湖南师范大学附属中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题(解析版)

湖南师大附中2022-2023学年度高一第一学期第一次大练习
数 学
时量：120分钟 满分：150分
得分：
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．若a ，b ，c ，d 为集合A 的四个元素，则以a ，b ，c ，d 为边长构成的四边形可能是（ ） A ．矩形 B ．平行四边形 C ．菱形 D ．梯形 【分析】利用集合中元素的互异性，直接判断选项多边形的边长构成的集合的元素个数即可得到结果．
【解析】解：因为集合中的元素是互异的，也是无序的，所以平行四边形的边长构成的集合只有2个元素；
菱形的边长构成的集合只有1个元素；矩形的边长构成的集合只有2个元素； 满足题意的可能是梯形． 故选：D ．
2．集合{}24A x x =≤<，{}
3782B x x x =-≥-，则A B =（ ）
A ．{}
34x x ≤<
B ．{}
2x x ≥
C ．{}
14x x ≤<
D ．{}
3x x ≥
【分析】先分别求出集合A ，B ，由此能求出A B ．
【解析】解：集合{|24}A x x =<， {|3782}{|3}B x x x x x =--=， {|34}A
B x x ∴=<．
故选：A ．
3．下列各式正确的个数是（ ） ①{}{}00,1,2∈； ①{}{}0,1,22,1,0⊆； ①{}0,1,2∅⊆；
①{}0∅=；
①{}(){}0,10,1=
；
①{}00=．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【分析】利用集合之间的关系是包含与不包含、元素与集合之间的关系是属于与不属于的关系及其∅的意义即可判断出正误． 【解析】解：①集合之间的关系是包含与不包含，因此{0}{0∈，1，2}，不正确，应该为{0}{0，1，2}；
②{0，1，2}{2⊆，1，0}，正确； ③{0∅⊆，1，2}，正确； ④∅不含有元素，因此{0}∅
；
⑤{0，1}与{(0,1)}的元素形式不一样，因此不正确；
⑥元素与集合之间的关系是属于与不属于的关系，应该为0{0}∈，因此不正确． 综上只有：②，③正确． 故选：B ．
4．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题正确的是（ ） A ．若a b >，则2
2
ac bc > B ．若
a b
c c
>，则a b > C ．若3
3
a b >且0ab <，则
11a b
> D ．若2
2
a b >且0ab >，则
11a b
> 【分析】根据不等式的性质，对A 、B 、C 、D 四个选项通过举反例进行一一验证． 【解析】解：A ．若a b >，则22ac bc >（错)，若0c =，则A 不成立；
B ．若
a b
c c
>，则a b >（错)，若0c <，则B 不成立； C ．若33a b >且0ab <，则11
a b >（对)，若33a b >且0ab <，则00a b >⎧⎨>⎩
D ．若22
a b >且0ab >，则
11a b >（错)，若00
a b >⎧⎨
>⎩，则11
a b <，∴D 不成立． 故选：C ．
5．已知命题“[]01,1x ∃∈-，20030x x a -++>”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．9
4
a >-
B ．4a >
C ．24a -<<
D ．2a >-
【分析】命题“0[1x ∃∈-，1]，2
030x x a -++>”为真命题 等价于23a x x >-在[1x ∈-，1]上有解，构造函数2()3f x x x =-求最大值代入极即可．
【解析】解：命题“0[1x ∃∈-，1]，2
030x x a -++>”为真命题 等价于23a x x >-在[1x ∈-，1]上有解，
令2()3f x x x =-，[1x ∈-，1]，则等价于()min a f x f >=（1）2=-，2a ∴>-， 故选：D ．
6．不等式
02
x
x <-成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．02x << B ．01x << C ．13x << D ．1x ≥-
【分析】求出不等式02
x
x <-的解集，根据题意判断符合条件的选项即可．
【解析】解：解不等式02
x
x <-等价于解(2)0x x -<得，02x <<，
∵{}{}021x x x x <<≥-
所以选项A 是充要条件，选项B 是充分不必要条件，
选项C 是必要不充分条件，选项D 是既不充分也不必要条件． 故选：D ． 7．若不等式11014m x x +-≥-对104x x x ⎧
⎫∈<<⎨⎬⎩⎭
恒成立，
则实数m 的最大值为（ ） A ．7
B ．8
C ．9
D ．10 【分析】根据题意，由基本不等式的性质分析可得11
14x x
+-的最小值为9，据此分析可得
答案．
【解析】解：根据题意，1
(0,)4
x ∈，则140x ->，
则
1141414(14)44(1[4(14)]()552914414414414x x x x x x x x x x x x -+=+=+-+=+++⨯----，
当且仅当142x x -=时等号成立， 则1114x x
+-的最小值为9， 若不等式11
014m x x
+--对1(0,)4x ∈恒成立，
即式1114m x x +-恒成立，必有9m 恒成立， 故实数m 的最大值为9；
故选：C ．
8．在R 上定义运算：()1a b a b ⊕=+．已知12x ≤≤时，存在x 使不等式
()()4m x m x -⊕+<成立，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．{}22m m -<<
B ．{}12m m -<<
C ．{}32m m -<<
D ．{}
12m m << 【分析】由a ⊕b 的定义，化简可得当12x 时，存在x 使不等式224m m x x +<-+成立，由二次函数的最值求法可得24x x -+在[1，2]的最大值，再由二次不等式的解法，可得所求范围．
【解析】解：()m x -⊕()4m x +<，即为22(1)()4m x m x m x m x -++=-++<， 当12x 时，存在x 使不等式224m m x x +<-+成立，
等价为22(4)max m m x x +<-+，
由22115
4()24
x x x -+=-+，可得2x =时，24x x -+取得最大值，且为6，
所以2
6m m +<，解得32m -<<， 故选：C ．
二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知集合A ={1，2，2
a }，B ={1，2a +}，若B A ⊆，则a 的可能取值为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【分析】利用集合交集的定义，得到B A ⊆，再利用子集的定义求解即可． 【解析】解：因为B A ⊆，
又集合{1A =，2，2}a ，{1B =，2}a +， 所以22a +=或22a a +=， 解得0a =或2a =或1a =-， 当1a =-时，不满足集合的互异性， 所以0a =或2a =． 故选：BD ． 10．若0a b <<，11
0c d
<<，则下面四个不等式成立的有（ ） A ．
11a b
> B ．c d > C ．a b c d > D ．a b
a c
b d
>
++ 【分析】利用不等式的性质求解即可． 【解析】由0a b <<可得0a b >>，∴
11
a b
>，故A 正确； 由110c d <<可得110
c d >>，且0d c <<，∴c d <，故B 不正确； 由于a a b b c c d d =>=，∴a b
c d >，故C 正确； 由于
()()a b
a b d b a c ad bc a c b d
>⇔+>+⇔>++，且ad ad bc bc =>=，故D 正确；
故选：ACD ．
11．下列说法正确的有（ ）
A ．命题“若3x >，则2
9x >”的否定是“若3x >，则2
9x ≤”
B ．命题“x M ∃∈，()p x ⌝”的否定是“x M ∀∈，()p x ”
C ．命题“0x ∃∈R ，()2
00310a x ax -+->”是假命题，则实数a 的取值范围为
{}62a a -≤≤
D ．命题“x ∀∈R ，2
2
1m m x x -<++”是真命题，则实数m 的取值范围为
1322m m ⎧⎫
-<<⎨
⎬⎩⎭
【分析】直接利用命题的否定，命题真假的判定，集合间的关系判断A 、B 、C 、D 的结论．
【解析】命题“若3x >，则2
9x >”为全称量词命题，它的否定为存在量词命题“3x ∃>，则2
9x ≤，故A 不正确；
命题“x M ∃∈，()p x ⌝”的否定是“x M ∀∈，()p x ”，故B 正确；
“0x ∃∈R ，()200310a x ax -+->”是假命题，则它的否定“x ∀∈R ，
()2310a x ax -+-≤”是真命题，则有30a -<，()200310a x ax -+->且△
()2430a a =+-≤，解得62a -≤≤，故C 正确；
“x ∀∈R ，2
2
1m m x x -<++”是真命题，则(
)
2
2
min
1
m m x x -<++，又
2
2
1331244x x x ⎛
⎫++=++≥ ⎪⎝
⎭．则234m m -<，解得1322m -<<，故D 正确．
故选BCD ．
12．已知1x y +=，0y >，0x ≠，则1
21
x x y +
+的可能取值有（ ） A ．
5
4
B ．
34
C ．12
D ．14
【分析】先得到1x <，再分类讨论，并利用基本基本不等式求出
1||3
2||14
x x y +
+即可． 【解析】解：1x y +=，0y >，0x ≠，10y x ∴=->，1x ∴<且0x ≠， ①当01x <<时，则 1||121211522||12142442444
x x x x x x x x y x y x x x x +--+=+=+=+++=++--， 当且仅当242x x
x x
-=
-，即23x =时取等号， ②当0x <时，则 1||12121322||1214244244
x x x x x x x x y x y x x x x --+---+=+=+=-++-+=+-+----， 当且仅当242x x
x x --=-
-，即2x =-时取等号， 综上，1||32||14
x x y ++， 故选AB ．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．命题“全等三角形的面积相等”的否定是____________________________． 【分析】因为原命题为全称命题，结合全称命题的否定为特称命题求解． 【解析】解：原命题：全等三角形的面积一定都相等，为全称命题，
∴它的否定为：存在两个全等三角形的面积不相等，
故答案为：存在两个全等三角形，它们的面积不相等
14．已知0x >，则1
23x x
--的最大值是________． 【分析】由函数123x x --（0x >）变形为123x x ⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭，再由基本不等式求
得
13x x +≥=
1
232x x
--≤-
【解析】解：13x x +≥=当且仅当1
3x x
=
，即x =时取等号
∴1
232x x --
≤-故1
23x x
--
的最大值是2-
故答案为：2-
15．已知函数()21f x mx mx =--．若对于{}
13x x x ∈≤≤，()5f x m <-恒成立，则实数m 的取值范围为________．
【分析】由已知可得当[1x ∈，3]时2(6)0max mx mx m -+-<，再结合二次函数性质求m 的取值范围．
【解析】由()5f x m <-可得260mx mx m -+-<， 由已知260mx mx m -+-<对于[1x ∈，3]恒成立， 所以当[1x ∈，3]时，2(6))0max mx mx m -+-<，
当0m >时，函数26y mx mx m =-+-的图象为开口向上，对称轴为1
2
x =
的抛物线， 所以当3x =时，26([1,3])y mx mx m x =-+-∈取最大值，最大值为76m -，
所以760m -<，由此可得6
07
m <<，
当0m <时，函数26y mx mx m =-+-的图象为开口向下，对称轴为1
2
x =的抛物线，
所以当1x =时，26([1,3])y mx mx m x =-+-∈取最大值，最大值为6m -， 所以60m -<，由此可得0m <，
当0m =时，260mx mx m -+-<对于[1x ∈，3]恒成立，
综上，6
7
m <，
所以实数m 的取值范围为
67m m ⎧⎫<⎨⎬
⎩⎭． 故答案为：67m m ⎧
⎫<
⎨⎬⎩⎭
16．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： ①男学生人数多于女学生人数； ①女学生人数多于教师人数； ①教师人数的两倍多于男学生人数．
（1）若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________； （2）该小组人数的最小值为________． 【分析】
①设男学生女学生分别为x ，y 人，若教师人数为4，则424x y y x >⎧⎪
>⎨⎪⨯>⎩，进而可得答案；
②设男学生女学生分别为x ，y 人，教师人数为z ，则2x y y z z x >⎧⎪
>⎨⎪>⎩
，进而可得答案；
【解析】
解：①设男学生女学生分别为x ，y 人， 若教师人数为4， 则424x y y x >⎧⎪
>⎨⎪⨯>⎩
，即48y x <<<， 即x 的最大值为7，y 的最大值为6， 即女学生人数的最大值为6．
②设男学生女学生分别为x ，y 人，教师人数为z ， 则2x y y z z x >⎧⎪
>⎨⎪>⎩
，即2z y x z <<< 即z 最小为3才能满足条件， 此时x 最小为5，y 最小为4， 即该小组人数的最小值为12， 故答案为：6，12
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本大题满分10分） 设a ，b ∈R ，集合P ={1，a }，Q ={1-，b -}，若P =Q ． （1）求a b -的值；
（2）集合{}2
10A x x cx =++<，(){}
B x a x a b =-<<-+，若B A ⊆，求实数c 的
取值范围． 【分析】
（1）利用集合P Q =元素相等，可得a 、b 的值，从而求a b -的值； （2）利用集合之间的关系求解． 【解析】 解：（1）设a ，b R ∈，{1P =，}a ，{1Q =-，}b -，若P Q =，则1a =-，1b =-，故0a b -=； （2）由（1）可知：{}
12B x x A =<<⊆，则2
10x cx ++<在12x <<上恒成立，
记()2
1f x x cx =++，则只需要()()1020
f f ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩，52c ⇒≤-．
18．（本大题满分12分） （1）设0x y <<，试比较(
)()22
x y
x y +-与()()2
2x
y x y -+的大小；
（2）已知a ，b ，x ，y 都是正数，且
11
a b
>，x y >，求证：
x y x a y b >++． 【分析】
（1）方法一：利用作差法，即可比较两式的大小；
方法二：根据题意，利用作商法，也可以比较两式的大小；
（2）利用作差法，即可证明x y
x a y b
>
++． 【解析】
（1）解：方法一：
2222()()()()x y x y x y x y +---+
222()[()()]x y x y x y =-+-+ 2()xy x y =--；
因为0x y <<，所以0xy >，0x y -<， 所以2()0xy x y -->，
所以2222()()()()x y x y x y x y +->-+；
方法二：0x y <<，所以0x y -<，22x y >，0x y +<， 所以22()()0x y x y +-<，22()()0x y x y -+<； 所以2222
2222()()01()()2x y x y x y x y x y x y xy
+-+<=<-+++，
所以2222()()()()x y x y x y x y +->-+；
（2）证明：()()
x y bx ay
x a y b x a y b --=
++++， 因为11
a b
>且a ，(0,)b ∈+∞，
所以0b a >>；
又因为0x y >>，所以0bx ay >>，
所以x y
x a y b >
++． 19．（本大题满分12分）
对于由有限个自然数组成的集合A ，定义集合(){}
,S A a b a A b A =+∈∈，记集合
()S A 的元素个数为()()d S A ．
定义变换T ，变换T 将集合A 变换为集合()()T A A S A =． （1）若A ={0，1，2}，求()S A ，()T A ；
（2）若集合A ={1x ，2x ，3x ，…，n x }，123x x x <<<…n x <，n ∈N ，证明：“()()
21d S A n =-”的充要条件是“2132x x x x -=-=…1n n x x -=-”． 【分析】
（1）根据定义直接进行计算即可；
（2）根据充分条件和必要条件，结合等差数列的性质进行证明． 【解析】 解：（1）若集合{0A =，1，2}，则S （A ）T =（A ）{0=，1，2，3，4}． （2）令1{A x =，2x ，}n x ⋯．不妨设12n x x x <<⋯<． 充分性：设{}k x 是公差为(0)d d ≠的等差数列．
则111(1)(1)2(2)(1i j x x x i d x j d x i j d i +=+-++-=++-，)j n
且22i j n +．所以i j x x +共有21n -个不同的值．即(d S （A ）)21n =-．
必要性：若(d S （A ）)21n =-．
因为1122i i i i x x x x ++<+<，(1i =，2，⋯，1)n -． 所以S （A ）中有21n -个不同的元素：12x ，22x ，⋯，2n x ，12x x +，23x x +，⋯，1n n x x -+． 任意(1,)i j x x i j n +的值都与上述某一项相等．
又1212i i i i i i x x x x x x +++++<+<+，且11122i i i i i x x x x x +++++<<+，1i =，2，⋯，2n -． 所以212i i i x x x +++=，所以{}k x 是等差数列，且公差不为0 20．（本大题满分12分） 已知258x y +=． （1）当0x >，0y >时，求xy 的最大值； （2）当1x >-，2y >-时，若不等式
2101
412
m m x y +≥+++恒成立，求实数m 的取值范围． 【分析】
（1）对等式左边直接使用基本不等式即可求出xy 的最大值；
（2）先由基本不等式求出101
12
x y +
++的最小值，然后由不等式恒成立转化为2101()412min m m x y ++++，解二次不等式可求． 【解析】 解：（1）∵0x >，0y >，258x y +=．
∴()()22
1112518825251021025
x y xy x y +⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅≤⋅=⨯= ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当254x y ==时取等号，即2x =，
45y =
时取等号， 所以xy 的最大值为8
5；
（2）因为258x y +=，1x >-，2y >-， 即2(1)5(2)20x y +++=， 所以 1011101150(2)2(1)19
()[2(1)5(2)](25](2520)1220122012204y x x y x y x y x y +++=++++=+++=++++++，
当且仅当50(2)2(1)12y x x y ++=++且258x y +=即173x =，2
3y =-时取等号，此时10112x y +
++取得最小值9
4，
因为不等式
2101
412
m m x y ++++恒成立， 所以2944
m m +，
解得，91
22
m
-，
∴实数m 的取值范围：为91{|}22
m m -
．
21．（本大题满分12分） 党的十八大以来，精准扶贫取得了历史性成就，其中产业扶贫是扶贫工作的一项重要举措，长沙某驻村扶贫小组在湘西某贫困村实施产业扶贫，计划帮助该村进行猕猴桃的种植与销售，为了迎合大众需求，提高销售量，将以装盒售卖的方式销售．经市场调研，若要提高销售量，则猕猴桃的售价需要相应的降低，已知猕猴桃的种植与包装成本为24元/盒，且每万盒猕猴桃的销售收入()I x （单位：万元）与售价量x （单位：万盒）之间满足关系式
()2562,010*******
17.6,10x x I x x x x -<≤⎧⎪
=⎨+->⎪⎩
． （1）写出利润()F x （单位：万元）关于销售量x （单位：万盒）的关系式；（利润=销售
收入－成本）
（2）当销售量为多少万盒时，该村能够获得最大利润？此时最大利润是多少？
【分析】
（1）根据已知条件，结合利润=销售收入－成本，分010x <≤，10x >两种情况讨论，即可求解．
（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解． 【解析】
解：（1）当010x <≤时，()()222456224232F x xI x x x x x x x =-=--=-+， 当10x >时，()()232814401440
2417.624 6.4328F x xI x x x x x x x x
⎛
⎫=-=+
--=--+ ⎪⎝⎭， 故()2232,010
1440
6.4328,10x x x F x x x x ⎧-+<≤⎪
=⎨--+>⎪⎩
． （2）当010x <≤时，()()22
23228128F x x x x =-+=--+，
故当8Fx =时，()F x 取得最大值，且最大值为128， 当10x >时，
()144014406.4328 6.4328328136F x x x x x ⎛
⎫=--
+=-++≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当14406.4x x =
，即15x =（负值舍去）时，等号成立，此时()F x 取得最大值，且最大值为136，
由于136128>，
所以销售量为15万盒时，该村的获利最大，此时的最大利润为136万元． 22．（本大题满分12分）
已知二次函数()2
ax bx c f x =++．
（1）若()0f x >的解集为{}
34x x -<<，解关于x 的不等式()2
230bx ax c b +-+<；
（2）若对任意x ∈R ，()0f x ≥恒成立，求
b
a c
+的最大值； （3）已知4b =，a c >，若()0f x ≥对于一切实数x 恒成立，并且存在0x ∈R ，使得
20
00ax bx c ++=成立，求22
42a c a c
+-的最小值．
【分析】
（1）依题意，得0a <，34b a -+=-
，34c
b a a
-⨯=⇒=-，12(0)c a a =-<，故()22
2302150bx ax c b x x +-+<⇔--<，解之即可；
（2）由△240b ac =-<，00a c >⇒，得到2ac b ac -，再利用基本不等式可求得b
a c
+的最大值； （3）依题意，可得01640a ac >⎧⎨=-⎩，即04a ac >⎧⎨⎩
，由存在0x R ∈，使得2
00ax bx c ++=成立可得△16404ac ac =-=⇒=，利用基本不等式即可求得22
42a c a c
+-的最小值．
【解析】 解：（1）20ax bx c ++>的解集为{|34}x x -<<，
0a ∴<，34b a -+=-，34c
b a a
-⨯=⇒=-，12(0)c a a =-<，
()()222230215002150bx ax c b ax ax a a x x +-+<⇔-++<<⇔--<，
∴解集为(3,5)-；
（2）对任意x R ∈，()0f x 恒成立，
∴△240b ac =-，即24b ac ，
又0a >，0c ∴， 故2ac b ac -，
∴
21b ac a c
a c a c a c +=+++，当c a =，2
b a =时取“=”
， ∴b a c
+的最大值为1， （3）由()0f x 对于一切实数x 恒成立，可得01640a ac >⎧⎨=-⎩即0
4a ac >⎧⎨⎩
，由存在0x R ∈，使
得2
00ax bx c ++=成立可得△1640ac =-， ∴△1640ac =-=， 4ac ∴=，
∴
2222(24(2)168222a a c a c a c a c a -+-+==---， 当且仅当24a c -=时，等号成立，
∴2242a c a c
+-的最小值为8．。