最基本的图形-点和线
4.4最基本的图形——点和线. 1.点和线
５．下面两个图中有多少条线段？ 把它们写出来。 . . . . 1） A C D B
2）
A
B
C
D
图片欣赏 构成这两幅美丽图案的是曲线吗？
4.5最基本的图形 —— 点和线
1.点和线
平面图形是由同一个平面内的点、 线构成的图形 线段、射线、直线 1.什么是线段?线段怎么画?怎么表示 线段? 2.射线呢? 3.直线呢?
1.点 点用一个大写字母表示 点只有位置没有大小 点在生活中的作用
2.线段的表示方法
A
a
B
(1).用表示它的两个端点的大写字 母表示，上图的线段可记做“线段 AB”或“线段BA” (2).用一个小写字母表示：记做“线 段a”；
直线的性质： 经过两点有且只有一 条直线。
点在生活中的作用
请你把左边对图形的描述和右边相 应的图形用线连接： 以A为端点，经 A a B 过点B的射线 · · 连结A，B两 A B 点的线段 经过A，B两 · 点的直线 A B 与同伴交流:生活中,有哪些物体可 以近似地看做线段,射线,直线? 线段在生活中的作用
4.直线:把线段向两方无限延伸所形 成的图形叫做直线 直线的表示方法
l B (1).用它上面任意两个点的大写字母 表示，上图的直线可记做“直线 AB”或“直线BA” (2).用一个小写字母表示：上图的线 段可记做“直线l”；
A
合作学习 画一画，并回答： (1)过一点A可以画几条直线? (2)过两点A,B可以画几条直线? (3)如果你想将一根细木条固定在 墙上,至少需要几个钉子?
如图:从A地到B地有四条道路,除它们外 能否再修一条从A地到B地的最短道路? 如果能,请你联系以前所学的知识,在图 上画出最短路线.
• A • B
初中数学知识点精讲精析 最基本的图形——点和线
4.5 最基本的图形——点和线学习目标1. 认识点和线，会表示点和线，知道奇妙的图形都是由最基本的图形构成的。
2. 掌握线段公理和直线公理的内容。
知识详解1.点与线点常用来表示那些大小尺寸可以忽略的物体。
在日常生活中，一根拉紧的绳子、一根竹竿，人行横道线都给我们以线段的形象。
线段公理：两点之间，直线段最短。
把线段向一方无限延伸所形成的图形叫做射线。
把线段向两方无限延伸所形成的图形就是直线。
直线公理：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。
2. 线段的长短比较（1）叠合法：先把两条线段的一端重合，另一端点落在同一侧，从而确定两条线段的长短，这是从“形”的方面进行比较. 当两条线段能够放在一起而又不要求知道相差的具体数值时，可用此法. 将线段AB放到线段CD上，使点A和点C重合，点B和点D在重合点的同侧.①如果点B和点D重合，如图，就说线段AB与线段CD相等，记作AB=CD.②如果点B在线段CD上，如图，就说线段AB小于线段CD，记作AB＜CD.③如果点B在线段CD外，如图，就说线段AB大于线段CD，记作AB＞CD.（2）度量法：先分别量出每条线段的长度，再根据度量的结果确定两条线段的大小，这是从“数”的方面进行比较. 当两条线段的长短差别不太明显，而又不便放在一起比较，或需要求出相差的具体数值时，可用此法.把一条险段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。
【典型例题】例1：下列说法正确的有( ).①画一条射线等于5 cm；②线段AB为直线AB的一部分；③在直线、射线、线段中，线段最短；④射线与其反向延长线形成一条直线.A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】例2：射线OA，OB表示同一条射线，下面的图形正确的是( ).【答案】D【解析】例3A.都错误B.都正确C.只有一个正确D.有两个正确【答案】D【解析】直线可以用两个大写字母或一个小写字母表示.【误区警示】易错点1：直线的性质1. 建房屋垒墙时，建筑工人都要在墙的两端固定绳子，请利用所学的知识，说明其中道理. 【答案】拉紧的绳子可以近似看成一条直线，固定在墙的两端是固定的两点，因为过两点有且只有一条直线，所以这样垒出的墙是直的.【解析】利用直线的性质“经过两点有且只有一条直线”进行说明.易错点2：线段的长短比较2. 如图，已知AB＞CD，则AC与BD的大小关系为( ).A.AC＞BDB.AC＝BDC.AC＜BDD.AC和BD的大小不能确定【答案】A【解析】运用叠合法或度量法直接比较，可以发现AC与BD的大小关系为AC＞BD.【综合提升】针对训练1. 甲、乙两地之间有四条路可走（如图），那么最短路线的序号是（）A.①B.②C.③D.④2. 某公司员工分别住在A 、B 、C 三个住宅区，A 区有30人，B 区有15人，C 区有10人. 三个区在一条直线上，位置如图所示. 公司的接送打算在此间只设一个停靠点，要使所有员工步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在（ ）A.A 区B.B 区C.C 区D.不确定3. 如图，点A 、B 、C 顺次在直线l 上，点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点. 若想求出MN 的长度，那么只需条件（ ）A.AB=12B.BC=4C.AM=5=21.【答案】B【解析】由图可知，甲乙两地之间的四条路只有②是线段，故最短路线的序号是②.2.【答案】A【解析】根据题意分别计算停靠点分别在各点是员工步行的路程和，选择最小的即可解3.【答案】A【解析】根据点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点，可知：MN ＝MC −NC ＝，继而即可得出答案.【中考链接】（2012年菏泽）已知线段AB=8cm ，在直线AB 上画线段BC ，使BC=3cm ，则线段AC=___________.【答案】11或5【解析】由于是在直线AB 上画线段BC ，BC 可能画在线段AB 的外部，也可能画在线段AB 上，所以AC=AB+BC=8+3=11cm 或AC=AB-BC=8-3=5cm.课外拓展十七世纪法国数学家费尔玛提出了一个“光行最短原理”，即“光线由A 点到B 点的路线，是所有路线中距离最短的路线”，光线可以在各种错综复杂的环境中找到“最短的路线”，所以光线被某一物体所阻挡时，这一部分光线就射不过去了，相应地在障碍物后面便形成了一12AB个“影子”。
华师版初中七年级上册数学精品教学课件 第4章 图形的初步认识 4.5 最基本的图形——点和线
图4.5-1
注意 点是最基本的几何图形，它只表示位置而没有大小之分.
2.线段、射线、直线：.
把线段向一方无限延伸.
把线段向两方无限延伸.
图形
表示方法
①用表示端点的两个大写字母表示，线段；②用一个小写字母表示，线段.
C
A.1 B.3 C.1或3 D.2或3
[解析]①如图4.5-28，当点在线段上时，.
图4.5-28
因为点是线段的中点,所以.
②如图4.5-29，当点在线段的延长线上时，.
因为点是线段的中点,所以.
链接教材 本题取材于教材第144页习题4.5第4题，主要考查了线段的和、差、中点的定义以及分类讨论思想.中考真题没有给出具体图形，需要分类讨论求解，难度比教材习题大，学生易因考虑不全而漏解．
图4.5-27
（随州中考改编）某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分（如图4.5-27），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是( )
A
A.两点之间,线段最短B.两点确定一条直线C.过一点有无数条直线D.两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离
[解析] 能正确解释这一现象的数学知识是两点之间,线段最短．
图4.5-2
典例1 如图4.5-3，下列说法不正确的是 ( )
图4.5-3
B
A.直线与直线是同一条直线B.射线是直线的一半C.射线与线段是直线上的两个不同的部分D.延长和反向延长线段可以得到直线
[解析] 直线可以用直线上任意两点来表示，故选项A正确；射线和线段都是直线的一部分，故选项C正确；线段向两方无限延长就成为直线，故选项D正确.因为直线、射线都不能度量长度，所以选项B中的说法不正确.
2023七年级数学上册第4章图形的初步认识4.5最基本的图形——点和线1点和线教案(新版)华东师大版
3. 随堂测试：
- 学生在随堂测试中能够准确回答问题和完成题目，表明他们对点和线的基本概念和性质有扎实的掌握。
- 学生能够运用所学的点和线的基本概念和性质解决实际问题，显示出良好的应用能力和解决问题的能力。
- 学生在测试中表现出良好的时间管理和答题策略，能够有效地完成题目。
4. 作业完成情况：
- 学生能够按时完成作业，作业质量符合要求，表明他们对课堂所学的内容有深入的理解和掌握。
- 学生在作业中能够正确运用点和线的基本概念和性质，解决实际问题，显示出良好的应用能力和解决问题的能力。
2. 对于难点内容，可以采取以下策略：
- 通过引导学生观察和分析实际问题，让学生亲身体验和感知点和线的性质，从而更好地理解和运用。
- 提供一些典型的例题和练习题，让学生通过动手操作和思考，逐步掌握解决实际问题的方法和技巧。
- 鼓励学生积极参与讨论和交流，引导学生运用逻辑推理和数学思维来解决问题，提高其解决问题的能力。
本节课的内容与学生的日常生活紧密相关，便于学生理解和接受。教学过程中，教师需要结合课本中的例题和练习题，让学生通过观察、思考、动手操作等方式，掌握点、线的基本概念和性质。同时，教师还需注意引导学生运用所学的知识解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
在教学过程中，教师应注重培养学生的观察能力、思考能力和动手操作能力。通过本节课的学习，学生应能掌握点、线的基本概念和性质，并能在实际问题中运用这些知识。
设计课堂互动环节，提高学生学习点和线的积极性和主动性。
（二）课堂导入（预计用时：3分钟）
激发兴趣：
提出问题或设置悬念，引发学生的好奇心和求知欲，引导学生进入点和线的学习状态。
4.5-最基本的图形——点与线
4.5 最基本的图形——点和线1.点与线段通过前面的学习，大家一定会感叹，生活中有那么多奇妙的图形！其实不管是什么样的图形，它都是由一些基本的图形构成的.下面先看两个最基本的图形.点(point)通常表示一个物体的位置.例如，在中国地图上，点用来表示城市的位置；而在电视屏幕上，点用来组成一幅幅画面.在日常生活中，一根拉紧的绳子、一根竹竿，人行横道线都给我们以线段(line segment)的形象.我们可以用图4.5.1的方式来表示点和线段.图4.5.1想一想如图4.5.2，从A地到B地有三条路径，你会选择哪一条?在实际的情况中，我们都希望走的路越短越好，当然选择笔直的路线.这条路线就是线段AB.这也就是我们平时所说的，两点之间，直线段最短.图4.5.2此时线段AB的长度，就是AB两点间的距离.做一做：图4.5.3中，A、B之间有一条弯曲的马路，请量出图上A、B之间的直接距离.把线段向一方无限延伸所形成的图形(如图4.5.4)叫做射线(ray).图4.5.4手电筒的光线和激光灯的光束(图4.5.5)，也就是一种射线的形象.图4.5.5把线段向两方无限延伸所形成的图形(如图4.5.6)就是直线line, (Straight line).图4.5.6试一试：在纸上画出一点A和一点B，过A点你能能画出几条直线?经过A、B两点画直线，你又可以画几条?通过试一试你是否得到了这样的结论：经过两点有一条直线，并且只有一条直线.练习1.要在墙上钉牢一根木条，至少要钉几颗钉子?为什么?2.请举出生活中运用“两点之间，线段最短”的几个例子.2.线段的长短比较记得你和同学是怎么比个子高矮的吗?可能大家通常会有两种办法：要么让两人都说出自己的高度，对比一下；要么让两人背对背地站在同一块平地上，脚底平齐，观看两人的头顶，直接比出高矮，而且这第二种方法更为实用.线段也可以通过类似的两种方法来比较它们的长短.对于图 4.5.8中的线段AB、CD，我们用刻度尺量一下，那么就可以知道它们谁长谁短了.图4.5.8如果AB比CD短，我们可以很简单的记为AB<CD(或CD>AB).比较两条线段的长短，第二种方法与比个子高矮一样，就是把其中的一条线段移到另一条线段上去加以比较.如图4.5.9，将线段AB放到线段CD上，点A和C放在一起，线段AB与线段CD叠合.这样从图中我们就可以直接看出线段AB比CD短，也就是AB<CD.观察下图中的几条线段，估计一下，哪一条最长，哪一条最短?图4.5.9将一条线段分成两条相等的线段的点，叫做这条线段的中点(middle point).在图4.5.10中，点C 是线段AB 的中点.AB=4cm,那么AC=CB=2(cm)，AC+CB=AB=4(cm).图4.5.10又如图4.5.11，AB=6cm ，点C 是线段AB 的中点，点D 是线段BC 的中点，那么AD 有多长呢?图4.5.11做一做在一张纸上任意画一条线段，折叠纸片，使这条线段的两个端点重合在一起，那么折痕与线段的交点就是线段的中点. AC = CB=21AB = 3(cm), CD = 21CB = 1.5(cm) AD = AC+CD = 4.5(cm). 练习1.做两个三角形纸片，用折纸的方法比较线段AB 与线段AC 的长短.2.观察下列一组图形，比较线段的长短.再用直尺量一下，看看你的观察结果是否正确.读一读：光线光在两点之间传播时，光是走直线的，也就是两点间的最短距离.十七世纪法国数学家费尔玛提出了一个“光行最短原理”.即“光线由A 点到B 点的路线，是所有路线中距离最短的路线”.光线可以在各种错综复杂的环境中找到“最短的路线”.所以光线被某一物体所阻挡时，这一部分光线就射不过去了，相应地在障碍物后面便形成了一个“影子”.在太阳光的照射下，房屋、树木或你自身都会在地上投出影子.习题4.51. 如图，有A、B、C，O四个点，分别画出以O点为端点，经过A、B、C各点的射线，并分别用字母表示.想一想，图中可以画出几条射线?线段?直线?指出其中最长的一条线段.2.画出长度为5cm 的线段AB,并用刻度尺找出它的中点.3.在一条直线上顺次取A、B、C三点，使AB=5cm,BC=2 cm，并且取线段AC的中点O，求线段OB的长.4.直线l上有一个点，在直线l上以这个点为端点的不同射线共有多少条?5.读下列语句，并画出图形：(1) 点A在直线l上，点B在直线l外：(2) 在纸上任意画一点P，过点P画直线PQ；(3) 在纸上任意画A、B两点，过A、B两点画直线；(4) 在纸上任意画A、B、C三点，过A、C两点画直线l.又问此时点B是否一定在这一条直线上?。
最基本的图形点和线
最基本的图形——点和线教学课例与评析城北初级中学房金余设计理念本课教学过程的设计，力求改变过去照本宣科、注重传授的传统教学模式，让学生从身边的事例出发，从具体到抽象，经历、体验知识的形成的过程，并在活动中感悟知识在实际生活中的应用。
培养学生的竞争意识和健全的人格。
教学目标（1）让学生经历对日常事物的表象的讨论过程，抽象出点、线段、射线、直线的概念及图形特征。
在实验观察、思考、比较、分析的基础上，归纳出线段公理、直线公理。
（2）通过学生参与实验、探索、讨论、争辨、游戏等一系列学习活动，培养学生合作交流能力和竞争的意识。
教学重点线段公理、直线公理教学难点两点间的距离教学实录一、创设问题情境，引导学生观察、思考、导入新课T：通过前面的学习，我们感叹生活中有那么多奇妙的图形！其实不管是什么样的图形，它都是由一些基本的图形构成的，这些基本图形是什么呢？下面请大家看挂图：（1）珠泪点点（2）泪如雨线S：哈哈大笑，议论纷纷T：今天，天气这么好，同学们的学习劲头这样高。
居然，有人哭泣，请问挂图中的眼泪给人以何种平面图的形象！S1：挂图（1）、（2）分别给人以点、线的形象。
T：板书“点和线”，呈现挂图（3）一泪流满面和（4）一本块，请问（3）（4）各给我们哪些图形的形象？S：学生观察（1）（2）（3）（4），分组交流。
S3：点动成线，点组成面：线构成面；点和线最基本的图形，体只不过是点、线、面的集合体。
T：板书课题：最基本的图形——点和线。
二、丰富认识，动手实践，理解点和线段T：在中华人民共和国地图上，你难看到北京城的全貌吗？S1：看不到北京城的全貌会图上用一个点表示北京城所处的位置。
T：为了区别不同的点，点可以用一个大写字母表示，如“.”(点A)、“.”(点B)。
请在纸上表明城北中学，天元大酒店、电缆厂、桃园小学、检察院的大致位置。
（教师在黑板左边画一矩形框，标明正北方向，请一学生板演）S2：板演T：这位同学标注得很好！5个地方分别用了5个点表示，谁来将这5个点读一读？S3：点A、点B、点C……T：北中到电缆厂的道路又怎么画呢？S4：将点A、点B连结起来。
图形与几何的知识点
图形与几何的知识点在数学中，图形与几何是一门重要的学科。
它涉及到平面图形和立体图形的性质、分类以及相关的计算方法。
本文将详细介绍一些图形与几何的知识点。
一、二维图形1. 点、线、面在几何中，点是最基本的图形，它没有大小和维度，只有位置。
线由无数个点连接而成，它有长度但没有宽度。
面是由无数个线组成的，具有长度和宽度。
2. 常见的平面图形- 线段：两个点之间的部分。
线段的长度可以通过两个点的坐标计算得出。
- 直线：无数个点连成的一条无限延伸的线段。
- 射线：有一个起点，无限延伸的线段。
- 角：由两条线段的公共起点和终点组成。
角可以根据其度数分为锐角、直角和钝角。
- 三角形：由三条线段组成的图形。
三角形的分类有很多种，如等边三角形、等腰三角形等。
- 四边形：由四条线段组成的图形。
它的种类繁多，如矩形、正方形、长方形等。
3. 图形的周长与面积周长是指封闭图形的边界长度，可以通过将每条边的长度相加得到。
面积是指图形所围成的平坦区域的大小，可以通过相应的公式计算得到。
常见图形的周长和面积计算公式如下：- 线段的长度就是其本身的长度。
- 圆的周长和面积分别由半径决定，周长为2πr，面积为πr²。
- 三角形的面积可以通过底边和高的乘积再除以2得到。
- 矩形的周长为2(a+b)，面积为a×b，其中a和b分别为矩形的两条边的长度。
二、三维几何1. 空间几何的基本概念- 点：在三维空间中，点是最基本的图形，具有位置但没有大小。
- 线段：连接两个点的部分，有起点和终点。
- 面：由无数个线段组成，具有长度和宽度。
- 体：由无数个面组成，具有长度、宽度和高度。
2. 常见的立体图形- 球体：由三维空间中所有到一个固定点的距离相等的点组成。
它的表面积公式为4πr²，体积公式为(4/3)πr³，其中r为半径。
- 圆柱体：由两个平行圆面和连接它们的侧面组成。
它的侧面积公式为2πrh，底面积为πr²，体积为πr²h，其中r为底面半径，h为高度。
最基本的图形—点和线
直线、线段、 直线、线段、射线
2、要掌握两点间的距离的定义，知道两点之间线段最短， 要掌握两点间的距离的定义，知道两点之间线段最短， 要掌握两点间的距离的定义 两点确定一条直线等。 两点确定一条直线等。
×
试一试
1、在哪你还看到过射线的形象？请举例。 、在哪你还看到过射线的形象？请举例。 答：电说出射线AB与射线 的端点，并画出这两条射 、说出射线 与射线 的端点， 与射线BA的端点 线。 答：射线AB的端点是A，射线BA的端点是B。 A B B A 3、依据“射线 与射线 是同一条射线”画图， 与射线AC是同一条射线 、依据“射线AB与射线 是同一条射线”画图， 正确的是（ 正确的是（D.） C A B A B C A C A A C B D. A. B. C.
想一想： 要在墙上定牢一根木条，至少要钉几颗
钉子，为什么？
练习: 练习:1、判断
× ①射线有两个端点。（ ） ②两点之间的所有连线中，线段最短。（√） √ ③两条直线相交，只有一个交点。（ ） ④ 线段AB和线段BA是同一条线段。（ ） √ × ⑤ 射线AB和射线BA是同一条射线。（ ） ⑥ 延长直线AB到C(×) ⑦延长射线AB到C(×) √ ⑧反向延长射线AB到C( ) × ⑨线段AB就是A、B两点间的距离（ ） × ⑩ 甲、乙两地间的路程就是甲、乙两地间的距离（ ） 2、已知A、B、C三点，如图，按下列语句画图： ①画直线AB； ②画线段BC； ③画射线CA。 B
如上图，可以叫做： 除了用两个大写字母表示外， 线段AB，或者线段BA。 我们还可以用一个小写字母 表示线段。 a 比如左图，就可以叫做： 线段a
试一试 A
1、指出图中所有的线段。
B C D E 答：线段AB、线段AC、线 段AD、线段AE、线段BC、 线段BD、线段BE、线段 CD、线段CE、线段DE。 ① ②
最基本的图形-点和线PPT课件
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22
33
44
CHENLI
55
66
77
88
16
数学理论
第二种方法是：叠合法先把两条线段的一端
重合，另一端落在同侧，根据另一端落下的
位置，来比较。
C
D
E
F
M
N
①A
B AB＞CD
②A
B AB=EF
③A
CHENLI
B AB＜MN
17
数学运用
观察下列三组图形，分别比较线段a、
b的长短 a b （1）
（3）
图①
例2、如图②，下列说法不能判断点C是线段AB
的中点的是（ C ）
（ A）AC＝CB
（ B）AB＝2AC
（C）AC＋CB＝AB
（ D）2CB＝AB
图② A
C
B
CHENLI
25
数学运用
例3、AB＝6cm,点C是线段AB的中点，点D是线段 CB的中点,求线段AD的长。
A
C
D
B
解: AC=BC= 1 AB=3cm
结论: 两点间线段最短
生活中运用 “两点间线段
最短”的事例，你能列举吗？
CHENLI
8
数学理论
A
Ｂ
线段公理:两点之间,线段最短
连结两点所得线段的长度叫做这两点间的距离 。
CHENLI
9
问题情境、学生活动
画一画
1.过一点A画一条直线， 请问可以画几条?
2.过两点A、B可以画几条直线？ 请动手试一试。
概念辨析：
“若AC＝BC，则点C是线段AB的中点”这种 说
法对吗？
A
C
B
平面几何知识点总结大全
平面几何知识点总结大全一、基本图形。
1. 点。
- 点是平面几何中最基本的元素，没有大小、长度、宽度或厚度。
它通常用一个大写字母表示，如点A。
2. 线。
- 直线。
- 直线没有端点，可以向两端无限延伸。
直线可以用直线上的两个点表示，如直线AB；也可以用一个小写字母表示，如直线l。
- 经过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线）。
- 射线。
- 射线有一个端点，它可以向一端无限延伸。
射线用表示端点的字母和射线上另一点的字母表示，端点字母写在前面，如射线OA。
- 线段。
- 线段有两个端点，有确定的长度。
线段用表示两个端点的字母表示，如线段AB；也可以用一个小写字母表示，如线段a。
- 两点之间，线段最短。
3. 角。
- 由公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。
角通常用三个大写字母表示（顶点字母写在中间），如∠AOB；也可以用一个大写字母表示（这个大写字母表示顶点，且以这个顶点为顶点的角只有一个时），如∠ O；还可以用一个数字或希腊字母表示，如∠1、∠α。
- 角的度量单位是度、分、秒，1^∘=60'，1' = 60''。
- 角的分类：- 锐角：大于0^∘而小于90^∘的角。
- 直角：等于90^∘的角。
- 钝角：大于90^∘而小于180^∘的角。
- 平角：等于180^∘的角。
- 周角：等于360^∘的角。
二、相交线与平行线。
1. 相交线。
- 对顶角。
- 两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。
对顶角相等。
- 邻补角。
- 两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
邻补角互补，即和为180^∘。
- 垂直。
- 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
- 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
最基本的图形——点和线PPT课件
第3节 最基本的图形——点和线
第3 节最基本的图形——点和线➢要点回顾1.线包括直线，射线，线段．2.两个基本事实：两点之间，线段最短．经过两点有一条直线，并且只有一条直线．即两点确定一条直线．3.连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．4.比较线段长短的方法：度量法；重合法．5.线段上的点把线段分成相等的两条线段，则这个点叫做线段的中点．➢巩固练习1.关于直线、射线、线段的描述正确的是（）A．直线最长，线段最短B．射线是直线长度的一半C．直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点D．直线、射线及线段的长度都不确定2.下列现象中，可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的是（）A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上B．把弯曲的公路改直，就能缩短路程C．植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线D．利用圆规可以比较两条线段的长度的大小关系3.知识是用来为人类服务的，我们应该把他们用于有意义的方面，下面就两个情景请你做出评判．情景一：如图，从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这种做法是不对的，但确实能够缩短路程，请你说说这样做的数学道理是．情景二：农民兴修水利，开挖水渠，先在两端立桩拉线，然后沿线开挖，请你说出其中的道理．4.如图，点A，B，C，D 在同一直线上，那么图中共有（）条射线．A．6 B．7C．8 D．9 A B C D5. 在同一平面内有四个点，过其中任意两点画直线，仅能画出四条直线，则这四点的位置关系是（） A ．任意三点都不共线B ．有且仅有三点共线C ．有两点在另外两点确定的直线外D ．以上答案都不对6. 已知点 P 是线段 AB 上一点，下列条件：①AP = 1 2AB ；②AB =2PB ； ③AP +PB =AB ；④AP =PB = 1 2有（ ）AB ．其中能得到“P 是线段 AB 的中点”的条件 6.1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个 7. 已知点 C 为线段 AB 的中点，点 D 为线段 BC 的中点，若 AB =10 cm ，则线段 AD 的长是． 8. 已知线段 AB =2 cm ，延长 AB 到 C ，使 BC =2AB ，若点 D 为 AB 的中点，则线段 CD 的长为． 9. 已知 A ，B ，C 在一条直线上，AB =10，AC =6，那么 AB 的中点与 AC 的中点的距离为 ． 10. 作图，已知线段 a ，b （其中 a ＞b ），作一条线段，使它等于 2a -b ．（保留作图痕迹，不必写作法）ab11. 如图，在同一平面内有四个点 A ，B ，C ，D ，按照下列语句作出图形：①作直线 AB ；②作射线 BD ；③连接 BC ；④线段 AC 和线段 BD 相交于点 O ；⑤反向延长线段 BC 至 E ，使 BE =BC ．A DBC。
最基本的图形--点和线(基础)知识讲解
最基本的图形--点和线（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解点和线是最基本的图形；2．在现实情境中进一步理解线段、射线、直线，并会用不同的方式表示；3. 通过操作活动，了解“两点确定一条直线”的几何事实，积累数学活动经验；4. 能够运用几何事实解释和解决具体情境中的实际问题；5. 通过从事观察、比较、概括等活动，发展抽象思维能力和有条理的数学表达能力.【要点梳理】要点一、点、线、面、体长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点.要点二、线段、射线、直线的概念及表示方法1.概念：一根拉紧的绳子、一根竹竿、人行横道线都给我们以线段的形象，如果把“线段”作为最简单、最基本原始概念，则用“线段”定义射线和直线如下：（1）把线段向一方无限延伸所形成的图形叫做射线.（2）把线段向两方无限延伸所形成的图形叫做直线．要点诠释：（1）线段有两个端点，可以度量，可以比较长短．（2）射线只向一方无限延伸，有一个端点，不能度量，不能比较大小.（3）直线是向两方无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小.（4）线段、射线、直线都没有粗细．2.表示方法：如图1、图2、图3，线段、射线、直线的表示方法都有两种：它们都可以用两个大写字母表示，也可以一个小写字母表示.要点诠释：（1）从表示方法上看，虽然它们都可以用一个小写字母表示，也可以用两个大写字母表示，但直线取得是直线上任意两点的字母，线段用的是两个端点的字母，射线用的是一个端点和任意一点的字母，而直线和线段的两个大写字母没有顺序之分，但射线的两个大写字母有顺序之分，第一个大写字母必须是表示端点.即端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如下图4中射线OA，射线OB是不同的射线；图4端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如下图5中射线OA 、射线OB 、射线OC 都表示同一条射线．（2）表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样．要点三、直线、线段的基本性质1. 直线的性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线.即两点确定一条直线． 要点诠释：（1）点和直线的位置关系有两种：①点在直线上，或者说直线经过这个点.如图6中，点O 在直线l 上，也可以说成是直线l 经过点O ；②点在直线外，或者说直线不经过这个点.如图6中，点P 在直线l 外，也可以说直线l 不经过点P .（2）两条不同的直线相交只有一个交点.2.线段的基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短．如图7所示，在A ，B 两点所连的线中，线段AB 的长度是最短的．要点诠释：（1）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．（2）两条线段可能无公共点，可能有一个公共点，也可能有无穷多个公共点. 要点四、线段的长短比较1. “作一条线段等于已知线段”的两种方法：图7图5法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a．法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段．要点诠释：几何中连结两点，即画出以这两点为端点的线段.2.线段的比较：（1）度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．（2）叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图：要点诠释：类似于数，线段也可以相加减．3.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，点C是线段AB的中点，则12AC CB AB==，或AB＝2AC＝2BC．要点诠释：若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上．【典型例题】类型一、点、线、面、体1．分别指出下列几何体各有多少个面?面与面相交形成的线各有多少条?线与线相交形成的点各有多少个? 如图所示．【答案与解析】解：（1）4个面，6条线，4个顶点；（2）6个面，12条线，8个顶点；（3） 9个面，16条线，9个顶点．【总结升华】(1)数几何体中的点、线、面数时，要按一定顺序数，做到不重不漏．(2)一般地，n棱柱有(n+2)个面(其中2为两个底面)，n棱锥有(n+1)个面(其中1为一个底面)．类型二、线段、射线、直线的概念及表示方法2.下列说法中，正确的是( ) .A．射线OA与射线AO是同一条射线.B．线段AB与线段BA是同一条线段.C．过一点只能画一条直线.D．三条直线两两相交，必有三个交点.【答案】B【解析】射线OA的端点是O，射线AO的端点是A，所以射线OA与射线AO不是同一条射线，故A错误；过一点能画无数条直线，所以C错误；三条直线两两相交，有三个交点或一个交点(三条直线相交于一点时)，所以D错误；线段AB与线段BA是同一条线段，所以B正确．【总结升华】直线和线段用两个大写字母表示时，与字母的前后顺序无关，但射线必须是表示端点的字母写在前面，不能互换．举一反三：【变式1】以下说法中正确的是（）.A．延长线段AB到C B．延长射线ABC．直线AB的端点之一是A D．延长射线OA到C【答案】A【变式2】如图所示，请分别指出图中的线段、射线和直线的条数，并把它们分别表示出来.【答案】解：如下图所示，在直线上点A左侧和点C右侧分别任取点X和Y.图中有6条射线：射线AX、射线AY、射线BX、射线BY、射线CX、射线CY.有3条线段：线段AB(或BA)、线段BC(或CB)、线段AC(或CA)有1条直线：直线AC(或AB，BC).类型三、线段、射线、直线有关作图3．如图所示，线段a，b，且a＞b．用圆规和直尺画线段：(1)a+b；(2)a-b．【答案与解析】解：(1) 画法如图(1)，画直线AF，在直线AF上画线段AB＝a，再在AB的延长线上画线段BC＝b，线段AC就是a与b的和，记作AC＝a+b．(2) 画法如图(2)，画直线AF，在直线AF上画线段AB＝a，再在线段AB上画线段BD＝b，线段AD就是a与b的差，记作AD＝a-b．【总结升华】在画线段时，为使结果更准确，一般用直尺画直线，用圆规量取线段的长度． 举一反三：【变式1】下列语句正确的是( ) .A ．画直线AB ＝10cm. B ．画直线AB 的垂直平分线.C ．画射线OB ＝3cm.D ．延长线段AB 到C 使BC ＝AB. 【答案】D【高清课堂：直线、射线、线段397363 按语句画图3（3）】【变式2】用直尺作图：P 是直线a 外一点，过点P 有一条线段b 与直线a 不相交. 【答案】解：类型四、有关条数及长度的计算4.如图，A 、B 、C 、D 为平面内任意三点都不在同一条直线上的四点，那么过其中两点，可画出 条直线.【思路点拨】根据两点确定一条直线即可计算出直线的条数． 【答案】6条直线【解析】由两点确定一条直线知，点A 与B,C,D 三点各确定一条直线，同理点B 与C 、D 各确定一条直线，C 与D 确定一条直线，综上：共有直线：3+2+1=6（条）.【总结升华】平面上有n 个点，其中任意三点不在一条直线上，则最多确定的直线条数为：(1)123...(1)2n n n -++++-=． 举一反三：【变式1】如图所示，已知线段AB 上有三个定点C 、D 、E ． (1)图中共有几条线段？(2)如果在线段CD 上增加一点，则增加了几条线段？你能从中发现什么规律吗？ 【答案】解：(1)线段的条数：4＋3＋2＋1＝10(条)；(2)如果在线段CD 上增加一点P ，则P 与其它五个点各组成一条线段，因此，增加了5条线段.（注解：若在线段AB 上增加一点，则增加2条线段，此时线段总条数为1＋2；若再增加一点，则又增加了3条线段，此时线段总条数为1＋2＋3；…；当线段AB 上增加到n 个点(即增加n －2个点)时，线段的总条数为1＋2＋……＋(n －1)＝21n(n －1) .）【变式2】如图直线m上有4个点A、B、C、D，则图中共有________条射线．【答案】85. 如图所示，AB＝40，点C为AB的中点，点D为CB上的一点，点E是BD的中点，且EB＝5，求CD的长．【思路点拨】显然CD＝CB－BD，要求CD的长，应先确定CB和BD的长．【答案与解析】解：因为AB＝40，点C为AB的中点，所以11402022CB AB==⨯=．因为点E为BD的中点，EB＝5，所以BD＝2EB＝10．所以CD＝CB-BD＝20-10＝10．【总结升华】求线段的长度，注意围绕线段的和、差、倍、分展开，若每一条线段长度均已确定，所求问题便可迎刃而解．【高清课堂：直线、射线、线段397363画图计算例2】举一反三：【变式】在直线l上按指定方向依次取点A、B、C、D，且使AB：BC：CD=2：3：4，如图所示，若AB的中点M与CD的中点N的距离是15cm，求AB的长.【答案】解：依题意，设AB＝2x cm，那么BC＝3x cm，CD＝4x cm．则有：MN=BM+BC+CN= x+3x+2x=15解得：52 x=所以AB=2x =5252⨯=cm.类型五、最短问题6.如图所示，在一条笔直公路a的两侧，分别有A、B两个村庄，现要在公路a上建一个汽车站C，使汽车站到A、B两村的距离之和最小，问汽车站C的位置应如何确定?【答案与解析】解：如图，连接AB与直线a交于点C，这个点C的位置就是符合条件的汽车站的位置．【总结升华】“两点之间线段最短”在实际生活中有广泛的应用，此类问题要与线段的性质联系起来，这里线段最短是指线段的长度最短，连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，线段是图形，线段长度是数值．举一反三：【变式】 (1)如图1所示，把原来弯曲的河道改直，A、B两地间的河道长度有什么变化?(2)如图2，公园里设计了曲折迂回的桥，这样做对游人观赏湖面风光有什么影响?与修一座直的桥相比，这样做是否增加了游人在桥上行走的路程?说出上述问题中的道理．【答案】解：(1)河道的长度变小了．(2)由于“两点之间，线段最短”，这样做增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏湖面风光，起到“休闲”的作用．。
点线的概念关系
点线的概念关系点和线是几何学中的基本概念，它们之间存在着密切的关系。
在几何学中，点和线是最基本的图形元素，点是没有大小和形状的位置，而线是由无数个点连成的。
首先说一下点的概念。
在几何学中，点是一个没有大小和形状的基本概念，它只有位置的概念。
点通常用大写字母表示，例如A、B、C等。
点可以表示空间中的一个位置，也可以用来表示图形中的一个顶点。
点具有以下特点：1. 点是二维几何图形的基本单位。
所有的几何图形都是由点组成的，线、面、体等几何图形都是由点组成的。
2. 点没有大小和形状。
点只有位置的概念，不涉及大小和形状，因此我们不能用尺子或者其他测量工具来测量点的大小。
3. 点是唯一的。
在同一个坐标系中，两个不同的点是不可重合的，每个点都有一个独特的位置。
4. 点可以通过坐标来表示。
在直角坐标系中，我们可以用一组数值来表示点的位置，例如点A的坐标表示为(Ax, Ay)。
这样，我们就可以用数学的方法来对点进行研究和运算。
接下来说一下线的概念。
在几何学中，线是无数个点连成的，在直角坐标系中，它可以看作是两个点之间的连线。
线由无数个点组成，它是一个无限延伸的二维图形，可以看作是一个零维的图形。
线具有以下特点：1. 线是由无数个点组成的。
线是一个无限集合，是由无数个点连成的。
这些点可以是连续的，也可以是离散的。
2. 线没有宽度和厚度。
线是一个零维的图形，没有宽度和厚度，只有长度。
因此，我们不能用尺子或者其他测量工具来测量线的宽度和厚度。
3. 线可以看作是由两个点之间连线得到的。
在直角坐标系中，我们可以通过两个点的坐标来确定一条直线。
这两个点可以是相邻的点，也可以是离散的点。
4. 线是唯一的。
在同一个坐标系中，两条不同的线是不可重合的，每条线都有一个独特的形状和长度。
点和线之间存在着密切的关系，可以通过线来连接点，也可以通过点来确定线。
具体来说，点可以用来确定线的起点和终点，而线可以用来连接点，将它们组织成复杂的图形。
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4.1cm
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88
数学理论
第二种方法是：叠合法先把两条线段的一端
重合，另一端落在同侧，根据另一端落下的
位置，来比较。
C
D
E
F
M
N
①A
B AB＞CD
②A
B AB=EF
③A
B AB＜MN
数学运用
观察下列三组图形，分别比较线段a、
b的长短 a b （1）
（3）
b
a
线段AB 线段BA
A
B
用小写的一个字母
： 线段a
a
射线的表示法：用大写的两个字母 ：射线 CE ；C E
(其中一个在端点， 另一个在线上任取一点。)
射线 DF
；F
D
直线的表示法： 用大写的(内部)两个字母：
直线 AB ； 直线 BA ；
A
用小写的一个字母 ： (标在所画直线的一旁。 ) 直线 a
（2）
a
b
数学运用
现有一个三边分别为a，b，c的三角形，不
用刻度尺你能否比较它们的大小？
b
a
b
a
c
数学运用
现有一个三边分别为a，b，c的三角形，不
用刻度尺你能否比较他们的大小？
a
b
b
c
数学运用
可用圆规？
画在黑板上的两条线段是无法移动的，在没
有度量工具的情况下，请大家想想办法，如
何来比较它们的长短？
·A
过一点A可以画 无数条直线
数学理论
A
Ｂ
直线的基本性质：
经过两点有一条直线，并且只有一条直线。
简述为：
过两点有且只有一条直线。
或简述为：
两点确定一条直线。
数学运用
1、在下面的图中，你能说出点E、F、G
分别和直线a、b 的位置关系吗?
答:点E 在直线 a上,
也在直线 b上; 点F 在直线 a上,
把线段向两 方无限延长
问题情境、学生活动 指出下图中线段、射线、直线分别有多少条？
A
B
C
答: 有3条线段线段AB、线段AC、线段BC..
有6条射线.
只有一条直线，是直线AB.
点A、点B、点C在直线AB上. 直线AB过点A、点B、点C. 点A、B、C三点共线.
问题情境、学生活动 指出下图中线段、射线、直线分别有多少条？
B a
在射线的表示法中，要注意两点：
①表示端点的字母写在首位；② 两个字母不能调换位置.
数学理论 直线、射线、线段有什么区别与联系
线段
射线
直线
端 点 两个
一个
零个
度量 延伸性
可以
不能无限 延伸
关 系 直线上两点
间部分
不能
向一个方向 无限延伸
把线段向一 方无限延长 直线上一点 一旁部分
不能
向两个方向 无限延伸
C
B
小王的解答是这样的：
解：如图: ∵AC＝BC， ∴AB＝2AC，∴点C是AB的中点
你认为小王的解答全面吗？
如果不全，漏了哪些情况？
答:不全面。漏了一种情况。 （C不在直线AB上。）
数学运用
例1、如图①，AD＝AB－ DB ＝AC＋ CD 。
图①
例2、如图②，下列说法不能判断点C是线段AB
的中点的是（ C ）
点了吗？
A
B
C
定义 把一条线段分成两条相等线段的点,
叫做这条线段的中点.
数量关系: AB + BC=AC
1 AB = BC= AC
2AC=2Aຫໍສະໝຸດ =2BC如上图,若AB=2cm,
则线段AC= 4 cm, 线段BC= 2 cm
数学运用
概念辨析：
“若AC＝BC，则点C是线段AB的中点”这种 说
法对吗？
A
（ A）AC＝CB
（ B）AB＝2AC
（C）AC＋CB＝AB
（ D）2CB＝AB
图② A
C
B
数学运用
例3、AB＝6cm,点C是线段AB的中点，点D是线段 CB的中点,求线段AD的长。
A
C
D
B
解: AC=BC= 1 AB=3cm
2 1 CD= 2 CB= 1.5cm
AD=AC+CD=4.5cm
答：线段AD的长等于4.5cm.
回顾反思
这节课你学会了什么？
1. 如何比较两条线段的大小。 2. 学会画一条线段等于已知线段。 3. 了解两条线段的和与差仍是线段。 4. 学会线段的中点定义及相关计算。
课后作业
同步练习册 课本第150页习题1、2
4.5点与线段
问题情境、学生活动
点———
动 成
线———
动 成
面———
动 成
体———
线与线相交而成 面与面相交而成 把体包围着的部分
物体的图形（立体图形 ）
问题情境、学生活动 生活中有哪些物体可以近似地
说 一 说 看成点、线段、射线、直线？
数学理论
线段的表示法有： 用大写的(端点)两个字母：
可以画一或四或六条直线
图案欣赏
挑战：你能用线段、 射线或直线 创造出美丽 的图案吗？
问题情境、学生活动
你们平时是如何比较两个同学的 身高的？你能从比身高的方法中得 到启示来比较两条线段的长短吗？ 讨论后派一位代表上来说说你们的 想法。
数学理论 线段的比较： 第一种方法是：度量法，即用一把尺量出两 条线段的长度，再进行比较.
连结两点所得线段的长度叫做这两点间的距离 。
问题情境、学生活动
画一画
1.过一点A画一条直线， 请问可以画几条?
2.过两点A、B可以画几条直线？ 请动手试一试。
(1)用一枚图钉把一条硬纸条 钉在书上,纸条还能动吗? (2)钉几枚图钉才能使硬纸条 保持不动?最少钉几枚? (3)由此你可以总结出什么样 的数学事实?
G
在直线 b 外;
E
点G 在直线 a 外,
也在直线 b 外。
a
F
b
2 、如上图，直线 a 与直线 b 相交于__点__E__。
也就是说，直线AB、CD都经过_点__E__。
拓展提高
过同一平面上的三个点中的任两个点,可以画几条直线?
(1) 可以画三条直线 (2) 只能画一条直线 过同一平面上的四个点中的任两个点,可以画几条直线?
数学运用
例4、在一条直线上顺次取A、B、C三点，使 AB=5cm，BC=2cm，并且取线段AC的中点O， 求线段OB的长。
A
OB
C
解：AC=AB+BC=5+2=7cm
AO=OC= 1 AC=3.5cm 2
OB=AB-AO=5-3.5=1.5cm（或OB=OC-BC=3.5-2=1.5cm）
答：线段OB的长等于1.5cm.
A
BC D
答: 有6条线段。
有4条射线。 只有一条直线，是直线AB。
思考：若直线上有n 个点，则有多少条 线段，多少条射线？
问题情境、学生活动 两只非洲豹 同时、同地、同速, 扑向猎物，到达的时间 却不一样
结论: 两点间线段最短 生活中运用 “两点间线段 最短”的事例，你能列举吗？
数学理论
A
Ｂ
线段公理:两点之间,线段最短
① 观察法
② 借助于某一物体，如铅笔、小木棒等
数学运用
已知线段a（如图所示），用直尺和圆规
画出一条线段，使它等于已知线段a。
画法：
a
1. 任意画一条射线AC.
2. 用圆规量取已知线段a
的长度．
A
a
B
C
3. 在射线AC上截取AB=a.
∴线段AB就是所求的线段a.
数学理论
A
B
线段AC的中点
C
D
你记住什么 是线段的中