
C.-
D.7
113
19.（2分）顺次连接等腰梯形四边中点所得到的四边形是（）
A.等腰梯形
B.直角梯形
C.矩形
D.菱形
20.（2分）已知和的半径分别是5cm和7cm,圆心距O1O2是3cm,那么这两个
圆的位置关系是（）
A.外离
B.外切
C.相交
D.内切
21.（2分）正六边形的边长、边心距、半径之比为（）
A.1:1:y/3
B.2：2：
C.2：V3：2
D.V3：2：2
22.（2分）下列命题中的真命题是（）
A.有一组邻边相等的四边形是菱形
B.对角线相等的四边形是矩形
C.有一组对边平行的四边形是梯形
D.对角线相等的菱形是正方形
23.（2分）下列图形中，表75一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx（m,"为常数,且
24.（2分）已知反比例函数尸秦Ck<0）的图象上有两点A（xi,yi）,B（工2,y2）,且xi
<x2,则yi-yi的值是（）
A.正数
B.负数
C.非正数
D.不能确定
7x2—4乂+4
25.（2分）已知等式---------+（X—2尸=0,则x的值是（
X—2
）
A.1
B.2
C.3
D.1或3
三、解答题（共13小题，满分72分）
26.（4分）
122 m2-9m-3
27.（4分）计算sin60°+cos30°+tan45°的值.
28.（5分）解方程：yj2x+3=—x.
29.（5分）解方程组:x2+y2=25 +y=7
30.（5分）已知：如图，点B、E、。

、尸在同一条直线上，AB=DE,AC=DF f BE=CF.
求证：ZA=ZD.
D
A
31.(5分)已知，如图：
(1)写出点A的坐标；
(2)画出A点关于原点的对称点3；
(3)画出直线y=x的图象；
(4)画出点A关于直线y=x的对称点C；
(5)以点A、B、。

为顶点的三角形是三角形.
%
3.......A
■I
t
I
I
I
I
I
I
t
■■
o2x
32.(6分)已知二次函数y=ax1+bx+c的图象如图所示：
(1)这个二次函数的解析式是y=;
(2)当x=时，y=3；
(3)根据图象回答：当x时，y>0.
33.(6分)己知：如图，AABC内接于OO,AE切。

于点A,BD//AE交AC的延长线于
点D,求证：AB2—AC'AD.
34.(6分)已知：如图，。

0的弦A£)、BC互相垂直，垂足为E,ZBAD=Za,ZCAD^
Z1
Zp,且sina=豆，cosp=彳,AC=2.
求(1)EC的长；
(2)AD的长.
35.(6分)已知：如图，梯形ABCD中，AD//BC,AB=CD=V2,AD=\,ZB=45°,
动点E在折线BA-AD-DC上移动，过点E作EP_LBC于点P,设BP=x,请写出题中所有能用x的代数式表示的图形的面积.
36.(6分)在容器里有18©的水6如3,现在要把8血3的水注入里面，使容器里混合的水
的温度不低于30°C,且不高于36°C,求注入的8珈3的水的温度应该在什么范围？
37.(7分)阅读下列内容后，解答下列各题：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数
的个数决定.
例如：考查代数式(x-1)(x- 2)的值与0的大小
当x<l时，x-KO,x-2<0,.I(x-1)(x-2)>0
当l<x<2时，x-1>0,x-2<0,.I(x-1)(x-2)<0
当x>2时，x-1>0,x-2>0,.I(x-1)(x-2)>0
综上：当l<x<2时，(x-1)(厂2)<0
当x<l或x>2时，(x-1)(x-2)>0
(1)填写下表：(用“+”或“-”填入空格处)
(2) 由上表可知，当工满足 时，(尤+2) (x+1) (x-3) (x - 4) <0；
(3) 运用你发现的规律，直接写出当x 满足 时，(工-7)危+8) (x-9) <0.
38. (7分)在直角坐标系xQy 中:
x< - 2
-2<x< - 1-l<x<3
3<x<4x>4x+2
-+++
+x+1
--+
++x - 3---+
+x - 4
--
-
-
+
(x+2) (x+l )
(x - 3) (x -4)
+
(1) 画出一次函数手的图象，记作直线a ，。

与X 轴的交点为c ；
(2) 画出AABC,使BC 在x 轴上，点A 在直线。

上(点A 在第一象限)，且BC=2,
ZABC= 120° ；
(3) 写出点A 、B 、C 的坐标；
(4) 将AABC 绕点B 在直角坐标平面内旋转，使点A 落在x 轴上，求此时过点A 、B 、
C 的抛物线的解析式.
1 ■
_____ [
■
o 1 X
2001年江苏省常州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（共13小题，满分24分）
7T」_/
1.（1分）sin30°,cos45°,—由，这四个实数中，有理数是sin30°,一两,.
【解答】解:Vsin30°=|,是有理数;
cos45°=孚，是无理数；
7T
成是无理数；
-V4=-2,是有理数；
...有理数是sin30°,-V4.
11_
2.（3分）（-2）°=1；（-）r=2；—=-1-V2.
21—v2
【解答】解：（-2）。

=1；
（；）「1=牛=2;
匕2
11+V2L
---F=----F-----—1—v2.
1—V2（1—V2）（1+a/2）
故本题答案为1;2；-1—V2.
11
3.（2分）8的立方根是2；匚的算术平方根是；.
93
【解答】解：弋？立方是8,.*.8的立方根是2；
1111
••,（；） 1
2=的算术平方根是子
3^93
故填2,
4.（2分）己知方程是温-3x+m=0的一个根是1,则它的另一个根是2“n的值是2.
【解答】解：因为一元二次方程X2-3x+m=0的一个根是1.
把xi=1代入x2-3了+秫=0,得1-3+m=0,解得m=2.
根据根与系数的关系，1+工2=3,得眨=3-1=2.
5.（2分）写出下列函数中自变量x的取值范围：（1）y=E；（2）尸洁—
.
【解答】解：根据二次根式的意义可知：x-220,即*22；
根据分式的意义可知：x-lNO,即xNl.
6. （2 分）用计算器计算：（1） sin32° 0.5299 ； （2） V135 « 11.62 （结果保留 4
个有效数字）.
【解答】解：（1） sin32° E5299；
(2) V135 ".62.
/ 八、一.」 m P 2 …,m+p 27. (1 分)己知：一= - = -(n + q¥0),则----=-n q 3 n+q —3一
771 Y) 2
【解答】解：•.•一 = - = -(n + q^0)
n q 3
..秫=2«x, p=2y,贝(J 〃=3x, q=3y
m+p =2x+2y , n+q =3x+3y
贝产+p 2x+2y 2
、n+q 3x+3y
3
故答案为§
8. （3分）己知：如图，四边形ABCD 内接于00,60 度,ZBCD= 120 度，弧 BCD 的长=
若ZBOD= 120° , 08=1,则 ZBAD=
2一 713—
【解答】解：120° ,
1
1
A ZBAD= ^ZBOD= | X12O° =60° ；
..•四边形ABCD 内接于。

，
:.ZBCD=1SO° - ZBAD=1SO° - 60° =120° ；
VZBO£>=120° , 03=1,
BCD 的长=^gg ti R — ^71.
9. （3分）己知：如图，PC 切。

于点C,割线经过圆心O,弦CD±AB 于点E, PC
3 24
=4, PB=8,则 PA= 2 , sinZP= - , CD=—
----- 5 —5
—
【解答】解：..・PC切。

于点C,割线B4B经过圆心O,PC=4,PB=8,
:.PC1=PA*PB.
'.PA=普=2.
.\AB=6.
圆的半径是3.
连接0C.
V0C=3,0P=5,
10.（2分）为了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级学生进行跳绳测试，将所得数
据整理后，画出如图所示的频数分布直方图，已知图中从左到右前三个小组的频率分别是0.1,0.3,0.4,第一小组的频数为5.则第四小组的频率是0.2,参加这次测试的
【解答】解：己知图中从左到右前三个小组的频率分别是0.1,0.3,0.4,
则第四小组的频率是1-（0.1+0.3+0.4）=0.2；
第一组的频数为5,频率为0.1,故参加这次测试的学生是54-0.1=50.
故本题答案为：0.2；50.
11.（1分）1：1000000的地图上，常州市的面积大约为43.75如2,则常州市的实际面积大
约为4.375X103平方公里.
【解答】解：地图与实际图形相似，相似比是1：1000000=1：106,
则面积的比是1：1012,因而实际面积是43.75X1012=4.375X1013平方厘米=4.375X103平方公里.
12.（1分）写出一个你熟悉的既是轴对称又是中心对称的图形名称矩形.
【解答】解：既是轴对称又是中心对称的图形如矩形，菱形等.
13.（1分）已知x+y=l,则代数式^+3xy+y3的值是1.
【解答】解：3+3刈+_/=（x+y）（x2-xy+y2）+3xy,
=（x2-xy+y1）+3xy,
=（x+y）2-3xy+3xy,
=1.
二、选择题（共12小题，每小题2分，满分24分）
14.（2分）和数轴上的点成一一对应关系的数是（）
A.自然数
B.有理数
C.无理数
D.实数
【解答】解：..•任何实数都可以用数轴上的点来表示，数轴上的任何一点都表示一个实数，
.•.和数轴上的点成一一对应关系的数是实数.
故选：D.
15.（2分）己知的半径为5厘米，A为线段OF的中点，当OP=6厘米时，点A与。

的位置关系是（）
A.点A在。

内
B.点A在。

上
C.点A在。

外
D.不能确定
【解答】解：I,当OP=6厘米时，OA=3cm<5cm,
根据点到圆心的距离〈半径的性质，可知点A在。

内.
故选：A.
16.（2分）一元二次方程J+x+2=0的根的情况是（）
A.有两个不相等的正根
B.有两个不相等的负根
C.没有实数根
D.有两个相等的实数根
【解答】解：Va=l,b=l,c=2,
.•.△=Z?2-4ac=12-4X1X2=-7<0,
方程没有实数根.
故选：C.
17.（2分）两根分别为务—|的一元二次方程是（）
A.6X2-5x-6=0
B.6a：2+5x-6=0
C.6x2-5a:-1=0
D.6a^+5x-1=0
【解答】解：由题意可知：X\*X2=-1,尤1+式2=-6，
则四个方程中只有6疽+5工-6=0符合题意.
故选：B.
18.（2分）己知xi,"是一元二次方程温+3厂1=0的两个根，则xi2W的值为（）
101
A.11
B.—
C.-
D.7
113
【解答】解：由根与系数的关系可知：Xl+X2=-3,xrx2=-1,
则Xl2+X22=（X1+X2）2-2xi*x2=（~3）2-2（-1）=11.
故选：A.
19.（2分）顺次连接等腰梯形四边中点所得到的四边形是（）
A.等腰梯形
B.直角梯形
C.矩形
D.菱形
【解答】解：四边形时GH是菱形.
已知：等腰梯形ABCD中，AD//BC,AB三CD,E、F、G、H分别是各边的中点，求证：四边形以GH是菱形
证明：连接AC、BD
•.・.、F分别是A8、BC的中点
1
:.EF=5AC
ill
同理F G=^BDGH=^ACEH=^BD
又・.・四边形ABCD是等腰梯形
:.AC=BD
:.EF=FG=GH=HE
四边形EFGH是菱形
故选：D.
20.（2分）已知。

01和。

2的半径分别是5cm和7cm,圆心距O1O2是3cm,那么这两个
圆的位置关系是（）
A.外离
B.外切
C.相交
D.内切
【解答】解：V©01和。

2的半径分别是5cm和7cm,圆心距O1O2是3cm,
贝IJ7 -5=2,5+7=12,0102=3,
：.2<O i O2<12,
两圆相交时，圆心距的长度在两圆的半径的差与和之间，
两圆相交.故选C.
21.（2分）正六边形的边长、边心距、半径之比为（）
A.1:1:V3
B.2：2：V3
C.2：V3：2
D.V3：2：2
【解答】解：设六边形的边长是a,
则半径长也是a；
经过正六边形的中心。

作边AB的垂线0C,
则ZO=30°,
在直角△OBC中，根据三角函数得到OC=a«cos30°=祟,
因而正六边形的边长、边心距、半径之比为。

：—a：i=2：V3： 2.
故选：C.
22.（2分）下列命题中的真命题是（）
A.有一组邻边相等的四边形是菱形
B.对角线相等的四边形是矩形
C.有一组对边平行的四边形是梯形
D.对角线相等的菱形是正方形
【解答】解：A、假命题，有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
3、假命题，例如等腰梯形；
C、假命题，例如平行四边形；
D,真命题，符合矩形的判定定理.
故选：D.
23.（2分）下列图形中，表示一次函数y=mx+n与正比例函数y—mnx（tn,"为常数，且
mn^O）的图象的是（）
【解答】解：①当mn>Q,m,”同号，同正时y=mx+n过1,3,2象限，同负时过2, 4,3象限；
②当g<0时，m,〃异号，贝0y=mx+n过1,3,4象限或2,4,1象限.
故选：A.
24.（2分）己知反比例函数尸兰UV0）的图象上有两点A（xi,刃），B（X2,力），且xi
<X2,则yi-yi的值是（）
A.正数
B.负数
C.非正数
D.不能确定
【解答】解：..•函数值的大小不定，若xi、海同号，则yi-y2<0；
若xi、X2异号，则yi-y2>0.
故选：D.
Vx2—4x+4
25.（2分）己知等式----------+（x—2）2=0,则x的值是（）
X—2
A.1
B.2
C.3
D.1或3
【解答】解：•.•x-240,
①当x-2>0时，原等式整理得1+(x-2)2=0,一个正数加一个非负数不可能为0,
这种情况不存在.
②当x-2<0,即x<2时，原等式整理得：-1+(x-2)2=o,则x-2=1或x-2=-
1,
解得x=3或x=l,而x<2,所以，只有x=l符合条件.故选A.
三、解答题(共13小题，满分72分)
26.(4分)
12
m2-9
2
m-3
【解答】解：原式=品翥)2(m+3)_2(3—m)_____2
3)—(m+3)(m—3)—m+3,
27.(4分)计算sin60°+cos30°+tan45°的值.
【解答】解：V sin60°=亨，cos30°=号,tan45°=],
原式=亨+亨+1=1+V3.
28.(5分)解方程：y/2x+3=—X.
【解答】解：两边都平方，化为整式方程得2尤+3=疽，
整理得(x-3)(x+1)=0,
解得工=3或T.
经检验，x=-1是原方程的解.
29.(5分)解方程组：25.
(x+y=7
【解答】解：把x+y=7两边平方，得
x2+y2+2x}7=49
把上式与j+y2=25相减，化简得：xy=\2,
:.X.y是方程q2-7q+12=0的解，
解方程决 - 7。

+12=0,得。

1=3,。

2=4,
原方程的解为：度;或提;.
30.(5分)己知：如图，点B、E、C、8在同一条直线上，AB=DE,AC=DF,BE=CF.
求证：ZA=Z£>.
D
【解答】证明：•:BE=CF,
:.BC=EF,
又•：AB=DE,AC^DF,
:.△ABC^^DEF.
:.ZA=ZD.
31.(5分)已知，如图：
(1)写出点A的坐标(2,3)；
(2)画出A点关于原点的对称点B；
(3)画出直线y=x的图象；
(4)画出点A关于直线y=x的对称点C；
(5)以点A、B、C为顶点的三角形是直角三角形.
【解答】解：(1)A点的坐标(2,3)；
(2)(3)(4)解答如图：
(5)以点A、B、。

为顶点的三角形是直角三角形.
故填(2,3),直角.
32.（6分）已知二次函数y=ax^+bx+c的图象如图所示:
（1）这个二次函数的解析式是v=x2- 2x；
（2）当x=3或-1时,y=3；
（3）根据图象回答：当x<0或>2时,j>0.
【解答】解：（1）由图可知顶点坐标为（1,-1）,设（x-1）2-1,
把点（0,0）代入，得0=。

-1,即a=l,
所以y=（X-1）2-1=:? - lx.
(2)当y=3时，%2- 2x=3,解得x=3或x=T.
（3）由图可知，抛物线与x轴两交点为（0,0）,（2,0）,开口向上，
所以当xVO或x>2时，y>0.
33.（6分）己知：如图，/XABC内接于。

0,AE切。

于点A,交AC的延长线于
点D,求证：AB2=AC'AD.
【解答】证明：■:BD//AE,
:.ZEAD=ZD.
•.HE 切OO 于点A,:.ZEAD=ZABC.:.ZD=ZABC.
'：ZBAD=ZBAD,:.^\ACB^AABD.
:.AB ： AD=AC ： AB.:.AB 2=AC'AD.
2
【解答】解：（1）在直角三角形ACE 中，AE=AC-cos^= |
34. （6分）已知：如图，OO 的弦AD 、BC 互相垂直，垂足为E, ZBAD=Za, ZCAD=
Z 1
Zp,且 sina= cosg=亨,AC=2.求(1) EC 的长；(2) AD 的长.
再根据勾股定理，得EC=
（2）在直角三角形ABE 中，
根据 sina= 求得 cosa=言，则 AB= =
J
J v o （X-
再根据勾股定理，得BE=
1 -2
=4 -9
-5 -62 -
3
根据相交弦定理，得DE==V2
/ALl
则AD=V2+|.
35.(6分)己知：如图，梯形ABCD中，AO〃BC,AB=CD=V2,AD=1,ZB=45°,
动点E在折线BA-AD-DC上移动，过点E作EPLBC于点P,设BP=x,请写出题中所有能用x的代数式表示的图形的面积.
【解答】解：作于F,DGLBC^-G.
在RtAABF中，AB=CD=V2,ZB=45°,
:.AF=BF=1,同理，DG=CG=1,则BC=1+1+1=3.
则梯形的面积=；(1+3)Xl=2.
当E分别在折线BA、AD,DC上移动时：
X2x2
(1)如图1,当点E在AB上时，则△BEP的面积是；，五边形AEPCD的面积=2-y
11
(2)如图2,当点E■在AD上时，则四边形ABPE的面积=| (x+x-1)Xl=x-~
四边形CQEF的面积=2 -(x-J)=|-x.
(3)如图3,当点E在CQ上时，△(?£，的面积=壹(3-x)2=|^2-3x+|；
1Q-I t
五边形ABPED的面积=2 -(-x2-3x+；)=-4x2+3x-
2222
图3
E D
图2
图1
36.(6分)在容器里有18©的水6如3,现在要把8伽3的水注入里面，使容器里混合的水
的温度不低于30°C,且不高于36°C,求注入的8珈3的水的温度应该在什么范围？
【解答】解：设Id//?的水高「C或降低1°C吸收或放出的能量为g,注入水的温度为史C,根据题意得
f8(x—30)q>6(30—18)q
(8(%一36)q<6(36 一18)q
解得39°CWiW49.5°C
答：注入的8如3的水的温度应该在39°c〜49.5°C的范围.
37.(7分)阅读下列内容后，解答下列各题：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数
的个数决定.
例如：考查代数式(x-1)(x-2)的值与0的大小
当x<l时，x-KO,x-2<0,.I(x-1)(x-2)>0
当l<x<2时，x-1>0,x-2<0,.I(x-1)(x-2)<0
当x>2时，x-1>0,x-2>0,.I(x-1)(x-2)>0
综上：当l<x<2时，(x-1)(x-2)<0
当x<l或x>2时，(x-1)(x-2)>0
(1)填写下表：(用“+”或“-”填入空格处)
(2)由上表可知，当x满足时，(x+2)(x+1)(x -3)(x-4)<0；
(3)运用你发现的规律，直接写出当x满足—时，(x-7)(x+8)(x-9)<0.
x<-2-2<x<-1-l<x<33<x<4x>4 x+2-++++
x+1--+++
x-3---++
x-4----+
+
(x+2)(尤+1)
(x-3)(x-
4)
【解答】解：(1)+,-,
(2)- 2<x<-1或3<x<4；
(3)x<-8或7<x<9.
38.(7分)在直角坐标系xOy中：
(1)画出一次函数亨的图象，记作直线外。

与x轴的交点为C；
(2)画出AABC,使BC在x轴上，点A在直线。

上(点A在第一象限)，且BC=2,
ZABC=120°；
(3)写出点A、B、C的坐标；
(4)将SBC绕点B在直角坐标平面内旋转，使点A落在x轴上，求此时过点A、B、
C的抛物线的解析式.
1
■!一
0-----1--------x
【解答】解：(1)令1=0,则尸亨，令y=o,贝!J-1,则函数图象与两坐标轴的交点分别为(0,0)
(2) 因为C 在x 轴上，且ZABC= 120° ,所以B 点坐标为(1, 0),在直线孚的图象上取点A,使ZABC= 120°即可.
(3) 设 A (x, v),则 y=$v+亨，过 A 作 ADLx 轴，则 CD=x- 1, ZACZ)= 180° - ZABC= 180° - 120° =60° ,所以 AZ)=CD«tan60° = V3 (x-1),即㊇(x - 1)=亨*+京解得x=3,尸亨x3+亨=2龙.由(2) (3)可知 A 、B 、C 三点的坐标分别为：A (3, 2V3), B (1, 0), C ( - ), 0).
(4)设三角形旋转以后的图形为△△' B' C,根据旋转的性质可知A' C=AC, B' C=BC,此时AC 旋转的角度为/ACr>=60° ,同理，B 也旋转了 60 ° ,即/ ACA ' = Z BCB ' = 60 ° , A ' C = AC =
— 3尸 + (2V3)2 =4,故A 点坐标为(5, 0),同理可得B' C=BC= V(-l-l)2 =2,过矿作B' ELx 轴，根据锐角三角函数的定义可知EC=1,
故E 与原点重合.此时B'点坐标为(0, V3)设此时过点A 、B 、C 的抛物线的解析式为：y —ax^+bx+c,
'25。

+ 5b + c = 0
把A' , B' , C 三点坐标分别代入得，c = V3 ，
a +
b +
c = 0
/35
M 5
V3 ..
.
. a b c z / < I w:解故此函数的解析式为y= &-|V3x+V3.。