2015-2016年吉林省长春十一中高二(下)期中数学试卷(文科)和答案

2015-2016学年吉林省长春十一中高二（下）期中数学试卷（文
科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A={0，1，2}，B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}，则B=（）A．{0，1，2，3，4}B．{0，1，2}C．{0，2，4}
D．{1，2}
2．（5分）若复数z=1+i，i为虚数单位，则（1+z）•z=（）
A．1+3i B．3+3i C．3﹣i D．3
3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）
A．2B．4C．8D．16
4．（5分）函数y=的值域是（）
A．R B．[，+∞）C．（2，+∞）D．（0，+∞）5．（5分）为了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则抽取得学生人数为（）
A．46B．48C．50D．60
6．（5分）已知函数f（x）=（m+2）x2+mx+1为偶函数，则f（x）在区间（1，+∞）上是（）
A．先增后减B．先减后增C．减函数D．增函数
7．（5分）同时投掷两个骰子，则向上的点数之差的绝对值为4的概率是（）
A．B．C．D．
8．（5分）如表是某厂1﹣4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图
可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣
0.7x+，则=（）
A．10.5B．5.15C．5.25D．5.2
9．（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）
A．方程x2+ax+b=0没有实根
B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根
C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根
D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根
10．（5分）在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为（）
A．B．C．D．
11．（5分）若a＞b＞1，P=，Q=（lga+lgb），R=lg，则（）A．R＜P＜Q B．P＜Q＜R C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q
12．（5分）已知f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＜﹣xf′（x），则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知A⊆{1，2，3，4}，且A中至少有一个偶数，则这样的A有个．14．（5分）某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为的学生．
15．（5分）若不等式2x2+ax+b＜0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则a=．16．（5分）已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）=．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
17．（10分）已知函数f（x）=sin22x+sin2x•cos2x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[，]，且f（x）=1，求x的值．
18．（12分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，a1=1，公比为q；等差数列{b n}中，b1=3，且{b n}的前n项和为S n，a3+S3=27，q=．
（Ⅰ）求{a n}与{b n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c n}满足c n=，求{c n}的前n项和T n．
19．（12分）已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．
（1）解不等式|g（x）|＜5；
（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．
20．（12分）大家知道，莫言是中国首位获得诺贝尔奖的文学家，国人欢欣鼓舞．某高校文学社从男女生中各抽取50名同学调查对莫言作品的了解程度，结果如表：
（Ⅰ）试估计该校学生阅读莫言作品超过50篇的概率；
（Ⅱ）对莫言作品阅读超过75篇的则称为“对莫言作品非常了解”，否则为“一般了解”．根据题意完成如表，并判断能否有75%的把握认为对莫言作品的非常了解与性别有关？
附：K2=
21．（12分）已知椭圆的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），
且经过点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，问在椭圆C上是否存在一点M，使四边形AMBF2为平行四边形，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
22．（12分）已知函数f（x）=x2+2x+alnx（a∈R）．
（1）当时a=﹣4时，求f（x）的最小值；
（2）若函数f（x）在区间（0，1）上为单调函数，求实数a的取值范围．
2015-2016学年吉林省长春十一中高二（下）期中数学试
卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A={0，1，2}，B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}，则B=（）A．{0，1，2，3，4}B．{0，1，2}C．{0，2，4}
D．{1，2}
【解答】解：∵A={0，1，2}，B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}，
①当x=0，y=0；x=1，y=1；x=2，y=2时，x+y=0，2，4，
②当x=0，y=1；x=1，y=2时，x+y=1，3，
③当x=1，y=0；x=2，y=1时，x+y=1，3，
④当x=0，y=2时，x+y=2，
⑤当x=2，y=0时，x+y=2，
综上，集合B中元素有：{0，1，2，3，4}．
故选：A．
2．（5分）若复数z=1+i，i为虚数单位，则（1+z）•z=（）
A．1+3i B．3+3i C．3﹣i D．3
【解答】解：∵复数z=1+i，i为虚数单位，则（1+z）•z=（2+i）（1+i）=1+3i
故选：A．
3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）
A．2B．4C．8D．16
【解答】解：第1次判断后S=1，k=1，
第2次判断后S=2，k=2，
第3次判断后S=8，k=3，
第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8．
故选：C．
4．（5分）函数y=的值域是（）
A．R B．[，+∞）C．（2，+∞）D．（0，+∞）
【解答】解：令t=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，则y=．
由于t≤1，∴y≥=，
故选：B．
5．（5分）为了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则抽取得学生人数为（）
A．46B．48C．50D．60
【解答】解：设报考飞行员的人数为n，根据前3个小组的频率之比为1：2：3，可设前三小组的频率分别为x，2x，3x；
由题意可知所求频率和为1，即x+2x+3x+（0.0375+0.0125）×5=1
解得2x=0.25
则0.25=，解得n=48．
∴抽取的学生数为48．
故选：B．
6．（5分）已知函数f（x）=（m+2）x2+mx+1为偶函数，则f（x）在区间（1，+∞）上是（）
A．先增后减B．先减后增C．减函数D．增函数
【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴m=0，即f（x）=2x2+1，∴f（x）的图象开口向上，
∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．
故选：D．
7．（5分）同时投掷两个骰子，则向上的点数之差的绝对值为4的概率是（）
A．B．C．D．
【解答】解：同时投掷两个骰子的基本事件共有6×6=36个，
点数之差的绝对值为4的时间有：
（1，5），（2，6），（5，1），（6，2），
∴向上的点数之差的绝对值为4的概率是．
故选：C．
8．（5分）如表是某厂1﹣4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图
可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣
0.7x+，则=（）
A．10.5B．5.15C．5.25D．5.2
【解答】解：=，=3.5．
∴3.5=﹣0.7×2.5+，解得=5.25．
故选：C．
9．（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）
A．方程x2+ax+b=0没有实根
B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根
C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根
D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根
【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，
∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2+ax+b=0没有实根．
故选：A．
10．（5分）在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，
即x∈[﹣1，1]时，要使的值介于0到之间，
需使或
∴或，区间长度为，
由几何概型知的值介于0到之间的概率为．
故选：A．
11．（5分）若a＞b＞1，P=，Q=（lga+lgb），R=lg，则（）A．R＜P＜Q B．P＜Q＜R C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q
【解答】解：由平均不等式知．
同理．
故选：B．
12．（5分）已知f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＜﹣xf′（x），则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）
【解答】解：设g（x）=xf（x），则g'（x）=[xf（x）]'=x'f（x）+xf'（x）=xf′（x）+f（x）＜0，
∴函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，
∵f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1），x∈（0，+∞），
∴（x+1）f（x+1）＞（x+1）（x﹣1）f（x2﹣1），
∴（x+1）f（x+1）＞（x2﹣1）f（x2﹣1），
∴g（x+1）＞g（x2﹣1），
∴x+1＜x2﹣1，
解得x＞2．
故选：D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知A⊆{1，2，3，4}，且A中至少有一个偶数，则这样的A有12个．
【解答】解：{1，2，3，4}的所有子集，共有24=16个，不含偶数的子集共有22=4个，
所以A中至少有一个偶数的集合A共有16﹣4=12个
故答案为：12．
14．（5分）某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学
生，则在第八组中抽得号码为37的学生．
【解答】解：这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，
在第三组中抽得号码为12的学生，
则在第八组中抽得号码为12+（8﹣3）×5=37．
故答案为：37．
15．（5分）若不等式2x2+ax+b＜0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则a=2．
【解答】解：由题意不等式2x2+ax+b＜0的解集是{x|﹣3＜x＜2}，
所以﹣3和2是方程2x2+ax+b=0的两个根，
所以﹣3+2=﹣，
解得a=2．
故答案为：2．
16．（5分）已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）=﹣4．
【解答】解：由f（x）=x2+2xf′（1），
得：f′（x）=2x+2f′（1），
取x=1得：f′（1）=2×1+2f′（1），
所以，f′（1）=﹣2．
故f′（0）=2f′（1）=﹣4，
故答案为：﹣4．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
17．（10分）已知函数f（x）=sin22x+sin2x•cos2x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[，]，且f（x）=1，求x的值．
【解答】解：（1）=…（2分）=．…（4分）
因为，所以f（x）的最小正周期是．…（6分）
（2）由（1）得，．
因为f（x）=1，所以…（7分）
而，所以，…（10分）
所以…（12分）
18．（12分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，a1=1，公比为q；等差数列{b n}中，b1=3，且{b n}的前n项和为S n，a3+S3=27，q=．
（Ⅰ）求{a n}与{b n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c n}满足c n=，求{c n}的前n项和T n．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{b n}的公差为d，
∵，
∴，
解得；…（4分）
∴{a n}的通项公式为a n=3n﹣1，
{b n}的通项公式为b n=3n…（6分）
（Ⅱ）由题意得：S n=，…（8分）
∴数列{c n}的通项公式为
c n==••=3（﹣），…（10分）
∴{c n}的前n项和为
T n=3[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=…（12分）
19．（12分）已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．
（1）解不等式|g（x）|＜5；
（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由||x ﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x ﹣1|+2＜5 ∴﹣7＜|x ﹣1|＜3，
得不等式的解为﹣2＜x ＜4…（5分）
（2）因为任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f （x 1）=g （x 2）成立， 所以{y|y=f （x ）}⊆{y|y=g （x ）}，
又f （x ）=|2x ﹣a|+|2x+3|≥|（2x ﹣a ）﹣（2x+3）|=|a+3|， g （x ）=|x ﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a ≥﹣1或a ≤﹣5， 所以实数a 的取值范围为a ≥﹣1或a ≤﹣5．…（10分）
20．（12分）大家知道，莫言是中国首位获得诺贝尔奖的文学家，国人欢欣鼓舞．某高校文学社从男女生中各抽取50名同学调查对莫言作品的了解程度，结果如表：
（Ⅰ）试估计该校学生阅读莫言作品超过50篇的概率；
（Ⅱ）对莫言作品阅读超过75篇的则称为“对莫言作品非常了解”，否则为“一般了解”．根据题意完成如表，并判断能否有75%的把握认为对莫言作品的非常了解与性别有关？
附：K 2=
【解答】解：（Ⅰ）由抽样调查阅读莫言作品在50篇以上的频率为
，
据此估计该校学生阅读莫言作品超过50篇的概率约为P=…..（5分）（Ⅱ）
…..（8分）
根据列联表数据得，
所以没有75%的把握认为对莫言作品的非常了解与性别有关．…..（12分）
21．（12分）已知椭圆的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），且经过点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，问在椭圆C上是否存在一点M，使四边形AMBF2为平行四边形，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），且经过点．
∴，解得，
∴椭圆C的方程为．
（Ⅱ）假设存在符合条件的点M（x0，y0），
设直线l的方程为x=my﹣1，
由得：（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，
△=36m2+36（3m2+4）＞0，
∴，
∴AB的中点为，
∵四边形AMBF2为平行四边形，∴AB与MF2的中点重合，即：
∴，
把点M坐标代入椭圆C的方程得：27m4﹣24m2﹣80=0
解得，
∴存在符合条件的直线l的方程为：．
22．（12分）已知函数f（x）=x2+2x+alnx（a∈R）．
（1）当时a=﹣4时，求f（x）的最小值；
（2）若函数f（x）在区间（0，1）上为单调函数，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣4时，f（x）=x2+2x﹣4lnx，x＞0
，
令f′（x）=0，得x=﹣2（舍），或x=1，
列表，得
∴f（x）的极小值f（1）=1+2﹣4ln1=3，
∵f（x）=x2+2x﹣4lnx，x＞0只有一个极小值，
∴当x=1时，函数f（x）取最小值3．
（2）∵f（x）=x2+2x+alnx（a∈R），
∴，（x＞0），
设g（x）=2x2+2x+a，
∵函数f（x）在区间（0，1）上为单调函数，∴g（0）≥0，或g（1）≤0，
∴a≥0，或2+2+a≤0，
∴实数a的取值范围是{a|a≥0，或a≤﹣4}．。