备战高考数学一轮复习讲义第八章

第八章 解析几何
第38讲 直线的方程及位置关系
1. C 解析： 若1－k ＝0，即k ＝1，直线l 1：x ＝3，l 2：y ＝25，显然两直线
垂直．若k ≠1，直线l 1，l 2的斜率分别为k 1＝k k －1，k 2＝1－k 2k ＋3
.由k 1k 2＝－1，得k ＝－3.综上，k ＝1或k ＝－3.
2. C 解析： 因为直线x ＋ay ＋b ＝0经过第一、二、四象限，则该直线的斜率－1a <0，可得a >0，该直线在y 轴上的截距－b a >0，可得b <0.
3. B 解析： 当直线过原点时，直线方程为y ＝32x .当直线不过原点时，设直
线方程为x a ＋y b ＝1.因为在两坐标轴上的截距相等，所以b ＝a ，将点P (2,3)代入得2a ＋3a ＝1，解得a ＝b ＝5，此时直线方程为x ＋y －5＝0.综上，满足过点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有2条．
4. B 解析： 直线kx －y ＋2k ＝0恒过定点M (－2,0)，直线x ＋ky －2＝0恒过定点N (2,0)，而k ·1＋(－1)·k ＝0，即直线kx －y ＋2k ＝0与直线x ＋ky －2＝0垂
直．当P 与N 不重合时，PM ⊥PN ，PM
→·PN →＝0，当P 与N 重合时，PM →·PN →＝0，设P (x ，y )，则PM
→＝(－2－x ，－y )，PN →＝(2－x ，－y )，于是得x 2＋y 2＝4，显然点P 与M 不重合，因此，点P 的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆(除点M 外)，如图．由图可知，射线AP 绕点A 旋转，且∠OAP ∈[0,90°)．当AP 旋转到与圆O ：x 2＋y 2＝4相切时，∠OAP 最大，tan ∠OAP 最大．因为|OA |＝4，AP ′为切线，P ′为切点，|OP ′|＝2，∠OP ′A ＝90°，所以∠OAP ′＝30°，所以∠OAP 的最
大值为30°，(tan ∠OAP )max ＝tan30°＝33.
(第4题)
5. AC 解析： 由方程组⎩⎨⎧ x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝2，
即交点P (0,2)．又l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，所以l 的斜率为－43，所以故直线l 的方程为y ＝－43x ＋2，即4x ＋3y －6＝0.
6. BD 解析： 方法一：由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0，l 2：mx ＋3y －2＝0，可
知①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行．②当m ≠0时，l 1∥l 2，只需2m ＝m ＋13≠4－2
，解得m ＝2或m ＝－3.综上，m 的值为2或－3.
方法二：令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0，显然l 1与l 2不重合，所以l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0，l 1与l 2不重合，所以l 1∥l 2.综上，m 的值为2或－3.
7. －13 解析： 由题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则⎩
⎨⎧ a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得⎩⎨⎧ a ＝－5，b ＝－3，
从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13. 8. 12 解析： 由题意知a ≠2，所以k AB ＝22－a ＝k AC
＝2－b 2⇒4＝(2－a )(2－b )⇒ab ＝2(a ＋b )⇒1a ＋1b ＝12.
9. 2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0或2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0 解析：
因为l 1∥l 2，所以m 2＝8m ≠n －1，所以⎩⎨⎧ m ＝4，n ≠－2或⎩⎨⎧ m ＝－4，n ≠2.
①当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0，把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0，所以|n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－22或n ＝18，所以直线l 1的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0.②当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0，l 2的方程为4x －8y －2＝0，所以|－n ＋2|16＋64
＝5，解得n ＝－18或n ＝22，所以直线l 1的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0.综上，直线l 1的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0或2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0.
10. 【解答】 (1) 直线l 的方程整理得(2x ＋y ＋4)＋m (x －2y －3)＝0，由⎩⎨⎧ 2x ＋y ＝－4，x －2y ＝3，解得⎩⎨⎧ x ＝－1，y ＝－2，
所以无论m 为何实数，直线l 过定点M (－1，－2)．
(2) 过定点M (－1，－2)作一条直线l 1，使直线l 1夹在两坐标轴之间的线段被点M 平分，则直线l 1过点(－2,0)，(0，－4)．设直线l 1的方程为y ＝kx ＋b ，把
两点坐标代入得⎩⎨⎧ －2k ＋b ＝0，b ＝－4，解得⎩⎨⎧ k ＝－2，b ＝－4，
则直线l 1的方程为y ＝－2x －4，即2x ＋y ＋4＝0.
11. 【解答】 (1) 将(a ＋1)x ＋y －5－2a ＝0整理成(x －2)a ＋x ＋y －5＝0，令⎩⎨⎧ x －2＝0，x ＋y －5＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝3，
所以定点P 为(2,3)，故不论a 为何值，直线l 必过定点P (2,3)．
(2) 由题意知a ＋1≠0，由(a ＋1)x ＋y －5－2a ＝0，得当y ＝0时，x A ＝
5＋2a a ＋1，当x ＝0时，y B ＝5＋2a .由⎩⎨⎧ 5
＋2a a ＋1>0，5＋2a >0，得a >－1，所以△AOB 的面积S ＝12·x A ·y B
＝12·5＋2a a ＋1
·(5＋2a )＝12，解得a ＝12，此时A (4,0)，B (0,6)，|AB |＝42＋62＝213，所以△AOB 的周长为4＋6＋213＝10＋213，故当△AOB 的面积为12时，△AOB 的周长为10＋213.
12. BC 解析： 因为函数f (x )在x ＝2处的导数存在，所以lim Δx →0 f (2)－f (2＋Δx )2Δx ＝－12lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝－12f ′(2)，则B 正确．又因为lim Δx →0 f (2－Δx )－f (2)2Δx ＝－12lim Δx →0 f (2－Δx )－f (2)－Δx
＝－12f ′(2)，所以C 正确． 13. 【解答】 (1) 因为a m ＝27，所以数列{a n }的前m 项中含有A 中的元素为1,3,5,7,9，…，27，共有14项，数列{a n }的前m 项中含有B 中的元素为3,9,27，共有3项，排列后为1,3,3,5,7,9,9，…，27,27，所以m ＝16或17.
(2) 因为2×50－1＝99,34＝81<99,35＝243>99，所以数列{a n }的前50项中含
有B 中的元素为3,9,27,81，共有4项，它们都是正奇数，均属于A ，所以数列{a n }的前50项中含有A 中的元素为1,3,5,7,9，…，27,29，…，79,81,83，…，2×46
－1＝91，共有46项，所以S 50＝46×(1＋91)2
＋(3＋9＋27＋81)＝2 116＋120＝2 236.
第39讲 圆的方程
1. A 解析： 方程x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0⇒(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，所以圆心为(－1,2)，半径为3.
2. D 解析： 设圆C 的圆心坐标为C (a,0)，半径为r ，则圆C 的标准方程为
(x －a )2＋y 2＝r 2，由题知⎩⎨⎧
(－1－a )2＋12＝r 2，(1－a )2＋32＝r 2，
解得a ＝2，r 2＝10，所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝10.
3. B 解析： 若方程x 2＋y 2－x ＋3y ＋a ＝0表示圆，则(－1)2＋32－4a ＝10
－4a >0，解得a <52.因为a <3D ⇒/a <52，a <52⇒a <3，所以甲是乙的必要不充分条件．
4. D 解析： 设点M 的坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)，由于点B 的坐标是(4,3)，且M 是线段AB 的中点，所以x ＝x 0＋42，y ＝y 0＋32，于是x 0＝2x －4，y 0＝2y －3①.因为点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，所以点A 的坐标满足圆的
方程，即(x 0＋1)2＋y 20＝4②.把①代入②，得(2x －4＋1)2＋(2y －3)2＝4，整理得
⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝1，这就是点M 的轨迹方程，它表示以⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，32为圆心，半径为1的圆．
5. AB 解析： 对于A ，圆心为(k ，k )，一定在直线y ＝x 上，A 正确；对于B ，将(3,0)代入得2k 2－6k ＋5＝0，其中Δ＝－4<0，方程无解，即所有圆C k 均不经过点(3,0)，B 正确；对于C ，将(2,2)代入得k 2－4k ＋2＝0，其中Δ＝16－8＝8>0，故经过点(2,2)的圆C k 有两个，故C 错误；所有圆的半径为2，面积为4π，故D 错误．
6. AB 解析： 将点(0,2)代入曲线C ：(x －m )2＋(y －m )2＝(m －1)2可得(－m )2＋(2－m )2＝(m －1)2，整理得m 2－2m ＋3＝0，即(m －1)2＋2＝0，显然此方程无解，即曲线C 一定不过点(0,2)，A 正确；当m >1时，易得曲线C 是圆心为(m ，
m )，半径为m －1的圆，此时原点和圆心之间的距离为m 2＋m 2＝2m ，2m －(m －1)＝(2－1)m ＋1>0，故原点在圆外，过原点有两条直线与曲线C 相切，B
正确；当m ＝1时，曲线C ：(x －1)2＋(y －1)2＝0，则⎩⎨⎧ x －1＝0，y －1＝0，解得⎩⎨⎧
x ＝1，y ＝1，则曲线C 表示一个点，C 错误；当m ＝2时，曲线C ：(x －2)2＋(y －2)2＝1，圆心(2,2)在直线y ＝x 上，则直线y ＝x 被曲线C 截得的弦长即为圆的直径，等于2，D 错误． 7. 2 解析： 圆(x －1)2＋y 2＝2的圆心为(1,0)，半径r ＝2，则圆心(1,0)到直线x －y ＋3＝0的距离为d ＝|1－0＋3|12＋(－1)2
＝22>2，所以直线与圆相离，则点P 到直线y ＝x ＋3的最短距离为圆心到直线的距离再减去半径，所以点P 到直线x －y ＋3＝0的最短距离为22－2＝ 2.
8. x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0 解析： 圆心C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－D 2，－E 2，因为圆心在直线x ＋y －1＝0上，所以－D 2－E 2－1＝0，即D ＋E ＝－2①.因为半径为r ＝D 2＋E 2－122
＝2，所以D 2＋E 2＝20②.由①②可得⎩⎨⎧ D ＝2，E ＝－4或⎩⎨⎧
D ＝－4，
E ＝2.又因为圆心在第二象限，所以－D 2＜0，即D ＞0，－E 2>0，即E <0，则⎩⎨⎧
D ＝2，
E ＝－4，
故圆C 的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.
9. x 2＋y 2－4x －2y －20＝0 解析： 方法一：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.由题意知⎩⎨⎧ －D ＋5E ＋F ＋26＝0，
－2D －2E ＋F ＋8＝0，
5D ＋5E ＋F ＋50＝0，
解得⎩⎨⎧ D ＝－4，E ＝－2，F ＝－20，故所求圆
的方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0. 方法二：由题意可求得线段AC 的垂直平分线的方程为x ＝2，线段BC 的垂直平分线的方程为x ＋y －3＝0，则圆心是两垂直平分线的交点(2,1)，半径r ＝(2＋1)2＋(1－5)2＝5，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝25，一般方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0.
10. 【解答】 (1) 由y ＝x 2－2x －3，令y ＝0，解得x ＝－1或x ＝3.令x ＝0，得y ＝－3，所以圆C 过(0，－3)，(3,0)，(－1,0)．设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx
＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧ 9－3E ＋F ＝0，
9＋3D ＋F ＝0，
1－D ＋F ＝0，
解得⎩⎨⎧ D ＝－2，E ＝2，F ＝－3，所以圆C 的方程为x 2＋
y 2－2x ＋2y －3＝0. (2) 设M (x ，y )，则A (2x,2y )，将A 的坐标代入圆C 的方程得4x 2＋4y 2－4x
＋4y －3＝0，即点M 的轨迹方程为x 2＋y 2－x ＋y －34＝0.
11. 【解答】 (1) 令P (x ，y )，由题意知C (1,3)．因为|PC |＝2|PB |，所以(x －1)2＋(y －3)2＝4[(x －4)2＋y 2]，整理得(x －5)2＋(y ＋1)2＝8，故曲线E 的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝8.
(2) 由(4－5)2＋(0＋1)2＝2<8，知B (4,0)在曲线E 内部，要使△OBM 的面积是△OBN 的面积的3倍，即|y M |＝3|y N |.当直线l 的斜率为0时，直线l 为y ＝0，此时△OBM ，△OBN 的面积均为0，不满足题设；令直线l 为x ＝ky ＋4，代入曲线E 中，整理得(1＋k 2)y 2＋2(1－k )y －6＝0，Δ＝4(1－k )2＋24(1＋k )2>0，所以y M ＋y N ＝2(k －1)1＋k 2，y M y N ＝－61＋k 2<0，则y M ＝－3y N ，所以y M ＋y N ＝－2y N ＝2(k －1)1＋k 2
，得y N ＝1－k 1＋k 2，则y M ＝3(k －1)1＋k 2.又y M y N ＝－3(1－k )2(1＋k 2)2＝－61＋k 2，整理得(k ＋1)2＝0，即k ＝－1，所以直线l 的方程为x ＝－y ＋4，即x ＋y －4＝0.
12. CD 解析： 对于A ，因为z ＝3－2i ，所以z 的虚部为－2，故A 错误；对于B ，设z ＝a ＋b i ，由|z |＝1可得a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1，有好多种情况，
例如，a ＝12，b ＝32，此时z ＝12＋32i ，故B 错误；对于C ，若Z 的坐标为(－1,3)，则z ＝－1＋3i ，又z 是关于x 的实系数方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，所以(－1＋
3i)2＋p (－1＋3i)＋q ＝－8－p ＋q ＋(3p －6)i ＝0，所以⎩⎨⎧
3p －6＝0，－8－p ＋q ＝0，解得⎩⎨⎧
p ＝2，q ＝10，
p ＋q ＝12，故C 正确；对于D ，设z ＝a ＋b i ，则1≤a 2＋(b －2)2≤2，即1≤a 2＋(b －2)2≤2，所以Z 的集合所构成的图形为环形，如图所示，其面积
为π(2－1)＝π，故D 正确．
(第12题)
13. 【解答】 (1) S n ＝n 2a n ，当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2a n －1，两式相减得，a n
＝n 2a n －(n －1)2
a n －1，a 1＝1≠0，化简得a n a n －1＝n －1n ＋1(n ≥2)，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1
·a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·…·13·1＝2n (n ＋1)(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝1满足上式，所以a n ＝2n (n ＋1)
(n ∈N *)． (2) 由(1)得，b n ＝1n ，b n b n ＋1b n ＋2＝1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2)，所以T n ＝12×⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫11×2－12×3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×3－13×4＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤11×2－1(n ＋1)(n ＋2)＝14－12(n ＋1)(n ＋2)<14
. 第40讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
1. B 解析： 如图，(x －a )2＋(y －b )2＝1的圆心为(a ，b )，经过原点，可得a 2＋b 2＝1，则圆心(a ，b )在单位圆x 2＋y 2＝1上，原点(0,0)到直线y ＝x ＋2的距离为|OB |＝21＋1
＝2，延长BO 交x 2＋y 2＝1于点C ，以C 为圆心，OC 为半径作圆C ，BC 的延长线交圆C 于点D .当圆心(a ，b )在C 处时，点(a ，b )到直线y ＝x ＋2的距离最大，且为|OB |＋1＝2＋1，此时，圆(x －a )2＋(y －b )2＝1上的点D 到直线y ＝x ＋2的距离最大，且为|OB |＋1＋1＝2＋2.
(第1题)
2. C解析：方法一：由题意得，圆M是过原点，以BC为直径的圆，所以圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，直线l过定点(2,2)，定点在圆上，所以圆与直线的位置关系为相交或相切．
方法二：圆M的圆心为(1,1)，半径为2，圆心到直线l的距离为d＝|－k＋1| k2＋1
＝k2－2k＋1
k2＋1＝1－
2k
k2＋1
.当k＝0时，d＝1<2，所以直线和圆相交．当k<0
时，d＝1－
2k
k2＋1＝1＋
2
1
－k
＋(－k)
≤2(当且仅当k＝－1时，等号成立)，
所以直线和圆相交或相切．当k>0时，d＝1－
2k
k2＋1＝1－
2
1
k＋k
，则0≤d<1，
所以直线和圆相交．
3. B解析：由x2＋y2＋4y＝0，得x2＋(y＋2)2＝4，则圆心为C(0，－2)，半径为2，如图，易知O在圆上．因为∠AOB＝45°，所以∠ACB＝90°，得CA
⊥CB，则圆心C到直线x－y＋m＝0的距离d＝r sin45°＝2×
2
2＝2，即2＝
|2＋m|
2
，解得m＝0或m＝－4.
(第3题)
4. A解析：直线y＝2x＋1上任取一点P(x0，y0)作圆C：x2＋y2－4x＋3＝0的切线，设切点为A.圆C：x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，圆心C(2,0)，r
＝1，切线长为|PC|2－r2＝|PC|2－1.因为|PC|min＝|2×2＋1|
22＋(－1)2
＝5，所以切线
长的最小值为(5)2－1＝2.
5. BD解析：由圆C：(x＋1)2＋y2＝2，得圆心C(－1,0)，半径r＝2，因
为圆心C(－1,0)到直线l：x－y＋4＝0的距离d＝|－1－0＋4|
12＋(－1)2
＝
32
2>r，所以直线
l 与圆C 相离，A 不正确，B 正确；|PM |≥|PC |－r ≥d －r ＝22，C 不正确，D 正
确．
6. BD 解析： 对于A ，圆C 1：x 2＋y 2－3x －3y ＋3＝0，其圆心为C 1⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，32，r 1＝62，圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＝0，其圆心为C 2(1,1)，r 2＝2，直线C 1C 2的方程为y ＝x ，即线段AB 垂直平分线的方程为x －y ＝0，故A 错误；对于B ，因为
|r 1－r 2|<|C 1C 2|＝22<|r 1＋r 2|，所以两圆相交，两圆方程作差可得x ＋y －3＝0，即
公共弦AB 所在直线的方程为x ＋y －3＝0，故B 正确；对于C ，圆心C 1⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，32在公共弦AB 上，则公共弦AB 的长为6，故C 错误；对于D ，因为圆心C 1⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，32在公共弦AB 上，所以在过A ，B 两点的所有圆中，面积最小的圆是圆C 1，故D 正确．
7. (x ＋1)2＋(y －2)2＝16 解析： 由题知，圆心为C (－1,2)，到直线x ＋3y ＋5＝0的距离为d ＝|－1＋6＋5|10
＝10.因为圆心为C (－1,2)，且截直线x ＋3y ＋5＝0所得的弦的长为26，所以r 2＝d 2＋(6)2＝16，所以所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝16.
8. π3 解析： 设直线AP 的斜率为k ，倾斜角为α，方程为y －1＝k (x －3)
⇒kx －y ＋1－3k ＝0.当直线AP 是圆x 2＋y 2
＝1的切线时，|1－3k |k 2＋1＝1⇒k ＝0或k ＝3，所以0≤k ≤3，即0≤tan α≤3⇒0≤α≤π3，故直线AP 倾斜角的最大值
为π3.
9. ±6 解析： 联立⎩⎨⎧
x ＋y －m ＝0，x 2＋y 2＝4
⇒2x 2－2mx ＋m 2－4＝0.设A (x 1，－x 1＋m )，B (x 2，－x 2＋m )，则Δ＝4m 2－8(m 2－4)＝32－4m 2>0，即m 2<8，则x 1x 2＝m 2－42，x 1＋x 2＝m .因为OA →·OB →＝2x 1x 2－m (x 1＋x 2
)＋m 2＝2，所以m 2－4－m 2＋m 2＝2，解
得m ＝± 6.
10. 【解答】 由题意得，圆心C (1,2)，半径r ＝2.
(1) 因为(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，所以点P 在圆C 上．又k PC ＝2－2－22＋1－1
＝－1，所以切线的斜率k ＝－1k PC ＝1，所以过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝1×[x －(2＋1)]，即x －y ＋1－22＝0.
(2) 因为(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，所以点M 在圆C 外部. 当过点M 的切线斜率不存在时，切线方程为x ＝3，即x －3＝0.又点C (1,2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ，即此时满足题意，所以直线x ＝3是圆C 的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0，则圆心C 到切线的
距离d ＝|k －2＋1－3k |k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝34，所以切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0，切线长为|MC |2－r 2＝5－4＝1.
11. 【解答】 (1) 由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1.因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2
<1，解得4－73<k <4＋73，所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫4－73，4＋73. (2) 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，Δ＝16(k ＋1)2－28(1＋k 2)>0(*)，所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k 2
＋8.由题设可得4k (1＋k )1＋k 2
＋8＝12，解得k ＝1，满足(*)式，所以l 的方程为y ＝x ＋1，则圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.
12. B 解析： 由题意，集合B ＝{y |y ＝2x ＋1}＝{y |y >1}，可得∁R B ＝{y |y ≤1}．又由A ＝{－2，－1,0,1,2}，可得A ∩(∁R B )＝{－2，－1,0,1}．
13. f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －π6(答案不唯一) 解析： 由题意，设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，由f (x )的最小值为－2，得A ＝2.若⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π为半个周期长度，则T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π2＝π，
即ω＝2πT ＝2.由①，不妨令2×⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π6＋φ＝－π2，解得φ＝－π6，所以f (x )＝
2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x －π6，经检验，符合①②条件．
14. 【解答】 (1) 在△ABC 中，因为c ＝b cos A ＋a sin B ，由正弦定理得sin C ＝sin B cos A ＋sin A sin B ，又由C ＝π－(A ＋B )，可知sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以sin(A ＋B )＝sin B cos A ＋sin A sin B ，即sin A sin B ＝sin A cos B .因为A ∈(0，π)，可得sin A ≠0，所以sin B ＝cos B ，即tan B ＝1.又因为0<B <π，所以B ＝π4.
(2) 由M 为AC 边的中点，可得BM →＝12(BA →＋BC →)，所以BM
→2＝14(BA →2＋2BA →·BC →
＋BC
→2)．又由|BM →|＝22，且B ＝π4，可得c 2＋a 2＋2ac ＝32①.因为b ＝4，所以
由余弦定理可得a 2＋c 2－2ac ＝16②.联立①②解得ac ＝42，所以S △ABC ＝1
2ac sin B ＝2.
第41讲 椭 圆
第1课时 椭圆的标准方程与基本性质
1. C 解析： 由题意，椭圆C 的焦点位于x 轴上，且c ＝1，e ＝c a ＝1
2⇒a ＝2，b 2
＝a 2
－c 2
＝3，因此其方程是x 24＋y 2
3＝1.
2. B 解析： 设正三角形F 2AB 的边长为m ，不妨设椭圆的标准方程为x 2
a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，则左、右焦点分别为F 1(－
c ，0)，F 2(c,0)．设|BF 1|＝x ，则|AF 1|＝m －x ，由椭圆的定义可知|BF 1|＋|BF 2|＝2a ⇒x ＋m ＝2a ，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ⇒m －x ＋m ＝2a ，解得m ＝43a ，x ＝2
3a .在△F 2F 1B 中，由余弦定理可知|F 1F 2|2＝|BF 1|2＋|BF 2|2－2|BF 1|·|BF 2|cos π3，即4c 2＝49a 2＋169a 2－2·2a 3·4a 3·12⇒a 2＝3c 2
⇒e ＝c a ＝33.
3. B 解析： 由椭圆x 2m ＋y 2
m －1＝1(m >1)，可得a 2＝m ，b 2＝m －1，所以c 2
＝a 2－b 2＝1，则c ＝1.如图，设△AF 1F 2内切圆的半径为r ，因为S △AF 1F 2＝1
2
|F 1F 2|·|y A |＝1
2(|AF 1|＋|AF 2|＋|F 1F 2|)·r ，所以2c ·|y A |＝(2a ＋2c )·r ，则r ＝
1
m ＋1
|y A |.要使△AF 1F 2内切圆的半径最大，则需|y A |最大，因为|y A |≤b ＝m －1，又△AF 1F 2内切圆的半径的最大值为33，即3
3＝m －1m ＋1，解得m ＝4，所以a ＝2，则椭圆
的离心率e ＝c a ＝1
2.
(第3题)
4. C 解析： 由椭圆定义可得点P (x ，y )在椭圆x 22＋y 2
＝1上，因为点A ，B 关于点D (0，－2)对称，所以P A →·PB →＝(PD →＋DA →)·(PD →＋DB →)＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫PD →－12AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫PD →＋12AB →＝PD →2－14|AB →|2＝|PD
→|2－1，而|PD →|＝x 2＋(y ＋2)2＝2－2y 2＋(y ＋2)2＝－(y －2)2＋10.因为－1≤y ≤1，所以当y ＝1时，|PD →|取得
最大值3，所以P A →·PB
→的最大值为32－1＝8.
5. ACD 解析： 令椭圆的半焦距为c ，则F 1(－c,0)，F 2(c ，0)，由tan ∠BF 1F 2＝15，得b ＝15c ，a ＝4c ，椭圆C ：x 216c 2＋y 215c 2＝1，B (0，15c )．而BQ
→＝2QF →2，则点
Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2c 3
，
15c 3.对于A ，椭圆C 的离心率e ＝c a ＝14，A 正确；对于B ，设K (x 0，y 0)，则y 20＝15c 2－1516x 20，KF →1·KF →2＝(－c －x 0，－y 0)·(c －x 0，－y 0)＝x 20＋y 2
0－c 2
＝116x 2
0＋14c 2>0，即∠F 1KF 2为锐角，B 不正确；对于C ，直线PF 1的斜率k ＝
15c 32c
3－(－c )
＝15
5，C 正确；对于D ，直线BF 1的方程为15x －y ＋15c ＝0，点Q
到直线BF 1的距离d ＝|2c 3×15－15c
3＋15c |
(15)2＋(－1)2＝15c
3，即点Q 到直线F 1B 与F 1F 2
的距离相等，所以PF 1平分∠BF 1F 2，D 正确．
6. CD 解析： 对于A ，由椭圆方程知a ＝2，c ＝4－3＝1，所以离心率e ＝c a ＝1
2，A 错误；对于B ，由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，|F 1F 2|＝2c ＝2，所以△PF 1F 2的周长为4＋2＝6，B 错误；对于C ，当P 为椭圆短轴端点时，tan ∠F 1PF 2
2＝c b ＝3
3，则tan ∠F 1PF 2＝2tan
∠F 1PF 221－tan 2
∠F 1PF 2
2＝23
31－13＝3，所以∠F 1PF 2＝60°，即(∠
F 1PF 2)max ＝60°，所以∠F 1PF 2<90°，C 正确；对于D ，因为|PF 1|min ＝a －c ＝1，|PF 1|max ＝a ＋c ＝3，所以1≤|PF 1|≤3，D 正确．
7. (1,2) 解析： 因为椭圆x 2k －1＋y 2
3－k
＝1的焦点在y 轴上，所以
⎩⎨⎧
3－k >k －1，3－k >0，k －1>0，
解得1<k <2，所以实数k 的取值范围为(1,2)．
8. 32 解析： 在椭圆x 24＋y 2
3＝1中，a ＝2，b ＝3，c ＝1，则|F 1F 2|＝2.(1) 若∠F 2MF 1为直角，则⎩⎨⎧
|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝4，
|MF 1|2＋|MF 2|2＝(2c )2
＝4，该方程组无解，不符合题意；(2) 若∠MF 1F 2为直角，则⎩⎨
⎧
|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝4，
|MF 2|2－|MF 1|2＝(2c )2＝4，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
|MF 1|＝3
2，|MF 2|＝5
2，
所以
S △MF 1F 2＝12|F 1F 2|·|MF 1|＝12×2×32＝3
2；(3) 若∠MF 2F 1为直角，同理可求得S △MF 1F 2＝32.综上所述，S △MF 2F 1＝3
2.
9.
5－1
2 解析： 如图，不妨设AB 经过右焦点F ，由对称性可得CD 经过
另一个焦点，则|AD |＝2c .又由c 2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±b 2a ，则|AB |＝2b 2a ，则2b 2
a ＝2c ，即
b 2＝a
c ＝a 2－c 2，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c
a －1＝0，解得c a ＝－1±52.又离心率e ∈(0,1)，
所以离心率为
5－12.
(第9题)
10. (1) 由题意得c ＝1，因为2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|，所以4c ＝2a ，所以a ＝2，
b 2＝a 2－
c 2＝3，故所求椭圆的方程为x 24＋y
2
3
＝1.
(2) 设P 点坐标为(x ，y )，x <0，y >0，因为∠F 2F 1P ＝120°，所以PF 1所在直线的方程为y ＝－3(x ＋1)．联立⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝－3(x ＋1)，x 24＋y 2
3＝1，可得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－85，y ＝335，
所以S
△PF 1F 2＝12|F 1F 2|×335＝33
5.
11. 【解答】 (1) 如图，在△ABC 中，A (－1,0)，B (1,0)，|AC |＝22，因为线段AC 上的点M 满足∠MBC ＝∠MCB ，所以|MC |＝|MB |，所以|MA |＋|MB |＝|MA |＋|MC |＝|AC |＝22>|AB |＝2，根据椭圆的定义，可得点M 的轨迹为以A ，B 为焦点的椭圆(不含与x 轴的交点)，其中2a ＝22，2c ＝2，可得a ＝2，c ＝1，则b ＝a 2
－c 2
＝1，所以Γ的方程为x 22＋y 2
＝1(y ≠0)．
图(1)
图(2)
(第11题)
(2) 由(1)知椭圆的方程为x 22＋y 2
＝1，设过点B (1,0)的直线为x ＝my ＋1.联立
方程组⎩⎨⎧
x ＝my ＋1，x 2＋2y 2
＝2，整理得(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则Δ＝4m 2＋4(m 2＋2)＝8(m 2＋1)>0，y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2.因为PB
→＝
3BQ →，可得(1－x 1，－y 1)＝3(x 2－1，y 2)，所以－y 1＝3y 2，将－y 1＝3y 2代入，可得
⎩⎪⎨⎪⎧
y 2＝m m 2
＋2，3y 22＝1m 2＋2
，消去y 2可得3m 2(m 2＋2)2＝1
m 2
＋2
，解得m 2＝1，即m ＝±1，所以l 的斜率为1
m ，即±1.
第2课时 直线与椭圆
1. C 解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋2，x 2m ＋y 24＝1，得(4＋m )x 2＋4mx ＝0，所以x A ＝0，x B ＝－4m
4＋m .
又|AB |＝1＋k 2|x B －x A |＝2|x B |，所以2|4m 4＋m |＝3 2.因为m >0，所以4m
4＋m ＝3，
解得m ＝12.
2. B 解析： 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知直线l 的方程为y ＝x －1.由AF →2＝λF 2B →
，
得(1－x 1，－y 1)＝λ(x 2－1，y 2)，则有－y 1＝λy 2①.由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x －1，x 22＋y 2＝1，消去x ，得3y 2＋2y －1＝0，所以y 1＝13，y 2＝－1，代入①得λ＝1
3.
3. D 解析： 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 2
12＝1，x 224＋y 22
2＝1，两式作差
并化简整理得y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2
y 1＋y 2，而x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝－2，所以y 1－y 2x 1－x 2＝14，
直线l 的方程为y ＋1＝14⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －12，即x －4y －9
2＝0. 4. A 解析： 设与已知直线平行且与椭圆相切的直线为x ＋2y ＋b ＝0，联立⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y ＋b ＝0，x 24＋y 2
3
＝1，消去y 得4x 2＋2bx ＋b 2－12＝0，所以Δ＝(2b )2－4×4(b 2－12)
＝0⇒b ＝±4，所以椭圆上点P 到直线x ＋2y －9＝0的最短距离为d ＝|－9－(－4)|
12＋22
＝ 5.
5. AC 解析： 由题意知|AF |＝(x 1－4)2＋y 21＝x 21－8x 1＋16＋9－9x 21
25＝
16x 21
25－8x 1＋25＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
45x 1－52，同理|CF |＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
45x 2－52.因为|x 1|≤5，|x 2|≤5，所以45x 1－5<0，45x 2－5<0.又|AF |＋|CF |＝2|BF |，所以5－45x 1＋5－45x 2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫
95－0，
所以10－45(x 1＋x 2)＝18
5，所以x 1＋x 2＝8，故A 正确，B 错误．因为x 1＋x 2＝8，所以设线段AC 的中点为D (4，y 0)．又A ，C 在椭圆上，所以x 2125＋y 219＝1①，x 22
25＋
y 22
9＝1②.由①－②得x 21－x 2225＝－y 21－y 2
29，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－9(x 1＋x 2)25(y 1＋y 2)＝－9×825×2y 0
＝－3625y 0，即k AC ＝－3625y 0，所以直线DT 的斜率k DT ＝－1k AC ＝25y 0
36，从而直线DT 的方程为y －y 0＝25y 036(x －4)．令y ＝0，得x ＝6425，即T ⎝ ⎛⎭⎪⎫
6425，0，所以直线BT 的斜
率k ＝5
4，故C 正确，D 错误．
6. BC 解析： 由题知c ＝2，则椭圆的右焦点为F 1(2，0)．因为点C (－2，1)在椭圆上，且|CF 1|＝(2＋2)2＋12＝3，|CF |＝1，所以2a ＝|CF 1|＋|CF |＝4，解得a ＝2，所以b 2
＝a 2
－c 2
＝4－2＝2，所以椭圆G 的标准方程为x 24＋y 2
2＝1，故
A 错误，
B 正确．因为点Q 在第一象限，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k (k >0)，则直线l 的方程为y ＝kx .设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧
y ＝kx ，
x 2
＋2y 2＝4，
得(1＋2k 2
)x 2
－4＝0，易知Δ>0，且x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－4
1＋2k 2，则|PQ |＝
1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4
1＋k 21＋2k 2
＝3，解得k 2
＝72，所以k ＝±
142.又k >0，所以直线l 的方程为14x －2y ＝0，故C 正确，D 错误．
7. 5
3 解析： 由已知可得直线的方程为y ＝2x －2，|OF |＝1，联立方程
⎩⎪⎨⎪⎧
x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，
解得⎩⎨
⎧
x ＝0，
y ＝－2
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝53，y ＝4
3，
不妨设A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
53，43，则S △AOB
＝12·|OF |·|y A －y B |＝5
3.
8.
410
5 解析： 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方
程为y ＝x ＋t ，由⎩⎨⎧
x 2＋4y 2＝4，
y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，Δ＝80－16t 2>0，
即t 2
<5，则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5
，所以|AB |＝1＋k 2
|x 1－x 2|＝
1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫－8t 52－16(t 2－1)5＝42·5－t 2
5，当t ＝0时，
|AB |max ＝410
5.
9. 3 解析： 如图，由题可知E (1,0)，|NE |＝1，设M (x 0，y 0)，x 209＋y 2
8＝1
⇒y 2
＝8⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1－x 209，－3≤x 0≤3，则|MN |＝
|ME |2－|NE |2＝|ME |2－1＝
(x 0－1)
2
＋y 20－1
＝
x 2
0－2x 0＋8⎝
⎛⎭⎪
⎫1－x 209＝
x 20
9－2x 0＋8＝
x 20－18x 0＋72
3
＝
(x 0－9)2－93，故当x 0＝3时，|MN |min ＝36－9
3＝ 3.
(第9题)
10. 【解答】 (1) 设椭圆E 的半焦距为c ，则离心率为c a ＝3
3，即a ＝3c ，b 2
＝a 2
－c 2
＝2c 2
，椭圆E 的方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，把x ＝c 代入椭圆方程得|y |＝23c
3，
于是得43c 3＝433，解得c ＝1，所以椭圆E 的方程为x 23＋y 2
2＝1.
(2) 由(1)知，F 1(－1,0)，显然直线AF 1不垂直于y 轴，设其方程为x ＝ty －1，由⎩⎨⎧
x ＝ty －1，2x 2＋3y 2
＝6，
消去x 并整理得(2t 2＋3)y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，Δ＝16t 2
＋16(2t 2
＋3)>0，则y 1＋y 2＝4t
2t 2＋3，y 1y 2＝－42t 2＋3
，且|y 1－y 2|＝
(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2t 2＋32
＋162t 2＋3
＝43·t 2＋12t 2＋3.由直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆
E 交于A ，B 两点及椭圆的对称性知，点A ，B 关于原点O 对称，则S △AOC ＝1
2S △ABC ＝67，因此S △AOC ＝12|OF ||y 1－y 2|＝23·t 2＋12t 2＋3＝67，解得t 2
＝2，即t ＝±2，所以直线AC 的方程为x －2y ＋1＝0或x ＋2y ＋1＝0.
11. 【解答】 (1) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 1＋x 22，
y 1＋y 22，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1，k OM ＝y 1＋y 2
2x 1＋x 22
＝y 1＋y 2x 1＋x 2
＝－1
2.因为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在椭圆C 上，则
⎩⎪⎨⎪⎧
x 21a 2＋y 21b
2＝1，x 2
2a 2＋y 22b 2＝1，
两式相减得x 21－x 22a 2＋y 21－y 22b 2＝0，整理得y 21－y 2
2x 21－x 22＝y 1＋y 2
x 1＋x 2×y 1－y 2x 1－x 2
＝
－b 2a 2，所以k AB ·k OM ＝－b 2a 2，即－12＝－b 2a 2，则a 2＝2b 2.又因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，62在椭圆C ：
x 2a 2＋y 2b 2＝1上，则1a 2＋32b 2＝1，联立解得a 2＝4，b 2
＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2
2＝1.
(2) 不存在，理由如下：假定C 上存在P ，Q 两点关于l ：y ＝x ＋1对称，设直线PQ 与直线l 的交点为N ，如图，则N 为线段PQ 的中点，连接ON .因为PQ ⊥l ，则k AB ·k PQ ＝－1，即k PQ ＝－1.由(1)可得k ON ·k PQ ＝－12，则k ON ＝1
2，即直线ON ：y ＝12x .联立方程⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝12x ，y ＝x ＋1，
解得⎩
⎨⎧
x ＝－2，y ＝－1，即N (－2，－1)．因为(－2)2
4＋
(－1)22＝3
2>1，所以点N (－2，－1)在椭圆C 外，所以假设不成立，故C 上不存在P ，Q 两点关于l 对称．
(第11题(2))
第42讲 双曲线
1. D 解析： 由题意得a 2＋4＝32⇒a 2＝5，所以e ＝
35
＝355. 2. C 解析： 双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±b 2x ，所以b
2＝3，b ＝2 3.
3. A 解析： 由题意可知，a ＝2，c ＝4＋12＝4，|PF 1|≥c －a ＝2.若|PF 2|＝5，则||PF 1|－5|＝4，|PF 1|＝9或1(舍去)．若|PF 1|＝9，则|9－|PF 2||＝4，|PF 2|＝5或13.故“|PF 2|＝5”是“|PF 1|＝9”的充分不必要条件．
4. A 解析： 由题意得F (c,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，bc a ，B ⎝ ⎛
⎭⎪⎫c ，－bc a .因为M 为线段OB 的
中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c
2，－bc 2a ，又F 为AB 的中点，所以MF ∥OA ，即四边形OAMF
为梯形．又O ，A ，F ，M 四点共圆，即四边形OAMF 为圆内接四边形，而圆内接四边形的对角互补，可知四边形OAMF 为等腰梯形，所以|OM |＝|AF |，即⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－bc 2a 2＝bc
a ，整理得a 2＝3
b 2，所以e ＝
c a ＝
1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2＝23
3. 5. CD 解析： 双曲线C ：y 23－x 2
＝1的焦点在y 轴上，a ＝3，b ＝1，c ＝a 2＋b 2＝2.对于A ，||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝23，而P 点在哪支上并不确定，故A 错误；对于B ，焦点在y 轴上的双曲线的渐近线方程为y ＝±a
b x ＝±3x ，故B 错误；对于C ，e ＝
c a ＝23＝23
3，故C 正确；对于D ，设P (x ，y )，则|PO |＝x 2＋y 2
＝x 2＋(3x 2＋3)＝3＋4x 2≥3(当x ＝0时取等号)，因为O 为F 1F 2的中点，所
以|PF →1＋PF →2|＝|2PO →|＝2|PO →
|≥23，故D 正确．
6. BD 解析： 如图，连接AF 2，BF 2，MF 2.设|AF 1|＝x ，因为|AB |＝4，a ＝1，所以|AF 2|＝|BF 2|＝|MF 1|＝x ＋2，D 正确．因为M 为线段AB 的中点，所以MF 2⊥AB .又tan ∠BF 1F 2＝3
3，所以|MF 2|＝c ，|MF 1|＝|AF 2|＝3c ，则|AM |＝2c ＝2，得c ＝2，所以双曲线的离心率为c a ＝2，A 不正确；F 2F →1·F 2M →＝|F 2F →1||F 2M →
|cos ∠F 1F 2M ＝|F 2M →|2＝2，F 2A →·F 2M →＝|F 2A →||F 2M →|cos ∠AF 2M ＝|F 2M →|2＝2，F 1F →2·F 1M →＝|F 1F 2→||F 1M →|·cos ∠MF 1F 2＝|F 1M →
|2＝6，则B 正确，C 不正确．
(第6题)
7. 5 解析： 因为双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，所以b a ＝2，所以e ＝
c a
＝
1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
b a 2＝ 5. 8. x 22－y 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫
答案不唯一，满足x 22－y 2＝λ(λ≠0)即可 解析： 若双曲线C
的焦点在x 轴上，则b a ＝22，此时a 2＝2b 2
，则双曲线的方程为x 22b 2－y 2b 2＝1，此时双曲线C 的方程可表示为x 22－y 2＝λ(λ>0)；若双曲线C 的焦点在y 轴上，则a b ＝2
2，
此时b 2＝2a 2，则双曲线的方程为y 2a 2－x 22a 2＝1，此时双曲线C 的方程可表示为x
2
2－
y 2
＝λ(λ<0)．综上所述，双曲线C 的方程可表示为x 22－y 2
＝λ(λ≠0)．
9. 5 解析： 不妨设焦点F 1，F 2在x 轴上，两曲线在第一象限的公共点为P ，设C 2的实半轴长为a ，则C 1的长半轴长为3a ，半焦距为c .设|PF 1|＝x (x >y )，|PF 2|＝y (x >y )，则⎩⎨⎧ x ＋y ＝6a ，x －y ＝2a ⇒⎩⎨⎧
x ＝4a ，
y ＝2a .由题意知P 在以F 1F 2为直径的圆上，所以x 2＋y 2＝4c 2＝20a 2，解得e ＝ 5.
10. 【解答】 (1) 由渐近线为y ＝3x 知，b a ＝3①.又焦点到渐近线的距离为3，即(c,0)到直线y ＝3x 的距离|3c |3＋1
＝3c 2＝3，所以c ＝2，a 2＋b 2＝4②.联立①②，解得a 2＝1，b 2＝3，则双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.
(2) 因为直线l 与双曲线交于两支，交点分别为P ，Q ，所以直线l 的斜率必存在，且经过点(0,1)，可设直线l ：y ＝kx ＋1，与双曲线联立得(3－k 2)x 2－2kx －4
＝0.设M (x ，y )，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，x 1＋x 2＝2k 3－k 2，x 1·x 2＝－43－k 2<0，解得－3<k < 3.
由OM →＝OP →＋OQ →知，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 1＋x 2＝2k 3－k 2，y ＝y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝63－k 2，两式相除得x y ＝k 3，即
k ＝3x y ，代入y ＝63－k
2得y 2－2y －3x 2＝0.又－3<k <3，所以y ≥2，所以点M 的轨迹方程为y 2－2y －3x 2＝0(y ≥2)．
11. 【解答】 (1) 因为双曲线C 的渐近线方程为y ＝±33x ，则可设双曲线的
方程为x 29－y 23＝λ(λ≠0)，将点P (3，2)代入得99－23＝λ，解得λ＝13，所以双曲线
C 的方程为x 23－y 2＝1.
(2) 显然直线BQ 的斜率不为零，设直线BQ 的方程为x ＝my ＋1，B (x 1，y 1)，
D (x 2，y 2)，A (x 1，－y 1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 23
－y 2＝1，x ＝my ＋1，消去x 整理得(m 2－3)y 2＋2my －2＝0，
由题意得m 2－3≠0且Δ＝4m 2＋8(m 2－3)>0，即m 2>2且m 2≠3，y 1＋y 2＝－
2m m 2－3，y 1y 2＝－2m 2－3，直线AD 的方程为y ＋y 1＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 1)，令y ＝0，得x ＝(x 2－x 1)y 1y 2＋y 1
＋x 1＝x 1y 2＋x 2y 1y 2＋y 1＝(my 1＋1)y 2＋(my 2＋1)y 1y 2＋y 1＝2my 1y 2＋(y 1＋y 2)y 2＋y 1
＝2m ·－2m 2－3－2m m 2－3－2m m 2－3
＝－6m
m 2－3－2m
m 2－3
＝3，所以直线AD 过定点(3,0)． 第43讲 抛物线 1. B 解析： 点M (m,4)在抛物线C ：y 2＝4x 上，则42＝4m ，解得m ＝4，则M (4,4)．又抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F (1,0)，准线x ＝－1，则直线MF 的方程为
4x －3y －4＝0，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－83，则|FN |＝(－1－1)2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－83－02＝103. 2. C 解析： 如图，圆与抛物线都关于x 轴对称，故所截得的弦AB 与x 轴
垂直，圆心为原点，圆的半径为2，所以x 2A ＋y 2A ＝22.因为y A ＝3，x A <0，解得
x A ＝－1，故－p 2＝－1，得p ＝2.
(第2题)
3. A 解析： 由抛物线C ：y 2＝4x 知，焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为Q ，如图，由抛物线的定义知|PN |＋|PM |＝|PQ |－1＋|PM |＝|PF |＋|PM |－1，当F ，P ，M 三点共线时，|PM |＋|PN |最小，且为|MF |－1＝(3－1)2＋(4－0)2－1＝25－1.
(第3题)
4. B 解析： 由题意知，抛物线的焦点(1,0)恰为圆心F ，抛物线的准线l 1：x
＝－
1，圆的半径为2，可得圆F 与l 1相切．如图，设直线l ：y ＝t 与准线l 1交
于点D ，由抛物线的定义知|AF |＝|AD |，又|FB |＝2，所以△F AB 的周长为|F A |＋|AB |＋|FB |＝|AD |＋|AB |＋2＝|DB |＋2.由图知2<|DB |<4，故|DB |＋2∈(4,6)．结合选项知△F AB 的周长可能为5.
(第4题)
5. ABD 解析： 对于A ，因为|PF |＝5，所以由抛物线的定义得y P ＋1＝5，
得y P ＝4，所以x 2P ＝4y P ＝16，且点P 在第一象限，所以点P 的坐标为(4,4)，故A
正确；对于B ，直线PF 的方程为y ＝34x ＋1，由y ＝34x ＋1与x 2＝4y 联立得，
Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1，14，则由两点间距离公式得|QF |＝54，故B 正确；对于C ，方法一：S △OPQ ＝12|OF ||x P －x Q |＝12×1×5＝52；方法二：由B 得|PQ |＝254，原点O 到直线PF 的
距离为d ＝45，所以S △OPQ ＝52，故C 错误；对于D ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由
x 2
＝4y 得，y ＝x 24，则y ′＝x 2，MA 的切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y －y 1＝x 12x －x 212，由x 21＝4y 1，得y ＝x 12x －y 1，把点M (x 0，－1)代入y ＝x 12
x －y 1，得x 0x 1－2y 1＋2＝0，同理x 0x 2－2y 2＋2＝0，即A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点满足方程x 0x －2y ＋2＝0，所以AB 的方程为x 0x －2y ＋2＝0，故D 正确．
6. AD 【解答】 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由抛物线的定义可得|MN |＝－(x 1＋x 2)＋p ＝16，又因为MN 的中点到y 轴的距离是6，所以|x 1＋x 2|＝12，所以x 1＋x 2＝－12，所以p ＝4，所以抛物线C 的方程为y 2＝－8x ，所以A 正确；准线
方程为x ＝2，所以B 不正确；设直线l 的方程为x ＝my －2，联立⎩⎨⎧
x ＝my －2，y 2＝－8x ，整理得y 2＋8my －16＝0，Δ＝64m 2＋64>0，则y 1＋y 2＝－8m ，y 1·y 2＝－16，所以x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－8m 2－4＝－12，解得m ＝±1，所以l 的方程为x ＝±y －2，
所以C 不正确；S △MON ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12·2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝82＋64＝82，
所以D 正确．
7. 1 解析： 如图，由抛物线y 2＝4x 可知其焦点为F (1,0)，由抛物线的定义可知|PF |＝x P ＋1，故点P 到点M (0，3)的距离与点P 到y 轴的距离之和为|PM |＋x P ＝|PM |＋|PF |－1≥|MF |－1＝1＋(3)2－1＝1，即点P 到点(0，3)的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为1.
(第7题)
8. 163 解析： 如图，设AF 的中点为M ，因为∠AFP ＝∠AFQ ，AF 的垂直平分线分别交l 和x 轴于P ，Q 两点，所以△PMF ≌△QMF ，所以|P A |＝|PF |＝|FQ |，M 是PQ 的中点，所以四边形APFQ 是菱形，于是AP ∥FQ .由抛物线的定义可得|P A |＝|AF |，所以△APF 为等边三角形，所以∠P AF ＝∠AFQ ＝60°，直线AB 的方
程为y ＝3(x －1)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧
y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，
可得3x 2－10x ＋3＝0，Δ>0显然成立，所以x 1＋x 2＝103，x 1x 2＝1，故|AB |＝
1＋(3)2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(1＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1009－4＝163.
(第8题)
9. 4 解析： 抛物线的焦点坐标为(1,0)，当直线的斜率不存在时，令x ＝1，得y ＝±2，所以|AB |＝4.当直线的斜率存在时，设直线的方程为y ＝k (x －1)，联立⎩⎨⎧
y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，
得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，k ≠0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Δ＝(2k 2＋4)2－4k 4＝16k 2＋16>0，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2＋4k 2＋2
＝4＋4k 2>4，所以|AB |的最小值为4.
10. 【解答】 (1) 把M (x 0,4)代入抛物线C 得16＝2px 0，则x 0＝8p .由|MF |＝5，
得x 0＋p 2＝8p ＋p 2＝5，所以p 2－10p ＋16＝0，解得p ＝2或p ＝8.
(2) 当p ＝8时，x 0＝1，舍去；当p ＝2时，x 0＝4，则M (4,4)且C ：y 2＝4x ，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫y 224，y 2. 方法一：设直线AB 的方程为x ＝my ＋n ，与抛物线C 联立得y 2－4my －4n
＝0，Δ＝16m 2＋16n >0，则⎩⎨⎧
y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4n ，由MA ⊥MB ，得MA →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214－4⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224－4＋(y 1－4)(y 2－4)＝0.由y 1≠4且y 2≠4，得(y 1＋4)(y 2＋4)＋16＝0，即y 1y 2＋4(y 1＋y 2)＋32＝0，所以－4n ＋16m ＋32＝0，即n ＝4m ＋8，从而直线AB 为x ＝my ＋4m ＋8＝m (y ＋4)＋8，即直线AB 过定点Q (8，－4)．又k MQ ＝－2，当|MN |最大时，AB ⊥MQ ，所以m ＝2，直线AB 的方程为x －2y －16＝0.
方法二：k AB ＝y 1－y 2y 214－y 224
＝4y 1＋y 2.由MA ⊥MB ，得MA →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214－4⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224－4＋(y 1－4)(y 2－4)＝0.由y 1≠4且y 2≠4，得(y 1＋4)(y 2＋4)＋16＝0，即y 1y 2＋4(y 1＋y 2)＋
32＝0①.直线AB 的方程为y －y 1＝4y 1＋y 2⎝
⎛⎭⎪⎫x －y 214，整理得4x ＋y 1y 2＝y (y 1＋y 2)，将①代入得4x －32＝(y 1＋y 2)(y ＋4)，即直线AB 过定点Q (8，－4)．又k MQ ＝－2，
当|MN |最大时，AB ⊥MQ ，所以直线AB 的方程为y ＋4＝12(x －8)，即x －2y －16
＝0.
11. 【解答】 (1) 当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝0，符合题意；当
直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎨⎧
y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，
得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.当k ＝0时，直线y ＝1符合题意；当k ≠0时，令Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16－16k ＝0，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.综上，直线l 的方程为x ＝0，y ＝1或x －y ＋1＝0.
(2) 方法一：设Q (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，不妨令x 1<x 2，因为直线l
与抛物线C 有两个交点，所以⎩⎨⎧
k ≠0，Δ＝－16k ＋16>0，
所以k <1，且k ≠0，x 1＋x 2＝4－2k k 2，x 1x 2＝1k 2.由|AP ||PB |＝|AQ ||QB |，得x 1x 2
＝x －x 1x 2－x ，所以x ＝2x 1x 2x 1＋x 2＝12－k ，所以y ＝k 2－k ＋1＝22－k ，所以y ＝2x .因为k <1，且k ≠0，所以0<x <1，且x ≠12，所以点Q 的轨迹方程为y ＝2x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0<x <1且x ≠12. 方法二：设Q (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，不妨令x 1<x 2，因为直线l 与抛
物线C 有两个交点，所以⎩⎨⎧ k ≠0，Δ＝－16k ＋16>0，
所以k <1，且k ≠0，x 1＋x 2＝4－2k k 2，x 1x 2＝1k 2.因为点Q 在线段AB 上，设|AP ||PB |＝|AQ ||QB |＝λ，则P A →＝λPB
→，AQ →＝λQB →，所以⎩⎨⎧ x 1＝λx 2，x －x 1＝λ(x 2
－x )，所以x ＝2x 1x 2x 1＋x 2＝12－k ，从而y ＝k 2－k ＋1＝22－k ，所以y ＝2x .因为k <1，且k ≠0，所以0<x <1，且x ≠12，所以点Q 的轨迹方程为y ＝
2x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0<x <1且x ≠12. 第44讲 圆锥曲线的综合问题
第1课时 圆锥曲线中的求值与证明问题
1. 【解答】 (1) 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝12，
8a 2－1b 2＝1，
解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝1，所以双曲线C 的标准方程是x 24－y 2＝1.
(2) 假定存在直线AB ，使得|AM |·|BM |＝10成立，显然AB 不垂直于y 轴，否
则|AM |·|BM |＝5.设直线AB 的方程为x ＝my ＋3，由⎩⎨⎧
x ＝my ＋3，x 2－4y 2＝4，
消去x 并整理得(m 2－4)y 2＋6my ＋5＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由题得
⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－4≠0，Δ＝36m 2－20(m 2－4)＝16(m 2＋5)>0，y 1＋y 2＝－6m m 2－4，
y 1y 2＝5m 2－4>0，解得m 2>4，即m <－2或m >2，因此，
|AM |·|BM |＝1＋m 2|y 1－0|1＋m 2·|y 2－0|＝(1＋m 2)|y 1y 2|＝5(1＋m 2)m 2－4
＝10，解得m ＝±3，所以存在直线AB ，使得|AM |·|BM |＝10成立，此时，直线AB 的方程为x －3y －3＝0或x ＋3y －3＝0.
2. 【解答】 (1) 由长轴的两个端点分别为A (－2,0)，B (2,0)，可得a ＝2，由离心率为32，可得c a ＝32，所以c ＝
3.又a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.
(2) 由题可知l 的斜率存在，且斜率不为零，故设l 的方程为x ＝my ＋1，设
M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋1，x 24＋y 2＝1，得(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0，Δ＝4m 2＋12(m 2
＋4)＝16m 2＋48>0，则y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4
，所以2my 1y 2＝3(y 1＋y 2)．因为k AM ＝y 1x 1＋2，直线AM 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，所以Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4，6y 1x 1＋2，又k NB ＝y 2－0x 2－2＝y 2x 2－2，k BQ ＝6y 1x 1＋2－04－2＝6y 1x 1＋22＝3y 1x 1＋2，所以k NB －k BQ ＝y 2x 2－2－3y 1x 1＋2＝y 2(x 1＋2)－3y 1(x 2－2)(x 2－2)(x 1＋2)＝y 2(my 1＋3)－3y 1(my 2－1)(x 2－2)(x 1＋2)＝－2my 1y 2＋3(y 1＋y 2)(x 2－2)(x 1＋2)＝0，即k NB ＝k BQ ，所以N ，B ，Q 三点共线．
3. 【解答】 (1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2c －c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，c a ＝22，解得⎩⎨⎧
a ＝22，
b ＝2，故椭圆C 的。