2006年7月温州第七届青少年数学国际城市邀请赛团体赛试题与解答(繁体)

2006 Wenzhou Invitational World Youth Mathematics
Intercity Competition
2006青少年數學國際城市邀請賽
隊際賽試題 2006/7/12 溫州市
隊名：___________________得分：__________________
1. 老師說：「要在一個三邊長為2，2，2x 的三角形內部放置一個盡可能大的圓，則正實數x
的值該是多少？」
學生A 說：「我想x ＝1。

」
學生B 說：
「我認為x =
學生C 說：「你們回答都不對！」
他們三人誰的回答是正確的？為什麼？
解答：一方面三角形的面積＝(2)r x +
，所
以三角形面積=
2r x
=+。

當1x =
時，11.7r =<；
當x =
11.7r =<。

取43x =
，則16127 1.7
r ==>>，所以43x =是一個更好的選擇。

所以學生C 的回答正確。

註：當1x =時，可取到r
)521。

2. 一個三角形可被剖分成兩個等腰三角形，原三角形的一個內角為36˚，求原三角形最大內
角的所有可能值。

解答：（1）若剖分線不過點B 。

不妨設剖分線為AD ，此時△BAD 是(36,36,108)或者(36,72,72)的三角形。

若△BAD 是(36,36,108)的三角形，則△CAD 或者是(144,18,18)第一個圖，或者是(72,54,54)第二個圖，或者(36,72,72)第三、四個圖.
（2） 若剖分線過點B 。

不妨設為BE ，則△CBE 必定是(132,24,24)，△ABE 是(144,12,12)的三角形。

所以原三角形的最大內角可能是72,90,108,126,132︒︒。

3. 四個單位正方形以邊對邊相連接而成，可以拼成如圖五種不同的形狀。

用一片“L”形(圖中
第一個)分別與其餘四個中的一片拼成軸對稱圖形，請繪出所有可能之組合。

解答：
4.一片骨牌是由兩個單位正方形以邊對邊相連接而成，在每個正方形內標記上數字1、2、3、
4或5，所以我們共可得標號為11，12，13，14，15，22，23，24，25，33，34，35，44，45，55的15片不同的骨牌。

將這15片骨牌排成一個如圖的5×6的長方形，每片骨牌的邊界已經擦除，請試著把這些骨牌的邊界重新畫出來。

解答：首先，注意到編號為55的骨牌一定是在矩形的中心，而編號22的骨牌只能是在右邊界處。

此時，右上角編號為3的骨牌必與右側的2一起組成編號為23的骨牌.。

所以，右下角的2只能與5一起組成編號為25的骨牌，而這個2上面的3只能組成33骨牌.。

所以，可在圖中，把剩下的33、23對之間用一條線分隔.第三行的3只能與其上的5組成35編號的骨牌.如左圖。

這時，第一行的5不能與其左側的3組成35編號的骨牌，只能與其下的1組成編號為15的骨牌。

這使得左側只能為13、34編號的骨牌，這樣，左上角的骨牌為11和24。

在右下角，必須出現編號為12的骨牌，此時，其餘的骨牌也就確定了。

5.“幸運數”是指一個等於其各位數碼(十進位) 和的19倍的正整數，求出所有的幸運數。

解答：設10 a＋b是一個至多兩位數，方程10 a + b = 19 (a + b) 僅當a = b = 0時成立。

所以，所有的幸運數至少是三位數。

10m-，其數碼和至多為9m，所以，假設一個幸運數有m位數，4
m≥，則該數至少為1
1
≥。

m-
17110m
當m = 4時，6841000
m≥，更不成立。

因此，所有的幸運數都是三位數，≥不成立。

而5
由100a + 10b + c = 19a + 19b + 19c，知9a = b + 2c。

當a = 1時，可得(b，c) = (1，4)，(3，3)，(5，2)，(7，1)，(9，0)。

當a = 2時，可得(b，c) = (0，9)，(2，8)，(4，7)，(6，6)，(8，5)。

當a = 3時，可得(b，c) = (9，9)。

當a > 3時，無解。

所以共有11 個幸運數：114, 133, 152, 171, 190, 209, 228, 247, 266, 285 和399。

6.甲和乙在一個n⨯n的方格表中做填數遊戲，每次允許在一個方格中填入數字0或者1（每
個方格中只能填入一個數字），由甲先填，然後輪流填數，直至表格中每個小方格內都填了數。

如果每一行中各數之和都是偶數，則規定為乙獲勝，否則當作甲獲勝。

請問：
(1) 當n ＝2006時，誰有必勝的策略？
(2) 對於任意正整數n ，回答上述問題。

解答：(1) 當n =2006時，後填數的乙有必勝策略。

用1⨯2的多米諾骨牌對表格進行分割，使得每一行都由1003塊多米諾組成，當甲對某塊多米諾的一個中填數時，乙也在該多米諾中填數，並且使得這塊多米諾中兩個數之和為偶數。

依此策略，乙可以使得表格的每一行中各數之和都是偶數。

故乙獲勝。

(2) 當n 為偶數時，同上述操作，可知乙有必勝策略；當n 為奇數時，甲有必勝策略：他可以先在第1行第1列的方格中寫上1，然後對第1行中其餘方格作前面的多米諾分割，採取同樣的操作方式，可使表格中第1行中各數之和為奇數。

7. 設n 為任意奇正整數，證明：1596n +3202701000n n n --能被2006整除。

證明：因為 200621759=⨯⨯，所以為證結論成立，只需證n 為奇正整數時，1596100027032n n n n +--能被
2，17，59整除。

顯然，運算式能被2整除。

應用公式，n 為奇數時，
121()()n n n n n a b a b a a b b ---+=+-++，
121()()n n n n n a b a b a a b b ----=-+++。

則由於159610005944+=⨯，2703205910+=⨯，所以15961000270320n n n n +--能被59整除。

又1596－270＝1326＝17×78，1000－320＝680＝17×40，所以 15961000270320n n n n +--能被17整除。

故結論成立。

8. 將正整數中所有被4整除以及被4除餘1的數全部刪去，剩下的數依照從小到大的順序排
成一個數列{}a n ：2, 3, 6, 7, 10, 11, … 。

數列{}a n 的前n 項之和記為S n ，其中n =1, 2, 3, …。

求S =[][][]S S S 200621.....+++的值。

（其中[]x 表示不超過x 的最大整數）
解答：易知2142n a n -=-，241n a n =-，1,2,n =⋅⋅⋅，因此
21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++++
51321(83
n =++++- 2583(2)2
n n n n +-==+， 2221224(41)(21)n n n S S a n n n n n -=-=+--=-+，
所以 2222221(2)(21),(21)(2),
n n n S n n S n -<<+-<<
故2n =
，21n =-
，從而n =，於是
S =++⋅⋅⋅+122006=+++
2006200720130212
⨯==。

9. 平面上，正三角形ABC 與正三角形PQR 的面積都為1。

三角形PQR 的中心M 在三角形ABC 的邊界上，如果這
兩個三角形重疊部份的面積為S ，求S 的最小值。

B
解答：在正△PQR 的三個頂點處截去三個全等的正三角形，得到一個面積為
23
的正六邊形，則M 是這個正六邊形的中心。

若點M 與△ABC 的一個頂點重合，如左圖，易知正六邊形和△ABC 的重疊部分面積是19。

在中間的圖形中，把△ABC 繞著點M 順時針旋轉，則始邊所掃過的三角形和終邊所掃過的三角形全等，所以兩個三角形的公共部分面積是不變的。

若點M 在△ABC 的邊上，不妨設在BC 上，且靠近點C ，如右圖所示.，過點M 作AC 的平行線MN ，交邊AB 於點N ，則△BMN 是正三角形.。

因為MN BM CM =>，BM 和MN 都
與正六邊形相交，所以△BMN 與正六邊形的公共部分面積為19。

當把正六邊形恢復成原來的正三角形時，公共部分面積不會減小.，所以兩個三角形公共部分面積的最小值為19
，如左圖。

10. 設m 是一個小於2006的四位數，已知存在正整數n ，使得m －n 為質數，且mn 是一個完
全平方數，求滿足條件的所有四位數m 。

解答 由題設條件知：m －n=p ，p 是質數，則m=n+p ，設mn=n (n+p )=2x ，其中x 是正整數，那麼
22444n pn x +=，
即 222(2
)(2)n p p x +-=， 於是 2(2
2)(22)n x p n x p p -+++=， 注意到p 為質數，所以
2221,22,
n x p n x p p -+=⎧⎨++=⎩ 把兩式相加得212p n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，進而212p m +⎛⎫= ⎪⎝⎭
，結合10002006m ≤<,可得64189p ≤+≤，於是，質數p 只能是67，71，73，79或83。

從而，滿足條件的m 為1156，1296，1369，1600，1764。