2020届四川省泸州市泸县高三上学期期中考试数学（理）试题

2019-2020学年度秋四川省泸县一中高三期中考试
理科数学试题
第I 卷(选择题 共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）
1．设全集U =R ，集合{}2log 2A x x =≤，()(){}310B x x x =-+≥，则(
)U
B A ⋂=
A ．(],1-∞-
B ．(]
(),10,3-∞- C ．(]0,3 D ．()0,3
2．已知复数1z i
i
=
+，则z 的虚部是 A.
12 B.
12
i C.12
-
D.12
i -
3．设命题：2:,(1)10p x Z x ∀∈+->，则p ⌝为 A ．2,(1)10x Z x ∀∈+-> B ．()2
00,110x Z x ∃∈+-> C ．2,(1)10x Z x ∀∉+-≤
D ．()200,110x Z x ∃∈+-≤
4．设x ，y 满足约束条件2390300x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最大值是
A ．92
-
B ．3
C ．6
D ．8
5．
22cos15sin19522
-的值为（ ） A ．
32
B ．
12
C ．3-
D ．12
-
6．函数f （x ）＝xe cosx （x ∈[﹣π，π]）的图象大致是
A ．
B ．
C ．
D ．
7．函数[]()3sin cos ,0,π=-∈f x x x x 的单调递减区间是
A.⎥⎦
⎤⎢⎣⎡32,0π
B.⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡32,2ππ
C.⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡ππ,3
D.⎥⎦
⎤⎢⎣⎡65,2ππ 8．已知01a b c <<<<，log a m c =，log b n c =，c r a =，则m n r ，，
的大小关系是 A.<<n m r
B.<<m r n
C.<<r m n
D.<<m n r
9．设函数()()32
1f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为
A ．2y x =-
B ．y x =-
C ．2y x =
D ．y x =
10．已知函数()y f x =在区间(－∞,0)内单调递增，且()()f x f x -=，若
()1.2121log 3,2,2a f b f c f -⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则a ，b ，c 的大小关系为
A ．b c a >>
B ．a c b >>
C ．b a c >>
D ．a b c >>
11．函数1
1y x
=-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于 A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
12．设函数()ln f x x x m =++，若曲线1e 1e
cos 22
y x -+=+上存在()00,x y ，使得()()00f f y y =成立，则实数m 的取值范围为 A.2
0,e e 1⎡⎤-+⎣⎦
B.2
0,e e 1⎡⎤+-⎣⎦
C.2
0,e e 1⎡⎤++⎣⎦
D.2
0,e e 1⎡⎤--⎣⎦
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 13．已知向量(2,),
(1,2)a b m ==-，且a b ⊥，则实数m 的值是______.
14．设函数()()(sin ,,f x A x A ωϕωϕ=+为参数，且)0,0,0A ωϕπ>><<的部分图象如图所示，则ϕ的值为______.
15．已知曲线()32ln 3x f x x x =+在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则22
2
sin cos 2sin cos cos αα
ααα
-+= __
16．已知函数()3
2
331f x x ax x =-++在区间()2,3上至少有一个极值点，则a 的取值范围为__________．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考
生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） 17.（本大题满分12分）
已知函数()2
43,f x x x a a R =-++∈.
（Ⅰ）若函数()y f x =的图象与x 轴无交点，求a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()y f x =在[]1,1-上存在零点，求a 的取值范围.
18．（本大题满分12分）
已知向量()(),cos2,sin2,a m x b x n ==，函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图像过点,312π⎛⎫
⎪⎝⎭
和点2,23π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
. （Ⅰ）求,m n 的值；
（Ⅱ）将()y f x =的图像向左平移(0)ϕϕπ<<个单位后得到函数()y g x =的图像，若()y g x =图像上各最高点到点（0,3）的距离的最小值为1，求()y g x =的单调递增区间.
19．（本大题满分12分）
在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B -+=-. （Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）求22cos cos A B +的取值范围。

20．（本大题满分12分）
如图,在三棱锥P ACD -中,3AB BD =,PB ⊥底面ACD ，BC AD ⊥，10AC =，5PC =
，且
2
cos ACP ∠=
. （Ⅰ）若E 为AC 上一点，且EF AC ⊥，证明：平面PBE ⊥平面PAC .
（Ⅱ）求二面角A PC D --的余弦值.
21．（本大题满分12分） 已知函数2
11()ln 22f x ax x ax ⎛⎫=++-
⎪⎝
⎭（a 为常数，0a >）. （I ）当()y f x =在1
2
x =处取得极值时，若关于x 的方程()=0f x -b 在[0,2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围；
（II ）若对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
使不等式()()
2
023f x m a a >+-成立，求实数m 的取值范
围.
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 已知平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y α
α
=+⎧⎨
=+⎩（α为参数）.以坐标原点O 为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；
（Ⅱ）过点(2,1)-的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且2AB =，求直线l 的方程. 23．已知函数()|||25|(0)f x x a x a =++->. （Ⅰ）当2a =时，解不等式()5f x ≥；
（Ⅱ）当[,22]x a a ∈-时，不等式()|4|f x x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围.
2019-2020学年度秋四川省泸县一中高三期中考试
理科数学试题参考答案
1-5:DADCA
6-10:BCADA
11-12:DD
13．1
14．
3
π
15．
87
16．55,43⎛⎫
⎪⎝⎭
17．(1)若函数y ＝f (x )的图象与x 轴无交点，
则方程f (x )＝0的根的判别式Δ<0，即16－4(a ＋3)<0， 解得a >1.
故a 的取值范围为a >1.
(2)因为函数f (x )＝x 2－4x ＋a ＋3图象的对称轴是x ＝2， 所以y ＝f (x )在[－1,1]上是减函数． 又y ＝f (x )在[－1,1]上存在零点， 所以
,即
,
解得－8≤a ≤0.故实数a 的取值范围为－8≤a ≤0. 18．（1）由题意知，()sin2cos2f x m x n x =+. 因为()y f x =的图像过点312π⎛
⎝和点2,23π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
， 所以3,
66{442,33msin
ncos
msin ncos ππ
ππ=+-=+，即13
3,
2{312,22
m m n =-=--解得3,1m n ==.
（2）由（1）知()3sin2cos22sin 26f x x x x π⎛
⎫
=+=+
⎪⎝
⎭
， 由题意知，()()2sin 226g x f x x πϕϕ⎛
⎫=+=++ ⎪⎝
⎭.
设()y g x =的图像上符合题意的最高点为()0,2x ，
由题意知，2
011x +=，所以00x =，
即到点（0,3）的距离为1的最高点为（0,2）， 将其代入()y g x =得，sin 216πϕ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭.因为0ϕπ<<，所以6
π
ϕ=，
因此，()2sin 22cos22g x x x π⎛⎫
=+
= ⎪⎝
⎭
. 由222,k x k k Z πππ-≤≤∈得,2k x k k Z π
ππ-
≤≤∈，
所以函数()y g x =的单调递增区间为,,2k k k Z π
ππ⎡⎤
-
∈⎢⎥⎣
⎦
. 19．（1）因为()()()sin sin sin sin a c A C b A B -+=-，由正弦定理得
()()()a c a c b a b -+=-，即222a b c ab +-=，
则2221
22
a b c ab +-=
根据余弦定理得1
cos 2
C =
又因为0C π<<，所以3
C π
=
（2）因为3C π
=
，所以4223
B A π
=
-
则()22
1cos21cos21cos cos 1cos2cos2222
A B A B A B +++=
+=++ 141cos2cos 223A A π⎡⎤
⎛⎫=++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
111cos2222A A ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭ 11cos 223A π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭
因为三角形ABC 为锐角三角形且3
C π
=，所以
6
2
A π
π
<<
则
242333
A πππ<+< 所以11cos 262A π⎛⎫-≤+<- ⎪
⎝
⎭， 所以
2213cos cos 24A B ≤+<即22cos cos A B +的取值范围为1324，⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
20．（1）证明：∵ PB ⊥平面ACD ，AC ⊂平面ACD ∴ PB AC ⊥.
又BE AC ⊥，BE BD B ⋂=，
∴AC⊥平面PBE.
∵AC⊂平面PAC，
∴平面PBE⊥平面PAC. （2）解：
在ACP
∆中，由余弦定理得
2222cos15213
10
AP AC PC AC PC ACP
=+-⋅⋅∠=-⨯=,
∴
AP=
由条件得
22
22
22
10,
5,
13,
AB BC
BC PB
AB PB
⎧+=
⎪
+=
⎨
⎪+=
⎩
解得
3,
1,
2.
AB
BC
PB
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
∵//
BQ平面PAC，BQ⊂平面PAD，平面PAC⋂平面PAD PA
=，
∴//
BQ PA，
∴3
PQ AB
QD BD
==.
过Q作//
QH PB，交AD于H，则QH为三棱锥Q ACD
-的高，则
11
42
QH PB
==.
∵314
AD AB BD
=+=+=，
∴1111
41
3223
Q ACD
V
-
=⨯⨯⨯⨯=.
即三棱锥Q ACD
-的体积为
1
3。

21．（1）
()1
2,10
1
121
2
a a
f x x a f a
ax a
⎛
''⎫
=+-=+-=
⎪
+⎝⎭+，即220
a a
--=，又0
a>所以2
a=，此时()
()
221
12
x x
f x
x
'
-
=
+
，所以
1
0,
2
x
⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
上递减，
1
,2
2
x
⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
上递增，
又()()
1135
0ln,,2ln
2242
f f f
⎛⎫
==-=
⎪
⎝⎭
，所以
31
ln
42
b
-<≤
（2）()
()()
2
2222
22
2
111
x ax a
ax a x
a
f x x a
ax ax ax
⎡⎤
--
+-⎣⎦
=+
'-==
+++
因为12
a
<<，所以
()()
221
21
222
a a
a
a a
-+
-
-=<，即
221
22
a
a
-
<
所以()f x 在112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，
上单调递增，所以()()max 111ln 122f x f a a ⎛⎫
==++- ⎪⎝
⎭ 问题等价于对任意()1,2a ∈，不等式()211ln 12322a a m a a ⎛⎫
++->+- ⎪⎝⎭
成立 设()()
()211ln 1231222h a a a m a a a ⎛⎫
=++--+-<<
⎪⎝⎭
， 则()()
2
211
12211a m a h a ma m a
a
--+=
---'=++
当0m ≥时，()0h a '<，所以()h a 在区间()1,2上单调递减，此时()()10h a h <= 所以0m ≥不可能使()0h a >恒成立，故必有，因为()2
14a a +≥
若1
8
m ≤-，可知()h a 在区间()1,2上单调递增，在此区间上有()()10h a h >=满足要求 若108m -
<<，可知()h a 在区间11,min 1,24m ⎛⎫⎧
⎫--
⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝
⎭上递减，在此区间上有()()10h a h <=，与()0h a >恒成立相矛盾，所以实数m 的取值范围是1,8⎛
⎤-∞- ⎥⎝
⎦.
22．（Ⅰ）消去参数α，可得曲线C 的普通方程为22(2)(1)9x y -+-=，
22
4240x y x y +---=.由
cos sin
x y
所以曲线C 的极坐标方程为24cos 2sin 40ρρθρθ---=. （Ⅱ）显然直线l 的斜率存在，否则无交点.
设直线l 的方程为1(2)y k x -=+，即210kx y k -++=.
而2AB =，则圆心到直线l
的距离d ===
又d =
=，解得1k =±.
所以直线l 的方程为10x y ++=或30x y -+=.
23．（1）当2a =时，()33,252257,22533,2x x f x x x x x x x ⎧
⎪-<-⎪
⎪
=++-=--≤≤⎨
⎪
⎪
->⎪⎩
， 由()5f x ≥，得2335x x <-⎧⎨-≥⎩，即2
23x x <-⎧⎪
⎨≤-⎪⎩，2x <-
或52275x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪-≥⎩，即5222
x x ⎧
-≤≤⎪⎨⎪≤⎩，22x -≤≤ 或52335x x ⎧>⎪⎨⎪-≥⎩，即52
83x x ⎧
>⎪⎪⎨
⎪≥⎪⎩
，83x ≥ 综上：2x ≤或8
3
x ≥
， 所以不等式()5f x ≥的解集为8{|2}3
x x x 或≤≥. （2）()4f x x ≤+，()254f x x a x x =++-≤+， 因为[]
,22x a a ∈-，22a a ->， 所以2a >，
又[]
,22x a a ∈-，0x a +>，40x +>， 得254x a x x ++-≤+.
不等式恒成立，即254x a -≤-在[]
,22x a a ∈-时恒成立， 不等式恒成立必须4a ≤，4254a x a -≤-≤-， 解得129a x a +≤≤-.所以21
449a a a a
≥+⎧⎨
-≤-⎩，
解得1315a ≤≤，结合24a <≤，所以1325a <≤，即a 的取值范围为132,5⎛⎤ ⎥⎝⎦
.。