北师大版高中数学必修四第二章《平面向量》检测卷(包含答案解析)(2)

一、选择题
1．已知a 与b 的夹角为60，4a =，则a b λ-(R λ∈)的最小值为（ ） A ．23
B ．
72
C ．
103
D ．
43
2．如图，在ABC 中，AD AB ⊥，2AD =，3DC BD =，则AC AD ⋅的值为（ ）
A ．3
B ．8
C ．12
D ．16
3．已知非零向量a →
，b →
夹角为45︒
，且2a =，2a b -=,则b →
等于（ ）
A ．2
B ．2
C 3
D ．2
4．若向量a ，b 满足|a 10 ，b =（﹣2，1），a •b =5，则a 与b 的夹角为（ ） A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
5．已知M 、N 为单位圆22:1O x y +=上的两个动点，且满足1MN =，()3,4P ，则
PM PN +的取值范围为（ ）
A ．53,53+⎡⎣
B ．103,103⎡-⎣
C ．523,523-+⎡⎣
D ．1023,1023-+⎡⎤⎣⎦
6．已知(),0A a ,()0,C c ,2AC =,1BC =,0AC BC ⋅=,O 为坐标原点,则OB 的取值范围是（ ） A ．(
21⎤⎦
B ．(
21⎤⎦ C ．221⎡⎤⎣⎦
D ．)
21,⎡+∞⎣
7．在平行四边形ABCD 中，3DE CE =，若AE 交BD 于点M .且AM AB AD λμ=+，
则
λ
μ
=（ ） A ．
23
B ．
32
C ．
34
D ．
43
8．在ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，那么下列各式中正确的是（ ） A ．DB DC =
B ．2AD DE =
C ．2AB AC A
D += D ．AB AC BC -=
9．在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，则AE AF ⋅=（ ）
A ．
52
B ．52
-
C ．4
D ．4-
10．在ABC ∆中，2,3,60,AB BC ABC AD ==∠=为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+，其中,R λμ∈，则λμ+等于（ ） A ．1 B ．12
C ．
13 D ．
23
11．在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，点E 是AB 边上的中点，点F 是BC 边上的动点，则DE DF ⋅的取值范围是（ ）
A ．0,3⎡⎤⎣⎦
B ．3,3⎡⎤
⎢⎥⎣ C ．3,3⎡⎤⎣⎦
D ．[]0,3
12．设O 是△ABC 的外接圆圆心、且720OA OB OC ++=，则∠BOC =（ ） A ．
6
π
B ．
3
π C ．
2
π D ．
23
π 二、填空题
13．如图，在等腰三角形ABC 中，已知1AB AC ==，120A ∠=︒，E F 、分别是边
AB AC 、上的点，且,AE AB AF AC λμ==,其中(),0,1λμ∈且41λμ+=，若线段
EF BC 、的中点分别为M N 、，则MN 的最小值是_____.
14．已知O 为ABC 内一点，且满足305OA OB OC =++，延长AO 交BC 于点D .若BD DC λ=，则λ=_____.
15．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，圆M 为BCD △的内切圆，点P 为圆上任意一点， 且AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为________.
16．已知P 为圆22(4)2x y +-=上一动点，点()1,1Q ，O 为坐标原点，那么OP OQ ⋅的取值范围为________．
17．已知夹角为θ的两个单位向量,a b ，向量c 满足()()
0a c b c -⋅-=，则c 的最大值为______.
18．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O .已知AC BC =，
AC BC ⊥，AD BD ⊥，且O 是AC 的中点，若2AD AB CD CB ⋅-⋅=，则AC BD ⋅的
值为__________.
19．已知平面向量a ，b 满足1a =，2a b -与2b a -的夹角为120°，则2
b 的最大值是_______.
20．在ABC 中，2AB =，32AC =，135BAC ∠=︒，M 是ABC 所在平面上的动点，则w MA MB MB MC MC MA =⋅+⋅+⋅的最小值为________．
三、解答题
21．已知ABC 中C ∠是直角，CA CB =，点D 是CB 的中点，E 为AB 上一点．
（1）设CA a =，CD b =，当1
2
AE AB =
，请用a ，b 来表示AB ，CE . （2）当2AE EB =时，求证：AD CE ⊥.
22．在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,2)A --，()2,3B ，(2,1)C --． （1）求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； （2）若存在y 轴上一点P 满足BC AP ⊥，求BPC ∠．
23．三角形ABC 中，D 为BC 上一点，2BD DC =，设AD a =，AC b =，可以用a ，
b 来表示出AD ，方法如下：
方法一：2
3
AD AB A D BC B B ==++，∵BC AC AB =-，∴21212()33333
AD AB AC AB AB AC a b =+
-=+=+. 方法二：1
3
AC CD AC AD CB =+=+，∵CB AB AC =-，
∴11212()33333
AD AC AB AC AB AC a b =+
-=+=+. 方法三：如图所示，过点D 作AC 的平行线，交AB 于点E ，过点D 作AB 的平行线，交
AC 于点F ，则四边形AEDF 为平行四边形.
∵//DF AB 且2BD DC =，∴
13FD CD AB CB ==，1
3
FD AE AB ==.∵//ED AC ，2BD DC =.∴
2
3
ED BD AC BC ==，得23ED AF AC ==
.∴12123333
AD AE ED AE AF AB AC a b =+=+=+=+. 请参照上述方法之一(用其他方法也可)，解决下列问题： （1）三角形ABC 中，D 为BC 的中点，设AB a =，AC b =，试用a ，b 表示出
AD ；
（2）设D 为直线BC 上任意一点(除B ､C 两点)，BD kDC =.点A 为直线BC 外任意一点，AB a =，AC b =，证明：存在唯一实数对λ，μ，使得：AD a b λμ=+，且
1λμ+=.
24．已知12,e e 是平面内两个不共线的非零向量，
12122,,AB e e BE e e EC λ=+=-+=122e e -+，且A ，E ，C 三点共线．
（1）求实数λ的值；
（2）若()()122,1,2,2e e ==-，求BC 的坐标；
（3）已知()3,5D ，在（2）的条件下，若,,,A B C D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．
25．如图，在扇形OAB 中，120AOB ∠=︒，半径2OA OB ==，P 为弧AB 上一点.
（1）若OA OP ⊥，求PA PB ⋅的值； （2）求PA PB ⋅的最小值.
26．如图所示，在ABC 中，已知3CA =，4CB =，60ACB ∠=︒，CH 为AB 边上的高.
（1）求CA AB ⋅；
（2）设CH mCB nCA =+，其中m ，n ∈R ，求m ，n 的值.
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
根据向量的模的表示方法得2
2
2
22a b a a b b λλλ-=-⋅+，再配方即可得答案. 【详解】
解：根据向量模的计算公式得：
()(
)
2
2
2
2
2
221642
1212a b a a b b b b
b λλλλλλ-=-⋅+=-+=-+≥，当且仅当
2b λ=时等号成立；
所以23a b λ-≥，当且仅当2b λ=时等号成立； 故选：A. 【点睛】
方法点睛：向量模的计算公式：2
2a a a a =⋅=
2．D
解析：D 【分析】
利用AB 、AD 表示向量AC ，再利用平面向量数量积的运算性质可求得AC AD ⋅的值. 【详解】
()
3343AC AD DC AD BD AD AD AB AD AB =+=+=+-=-，
AD AB ⊥，则0⋅=AD AB ，
所以，()
2
2
4344216AC AD AD AB AD AD ⋅=-⋅==⨯=. 故选：D. 【点睛】
方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
3．A
解析：A 【分析】
根据数量积的运算，2a b →→
-=两边平方即可求解. 【详解】
2a b →
→-=,=2a →
,a →，b →夹角为45︒,
2
2
2
2
()24a b a b a a b b →
→→→
→→→
→∴-=-=-⋅+=, 2422||cos
||44
b b π
→
→
∴-⨯+=,
解得：||b →
=
故选：A 【点睛】
本题主要考查了向量数量积的运算性质，数量积的定义，属于中档题.
4．C
解析：C 【详解】 由题意可得2
2
(2)15b =
-+=,所以2
cos ,52a b a b a b
⋅=
==⋅,又因为
,[0,180]<>∈a b ,所以,45<>=a b ,选C.
5．B
解析：B 【分析】
作出图形，可求得线段MN 的中点Q 的轨迹方程为2
2
3
4
x y +=
，由平面向量加法的平行四边形法则可得出2PM PN PQ +=，求得PQ 的取值范围，进而可求得PM PN +的取值范围. 【详解】
由1MN =，可知OMN 为等边三角形，
设Q 为MN 的中点，且3sin 602
OQ OM ==
Q 的轨迹为圆22
34x y +=，
又()3,4P ，所以，3322PO PQ PO -
≤≤+，即5522
PQ -≤≤+
. 由平面向量加法的平行四边形法则可得2PM PN PQ +=，
因此210PM PN PQ ⎡+=∈+⎣.
故选：B. 【点睛】
本题考查平面向量模长的取值范围的计算，考查了圆外一点到圆上一点距离的取值范围的计算，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
6．C
解析：C 【分析】
法一：将A ,C 视为定点,根据A 、C 分别在 x 轴、y 轴上,得到垂直关系, O 是AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为圆心M ,根据圆心M 和BO 的位置关系即可得取值范围. 法二：设B 的坐标,根据2AC =,1BC =得到224a c +=,()2
21x y c +-=,整理式子至
()
2
22251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,利用均值不等式得出OB d ==,则
212d d -≤即可算出距离的取值范围.
【详解】
解：法一：将A ,C 视为定点,OA OC ⊥,O 视为以AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为
M ,当BO 过圆心M ,且O 在B ,M 之间时,OB 1,O 在BM 的延长线上
时,OB 1． 故选:C
法二：设(),B x y ,则
2
2
4a c +=,()221x y c +-=,()2
222
51x a y x y ax cy -+=⇒+=++,即
221ax cy x y +=+-,ax cy +≤
=,取等号条件：ay cx =,
令OB d =
=,则2
2112{
210d d d d d ≥-≤⇔--≤或
201
{210
d d d <<⇔+-≥,解得
11d ≤≤．
故选:C 【点睛】
本题考查向量的坐标运算和圆的基本性质,综合性强,属于中档题.
7．B
解析：B 【分析】
根据已知找到相似三角形，用向量AB 、AD 线性 表示向量AM . 【详解】
如图，平行四边形ABCD 中，3DE CE =，ABM
EDM ，
33
22
DE DC AB ∴=
=，()
222233
2355525
5AM ME AE AD DE AD AB AB AD ⎛⎫=
==+=+=+ ⎪⎝⎭. 32
λμ= 故选：B 【点睛】
此题考查平面向量的线性运算，属于中档题.
8．C
解析：C 【解析】
依题意ABC 如图所示：
∵D 是BC 的中点 ∴DB CD =，故A 错误 ∵E 是AD 的中点 ∴2AD ED =，故B 错误
∵AB AD DB =+，AC AD DC =+
∴2AB AC AD DB AD DC AD +=+++=，故C 正确
∴()AB AC AD DB AD DC DB DC CB -=+-+=-=，故D 错误 故选C
9．C
解析：C 【分析】
建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求解即可.
【详解】
以点A 为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系
(0,0),(2,1),(1,2)A E F
(2,1),(1,2)AE AF ∴==
21124AE AF ∴⋅=⨯+⨯= 故选：C
【点睛】
本题主要考查了求平面向量的数量积，属于中档题.
10．D
解析：D 【分析】
根据题设条件求得1
3
BD BC =
，利用向量的线性运算法则和平面向量的基本定理，求得1126
AO AB BC =
+，得到11
,26λμ==，即可求解.
【详解】 在ABC ∆中，2,60,AB ABC AD =∠=为BC 边上的高， 可得1
sin 212
BD AB ABC =∠=⨯=， 又由3BC =，所以1
3
BD BC =
, 由向量的运算法则，可得1
3
AD AB BD AB BC =+=+, 又因为O 为AD 的中点，111
226
AO AD AB BC =
=+， 因为AO AB BC λμ=+，所以11,26λμ==，则2
3
λμ+=. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了平面向量的线性运算法则，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中
熟记向量的运算法则，结合平面向量的基本定理，求得1126
AO AB BC =+是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 11．D
解析：D
【分析】
把DE 用,DA DB 表示，由三点共线把DF 用,DC DB 表示，然后计算数量积，利用函数的知识得取值范围．
【详解】
∵菱形ABCD 边长为2，60BAD ∠=︒，2BD =，
∴22cos602DA DB DB DC ⋅=⋅=⨯⨯︒=，22cos1202DA DC ⋅=⨯⨯︒=-， ∵E 是AB 边上的中点，∴1()2
DE DA DB =+， 点F 是BC 边上，设BF xBC =（01x ≤≤），则
()(1)DF DB BF DB xBC DB x DC DB xDC x DB =+=+=+-=+-，
DE DF ⋅1()(1)2
DA DB xDC x DB ⎡⎤=+⋅+-⎣⎦21(1)(1)2xDA DC x DA DB xDB DC x DB ⎡⎤=
⋅+-⋅+⋅+-⎢⎥⎣⎦ []122(1)24(1)3(1)2
x x x x x =-+-++-=-， ∵01x ≤≤，∴03(1)3x ≤-≤．
故选：D.
【点睛】
本题考查平面向量的数量积，解题关键是对动点F 引入参数x ：BF xBC =（01x ≤≤），这样所求数量积就可表示为x 的函数，从而得到范围．本题考查了向量共线的条件，属于中档题．
12．B
解析：B
【分析】
不妨设ABC 的外接圆的半径为1，作2=OF OB ，以,OC OF 为邻边作平行四边形
COFE ，可得1,2,===OC OF OE ,再利用两角和余弦公式可得3BOC π∠=
【详解】
不妨设ABC 的外接圆的半径为1，作2=OF OB ，以,OC OF 为邻边作平行四边形COFE ，+=OC OF OE ，所以1,2,7===
OC OF OE 2221723cos sin 21777
+-∠==∠=⨯⨯EOC EOC ， 2273cos sin 2272727
∠==∠=⨯⨯EOF EOF 3331cos cos()2727727∠=∠+∠=
=BOC COE EOF 3π∴∠=
BOC
故选：B
【点睛】
本题考查了平面几何和向量的综合，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目. 二、填空题
13．【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值
【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数量积运算 7 【分析】
根据条件及向量数量积运算求得AB AC ⋅,连接,AM AN ,由三角形中线的性质表示出,AM AN .根据向量的线性运算及数量积公式表示出2MN ,结合二次函数性质即可求得最小值.
【详解】
根据题意,连接,AM AN ,如下图所示:
在等腰三角形ABC 中,已知1AB AC ==,120A ∠=︒ 则由向量数量积运算可知1cos 11cos1202
AB AC AB AC A ⋅=⋅=⨯⨯=-
线段EF BC 、的中点分别为M N 、则 ()()
1122AM AE AF AB AC λμ=+=+ ()
12AN AB AC =+ 由向量减法的线性运算可得11112222MN AN AM AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以2
211112222MN AB AC λμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 22
2211111111222222222AB AC AB AC λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22
1111111112222222222λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
因为41λμ+=,代入化简可得22221312111424477MN μμμ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭ 因为(),0,1λμ∈且41λμ+= 10,4μ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭
所以当17μ=
时, 2MN 取得最小值17 因而min
177MN ==故答案为:
77
【点睛】 本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.
14．【分析】将已知条件转化为结合得到设列出关于的方程组由此求得【详
解】由于所以所以即因为即化简得设所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理考查平面向量的线性运算考查化归与转化的数学思想
解析：5 3
【分析】
将已知条件转化为
15
39 AO AB AC
=+，结合BD DC
λ
=，得到
1
11
AD AB AC
λ
λλ
=+
++
，设AO k AD
=，列出关于,k
λ的方程组，由此求得λ.【详解】
由于30
5
OA OB OC=
++，所以
()()
350
OA AB AO AC AO
+-+-=，
所以935
AO AB AC
=+，即
15
39
AO AB AC
=+.
因为BD DC
λ
=，即()
AD AB AC AD
λ
-=-,
化简得
1
11
AD AB AC
λ
λλ
=+
++
，
设
11
k k
AO k AD AB AC
λ
λλ
==+
++
，
所以
1
13
5
19
k
k
λ
λ
λ
⎧
=
⎪⎪+
⎨
⎪=
⎪+
⎩
，解得
5
3
λ=.
故答案为：
5
3
【点睛】
本小题主要考查平面向量的基本定理，考查平面向量的线性运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
15．【分析】以点B为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示由已知条件得
出点坐标圆M 的方程设由得出再设（为参数）代入中根据三角函数的值域可求得最大值【详解】以点B 为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示因为在 解析：116 【分析】 以点B 为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图所示，由已知条件得出点坐标，圆M 的方程，设()
,P x y ，由AP AB AD λμ=+，得出134y x λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，再设3cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），代入λμ+中，根据三角函数的值域，可求得最大值.
【详解】
以点B 为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图所示，
因为在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，所以圆M 的半径为3+4512r -=
=， 所以()0,0B ，()0,3A ，()4,0C ，()4,3D ，()3,1M ，圆M 的方程为
()()
22311x y -+-=， 设(),P x y ，又AP AB AD λμ=+，所以()()(),30,34,0x y λμ-=-+，解得
134y x λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又点P 是圆M 上的点，所以3cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩
（θ为参数）， 所以()1sin 3cos 517sin 1+1+34312124+y x θθβθλμ+=+--+=-=，其中3tan 4
β=， 所以，当()sin 1βθ-=时，λμ+取得最大值116
， 故答案为：116
.
【点睛】
本题考查向量的线性表示，动点的轨迹中的最值问题，属于中档题.
16．【分析】先将圆的方程化为参数方程设利用数量积运算结合三角函数的性质求解【详解】因为圆的方程所以其参数方程为：设所以因为所以故答案为：
【点睛】本题主要考查圆的方程的应用以及平面向量的数量积运算和三角函 解析：[2,6]
【分析】
先将圆的方程化为参数方程,4x R y θθθ
⎧=⎪∈⎨=+⎪⎩
，设,4)P θθ+，利用数量积运算结合三角函数的性质求解.
【详解】
因为圆的方程22
(4)2x y +-=，
所以其参数方程为：,4x R y θθθ
⎧=⎪∈⎨=⎪⎩，
设,4)P θθ，
所以2cos (4)2sin()44
πθθθ⋅=++=++OP OQ ， 因为[]sin()1,14
π
θ+∈-， 所以[2,6]⋅∈OP OQ .
故答案为：[2,6]
【点睛】
本题主要考查圆的方程的应用以及平面向量的数量积运算和三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 17．【分析】建立平面直角坐标系设出向量的坐标得出向量的终点的轨迹方程再运用点与圆的位置关系可以得到的最大值【详解】由已知建立平面直角坐标系设又所以所以点在以为圆心以为半径的圆上所以的最大值为所以的最大值 解析：cos
sin 22θθ+ 【分析】
建立平面直角坐标系，设出向量a b c ，，的坐标，得出向量c 的终点C 的轨迹方程，再运用点与圆的位置关系可以得到||c 的最大值.
【详解】
由已知建立平面直角坐标系，设()()()10cos ,sin ,,OA a OB b OC c x y θθ======，，，又()()0a c b c -⋅-=， 所以()22
+1+cos sin +cos 0x x y y θθθ-⋅-⋅=，
所以点C 在以1+cos sin ,22P θθ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，以sin 2R θ=为半径的圆上， 所以c 的最大值为221+cos sin ++sin cos +sin 22222OP R θθθθθ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以c 的最大值为cos
sin 22θθ+， 故答案为：cos
sin 22
θθ+. 【点睛】
本题考查求向量的模的最值，建立平面直角坐标系，设出向量坐标，得出向量的终点的轨迹方程是解决本题的关键，属于中档题. 18．【分析】如图设先求出再根据得到再求的值得解【详解】如图四点共圆为圆的直径设所以由相交弦定理得在直角△中由勾股定理得在△中由余弦定理得因为所以又所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的 解析：3-
【分析】
如图，设12
OA OC BC t ===，先求出,,OD AD CD ,再根据2AD AB CD CB ⋅-⋅=得到5t =，再求AC BD ⋅的值得解. 【详解】
如图，,,,A B C D 四点共圆，AB 为圆的直径.
设12
OA OC BC t ===，所以225AB t OB t ==，由相交弦定理得5OD =， 在直角△AOD 中，由勾股定理得5AD =
， 在△COD 中，由余弦定理得225
t CD =.
因为2AD AB CD CB ⋅-⋅=， 2222cos 2cos(180)255t t DAB t DAB ∠--∠=，
又cos
AD DAB AB ∠==,所以t =. 所以212125=(2)(5)cos(180)35545AC BD t t t α⋅+
-=-=-=-. 故答案为：3-
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积的计算，考查平面几何圆的知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
19．【分析】设设则有联立四个方程令整理得到从方程有根判别式大于等于零求得结果【详解】设由题意可知则由与夹角为所以①且②③④因为联立①②③④令即整理得将其看作关于的方程若方程有解则有整理得解得因为所以的最
解析：52 【分析】
设设2a b c =-，2b d a =-，则有cos120c d c d ⋅=︒，
22(2)(2)522c d a b b a a b a b ⋅=-⋅-=⋅--，222
2(2)44c a b a a b b =-=-⋅+，2222(2)44d b a b a b a =-=-⋅+，联立四个方程，令21,m b n a b =+=⋅，整理得到2228204330n mn m m -+-+=，从方程有根，判别式大于等于零求得结果. 【详解】
设2a b c =-，2b d a =-，
由题意可知，则由c 与d 夹角为120︒，
所以cos120c d c d ⋅=︒，①
且22(2)(2)522c d a b b a a b a b ⋅=-⋅-=⋅--，② 2222(2)44c a b a a b b =-=-⋅+，③ 2222(2)44d b a b a b a =-=-⋅+，④
因为11,cos1202a =︒=-
， 联立①②③④，22222
44104444b a b a a b b b a b a +-⋅=-⋅+⋅-⋅+，
令21,m b n a b =+=⋅， 即41043443m n m n m n -=-+⋅--，
2222168010044316161212129m mn n m mn m mn n n m n -+=---+++--， 整理得2228204330n mn m m -+-+=，
将其看作关于n 的方程，若方程有解，则有22
(20)428(433)0m m m ∆=-⨯⨯-+≥， 整理得2770m m -+≤，解得
72172122m -+≤≤， 因为21m b =+，所以2b 的最大值是
721521122++-=， 故答案为：
5212
+. 【点睛】 思路点睛：该题考查的是有关向量的问题，解题思路如下：
（1）根据向量数量积的定义式求得两向量的数量积；
（2）根据向量数量积运算法则求得其结果；
（3）利用向量的平方与向量模的平方相等，得到等量关系式；
（4）联立，从方程有根，判别式大于等于零，得到不等关系式，求得结果.
20．【分析】以A 为原点AC 所在直线为x 轴建系如图所示根据题意可得ABC 坐标设可得的坐标根据数量积公式可得的表达式即可求得答案【详解】以A 为原点AC 所在直线为x 轴建立坐标系如图所示：因为所以设则所以=当时 解析：283-
【分析】
以A 为原点，AC 所在直线为x 轴，建系，如图所示，根据题意，可得A 、B 、C 坐标，设(,)M x y ，可得,,MA MB MC 的坐标，根据数量积公式，可得w 的表达式，即可求得答案.
【详解】
以A 为原点，AC 所在直线为x 轴，建立坐标系，如图所示：
因为2AB =，32AC =135BAC ∠=︒，
所以(0,0),(2,2),(32,0)A B C -，设(,)M x y ， 则(,),(2,2),(32,)MA x y MB x y MC x y =--=---=--，
所以
()(w MA MB MB MC MC MA x x y y =⋅+⋅+⋅=++
2)(((x x y y x x y -++-+
=2222283363()3()333x y x y -+--=-+--，
当,33
x y ==时，w 有最小值，且为283-， 故答案为：283-
【点睛】
解题的关键是建立适当的坐标系，求得点坐标，利用数量积公式的坐标公式求解，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题.
三、解答题
21．（1）2AB b a =-，12CE a b =
+；（2）证明见解析. 【分析】 （1）求出2CB b =，利用AB CB CA =-与12
CE CA AB =+化简可得答案； （2）以C 点为坐标原点，以CB ，CA 为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，设
()0,A a ， 求出,2a AD a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2,33a a CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭
， 可得0AD CE ⋅=，进而可得答案. 【详解】
（1）∵CA a =，CD b =，点D 是CB 的中点，
∴2CB b =，
∴2AB CB CA b a =-=-，
∵()1112222
CE CA AE a AB a b a a b =+=+=+-=+. （2）以C 点为坐标原点，以CB ，CA 为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系， 设()0,A a ，∴B 点坐标为(),0a ，另设点E 坐标为(),x y ，∵点D 是CB 的中点， ∴点D 坐标为,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 又∵2AE EB =，∴()(),2,x y a a x y -=--，∴23a x =，3a y =，
所以,2a AD a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2,33a a CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭
， 所以()20233
a a a AD CE a ⋅=⨯+-⨯=， ∴AD CE ⊥.
【点睛】 方法点睛：平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．
22．（1）4210；（2）5 【分析】
（1）计算AB AC +和AB AC -可得；
（2）先求出P 点坐标，再求PB 和PC 的夹角即得． 【详解】 （1）由题意(3,5)AB =，(1,1)AC =-，22(2,6)26210AB AC +==+= (4,4)42AB AC -== 所以所求对角线长为1042 （2）设(0,)P y ，则由BC AP ⊥得3(1)(2)12(2)0(1)
y ----⨯=-----，3y =-，即(0,3)P -， (2,6)PB =，(2,2)PC =-，5cos 21022PB PC
BPC PB PC ⋅∠=
==⨯ 所以5BPC ∠= 【点睛】 关键点点睛：根据向量加减法的几何意义，以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的对角线长就是,AB AC 和与差的模．而求BPC ∠，可以算作是,PB PC 的夹角，也可以用两直
线的夹角公式求解．
23．（1）1122AD a b =+；（2）证明过程见详解. 【分析】
（1）根据题干中所给的方法，结合向量的线性运算，可分别求解；
（2）根据题干中所给的方法，由向量的线性运算，用a ，b 表示出AD ，即可得出结论成立.
【详解】 （1）因为D 为BC 的中点，
方法一： 12
AD AB BD AB BC =+=+，∵BC AC AB =-， ∴11221)22
(221AD AB AC AB AB AC a b =+
-=+=+； 方法二： 2
1AC CD AC AD CB =+=+，∵CB AB AC =-， ∴111221)2(221AD AC AB AC AB AC a b =+-=+=+； 方法三：如图所示，过点D 作AC 的平行线，交AB 于点E ，过点D 作AB 的平行线，交AC 于点F ，则四边形AEDF 为平行四边形.
∵//DF AB 且BD DC =，∴
21FD CD AB CB ==，21FD AE AB ==. ∵//ED AC ，BD DC =.∴12ED BD AC BC ==，得12
ED AF AC ==. ∴11212212AD AE ED AE AF AB AC a b =+=+=
+=+； （2）因为D 为直线BC 上任意一点(除B ､C 两点)，BD kDC =，显然1k ≠-； 所以1k BD BC k =
+，11
CB k CD =+， 方法一： 1AD AB BD AB BC k k =++
+=，∵BC AC AB =-，
∴1111111()k k k AD AB AC AB AB AC a b k k k k k +++++=+-=+=+； 即存在唯一实数对1k k λ=+，11k μ=+，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=； 方法二：
11A AC CD AC CB D k =++=+
，∵CB AB AC =-， ∴11111111
()k k k k AD AC AB AC A k k B AC a b k ++=+-=+++=++； 即存在唯一实数对11k λ=+，1
k k μ=+，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=； 方法三：若点D 位于点B 左侧，如图，过点D 作//DM AB ，过点A 作//AM BC ，交DM 于点M ，则AMDB 为平行四边形，1k AM BD BC k ==
+，
所以
11
()AD AB AM AB BC AB k k k k AC AB =++
=-+++=111111k k AB AC a b k k k k ++++=+=+； 即存在唯一实数对1k k λ=+，11
k μ=+，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=； 若点D 位于点C 右侧，如图，过点D 作//DN AC ，过点A 作//AN BC ，交DN 于点N ，则ANDC 为平行四边形， 11AN CD BC k ==
+，
因此
11
A AC AN AC C
B D k =++=+
111111(1)k k k AB AC AB AB AC a b k k k k k +++=+++-+=+=，
即存在唯一实数对1k k λ=+，11
k μ=+，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=； 若点D 位于BC 之间，则0k >；如图所示，过点D 作AC 的平行线，交AB 于点P ，过点D 作AB 的平行线，交AC 于点Q ，则四边形APDQ 为平行四边形.
∵//DQ AB 且BD DC =，∴
11QD CD AB C k B =+=，11Q k D AP AB =+=， ∵//PD AC ，BD DC =.∴1PD BD AC BC k k =+=，得1k k PD AQ AC =+=. ∴111111
AD AP AQ AB AC k k a b k k k k =+=++=++++； 即存在唯一实数对1k k λ=
+，11k μ=+，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=； 综上，存在唯一实数对λ，μ，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=.
【点睛】
思路点睛：
利用平面向量的一组基底表示向量时，只需根据向量的线性运算法则，结合平面向量基本定理，逐步求解即可.
24．（1）32λ=-
；（2）(－7，－2)；（3）(10，7)． 【分析】
（1）AE =k EC ， 得到()()12121k e k e λ+=--.由12,e e 不共线，得到12010k k λ+=⎧⎨
--=⎩，求解得到λ的值；
（2）利用平面向量的坐标运算计算即可；
（3）设A (x ，y )，由AD BC =，利用向量的坐标运算求解即可.
【详解】
（1）()()()12121221AE AB BE e e e e e e λλ=+=++-+++＝. 因为A ，E ，C 三点共线，
所以存在实数k ，使得AE =k EC ，
即()()
121212e e k e e λ++=-+，得()()12121k e k e λ+=--.
因为12,e e 是平面内两个不共线的非零向量，
所以12010
k k λ+=⎧⎨--=⎩解得13,λ22k =-=-. （2）()()()12136,31,17,22
BE EC e e +=--=--+-=--． （3）因为A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，
所以AD BC =.
设A (x ，y )，则()35AD x y =--，
， 因为()7,2BC =--，所以3752x x -=-⎧⎨-=-⎩解得107x y =⎧⎨=⎩
即点A 的坐标为(10，7)．
【点睛】
本题考查平面向量的基本定理的应用，平面向量的坐标运算，属基础题.
根据平面向量的基本定理中的唯一性可得若12,e e 不共线，由12xe ye =，则0x y ==.这是在已知三点共线或向量共线求参数值的常用方法.
25．（1）223-；（2）2-.
【分析】
（1）先通过倒角运算得出30POB ∠=︒，120APB ∠=︒，再在POB 中，由余弦定理可求得62PB =-，然后根据平面向量数量积的定义cos PA PB PA PB APB ⋅=⋅∠，代入数据进行运算即可得解；
（2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设()2cos ,2sin P αα，其中20,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，结合平面向量数量积的坐标运算，用含有α的式子表示出PA PB ⋅，再利用三角恒等变换公式和正弦函数的图象即可得解.
【详解】
（1）当OA OP ⊥时，如图所示，
∵120AOB ∠=︒，∴1209030POB ∠=︒-︒=︒，18030752
OPB ︒-︒∠==︒，
∴7545120APB ∠=︒+︒=︒，
在POB 中，由余弦定理，得
222222cos 22222cos30843PB OB OP OB OP POB =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯︒=-， ∴84362PB =-=
-， 又222PA OA =⋅=， ∴()
1cos 22622232PA PB PA PB APB ⎛⎫⋅=⋅∠=⨯-⨯-=- ⎪⎝⎭ （2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()2,0A ，
∵120AOB ∠=︒，2OB =，∴(3B -，
设()2cos ,2sin P αα，其中20,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()
22cos ,2sin 12cos 32sin PA PB αααα⋅=--⋅-- 2222cos 4cos 234sin αααα=--+-+
2cos 2324sin 26πααα⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝
⎭. ∵20,
3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴5,666πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin ,162πα⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴当6
2π
πα+=，即3πα=时，PA PB ⋅取得最小值为2-.
【点睛】 本题考查平面向量的坐标表示，考查平面向量的数量积，考查余弦定理，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
26．（1）3-，（2）310,1313
m n =
= 【分析】
（1）用,CB CA 表示AB ，然后代入CA AB ⋅中化简即可得答案；
（2）根据向量垂直和共线向量列出方程组可求出,m n 的值.
【详解】
解：（1）因为AB CB CA =-，3CA =，4CB =，60ACB ∠=︒， 所以2()CA AB CA CB CA CA CB CA ⋅=⋅-=⋅- 2cos 60CA CB CA =︒-
2134332
=⨯⨯-=-， （2）因为CH AB ⊥,
所以0CH AB ⋅=，即()0mCB nCA AB +⋅=， 所以()()0mCB nCA CB CA +⋅-=, 22
()0mCB n m CB CA nCA +-⋅-=，
所以166()90m n m n +--=，即1030m n -=， 因为,,A B H 三点共线，所以1m n +=， 所以310,1313
m n =
= 【点睛】 此题考查平面向量的数量积运算，考查平面向量的加减法法则的应用，属于中档题。