高二数学上学期期末同步测试2

高二数学上学期期末同步测试2
说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时刻120分钟．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代
号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．已知函数)()1ln()(2x f x x x f '++=则是
（ ）
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．既是奇函数也是偶函数
2．设x ，R y ∈，则0xy >是||||||y x y x +=+成立的
（ ）
A ．充分条件，但不是必要条件；
B ．必要条件，但不是充分条件；
C ．充分且必要条件；
D ．既不充分又不必要条件. 3． 112
-+⎛⎝ ⎫⎭
⎪i i 的值等于
（ ）
A ．1
B ．－1
C ．i
D ．－i
4．使复数a bi a b +()、不同时为零等于它的共轭复数的倒数的充要条件是 （ ）
A ． ()a b +=2
1 B ． a b 22
1+=
C ． a b 22
1-=
D ． ()a b -=2
1
5．椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率e 为（ ）
A ．
10
10
B ．
1717 C ．13132 D ．37
37 6．假如用C ，R 和I 分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C 为全集，那么有（ ） A ．C R I =
B ． R I ={}0
C ． I C R C U =
D ． R I =φ
7．长方体ABCD —A １B 1C １D １中，E 、F 分别为C １Ｂ１，Ｄ１Ｂ１的中点，且ＡＢ＝ＢＣ，ＡＡ
１＝２ＡＢ，则CE 与BF 所成角的余弦值是
（ ）
A ．
10
10
B ．
10
10
3 C ．
3434 D ．34
345
8．设F 1、F 2为双曲线4
2
x －y 2=1的两焦点, 点P 在双曲线上, 当△F 1PF 2面积为1时,
21PF PF ⋅的值为
（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．
2
1
9．假如复数Z ai Z =+-<322满足条件||,那么实数a 的取值范畴是 （ ）
A ．(,)-2222
B ．(,)-22
C ．(,)-11
D ．(,)-33
10．已知复数 Z a bi Z b ai a b 12=+=-+,(其中、差不多上实数，且ab ≠0），在复平面内，Z 1、Z 2所对应的点与原点组成的三角形是
（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）． 11．若Z C Z Z Z ∈-=
-==,||,||,21134且则复数
．
12
．
若
=∈≠≠++++=∈≠≠-*),1,0(,.......321*,,1,012N n x x nx x x S N n x x n n 则 ．
13．平面直角坐标系下直线的方程为)0(,02
2
≠+=++B A C By Ax ，请类比空间直角坐
标系下平面的方程为 ．
14．椭圆x 2+22
a
y
=1(0<a<1)上离顶点A(0, a)距离最远的点恰好是另一个顶点A ′(0, - a), 则a
的取值范畴是
三、解答题：解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．
15．（12分）已知命题P ：复数2
2
lg(22)(32)z m m m m i =--+++对应的点落在复平面的
第二象限；命题Q ：以m 为首项，公比为q 的等比数列的前n 项和极限为2.若命题“P 且Q ”是假命题，“P 或Q ”是真命题，求实数m 的取值范畴.
16．（12分）（1） 设x ≤1，求一个正常数a ，使得x ≤
33
1
ax +； （2）设i x ≤1，03
3231=+++n x x x ，求证：n x x x +++ 21≤3
1
17．（12分）用数学归纳法证明等式对因此n ∈N*均成立．
n
n n n n 21
2111211214131211+
++++=--++-+-
18．（12分）设函数ax x x f -+=
1)(2，其中0>a ．
（I ）解不等式1)(≤x f ；
（II ）证明：当1≥a 时，函数)(x f 在区间),0[+∞上是单调函数．
19．如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长差不多上1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直. 点
M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=BN=)20(<<a a .
（Ⅰ）求MN 的长；
（Ⅱ）当a 为何值时，MN 的长最小；
（Ⅲ）当MN 长最小时，求面MNA 与面MNB 所成的二面角α的大小.
20．（14分）椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（0>c ）的
准线l 与x 轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点. （Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；
（Ⅱ）若0=⋅OQ OP ，求直线PQ 的方程；
（Ⅲ）设AQ AP λ=（1>λ），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ， 证明:λ-=.
参考答案
一、 1．B ； 2．A 3．；答案：B
分析：
111
-+==-i i i
i
()∴-+⎛⎝ ⎫
⎭
⎪=-=-1112
2i i i
另解：原式(
)()=
-+=
-=-112212
2
i i i
i
故选B ． 4．B 5．A ．
6．答案：D ．
分析：由复数概念，如下图，
R I =φ
故选D ．； 7．D ； 8．A ；
9．答案：D ． 分析：由题意， |()|,322+-<ai 得
122+<a ,
解得，-<<33a
因此本题应选D ．
10． 二、
11．±7i ；
12．2
1
)
1()1(1x nx x n n n -++-+；解析：当x ≠1时，∵，
两边差不多上关于x 的函数，求导得
即
．
13．)0(,02
2
2
≠++=+++C B A D Cz By Ax
14．⎪⎪⎭
⎫⎢⎣⎡122， 三、
15．解：命题P 有：22
lg(22)0 320 m m m m ⎧--<⎪⎨++>⎪⎩①②
由①得：2
022*******m m m m <--<⇒+<<-<<或 由②得：232021m m m m ++>⇒<->-或
由上得满足P 的m 的取值范畴是：133m <<或 113m -<< 对命题Q ,有：
21m
q
=- 又110q q -<<≠且 得：04m <<且2m ≠
又命题“P 且Q ”是假命题，“P 或Q ”是真命题，则m 的范畴是 (1,13)(0,2)(2,13][3,4)-⋃⋃+⋃
16．解：⑴ x ≤
33
1
ax +可化为1333+-x ax ≥0，令)(x f =1333+-x ax ， 392-=ax x f )('，由0=)('x f 得，a
x 31±
=
)(1f =3a-2≥0，)(1-f =-3a+4≥0，∴32≤a ≤3
4
， ①
∴
a
31∈[-1，1]，131********+⋅-⋅⋅
=a
a a a a
f )(
≥0，即a ≥34 ②
由①、②得，3
4=
a . 从而当x ≤1时，1333
+-x ax =2121))((-+x x ≥0，即x ≤
33
1
ax +. ⑵ 由⑴知，对i x ≤1，有i x ≤
3
3
431i x +，
（i=1，2，…，n ） 将这n 个式子求和，得n x x x +++ 21≤3
1. 17．证明：i)当n=1时，左式=21211=-
，右式=2
1111=+， ∴ 左式=右式，等式成立． ii)假设当n=k(k ∈N)时等式成立， 即k
k k k k 21
2111211214131211+
++++=--++-+-
， 则当n=k+1时，
)
1(21)1(13)1(12)1(11)1(12
21121413121)22111(12131212
21121)212111(221121)211214131211(221121211214131211++++++++++++++=++++++++++=+-++++++++=+-+++++++=+-
++--++-+-=+-++--++-+-
k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k
即n=k+1时，等式也成立，
由i) ii)可知，等式对n ∈N 均成立．
小结：在利用归纳假设论证n=k+1等式成立时，注意分析n=k 与n=k+1的两个等式的差别．n=k+1时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由11+k 变为2
1+k ．因此在证明中，右式中的
11+k 应与-2
21
+k 合并，才能得到所证式．因而，在论证之前，把
n=k+1时等式的左右两边的结构先作一分析是有效的．
由例1能够看出，数学归纳法的证明过程中，要把握好两个关键之处：一是f(n)与n 的关系；二是f(k)与f(k+1)的关系．
18．解1：（I ）分类讨论解无理不等式（略）．
（II ）作差比较（略）． 解2：a x x x f -+=
'1
)(2
（i ）当1≥a 时，有
a x x
≤<+11
2
，现在0)(<'x f ，函数)(x f 在区间),(+∞-∞上
是单调递减函数．但1)0(=f ，因此，当且仅当0≥x 时，1)(≤x f ．
（ii ）当10<<a 时，解不等式0)(<'x f ，得2
1a
a x -<，)(x f 在区间]
1,
(2
a
a --∞上是单调递减函数．
解方程1)(=x f ，得0=x 或2
12a
a x -=
，
∵2
2
1210a
a a
a -<
-<
，
∴当且仅当2
120a
a x -≤
≤时，1)(≤x f ，
综上，（I ）当10<<a 时，所给不等式的解集为：⎭⎬⎫
⎩⎨⎧-≤
≤2
120|a a
x x ； 当1≥a 时，所给不等式的解集为：{}0|≥x x ．
（II ）当且仅当1≥a 时，函数)(x f 在区间),0[+∞上时单调函数． 19．向量法） 解析：如图，建立空间直角坐标系B-xyz ，
则A （1，0，0），C （0，0，1），E （0，1，0），F （1，1，0）， （I ）a BM 2+
=+= )1,0,1(2)1,0,0(-+=a )2
1,0,2(a
a -= a 2=
)0,2
,2(a
a =
BM BN MN -=∴)12
,2,
0(-=a a ，
)20(1
22<<+-=a a a
（II ）由（I
）知：122+-=
a a 21
222
+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=a 因此当22=
a 时，MN 的长最小，现在MN=2
2
． （III ）由（II ）知，当MN 的长最小时，2
2
=a ，
现在M 、N 分别是AC 、BF 的中点．
取MN 的中点G ，连结AG 、BG ，易证∠AGB 为二面角A-MN-B 的平面角．
∵点)21,0,21(M ，点)0,21,
21(N ，∴点)41
,41,21(G
∴)41,41,21(--=，)4
1
,41,21(---=，
∴31
,cos -=>=
<GB GA ，
∴故所求二面角)3
1
arccos(-=α= π－3
1arccos
20．（Ⅰ）解：由题意，可设椭圆的方程为)2(122
22
>=+a y a x .由已知得⎪⎩
⎪⎨⎧-==-).
(2,
2222c c a c c a 解得2,6==c a 因此椭圆的方程为12
62
2=+y x ，离心率36=e .（Ⅱ）解：由（1）可得
A （3，0）.设直线PQ 的方程为)3(-=x k y .由方程组
⎪⎩⎪⎨⎧-==+)3(,126
2
2x k y y x 得062718)13(2222=-+-+k x k x k 依题意0)32(122
>-=∆k ，得3636<<-k .设),(),,(2211y x Q y x P ，则1
3182
221+=+k k x x ， ① 1
36272221+-=k k x x . ② 由直线PQ 的方程得)3(),3(2211-=-=x k y x k y .因此
]9)(3[)3)(3(2121221221++-=--=x x x x k x x k y y . ③ ∵0=⋅，∴
A B C
D
E
F
M
N
G
y
x
z
02121=+y y x x . ④. 由①②③④得152=k ，从而)3
6,36(55-∈±
=k . 因此直线PQ 的方程为035=--y x 或035=-+y x . （Ⅲ）证明：
),3(),,3(2211y x AQ y x AP -=-=.由已知得方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-.
126
,
126
,
),3(32
2222
12121
21y x y x y y x x λλ 注意1>λ，解得λ
λ21
52-=x . 因),(),0,2(11y x M F -，
故),1)3((),2(1211y x y x FM -+-=--=λ),21
(),21(21y y λ
λλλ--=--=.
而),21
(),2(222y y x λ
λ-=-=，因此λ-=.。