2019届中考数学专题复习讲义整式的加减

2019 届中考数学专题复习讲义整式的加减
本章小结
小结 1 本章内容概览
本章的主要内容是整式和整式的加减．学习本章知识，要认识单项式、多项式和整式的
观点，会确立单项式的系数和次数，会确立多项式的项数和次数．理解同类项的观点，掌握
归并同类项的方法以及去括号时符号的变化规律．能够娴熟地进行整式的加减运算，正确地
进行剖析实质问题中的数目关系，并会列出整式表示，从而领会用字母表示数，由算术到代
数的进步．
小结 2 本章要点、难点：
本章的要点是同类项、整式的加减，难点是去括号与求值运算．
小结 3 本章学法点津
1.学习本章知识时，要注意把数字和字母联系起来，从详细情境中研究数目关系和变化规律，注意知识的内在联系．
2.要注意对整式加减运算法例研究过程的理解，领会“数式的通性”．
3.要注意归纳、类比、转变等数学思想方法的运用，经过察看、实验、研究、发现，从而归
纳总结规律，提升利用规律解决实质问题的能力，培育创新精神和自学意识．
知识网络构造图
要点题型总结及应用
题型一整式的加减运算
1 a 33
例 1 已知3x
y与 3y5 b x3是同类项，则ab 的值为.
分析：由同类项的定义可得a－ 3＝ 3， 5－ b＝3，因此 a＝ 6， b＝ 2．因此 ab＝ 62＝ 36．答案： 36
点拨所含字母同样，同样字母的指数也分别同样，这是两个单项式成为同类项一定具备的
条件，即字母同样，
同样字母的指数也分别同样同类项.
例2 计算：（ 7x2 ＋5x－ 3）－（ 5x2－3x ＋ 2）．
解：原式＝ 7x2 ＋ 5x－ 3－ 5x2＋ 3x－ 2＝2x2 ＋ 8x－ 5．
方法此题考察整式的加减及去括号法例．归并同类项时注意字母和字母的指数不变，只把系数相加减．
题型二整式的求值
例3 已知（ a＋ 2） 2＋ |b ＋ 5| ＝ 0，求 3a2b 一 [2a2b －（ 2ab－a2b）－ 4a2] － ab 的值．剖析：由平方与绝对值的非负性，得a＝－2，b＝－5．先化简，再代入求值．解：
由于（ a＋ 2） 2≥ 0， |b ＋5| ≥ 0，且（ a＋ 2） 2＋ |b ＋5| ＝ 0，
因此 a＋ 2＝ 0，且 b＋ 5＝
0．因此 a＝－ 2， b＝－ 5．
3a2b－ [2a2b －（ 2ab－ a2b）－ 4a2] －ab
＝3a2b － 2a2b＋ 2ab－ a2b＋ 4a2－ ab
＝4a2＋ ab.
把 a＝－ 2， b＝－ 5 代入 4a2＋ab，得
原式＝ 4×（－ 2） 2＋（－ 2）×（－5）＝ 16＋10＝ 26．
例 4已知 2a2－ 3ab＝ 23，4ab＋ b2＝ 9，求整式 8a2＋ 3b2 的值．
解：由于2a2－ 3ab＝ 23，因此 8a2－ 12ab＝ 92，因此 12ab＝ 8a2－92．
由于 4ab＋b2＝ 9，因此 12ab＋ 3b2＝27，因此 12ab＝ 27－3b2．
由此得 8a2－ 92＝ 27－ 3b2，即 8a2＋3b2＝ 119．
题型三整式的应用
例 5图2－3－1是一个长方形试管架，在 a cm 长的木条上钻了 4 个圆孔，每个孔的直径
为 2 cm，则 x 等于（）
a 8 a 16 a 4a8
A.5cm
B.5cm
C.5cm
D.5cm
a8
分析：由题意得5x＋ 2× 4＝ a，因此 x＝5（cm）．答案：D
点拨此题要着重联合图形来剖析问题，以提升综合解决问题的能力．
例 6用正三角形和正六边形按如图2－3－ 2 所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每
个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第
（用含”的代数式表示）．
分析：第一个图案中正三角形的个数为： 4 ＝ 2× 1＋ 2；
第二个图案中正三角形的个数为：6＝ 2× 2＋ 2；
第三个图案中正三角形的个数为：8＝ 2× 3＋ 2；
．．，；
第 n 个图案中正三角形的个数为：2n＋ 2．
答案： 2n＋2
n 个图案中正三角形的个数为
思想方法归纳
1.整体思想
整体思想就是在考虑问题时，将拥有共同特色的某一项或某一类当作一个整体，从宏观长进行剖析，抓住问题的整体构造和实质特色，全面关注条件和结论，加以研究、解决，使
问题的解答简捷、明快，常常能化繁为简，由难变易，获取解决问题的捷径，从而促使问题
的解决．
1
(a b)1
( a b) a b a b
例 1 计算当 a＝ 1， b＝－ 2 时，代数式243 6 的值．剖析：由于 a＝1， b＝－ 2，因此 a＋ b＝－ 1， a－ b＝3．
1
( a b)1
(a b)
1
( a b)
1
(a b)
解：原式＝2634
17
(a b)(a b)
312．
1 37( 1) 175
当 a＝ l ， b＝－ 2时，原式3121212 .
点拨把（ a－ b），（ a＋ b）分别看做一个整体，直接归并同类项，而不是去括号再归并同
类项．
例2 若 a2＋ ab＝ 20， ab－b2＝－ 13，求 a2＋ b2 及 a2＋ 2ab－b2 的
值．剖析：把 a2＋ ab， ab－ b2 分别看做一个整体．
解：∵ a2＋ab－（ ab－ b2 ）＝ a2＋ b2，∴ a2＋b2＝ 20－（－ 13） =33．
又∵（ a2＋ab）＋（ ab－ b2 ）＝ a2＋2ab－ b2，∴ a2＋ 2ab－ b2 ＝ 20－ 13＝7．
点拨经过对已知条件相减或相加，得出待求的多项式，从而求出多项式的值．考察了学生的洞察能力．
2数形联合思想
例3 如图 2－ 3－ 3 所示，已知四边形 ABCD是长方形，分别用整式
表示出图中 Sl ，S2，S3，S4 的面积，并表示出长方形 ABCD的面积．
解： S1＝ m（ 2m－ n）＝ 2m2－ mn，S2＝ n（ 2m－ n）＝ 2mn－ n2 ，
S3＝ n2 ， S4＝ mn．
S 长方形 ABCD＝ S1＋S2＋ S3＋S4＝（ 2m2－mn）＋（ 2mn－ n2 ）＋ n2＋mn＝ 2m2－ mn＋ 2mn－ n2＋n2＋ mn＝2 m2＋ 2mn．
中考热门聚焦
考点 1单项式
考点打破：单项式是整式中的基础知识，在中考取的考察一般难度不大，多以选择题或填空题的形式出现．解决此类问题要理解单项式的定义及单项式次数的含义．
例 1（2011?柳州）单项式3x2y3 的系数是3．
考点：单项式。

专题：计算题。

剖析：把原题单项式变成数字因式与字母因式的积，此中数字因式即为单项式的系数．
解答：解： 3x2y3=3?x2y3，此中数字因式为3，
则单项式的系数为3．
故答案为： 3．
评论：确立单项式的系数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数的要点．找出单项式的系数的规律也是解决此类问题的要点．
写出含有字母x， y 的五次单项式（只需求写出一个）.
1分析：写出的单项式应知足x 的指数与y 的指数和为5．答案不独一，比如x3 y2，2
1
x4 y等 .答案：x3 y2， 2x4 y等 .
例 2若单项式3x2 yn 与－ 2xmy3 是同类项，则m＋n＝．
分析：由同类项的定义可知，x， y 的指数分别同样，即m＝ 2， n＝ 3．因此 m＋ n＝ 5．
答案： 5
考点 2列整式表示数目关系
考点打破：一些问题中的数目关系，可列整式表示，列式时要明确要表示的量与已知量
之间的关系．中考取对此知识点的考察常以填空题为主．
例 3（2011?湘西州）若一个正方形的边长为a，则这个正方形的周长是4a．
考点：列代数式。

剖析：正方形的边长a，正方形的周长为： 4×正方形的边长．
解答：解：正方形的边长：4a．
故答案为： 4a．
评论：此题考察列代数式，依据正方形的周长公式可求解．
三个连续整数中，n 是最小的一个，这三个数的和为.
分析：若n 为最小的一个整数，则另两个整数可表示为n＋ 1， n＋ 2，因此这三个数的和为 n＋（ n＋ 1）＋（ n＋ 2）＝ 3n＋ 3．答案：3n＋3
例 4（2011浙江金华，11，4分）“x 与y的差”用代数式能够表示为.
考点：列代数式。

专题：和差倍关系问题。

剖析：用减号接x 与 y 即可．
解答：解：由意得x 被减数， y 减数，
∴可得代数式 x y．
故答案： x y．
点：考列代数式；依据关获取运算关系是解决本的关．
用代数式表示“ a，b 两数的平方和” ，果.
答案： a2＋b2
考点 3 找形的化律
考点打破：此是近几年中考的点，做要依据前几个形的个数找出
律，并用整式表示出第n 个形的果．重在考思的灵巧性和归纳能力．
例 5 察以下形（2－ 3－4）及形所的算式，依据你的律算1＋ 8＋ 16＋24＋⋯＋ 8n（ n 是正整数）的果（）
A ．（ 2n＋ 1） 2 B．（2n－1）2C．（n＋2）2D．n2
分析：∵ 1＋ 8＝ 9＝ 32，1＋ 8＋ 16＝ 25＝ 52，1＋ 8＋ 16＋ 24＝ 49＝72，⋯，∴ 1＋ 8＋ 16＋ 24
＋⋯＋ 8n＝（ 2n＋ 1） 2．答案： A
合收估
一、
b xy
l. 在代数式－ 2x2 ，3xy ，a，3，0， mx－ny 中，整式的个数（）
A． 2 B ． 3 C ． 4 D. 5
2. 二以下句正确的选项
是（）
A． x 的次数是 0B． x 的系数是0 C.－1是一次式D．－ 1 是式
3. 以下不属于同的是（）
A．－ 1 和 2 B ． x2y 和 4×105x2y C.4 a b 4 b2a
D． 3x2y 和－ 3x2y 5和 5
4. 以下去括号正确的选项
是（）
A． a2(2a b2b)a22a b2b B． (2 x y) ( x2y 2 )2x y x2y2 C． 2x2 3(x 5)2x23x 5
D． a3[4a2(13a)]a34a2 1 3a
5.现规定一种运算：a*b ＝ ab＋a－ b，此中 a， b 为有理数，则3*5 的值为（）A．11B． 12C．13D． 14
6.若式子 3x22x6 的值为
3 x2x 4
8，则式子2的值为（）
A． 1 B ． 5 C ． 3D． 4
7.三个连续奇数，中间的一个是2n＋1（ n 是整数），则这三个连续奇数的和为（）A． 2n－ 1 B ． 2n＋ 3 C ． 6n＋ 3 D ． 6n－ 3
8.假如 2－（ m＋ 1） a＋ an－3 是对于 a 的二次三项式，那么 m， n 应知足的条件是（）A． m＝ 1， n＝ 5B． m≠ 1， n＞ 3
C． m≠－ 1， n 为大于3 的整数D． m≠－ 1， n＝ 5
二、填空题
9.－ mxny 是对于 x， y 的一个单项式，且系数是3，次数是 4，则 m＝， n＝．
10.多项式 ab3－ 3a2b2－ a3b－3 按字母 a 的降幂摆列是．按字母 b 的升幂摆列是．
11.当 b＝时，式子2a＋ab－5的值与a没关．
12.若－7xyn＋1 3xmy4是同类项，则m＋ n．
13．多项式2ab－ 5a2＋ 7b2 加上等于a2－5ab．
三、解答题
14．先化简，再求值：
2 n 1
mn
2
(5m
2
n2mn
2
)3(mn
221
2 m
22m n)
，此中 m＝－ l ，n＝3 .
15．如图 2－ 3－ 5 所示的是某居民小区的一块长为 b 米，宽为 2a 米的长方形空地，为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个极点各修筑一个半
径为 a 米的扇形花台，而后在花台内栽花，其他空地种草．假如建筑花台
及栽花每平方米需要资本100 元，种草每平方米需要资本50 元，那么美化这块空地共需资本多少元?
答案
b
1． D分析：a
不是整式，应选D．
2． D分析：x的次数是1，系数是 1；－ 1 是单项式．应选D．
3． C 分析：所含字母同样，而且同样字母的指数也同样的项叫做同类项．应选 C ：
4． D 分析：假如括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与本来的符号同样； 假如括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与本来的符号相反．应选
D ．
5． C 分析：按规定的运算得
3*5＝ 3× 5＋ 3— 5＝13．应选 C ．
3
1
6． B
分析：由
3x2－2x ＋ 6＝ 8 变形得
3x2－ 2x ＝ 2，因此
2
x2－ x ＋ 4＝
2 (3x2 － 2x) ＋ 4＝
1
2 ×2＋ 4＝ 5．应选 B ．
7． C 分析：已知三个连续奇数中的中间一个为 2n ＋ 1（ n 为整数），那么，较小一个为 2n
－1，较大一个为 2n ＋ 3，因此这三个奇数的和为（ 2n －1）＋（ 2n ＋1）＋（ 2n ＋ 3）＝ 6n ＋
3．应选 C ．
8． D 分析：由题意得 n － 3＝ 2，且 m ＋1≠ 0，因此 n ＝ 5 且， m ≠－ 1．应选 D ． 9．－ 3，3 分析：由系数是 3，得－ m ＝ 3，因此 m ＝－ 3．由次数是 4，得 n ＋ 1＝ 4，因此 n
＝ 3．
10．－ a3b －3a2b2＋ ab3－ 3，－ 3－a3b － 3a2b2＋ ab3 分析：在摆列时， 必定要明确针对哪
个字母摆列，摆列时只看这个字母的指数和该项符号，利用加法互换律互换地点即可．
11 ．－ 2 分析： 2a ＋ ab －5＝（ 2＋ b ）a － 5．由于式子的值与 a 没关，故 2＋ b ＝ 0，因此 b ＝－ 2．
12． 4 分析：由同类项的定义可得
m ＝l ， n ＋ 1＝ 4，即
13． 6a2－7ab － 7b2 分析：加数等于和减另一个加数，即（
n ＝ 3，因此 m ＋ n ＝ 1＋ 3； 4．
a2－ 5ab ）－（ 2ab － 5a2＋ 7b2）
＝6a2－ 7ab － 7b2．
1
14 ． 解：原式＝ 2m2n ＋mn2－ 5m2n ＋ 2mn2－3mn2＋ 6m2n ＝ 3m2n ．当 m ＝－ 1， n ＝ 3
时，
1
原式＝ 3×（－ 1） 2× 3 ＝ 1．
点拨：运用去括号和归并同类项法例进行化简，考察对法例灵巧运用的能力． 15 ．解：依据题意，得
4 1
πa 2
100 2ab
4 1
πa 2
50 100πa 2
100ab 50 πa 2
4
4
50 π a2＋ 100ab ．
答：美化这块空地共需资本（ 50π a2＋ 100ab ）元．
点拨： 依据题意，能够先求出建筑花台及栽花所需花费，
再求出种草的花费，二者相加即为
美化这块空地共需的资本．。