高二数学人教A必修5练习：第二章 习题课(1) Word版含解析

习题课(1)
课时目标
1．熟练掌握等差数列的概念、通项公式、前n 项和公式，并能综合运用这些知识解决一些问题．
2．熟练掌握等差数列的性质、等差数列前n 项和的性质，并能综合运用这些性质解决相关问题．
要点回顾
1．若S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
S 1， n ＝1，
S n －S n －1， n ≥2.
2．若数列{a n }为等差数列，则有： (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ；
(2)前n 项和：S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝n (a 1＋a n )
2
.
3．等差数列的常用性质
(1)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . (2)若S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，则 S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 成等差数列．
一、选择题
1．在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值为( ) A ．24 B ．22 C ．20 D ．－8 答案 A
2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 7＋a 11＝6，则S 13等于( ) A ．24 B ．25 C ．26 D ．27 答案 C
解析 ∵a 3＋a 7＋a 11＝6，∴a 7＝2，
∴S 13＝13(a 1＋a 13)2
＝13a 7＝26.
3．设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( )
A ．0
B ．37
C ．100
D ．－37 答案 C
解析 设数列{a n }，{b n }的公差分别为d ，d ′， 则a 2＋b 2＝(a 1＋d )＋(b 1＋d ′) ＝(a 1＋b 1)＋(d ＋d ′) ＝100.
又∵a 1＋b 1＝100，∴d ＋d ′＝0. ∴a 37＋b 37＝(a 1＋36d )＋(b 1＋36d ′) ＝(a 1＋b 1)＋36(d ＋d ′)＝100.
4．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13
等于( )
A ．120
B ．105
C ．90
D ．75 答案 B
解析 ∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝15，∴a 2＝5. ∵a 1＝5－d ，a 3＝5＋d ，d >0， ∴a 1a 2a 3＝(5－d )·5·(5＋d )＝80， ∴d ＝3，a 1＝2.
∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 1＋11d )
＝3a 1＋33d ＝3×2＋33×3＝105.
5．若{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1>0，d <0，S 4＝S 8，则S n >0成立的最大自然数n 为( )
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14 答案 A
解析 S 4＝S 8⇒a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝0⇒a 6＋a 7＝0，又a 1>0，d <0，S 12＝(a 1＋a 12)·12
2＝0，
n <12时，
S n >0.
6．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 008，其前n 项和为S n ，若S 2 0082 008－S 2 006
2 006
＝2，则S 2 012
等于( )
A ．－2 012
B ．2 012
C ．6 033
D ．6 036 答案 D
解析
S n
n ＝a 1＋(n －1)d 2
， ∴S 2 0082 008－S 2 006
2 006＝a 1＋2 008－12d －a 1－2 006－12d ＝d ＝2.
∴S 2 012＝2 012×(－2 008)＋
2 012×2 011
2
×2 ＝2 012×3＝6 036. 二、填空题
7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ＋1，则a 6＋a 7＋…＋a 10的值为________． 答案 80
解析 a 6＋a 7＋…＋a 10＝S 10－S 5＝111－31＝80.
8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S p ＝S q (p ，q ∈N *且p ≠q )，则S p ＋q ＝________. 答案 0
解析 设S n ＝an 2＋bn ，由S p ＝S q .
知ap 2＋bp ＝aq 2＋bq ，∴p ＋q ＝－b
a .
∴S p ＋q ＝a (p ＋q )2＋b (p ＋q )
＝a (－b a )2＋b (－b a
)
＝b 2a －b 2
a ＝0. 9．等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是______． 答案 5或6
解析 d <0，|a 3|＝|a 9|，∴a 3>0，a 9<0且a 3＋a 9＝0， ∴a 6＝0，∴a 1>a 2>…>a 5>0，a 6＝0,0>a 7>a 8>….
∴当n ＝5或6时，S n 取到最大值．
10．已知数列{a n }中，a 1＝20，a n ＋1＝a n ＋2n －1，n ∈N *，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.
答案 n 2－2n ＋21
解析 ∵a n ＋1－a n ＝2n －1， ∴a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，…， a n －a n －1＝2n －3，n ≥2.
∴a n －a 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)．
∴a n ＝20＋(n －1)(2n －2)
2
＝n 2－2n ＋21.
三、解答题
11．甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
解 (1)设n 分钟后第1次相遇，依题意， 有2n ＋n (n －1)
2＋5n ＝70，
整理得n 2＋13n －140＝0. 解之得n ＝7，n ＝－20(舍去)． 第1次相遇是在开始运动后7分钟． (2)设n 分钟后第2次相遇，依题意，有 2n ＋n (n －1)2＋5n ＝3×70，
整理得n 2＋13n －420＝0. 解之得n ＝15，n ＝－28(舍去)．
第2次相遇是在开始运动后15分钟．
12．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；
(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n
n ＋c ，求非零常数c .
解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d >0. ∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3·a 4＝117， 又公差d >0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13.
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝1d ＝4
，∴a n ＝4n －3.
(2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n (n －1)
2·4＝2n 2－n ，
∴b n ＝S n
n ＋c ＝2n 2－n n ＋c .
∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝15
3＋c
.
∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，
∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－1
2
(c ＝0舍去)．
能力提升
13．在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且|a 10|<a 11，S n 为{a n }的前n 项的和，则下列结论正确的是( )
A ．S 1，S 2，…，S 10都小于零，S 11，S 12，…都大于零
B ．S 1，S 2，…，S 5都小于零，S 6，S 7，…都大于零
C ．S 1，S 2，…，S 20都小于零，S 21，S 22，…都大于零
D ．S 1，S 2，…，S 19都小于零，S 20，S 21，…都大于零 答案 D
解析 ∵S 19＝19(a 1＋a 19)
2＝19a 10<0，
S 20＝20(a 1＋a 20)2
.
而a 1＋a 20＝a 10＋a 11，∵a 10<0，a 11>0且|a 10|<a 11， ∴a 10＋a 11>0，
∴S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)>0.
又∵d ＝a 11－a 10>0.
∴S n >0 (n ≥20)．
14．把自然数1,2,3,4，…按下列方式排成一个数阵．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ……………………………
根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左至右的第3个数是______________.
答案 n 22－n 2＋3
解析 该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n 行有n 个数，则第n －1 (n ≥3)行的最后一个数为(n －1)(1＋n －1)2＝n 22－n 2，则第n 行从左至右的第3个数为n 22－n 2
＋3.
1．等差数列是最基本、最常见的数列，等差数列的定义是研究解决等差数列的判定和性质，推导通项公式、前n 项和公式的出发点．
2．通项公式与前n 项和公式联系着五个基本量：a 1、d 、n 、a n 、S n .掌握好本部分知识的内在联系、结构，以便灵活运用．
3．另外用函数观点和方法揭示等差数列的特征，在分析解决数列的综合题中有重要的意义．。