构造全等三角形的方法

构造全等三角形的方法
在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法〔“SSS 〞，“SAS 〞，“ASA 〞，“AAS 〞，“HL 〞〕中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。

如果选择找到了一组对应边，再找第二组条件，假设找到第二组条件是对应边，那么再找这两边的夹角用“SAS 〞或再找第三组对应边用“SSS 〞；假设找到第二组条件是角，那么需找另一组角〔可能用“ASA 〞或“AAS 〞〕或夹这个角的另一组对应边用“SAS 〞；假设是判定两个直角三角形全等那么优先考虑“HL 〞 。

搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造适宜的全等三角形，把条件相对集中起来，再进展等量代换，就可以化难为易了．
一、利用三角形的角平分线来构造全等三角形
〔可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。

〕
1、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 。

画一画。

法一：在AB 上截取AE=AC ，连结DE 。

法二：延长AC 到F ，使AF=AB ，连结DF 。

法三：作DM ⊥AB 于M ，DN ⊥AC 于N 。

D C B A D C B A D C B A
2、如图，DC ∥AB ，∠BAD 和∠ADC 的平分线相交于E ，过E 的直线
分别交DC 、AB 于C 、B 两点. 求证：AD ＝AB ＋DC.
证明：在线段AD 上取AF ＝AB ，连接EF ，
∵AE 是∠BAD 的角平分线，∴∠1＝∠2，
∵AF ＝AB AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AFE ，∴∠B ＝∠AFE
由CD ∥AB 又可得∠C ＋∠B ＝180°，∴∠AFE ＋∠C ＝180°，
又∵∠DFE ＋∠AFE ＝180°，∴∠C ＝∠DFE ，
∵DE 是∠ADC 的平分线，∴∠3＝∠4，
又∵DE ＝DE ，∴△CDE ≌△FDE ，∴DF ＝DC ，
∵AD ＝DF ＋AF ，∴AD ＝AB ＋DC ．
3、：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD.
求证：∠A+∠C=180°
A
D
B C
法一：证明：在BC上截取BE，使BE=AB，连结DE。

法二：延长BA到F，使BF=BC，连结DF。

∵ BD是∠ABC的角平分线〔〕∵ BD是∠ABC的角平分线〔〕
∴∠1=∠2〔角平分线定义〕∴∠1=∠2〔角平分线定义〕
在△ABD和△EBD中在△BFD和△BCD中
∵ AB=EB〔〕 BF=BC〔〕
∠1=∠2〔已证〕∠1=∠2〔已证〕
BD=BD〔公共边〕 BD=BD〔公共边〕
∴△ABD≌△EBD〔〕∴△BFD≌△BCD〔〕
∴∠A＝∠3〔全等三角形的对应角相等〕∴∠F＝∠C〔全等三角形的对应角相等
AD=DE〔全等三角形的对应边相等〕DF=DC〔全等三角形的对应边相等〕
∵ AD=CD〔〕，AD=DE〔已证〕∵ AD=CD〔〕，DF=DC〔已证〕
∴DE=DC〔等量代换〕∴DF=AD〔等量代换〕
∴∠4=∠C〔等边对等角〕∴∠4=∠F〔等边对等角〕
∵∠3+ ∠4＝180°〔平角定义〕，∵∠F＝∠C〔已证〕
∠A＝∠3〔已证〕∴∠4=∠C〔等量代换〕
∴∠A+ ∠C＝180°〔等量代换〕∵∠3+ ∠4＝180°〔平角定义〕∴∠A+ ∠C＝180°〔等量代换〕
法三：作DM⊥BC于M，DN⊥BA交BA的延长线于N。

∵ BD是∠ABC的角平分线〔〕
∴∠1=∠2〔角平分线定义〕
∵ DN⊥BA，DM⊥BC〔〕∴∠N=∠DMB=90°〔垂直的定义〕
在△NBD和△MBD中
∵∠N=∠DMB 〔已证〕
∠1=∠2〔已证〕
BD=BD〔公共边〕
∴△NBD≌△MBD〔〕
∴ ND=MD〔全等三角形的对应边相等〕
∵ DN⊥BA，DM⊥BC〔〕∴△NAD和△MCD是Rt△
在Rt△NAD和Rt△MCD中
∵ ND=MD 〔已证〕
AD=CD〔〕∴Rt△NAD≌Rt△MCD〔H.L〕
∴∠4=∠C〔全等三角形的对应角相等〕
∵∠3+ ∠4＝180°〔平角定义〕，∠A＝∠3〔已证〕∴∠A+ ∠C＝180°〔等量代换〕
法四：作DM ⊥BC 于M ，DN ⊥BA 交BA 的延长线于N 。

∵ BD 是∠ABC 的角平分线〔〕
DN ⊥BA ，DM ⊥BC 〔〕
∴ ND=MD 〔角平分线上的点到这个角的两边距离相等〕 ∵ DN ⊥BA ，DM ⊥BC 〔〕
∴△NAD 和△MCD 是Rt △
在Rt △NAD 和Rt △MCD 中
∵ ND=MD 〔已证〕
AD=CD 〔〕∴Rt △NAD ≌Rt △MCD 〔H.L 〕
∴∠4=∠C 〔全等三角形的对应角相等〕
∵∠3+ ∠4＝180°〔平角定义〕∠A ＝∠3〔已证〕 ∴∠A+ ∠C ＝180°〔等量代换〕
4.如图，AC=DB ，△PAC 与△PBD 的面积相等．求证：OP 平分∠AOB ．
证明：作PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N
12
PAC S AC PM =△∵，12PBD S BD PN =△，且PAC S =△PBD S △ ∴12
AC PM 12BD PN = 又∵AC ＝BD ∴PM ＝PN
又∵PM ⊥OA ，PN ⊥OB ∴OP 平分∠AOB
6.如图，E 为正方形ABCD 的边CD 的中点，点F 在BC 上，且∠DAE ＝∠FAE ．
求证：AF ＝AD ＋CF ．
证明： 作ME ⊥AF 于M ，连接EF ．
∵ 四边形ABCD 为正方形，∴ ∠C＝∠D＝∠EMA＝90°．
又∵ ∠DAE＝∠FAE，∴ AE 为∠FAD 的平分线，∴ ME＝DE ．
在Rt△AME 与Rt△ADE 中，()()AE AE DE ME =⎧⎨=⎩公用边，已证，
∴ Rt△AME≌Rt△ADE(HL)．∴ AD＝AM(全等三角形对应边相等)．
又∵ E 为CD 中点，∴ DE＝EC ．∴ ME＝EC ．
在Rt△EMF 与Rt△ECF 中，()(ME CE EF EF =⎧⎨=⎩
已证，公用边)， ∴ Rt△EMF≌Rt△ECF(HL)．∴ MF＝FC(全等三角形对应边相等)．
由图可知：AF ＝AM ＋MF ，∴ AF＝AD ＋FC(等量代换)．
二、利用三角形的中线来构造全等三角形〔中线加倍法〕
1.：如图，在△ABC 中，AD 是中线，BE 交AD 于点F ，且AE ＝EF ．求证：AC=BF.
F
D A
B C E
简析 由于AD 是中线，于是可延长AD 到G ，使DG ＝AD ，连结BG ，那么
在△ACD 和△GBD 中，AD ＝GD ，∠ADC ＝∠GDB ，CD ＝BD ，所以△ACD ≌△GBD 〔SAS 〕， 所以AC ＝GB ，∠CAD ＝∠G ，而AE ＝EF ，所以∠CAD ＝∠AFE ，
又∠AFE ＝∠BFG ，所以∠BFG ＝∠G ，所以BF ＝BG ，所以AC ＝BF ．
说明 要说明线段或角相等，通常的思路是说明它们所在的两个三角形全等，而遇到中线时又通常通过延长中线来构造全等三角形
2.：如下图，CE 、CB 分别是△ABC 与△ADC 的中线，且∠ACB ＝∠ABC ．
求证：CD ＝2CE ．
A D
C
E B
证明： 延长CE 至F 使EF ＝CE ，连接BF ．
∵ EC 为中线，∴ AE ＝BE ．
在△AEC 与△BEF 中，,,,AE BE AEC BEF CE EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△AEC ≌△BEF 〔SAS 〕．
∴ AC ＝BF ，∠A ＝∠FBE ．〔全等三角形对应边、角相等〕
又∵∠ACB ＝∠ABC ，∠DBC ＝∠ACB ＋∠A ，∠FBC ＝∠ABC ＋∠A ．
∴ AC ＝AB ，∠DBC ＝∠FBC ．∴ AB ＝BF ．
又∵ BC 为△ADC 的中线，∴ AB ＝BD ．即BF ＝BD ．
在△FCB 与△DCB 中，,,,BF BD FBC DBC BC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△FCB ≌△DCB 〔SAS 〕．
∴ CF ＝CD ．即CD ＝2CE ．
图1
G
C F
B A E D
1．△ABC中，AB＝AC，E是AB上任意一点，延长AC到F，连接EF交BC于M，且ED＝FD,试说明线段BE与CF相等的理由．
B
B
B
B
简析由于BE与CF的位置较散，故可考虑将线段CF平移到EG，所以过点E作EG∥CF，那么∠EGB＝∠ACB，∠EGD＝∠FCD，由于ED＝FD，∠EDG＝∠FDC，所以△EDG≌△FDCC 〔AAS〕，所以EG＝CF，又因为AB＝AC，所以∠B＝∠ACB，即∠B＝∠EGB，所以EB＝EG，所以BE＝CF．
说明这里通过辅助线将较散的结论相对集中，使求解的难度降低．此题的辅助线还可以有如下图的其他几种方法。

2. ：如图，△ABC中，∠BAC=60° ，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC 交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ．
B C
解答：方法一、证明：延长AB到D，使BD=BP，连接PD，那么∠D=∠5．∵AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC=60°，∠ACB=40°，∴∠1=∠2=30°，∠ABC=180°-60°-40°=80°，∠3=∠4=40°=∠C，∴QB=QC，又∠D+∠5=∠3+∠4=80°，∴∠D=40°．在△APD与△APC中，∠D=∠C, ∠2=∠1，AP=AP,
∴△APD≌△APC〔AAS〕，∴AD=AC．即AB+BD=AQ+QC，∴AB+BP=BQ+AQ．
方法二、如图，∴∠CBQ=
∠ABC=
1
2
×80°=40°，∴∠CBQ=∠ACB，∴BQ=CQ，∴BQ+AQ=CQ+AQ=AC…①，过点P作PD∥BQ交CQ 于点D，那么∠CPD=∠CBQ=40°，∴∠CPD=∠ACB=40°，∴PD=CD，∠ADP=∠CPD+∠ACB=40°+40°=80°，∵∠ABC=80°，∴∠ABC=∠ADP，∵AP平分∠BAC，∴∠BAP=∠CAP，∵在△ABP 与△ADP中，∠ABC=∠ADP，∠BAP=∠CAP，AP=AP
∴△ABP≌△ADP〔AAS〕，∴AB=AD，BP=PD，∴AB+BP=AD+PD=AD+CD=AC…②，由①②可得，BQ+AQ=AB+BP．。