向量组线性相关与秩的关系

向量组线性相关与秩的关系
摘要：向量组线性相关性对于数学学科中很多问题都具有极其重要的作用，且与向量组线性相关性紧密相关的秩也有极为重要的意义。

本文从定义、特性及性质三方面详细剖析了向量组线性相关性与秩之间的关系并举例说明，最后总结出两者的关联性。

关键词：线性相关性；秩；关系
根据定义和特性，向量组线性相关性与秩之间的关系划分如下：
一、定义
1、向量组线性相关性：指向量组之间存在相同的值，当向量组自身中存在两个不同的元素值出现在多个向量组时，这两个元素之间就具有线性相关性。

2、秩：指向量组的组件元素可以依照一定的次序组合出一系列不同的向量，而这些向量所能形成的矩阵的秩就被称为该向量的秩，用数字表示的时候我们称为秩值。

二、特性
1、向量组线性相关性与秩之间存在着一定的联系，当向量组存在线性
相关性时，秩值一定要小于其中的维数，因为线性相关性就是说必须
要有不同的元素值在向量组中出现两次以上，这样一定会减少可以被
组合出新向量的组件维数。

2、向量组线性相关性若是存在，秩值必定小于维数，但若向量组线性
相关性不存在，秩值可能和维数相同。

三、性质
1、向量组线性相关性和秩之间的关系：若向量组中存在相关性，则秩
值必定小于该向量组的维数，反之若无相关性，秩值理论上可以等于
其维数。

2、秩的确定性：确定一个向量组的秩依据主元素的构成，若一个向量
组是由各位秩相等的多个线性无关子组组成，则它的秩为子组秩之和，即主元素的总数。

3、向量组的线性相关性和秩之间的关系实例：
❶若有 A=(1,2,3),B=(2,4,6),C=(3,6,9),则可以看出，ABC三个向量的每
个分量的值按照等比数列变化，因此A、B、C三个向量之间存在线性
相关性，且它们的秩值只有一（即rank(A)=1）；
❷若有 D=(1,2,3),E=(4,8,9),F=(7,14,15),则可以看出，DEF三个向量之间不存在线性相关性，且它们的秩值是３（即rank(D)=3）；
分析：从来上可以看出，线性相关性和秩值之间存在着一定的联系，若向量组中存在线性相关性，则秩值一定要小于其维数，即秩值=元素数-线性相关项数，反之，若无线性相关性，秩值可以和维数相同。

综上所述：向量组线性相关性与秩之间是一对密切相关的概念，其关系紧密相连，存在着线性相关性时，秩值一定会小于其维数；而当没有线性相关性时，秩值可能等于其维数。