【三维设计】高中数学教师用书 课下作业 第二章 章末小结 阶段质量检测 新人教B版必修1

(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分) 1．函数y ＝x 2
－2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为
( )
A ．{－1,0,3}
B ．{0,1,2,3}
C ．{y |－1≤y ≤3}
D ．{y |0≤y ≤3}
解析：当x ＝0时y ＝0.
当x ＝1时y ＝－1.当x ＝2时y ＝0. 当x ＝3时y ＝3.值域为{－1,0,3}． 答案：A
2．函数f (x )＝1
x
－x 的图像关于
( )
A ．y 轴对称
B ．直线y ＝－x 对称
C ．坐标原点对称
D ．直线y ＝x 对称
解析：∵f (－x )＝－1
x
＋x ＝－f (x )，
∴f (x )为奇函数． ∴其图像关于(0,0)对称． 答案：C
3．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是
( )
解析：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶直至停车，在行进过程中s 随时间t 的增大而增大，故排除D.另外汽车在行进过程中有匀速行驶的状态，故排除C.又因为在开始时汽车启动后加速行驶的过程中行驶路程s 随时间t 的变化越来越快，在减速行驶直至停车的过程中行驶路程s 随时间t 的变化越来越慢，排除B.
答案：A
4．函数y ＝f (x )的图像与直线x ＝a (a ∈R)的交点有
( )
A ．至多有一个
B ．至少有一个
C ．有且仅有一个
D ．有一个或两个以上
解析：由函数的定义对于定义域内的任意一个x 值，都有唯一一个y 值与它对应，所以函数y ＝f (x )的图像与直线x ＝a (a ∈R)至多有一个交点(当a 的值不在定义域时，也可能没有交点)．
答案：A
5．若函数y ＝f (x )，x ∈R 是奇函数，且f (1)<f (2)，则必有
( )
A ．f (－1)<f (－2)
B ．f (－1)>f (－2)
C ．f (－1)＝f (1)
D ．f (－2)＝f (1)
解析：∵f (1)<f (2)， ∴－f (1)>－f (2)． ∵y ＝f (x )是奇函数， ∴f (－1)>f (－2)． 答案：B
6．函数y ＝x 2
＋bx ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数，则有
( ) A ．b ≥0 B ．b ≤0 C ．c ≥0
D ．c ≤0
解析：作出函数y ＝x 2
＋bx ＋c 的简图，对称轴为x ＝－b
2
.
因该函数在[0，＋∞)上是单调函数，故对称轴只要在y 轴及y 轴左侧即可，故－b
2
≤0，所以b ≥0.
答案：A
7.幂函数y ＝f (x )图像如图，那么此函数为 ( )
A ．y ＝x －2
B ．y ＝x 3
2
C ．y ＝x 1
2
D ．y ＝x 2
3
解析：可设函数为y ＝x α
，将(2，2)代入得α＝12.
答案：C
8．(2011·安徽高考)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x ) ＝2x 2
－x ，
则f (1)＝ ( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
解析：法一：∵f (x )是定义在R 上的奇函数， 且x ≤0时，f (x )＝2x 2
－x ，
∴f (1)＝－f (－1)＝－2×(－1)2
＋(－1)＝－3. 法二：设x >0，则－x <0，
∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x )＝2x 2
－x ，∴f (－x )＝2(－x )2
－(－x )＝2x 2
＋x ，
又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2x 2
－x ， ∴f (1)＝－2×12
－1＝－3. 答案：A
9．(2011·浙江高考)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x ，x ≤0，
x 2
，x ＞0.若f (α)＝4，则实数α＝
( )
A ．－4或－2
B ．－4或2
C ．－2或4
D ．－2或2
解析：当α＞0时，有α2
＝4， ∴α＝2；当α≤0时，有－α＝4， ∴α＝－4，因此α＝－4或α＝2. 答案：B
10．定义在R 上的偶函数在[0,7]上是增函数，又f (7)＝6，则f (x )
( )
A ．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6
B ．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6
C ．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6
D ．在[－7,0]上是减函数，且最小值是6
解析：由f (x )是偶函数，得f (x )关于y 轴对称，其图像可以用右图简单地表示，则f (x )在[－7,0]上是减函数，且最大值为6.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x －12
， x >0，
－2， x ＝0，
x ＋312
， x <0，则f (f (f (0)))＝________.
解析：f (0)＝－2，
f [f (0)]＝f (－2)＝(－2＋3)12
＝1， f {f [f (0)]}＝f (1)＝1－12
＝1.
答案：1
12．(2011·浙江高考)若函数f (x )＝x 2
－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________. 解析：由题意知，函数f (x )＝x 2
－|x ＋a |为偶函数，则f (1)＝f (－1)， ∴1－|1＋a |＝1－|－1＋a |， ∴a ＝0. 答案：0
13．函数y ＝－x 2
＋2x ＋3的值域为________． 解析：y ＝－x 2
＋2x ＋3＝－(x 2
－2x ＋1)＋4 ＝－(x －1)2
＋4.
由二次函数的图像和性质可知y ≤4， ∴值域(－∞，4]． 答案：(－∞，4]
14.设函数y ＝f (x )是偶函数，它在[0,1]上的图像如图，则它在[－1,0]上的解析式为________．
解析：∵函数y ＝f (x )过(1,1)，(0,2)，
y ＝f (x )是偶函数，
∴函数y ＝f (x )过(0,2)，(－1,1)． 设y ＝kx ＋b ，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
2＝b ，1＝－k ＋b .
∴k ＝1.∴y ＝x ＋2.
答案：f (x )＝x ＋2(－1≤x ≤0)
三、解答题(本大题共4个小题，共50分)
15．(12分)已知f (x )是定义在[－1,2)上的增函数，若f (a －1)>f (1－3a )，求实数a 的取值范围．
解：由题可得⎩⎪⎨⎪
⎧
－1≤a －1<2，－1≤1－3a <2，
a －1>1－3a ，
即⎩⎪⎨⎪⎧
0≤a <3，
－13<a ≤23，a >12.
解得12<a ≤23，∴实数a 的取值范围是12<a ≤23
.
16．(12分)已知二次函数f (x )满足条件f (0)＝1及f (x ＋1)－f (x )＝2x . (1)求f (x )的解析式；
(2)求f (x )在区间[－1,1]上的最值．
解：(1)据题意，设f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)， ∵f (0)＝1，∴c ＝1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，
∴a (x ＋1)2
＋b (x ＋1)＋1－ax 2－bx －1＝2x ，
∴2ax ＋a ＋b ＝2x .即⎩⎪⎨
⎪⎧
2a ＝2，a ＋b ＝0，
解得a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2
－x ＋1；
(2)f (x )＝x 2
－x ＋1＝(x －12)2＋34，
∴f (x )在[－1,1]上f (x )min ＝f (12)＝3
4
，
f (x )max ＝f (－1)＝3.
即在区间[－1,1]上f (x )的最大值是3，最小值是3
4
.
17．(12分)已知函数f (x )＝ax 2＋23x ＋b 是奇函数，且f (2)＝5
3
.
(1)求实数a ，b 的值；
(2)判断函数f (x )在(－∞，－1]上的单调性，并加以证明． 解：(1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．
∴ax 2＋2－3x ＋b ＝－ax 2＋23x ＋b ＝ax 2＋2
－3x －b
， 因此b ＝－b ，即b ＝0.
又f (2)＝5
3，
∴
4a ＋26＝5
3
， ∴a ＝2；
(2)由(1)知f (x )＝2x 2
＋23x ＝2x 3＋23x
，
f (x )在(－∞，－1]上为增函数，
证明：设x 1<x 2≤－1，
则f (x 1)－f (x 2)＝23(x 1－x 2)(1－1
x 1x 2)
＝23(x 1－x 2)·x 1x 2－1
x 1x 2. ∵x 1<x 2≤－1， ∴x 1－x 2<0，x 1x 2>1.
∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在(－∞，－1]上为增函数．
18．(14分)小张周末自己驾车旅游，早上八点从家出发，驾车3个小时后到达景区停车场，期间由于交通等原因，小张的车所走的路程s (单位：km)与离家的时间t (单位：h)的函数关系为s (t )＝－5t ·(t －13)．由于景区内不能驾车，小张把车停在景区停车场．在景区玩到16点，小张开车从停车场以60 km/h 的速度沿原路返回．
(1)求这天小张的车所走的路程s (单位：km)与离家时间t (单位：h)的函数解析式； (2)在距离小张家60 km 处有一加油站，求这天小张的车途经该加油站的时间． 解：(1)依题意得，当0≤t ≤3时，s (t )＝－5t (t －13)． ∴s (3)＝－5×3×(3－13)＝150. 即小张家距离景点150 km. 小张的车在景点逗留时间为 16－8－3＝5(h)．
∴当3<t ≤8时，s (t )＝150. 小张从景点回家所花时间为
150
60
＝2.5(h)， 故s (10.5)＝2×150＝300.
∴当8<t ≤10.5时，s (t )＝150＋60(t －8)＝60t －330. 综上所述，这天小张的车所走的路程
s (t )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－5t t －13， 0≤t ≤3，150， 3<t ≤8，
60t －330， 8<t ≤10.5；
(2)当0≤t ≤3时， 令－5t (t －13)＝60，得
t 2－13t ＋12＝0，
解得t ＝1或t ＝12(舍去)． 当8<t ≤10.5时，
令60t －330＝2×150－60＝240， 解得t ＝192
.
答：小张这天途经该加油站的时间分别为9点和17时30分．。