文科 经管类 微积分 第五章
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上页下页结束返回首页52上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页一不定积分的性质性质1函数的和的不定积分等于各个函数的不定积上页下页结束返回首页一不定积分的性质函数的和的形式该性质可推广至有限个性质1函数的和的不定积分等各个函数的不定积分上页下页结束返回首页性质2求不定积分时被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来dxkfdxdx上页下页结束返回首页dxxdxdx上页下页结束返回首页dxdxdxln6ln9上页下页结束返回首页当被积函数可化成幂函数时都要先把它化成幂函数的形式
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dF( x) F ( x) C
•原函数的概念：F (x)f(x) 例3.
f x dx F x C
设函数 f x 在 , 内连续且满足
解：
f x dx x sin 2 x x 2 C.
可以符号化地写为：
3 x dx x C
2
3
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•原函数的概念：F (x)f(x)
f x dx F x C
例1 因为sin x 是cos x 的原函数 所以
cos xdx sin x C
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cos udu sin u C
xx xx (4) e dx e C (4) e dx e C
x a C (5) a x dx ln a
(6) cos xdx sin x C (7) sin xdx cos x C
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1 2 dx sec xdx tan x C (8) 2 cos x 1 2 dx csc xdx cot x C (9) 2 sin x 1 dx arctan x C (10) 2 1 x 1 dx arcsin x C (11) 1 x2 (12) sec x tan xdx sec x C
提问: cos x 和
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1 2 x
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还有其它原函数吗？
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问题1： 若原函数存在, 是否唯一？
若 F ( x ) f ( x ), 则[ F ( x ) C ] f ( x ) 即若 F ( x ) 是 f ( x ) 的原函数，则 F ( x ) C 亦是 .
问题2： f ( x) 的 任意 两个原函数，有什么关系？
设 F ( x ) f ( x ), G( x ) f ( x )
G( x ) F ( x ) 0 G( x ) F ( x )
G( x ) F ( x ) C , 即 G( x ) F ( x ) C
因此
f 1 , 2 4
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f 2 . 4
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例3 设曲线通过点(1 2) 且其上任一点处的切线斜 率等于这点横坐标的两倍 求此曲线的方程 解: 设所求的曲线方程为yf(x) 则曲线上任一点(x y) y 处, 切线斜率为 yf (x)2x 即f(x)是2x 的一个原函数
x 例 例5 6. 6. x
2 2
例 6
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x xx x xdx dx x x dx dx 5 5 7 1 1 7 2 2 3 1 1 4 4 2 4 4 x xdx x x dx x dx x C
5 5 2 2
1 12
7 5 55 1 11 2 22 2
(13) csc x cot dx csc x C
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1 x 1 C (2) x dx 1
1 1 1 2 3 31 x C 例4 5. x2 C C. 3 dx x dx 3 1 x x 2 1 1 1 1 2 1 1 33 33 11 x x dx xx dx dx x C C C 22 C C 例 例 5. 5. 4 33dx 2 3 3 1 1 xx 2 2x x
•原函数的概念 如果对 x I , 都有F ' ( x ) f ( x ), 那么
F ( x )就称为f ( x )在区间I内原函数 .
•原函数举例 因为(sin x)cos x 所以sin x是cos x的原函数
1 1 1 1 x是 x)) 因为(( x 所以 x 是 的原函数 因为 所以 的原函数 2 x x 2 x x 2 2
2 2 33 C C x x x x C C C 7 7
7
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•原函数的概念：F (x)f(x)
d [ f ( x ) dx] f ( x ) dx
f x dx F x C
因为 F ( x) f ( x), 从不定积分的定义可知
合并上面两式 得到
1 x dx ln | x | C (x0)
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•原函数的概念：F (x)f(x)
f x dx F x C
每一个求导 公式, 反过 来就是一个 求原函数的 公式, 加上 积分常数C 就成为一个 求不定积分 的公式.
f ( x ) 2 x ,
因为
2 2 xdx x C
yx2+1 yx2 yx2－1
即曲线方程为 yx2C 因所求曲线通过点(1 2) 故 21C C1 于是所求曲线方程为yx21
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作业 P201
1.~6.
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习惯上 , 称求已知函数 f ( x) 的全部原函数的过程 , 为求函数 f ( x) 的不定积分 .
例如：
( x 2 ) 2 x, (sin x) cos x,
2 2 x d x x C;
cos x d x sin x C;
1 x d x ln | x | C.
注1.求不定积分先求被积函数的一个原函数. 注2.不定积分是全体原函数的一般表达式.最后结果中不要忘记 积分常数C.
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•原函数的概念：F (x)f(x)
f x dx F x C
例 求下列不定积分
(1) sin xdx
解
sin xdx cos x C
f ( x)dx
结论: 若F(x)是函数ƒ(x)的一个原函数, 则 f ( x)dx F ( x) C. 从而函数ƒ(x)的不定积分等于它的一个原函数加上一个任 意常数C, 并称C为积分常数.
cos xdx sin x C.
求不定积分是求导的逆 运算.
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f(( x ) dx g g ( x ) dx ] [[ff(( x ) dx ] [[g g ( x ) dx ] [[ f x ) dx ( x ) dx ] x ) dx ] ( x ) dx ]
1 (ln | x |) , x
求不定积分是求导的逆 运算.
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二、基本积分表
(1) kdx kx C (k 是常数)
1 x 1 C (2) x dx 1
0 dx C,
1 (3) dx ln | x | C x
因为
2 2 xdx x C
x
故必有某个常数C使 f(x)x2C 即曲线方程为 yx2C 因所求曲线通过点(1 2) 故 21C C1 于是所求曲线方程为yx21
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例3 设曲线通过点(1 2) 且其上任一点处的切线斜 2 2 xdx x 率等于这点横坐标的两倍 求此曲线的方程 C 解: 设所求的曲线方程为yf(x) 则曲线上任一点(x y)处 , 切线斜率为
•原函数的概念：F (x)f(x)
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f x dx F x C
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一、不定积分的性质
性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分 的和 即 [ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx
这是因为,
f 试求 , f . 4 4
f x x sin 2 x x2 C sin 2x 2x cos 2x 2x,
2cos 2 x 2cos 2 x 4 x sin 2 x 2,
f x sin 2 x 2 x cos 2 x 2 x
(2) 2 xdx
解
2xdx x
5
2
C
(3) x dx
5
1 6 解 x dx x C 6
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•原函数的概念：F (x)f(x)
f x dx F x C
1 例 例2. 2 求函数 f ( x ) 的不定积分 x 1 解: 解：当 x>0 时 (ln x) x 1 x dx ln x C (x>0) 1 1 ( 1) 当 x<0 时 [ln(x)] x x 1 x dx ln( x) C (x<0)
•不定积分的概念
定义 函数ƒ(x)的全体原函数称为ƒ(x)的不定积分，记为
f ( x)dx
不定积分中各部分的名称:
------ 称为积分号
f(x) ------ 称为被积函数 f(x)dx ------ 称为被积表达式 x ------ 称为积分变量 根据上面规定的记号， 求f(x)=3x2 的不定积分的问题就
结论 :
若 F ( x ) f ( x ),
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则 f ( x ) 的 原函数都可用F ( x ) C 表示
•原函数的概念 F (x)f(x) 那么函数F(x)就称为f(x)在区间I上的原函数 •不定积分的概念 定义 函数ƒ(x)的全体原函数称为ƒ(x)的不定积分，记为
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•原函数的概念：F (x)f(x)
f x dx F x C
例1 因为sin x 是cos x 的原函数 所以
cos xdx sin x C
因为 x 是
1 2 x
的原函数 所以
2
1 x
dx x C
1 1 1 1 1 2 2 x x x 2 x 2
这是因为,
f(( x ) dx g g ( x ) dx ] [[ff(( x ) dx ] [[g g ( x ) dx ] [[ f x ) dx ( x ) dx ] x ) dx ] ( x ) dx ]
f(x)g(x)
或
d [ f ( x)dx] f ( x)dx
微分与积分的关系
又由于F(x)是F (x)的原函数 所以
F ( x)dx F ( x) C
或记作
cos xdx sin x C
dx sin x C si n x
由此可见 如果不计任意常数, 则求导(微分)运算与 求不定积分的运算是互逆的 脱衣服，穿衣服。
结束
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高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 微积分
第二十六讲 不定积分的运算法则
脚本编写：
教案制作：
§5.2 不定积分的运算法则
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一、不定积分的性质
性质1 函数的和的不定积分等于各个函数的不定积 分的和 即
[ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx
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第二十五讲 不定积分的概念
脚本编写：
教案制作：
§５. 1 不定积分的概念
一、原函数与不定积分的概念
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微分法:
F ( x) ( ? )
( ? ) f ( x)
积分法:
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dF( x) F ( x) C
•原函数的概念：F (x)f(x) 例3.
f x dx F x C
设函数 f x 在 , 内连续且满足
解：
f x dx x sin 2 x x 2 C.
可以符号化地写为：
3 x dx x C
2
3
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•原函数的概念：F (x)f(x)
f x dx F x C
例1 因为sin x 是cos x 的原函数 所以
cos xdx sin x C
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cos udu sin u C
xx xx (4) e dx e C (4) e dx e C
x a C (5) a x dx ln a
(6) cos xdx sin x C (7) sin xdx cos x C
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1 2 dx sec xdx tan x C (8) 2 cos x 1 2 dx csc xdx cot x C (9) 2 sin x 1 dx arctan x C (10) 2 1 x 1 dx arcsin x C (11) 1 x2 (12) sec x tan xdx sec x C
提问: cos x 和
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1 2 x
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还有其它原函数吗？
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问题1： 若原函数存在, 是否唯一？
若 F ( x ) f ( x ), 则[ F ( x ) C ] f ( x ) 即若 F ( x ) 是 f ( x ) 的原函数，则 F ( x ) C 亦是 .
问题2： f ( x) 的 任意 两个原函数，有什么关系？
设 F ( x ) f ( x ), G( x ) f ( x )
G( x ) F ( x ) 0 G( x ) F ( x )
G( x ) F ( x ) C , 即 G( x ) F ( x ) C
因此
f 1 , 2 4
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f 2 . 4
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例3 设曲线通过点(1 2) 且其上任一点处的切线斜 率等于这点横坐标的两倍 求此曲线的方程 解: 设所求的曲线方程为yf(x) 则曲线上任一点(x y) y 处, 切线斜率为 yf (x)2x 即f(x)是2x 的一个原函数
x 例 例5 6. 6. x
2 2
例 6
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x xx x xdx dx x x dx dx 5 5 7 1 1 7 2 2 3 1 1 4 4 2 4 4 x xdx x x dx x dx x C
5 5 2 2
1 12
7 5 55 1 11 2 22 2
(13) csc x cot dx csc x C
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1 x 1 C (2) x dx 1
1 1 1 2 3 31 x C 例4 5. x2 C C. 3 dx x dx 3 1 x x 2 1 1 1 1 2 1 1 33 33 11 x x dx xx dx dx x C C C 22 C C 例 例 5. 5. 4 33dx 2 3 3 1 1 xx 2 2x x
•原函数的概念 如果对 x I , 都有F ' ( x ) f ( x ), 那么
F ( x )就称为f ( x )在区间I内原函数 .
•原函数举例 因为(sin x)cos x 所以sin x是cos x的原函数
1 1 1 1 x是 x)) 因为(( x 所以 x 是 的原函数 因为 所以 的原函数 2 x x 2 x x 2 2
2 2 33 C C x x x x C C C 7 7
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•原函数的概念：F (x)f(x)
d [ f ( x ) dx] f ( x ) dx
f x dx F x C
因为 F ( x) f ( x), 从不定积分的定义可知
合并上面两式 得到
1 x dx ln | x | C (x0)
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•原函数的概念：F (x)f(x)
f x dx F x C
每一个求导 公式, 反过 来就是一个 求原函数的 公式, 加上 积分常数C 就成为一个 求不定积分 的公式.
f ( x ) 2 x ,
因为
2 2 xdx x C
yx2+1 yx2 yx2－1
即曲线方程为 yx2C 因所求曲线通过点(1 2) 故 21C C1 于是所求曲线方程为yx21
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1.~6.
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习惯上 , 称求已知函数 f ( x) 的全部原函数的过程 , 为求函数 f ( x) 的不定积分 .
例如：
( x 2 ) 2 x, (sin x) cos x,
2 2 x d x x C;
cos x d x sin x C;
1 x d x ln | x | C.
注1.求不定积分先求被积函数的一个原函数. 注2.不定积分是全体原函数的一般表达式.最后结果中不要忘记 积分常数C.
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•原函数的概念：F (x)f(x)
f x dx F x C
例 求下列不定积分
(1) sin xdx
解
sin xdx cos x C
f ( x)dx
结论: 若F(x)是函数ƒ(x)的一个原函数, 则 f ( x)dx F ( x) C. 从而函数ƒ(x)的不定积分等于它的一个原函数加上一个任 意常数C, 并称C为积分常数.
cos xdx sin x C.
求不定积分是求导的逆 运算.
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f(( x ) dx g g ( x ) dx ] [[ff(( x ) dx ] [[g g ( x ) dx ] [[ f x ) dx ( x ) dx ] x ) dx ] ( x ) dx ]
1 (ln | x |) , x
求不定积分是求导的逆 运算.
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二、基本积分表
(1) kdx kx C (k 是常数)
1 x 1 C (2) x dx 1
0 dx C,
1 (3) dx ln | x | C x
因为
2 2 xdx x C
x
故必有某个常数C使 f(x)x2C 即曲线方程为 yx2C 因所求曲线通过点(1 2) 故 21C C1 于是所求曲线方程为yx21
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例3 设曲线通过点(1 2) 且其上任一点处的切线斜 2 2 xdx x 率等于这点横坐标的两倍 求此曲线的方程 C 解: 设所求的曲线方程为yf(x) 则曲线上任一点(x y)处 , 切线斜率为
•原函数的概念：F (x)f(x)
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f x dx F x C
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一、不定积分的性质
性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分 的和 即 [ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx
这是因为,
f 试求 , f . 4 4
f x x sin 2 x x2 C sin 2x 2x cos 2x 2x,
2cos 2 x 2cos 2 x 4 x sin 2 x 2,
f x sin 2 x 2 x cos 2 x 2 x
(2) 2 xdx
解
2xdx x
5
2
C
(3) x dx
5
1 6 解 x dx x C 6
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•原函数的概念：F (x)f(x)
f x dx F x C
1 例 例2. 2 求函数 f ( x ) 的不定积分 x 1 解: 解：当 x>0 时 (ln x) x 1 x dx ln x C (x>0) 1 1 ( 1) 当 x<0 时 [ln(x)] x x 1 x dx ln( x) C (x<0)
•不定积分的概念
定义 函数ƒ(x)的全体原函数称为ƒ(x)的不定积分，记为
f ( x)dx
不定积分中各部分的名称:
------ 称为积分号
f(x) ------ 称为被积函数 f(x)dx ------ 称为被积表达式 x ------ 称为积分变量 根据上面规定的记号， 求f(x)=3x2 的不定积分的问题就
结论 :
若 F ( x ) f ( x ),
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则 f ( x ) 的 原函数都可用F ( x ) C 表示
•原函数的概念 F (x)f(x) 那么函数F(x)就称为f(x)在区间I上的原函数 •不定积分的概念 定义 函数ƒ(x)的全体原函数称为ƒ(x)的不定积分，记为
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•原函数的概念：F (x)f(x)
f x dx F x C
例1 因为sin x 是cos x 的原函数 所以
cos xdx sin x C
因为 x 是
1 2 x
的原函数 所以
2
1 x
dx x C
1 1 1 1 1 2 2 x x x 2 x 2
这是因为,
f(( x ) dx g g ( x ) dx ] [[ff(( x ) dx ] [[g g ( x ) dx ] [[ f x ) dx ( x ) dx ] x ) dx ] ( x ) dx ]
f(x)g(x)
或
d [ f ( x)dx] f ( x)dx
微分与积分的关系
又由于F(x)是F (x)的原函数 所以
F ( x)dx F ( x) C
或记作
cos xdx sin x C
dx sin x C si n x
由此可见 如果不计任意常数, 则求导(微分)运算与 求不定积分的运算是互逆的 脱衣服，穿衣服。
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第二十六讲 不定积分的运算法则
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性质1 函数的和的不定积分等于各个函数的不定积 分的和 即
[ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx
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第二十五讲 不定积分的概念
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§５. 1 不定积分的概念
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( ? ) f ( x)
积分法:
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